动点的轨迹问题

动点的轨迹问题

根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。

轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。

求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）

建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）

求轨迹方程的的基本方法：

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将

x’,y’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

6.转移法：如果动点P 随着另一动点Q 的运动而运动，且Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P 点的轨迹方程。

7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。

二、注意事项：

1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的

等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。

【典型例题选讲】

一、直接法题型：

例1 已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

解：设MN 切圆C 于N ，则2

22ON MO MN -=。

设),(y x M ，则2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x

（1）当1=λ时，方程为4

5

=

x ，表示一条直线。 （2）当1≠λ时，方程化为2

222

222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。

说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什

么。

变式- - 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．

解：以21O O 的中点O 为原点，21O O

直线为x 轴，建立平面直角坐标系，

则)0,2(),0,2(21O O -

由已知PN PM 2=可得：222PN PM =

因为两圆的半径均为1，所以)1(212

22

1-=-PO PO

设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(22=+-y x

所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）

评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

二、定义法题型：

运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.

【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点， 两切线交于点P.由切线

的

性

质

知

：

|BA|=|BD|

，

|PD|=|PE|

，

|CA|=|CE|

，

故

|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，

故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆， 以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，

可求得动点P 的轨迹方程为：22

18172

x y +

= 练习： 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。

解：由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、

O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为

12516

25)3(2

2=++y x 评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

三、代入法题型：

例3 如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2

的垂

l

O ' P E

D C B A

线，垂足为N 。求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

解：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1）

则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ①

又PQ 垂直于直线x+y=2，故

11

1

=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ②

由①②解方程组得12

3

21,1212311-+=-+=

y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0

练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x 轴，关于y 轴，关于直线y=x ，关于直线

y=-x ，关于直线

y=3

对称的曲线方程。

(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)

四、参数法与点差法题型：

求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 例4 经过抛物线y 2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于B 、C 两点，求线段BC 的中点M 轨迹方程。

解：A （-2p,0）,设直线AB 的方程为y=k(x+2p)(k ≠0).与抛物线方程联立方程组可解得B 点的坐标为)2,22(

2

k p p k

p -，由于AC 与AB 垂直，则AC 的方程为)2(1

p x k y +-=，与抛物线方程联立方程组可解得C 点的坐标为)2,22(2kp p p k --，又M 为BC 中点，设M （x,y ）, 则

??

???-=-+=kp

k p

y p p k k p x 22

2，消去k 得y 2=px,即点M 的轨迹是抛物线。 巩固与提高：1〉在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

【解析】

解法一：以OA 的斜率k 为参数由

{

2

y kx

y x ==解得 A （k ，k 2） ∵OA ⊥OB ，

∴OB ：1y x k =-由21y x k y x

??=-??=?解得B 211,k k ??

- ??? 设△AOB 的重心G （x ，y ），则22113113x k k y k k ???

=- ??????

???=+ ?

????

消去参数k 得重心G 的轨迹方程为22

33

y x =+

解法二：设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???

????+=+=33

21

21y y y x x x （1）

∵OA ⊥OB ∴1-=?OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)

又点A ，B 在抛物线上，有2

22211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x

∴3

2332)3(31]2)[(31)(31322212212

22121+=+?=-+=+=+=

x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3

2

32+

=x y 。 2〉如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.

【解析】设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012112

x x x x x x ≠和， ∴切线AP 的方程为：;022

0=--x y x x 切线BP 的方程为：;02211=--x y x x

解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10， 所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

评析：

1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。

2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。

3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。

4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。

五、交轨法与几何法题型

求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

例5 抛物线)0(42

>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线

AB 上的射影M 的轨迹。（考例5）

解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42>=p px y 上，

设A （),42A A

y p

y ，B （),42

B B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =B y p 4, 由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,

又AB 方程可求得)4(442

2

2p y x p

y p y y y y y A

B

A B A A ---=-， 即（y A +y B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2

代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x P

y y y B

A 4-+=

②

由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x ， 即得2

224)2(p y p x =+-。

所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。

说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 可得AB 过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。所以方程为2224)2(p y p x =+-，除去点（0，0）。

六、点差法：

例6（2004年福建，22）如图，P 是抛物线C ：2

2

1x y =

上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程。（图见教材P129页例2）。

解：设0,0,0),,(),,(),,(211002211>>≠y y x y x M y x Q y x P 依题意知，

由2

2

1x y =

（1） 得x y =/，∴过点P 的切线的斜率1x k ＝切，

∴直线l 的斜率1111x x k l -=-

=，∴直线l 的方程为)(1

2111

21x x x x y --=- （2） 方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去y 得，022

211

2=--+

x x x x

Θ M 为PQ 的中点，∴.)(121121012101210

?

??

?

???--=-=+=x x x x y x x x x

消去).0(121

,02

20

01≠++=x x x y x 得 ∴ PQ 中点为M 的轨迹方程为)0(121

2

2≠++

=x x x y 方法二（点差法）由,2

,21,212102

22211x x x x y x y +===

得)())((2

1

21212102121222121x x x x x x x x x y y -=-+=-=

- 则0

11212101,1x x x k x x y y x l -=∴-==--=

。

将上式代入（2）并整理，得).0(121

02

20

0≠++=x x x y ∴

PQ 中点为M 的轨迹方程为)0(121

2

2≠++

=x x

x y 说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。

七、向量法：

例7 、（1995全国理）已知椭圆如图6，162422y x +＝1，直线L ：8

12y x +＝1，P 是L 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2.当点P 在L 上移动

时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线

本题解法较多，是一道有难度的多动点轨迹问题，如果用常规方法求解，其过程曲折，运算繁杂，而利用向量作形与数的转化，由此展开思路，不仅减少运算量，其过程也就变得平坦自然

总结：

以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：

1.高考方向要把握

高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。

2.“轨迹”、“方程”要区分

求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。

3.抓住特点选方法

处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复）。

4.认真细致定范围

确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹

范围时，应注意以下几个方面：

①准确理解题意，挖掘隐含条件；

②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；

③推理要严密，方程化简要等价；

④消参时要保持范围的等价性；

⑤数形结合，查“漏”补“缺”。

5. 平几知识“用当先”

在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：

①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；

②简化条件式；

③转化化归。

6.向量工具“用自如”

向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握，并能运用自如