中考数学专题复习几何压轴题

几何压轴题

1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ；

(2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图②

答案：1；……………………………………………………………………………………………1分

（2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴

AC

DC

BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC

C

D BC C

E '=

'． ∵D C E ECD ''∠=∠,∴,E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '?∽D AC '?.∴

4

5

==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE =

2

1

BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大，

∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO

∴此时E CB '∠=30°，E C '=2

1

BC =2 =CE ．

∴点E '在AC 上，即点E '与点O 重合．∴CO =E C '=2． 又∵CO 最大时，AO 最小，且AO =AC -CO =3．

（如图2）

A

C

B

（如图3）

C

B

（如图1)

（如图3）

C

B

∴332

1

=?=?BM AO S OAB 最小．………………………………………………………………8分

2．点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ?和BCF ?，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．

(1)若ABE ?和FBC ?是等腰直角三角形，且0

90=∠=∠FBC ABE (如图1)，则MBN ?是

三角形．

(2)在ABE ?和BCF ?中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则MBN ?是 三角形，且

=∠MBN .

(3)若将(2)中的ABE ?绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

答案：（1）等腰直角 ………1分

（2）等腰 ………2分 α ………3分 （3）结论仍然成立 ………4分

证明： 在ABF EBC ??和中，BA BE ABF EBC BF BC =??

∠=∠??=?

∴△ABF ≌△EBC.∴AF =CE . ∠AFB =∠ECB .……5分 ∵M ,N 分别是AF 、CE 的中点,∴FM =CN .∴△MFB ≌△NCB. ∴BM =BN . ∠MBF =∠NBC .……6分

∴∠MBN =∠MBF +∠FBN =∠FBN +∠NBC =∠FBC =α.……7分

3．图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C D E '''叠放在一起(C 与C '重合)．

(1)固定△ABC ，将△C D E '''绕点C 顺时针旋转30?得到△CDE ，连结AD BE 、(如图2)．此时线段BE 与

AD 有怎样的数量关系？并证明你的结论；

(2)设图2中CE 的延长线交AB 于F ，并将图2中的△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度

平移，平移后的△CDE 设为△QRP (如图3)．设△QRP 移动(点P Q 、在线段CF 上)的时间为x 秒，若△QRP 与△AFC 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；

图1 图2 图3 图4

(3)若固定图1中的△C D E '''，将△ABC 沿C E ''方向平移，使顶点C 落在C E ''的中点处，再以点C 为中心顺时针旋转一定角度，设()3090ACC αα'∠=?<

答案：（1）BE AD =. ………………………………………………………………1分

证明：如图2，∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形，△C D E '''绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ， ∴△CDE 也是等边三角形，且230∠=?，

∴60ACB DCE ∠=∠=?, ,CA CB CE CD ==. …………………………………2分

∴130∠=?,∴330∠=?,∴23∠=∠.∴△BCE ≌△ACD ， ∴ BE AD =. ……………………………………3分 （2）如图3，设PR RQ 、分别与AC 交于点O L 、.

∵△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移x 秒， 平移后的△CDE 为△PQR ，CQ x ∴=.

由（1）可知60,30PQR PRQ BCA BCF ∠=∠=∠=?∠=?，30ACF ∴∠=?，

30CLQ RLO ∴∠=∠=?.,90LQ CQ x ROL ∴==∠=?.

3QR =,3RL x ∴=-.在Rt ROL △中，11

(3)22

OR RL x =

=-

，cos30(3)2OL RL x =?=-. 213

(3)2ROL S RO OL x ?∴=

=-.…………………………………………………………4分 过点R 作RK

PQ ⊥于点K .

在Rt RKQ △中， sin 60RK RQ =?=，

3

21 图2

(C ')

C D

A B

E

19324

RPQ S PQ RK ?∴=

=. 233393

RPQ ROL y S S x x ??∴=-=-

++. ……………………………………5分 30,60BCF B ∠=?∠=?，90BFC ∴∠=?.

当点P 与点F 重合时，3FQ PQ ==，∵sin606CF BC =?=，∴3CQ =.

∴此函数自变量x 的取值范围是03x ≤≤ . …………………………………………6分 （3）C N E M ''的值不变 . ……………………………………………………7分 证明：如图4，由题意知，54180α∠+∠+∠=?，∴1204α?

∠=-∠，

在CME '?中，61204?

∠=-∠，∴6α∠=∠. 又∵60C E ''∠=∠=?，

∴△E MC '∽△C CN '，∴E M E C

C C C N

''=

''． ∵点C 是C E ''的中点，3C E ''=，∴32E C CC ''==

，

∴3

232

E M

C N '='，∴94C N E M ''=． …………………………………………………8分

4． 以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰

Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置及数

量

关

系．

(1)如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系

是 ，

线段AM 与DE 的数量关系是 ；

(2)将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转?

θ(0<θ<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 答案：（1）DE AM ⊥，1

2

AM DE = （2）结论仍然成立。

证明：如图，延长CA 至F ，使FA=AC ，FA 交DE 于点P ，并连结BF ．

α

654D 'E '

图4

N

C

C '

M

A

B

,BA DA ⊥AF EA ⊥，∴90BAF DAF EAD ∠=?+∠=∠．

在FAB ?与EAD ?中：??

?

??=∠=∠=DA BA EAD BAF AE

FA

??FAB EAD ?(SAS ) .∴BF=DE , AEN F ∠=∠.

∴90FPD F APE AEN ∠+∠=∠+∠=.∴DE FB ⊥ .

又CA=AF, CM=MB ，

∴AM // FB 且AM=

21FB ，∴DE AM ⊥, AM=2

1

DE ． 5． (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =1

2

∠BAD .求证:EF ＝BE ＋FD ;

F

E

D

C

B A

(2) 如图2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =1

2

∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.

(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12

∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 答案：（1）证明：延长EB 到G ，使BG =DF ，联结AG . ∵∠ABG ＝∠ABC =∠D ＝90°, AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF . ∴AG ＝AF , ∠1＝∠2． --------------------1分 ∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF =1

2

∠BAD ． ∴∠GAE =∠EAF ．又AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF . ∴EG ＝EF ． -----------------2分

∵EG =BE +BG ．∴EF = BE ＋FD --------3分 (2)

(1)

中

的

结

论

EF = BE ＋FD 仍然成立.

---------------------------4分

（3）结论EF =BE ＋FD 不成立，应当是EF =BE -FD ．--------------------5分 证明：在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．

∵∠B +∠ADC ＝180°,∠ADF +∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF .∴∠BAG ＝∠DAF ,AG ＝AF ． ∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD =∠EAF

=

12

∠BAD ． ∴∠GAE =∠EAF ．

∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF .∴EG ＝EF ---------------------6分 ∵EG =BE -BG ，∴EF =BE -FD ． ---------------------7分

6． (1)如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，?=∠60ABC ，?=∠120ADC ，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，?=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且?=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．

答案：（1）如图１，延长CD 至E ，使DA DE =．

可证明EAD ?是等边三角形． ……………………………………………1分 联结AC ，可证明BAD ?≌CAE ?． ……………………………………………2分 故BD CE CD DE CD AD ==+=+．……………………………………………3分

图2

图１

图1

图2

（2）如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A '，

可证明C B A '?≌ADB ?，得DB C B ='．…………………………………………4分 ∵ 四边形DP B A '符合（1）中条件，∴ PD AP P B +='．………………………5分 联结C B '，

ⅰ）若满足题中条件的点P 在C B '上，则PC B P C B +'='．∴ PC PD AP C B ++='． ∴ PC PD PA BD ++= ． ……………………………………………6分 ⅱ）若满足题中条件的点P 不在C B '上，

∵ PC B P C B +'<'，∴ PC PD AP C B ++<'．

∴ PC PD PA BD ++<． ……………………………………………7分 综上，PC PD PA BD ++≤． ……………………………………………8分

如图10，在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC>AC ,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2=17,且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2(m -3)=0的两个根. （1）求C 点的坐标；

（2）以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E ，求过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图； （3）在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 与△ABC 全等？若存在，求出符合条件的P 点的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）∵线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2－mx +2(m －3)=0的两个根，

∴???-=?=+） （

2)3(2)1(m OB OA m OB OA 又 ∵OA 2+OB 2=17，

∴（OA+O B ）2－2·OA ·OB =17.（3）

∴把（1）（2）代入（3），得m 2－4(m －3)=17. ∴m 2－4m －5=0.， 解得m =-1或m =5. 又知OA+OB =m >0，∴m =－1应舍去. ∴当m =5时，得方程x 2－5x +4=0. 解之，得x =1或x =4. ∵BC>AC, ∴OB>OA . ∴OA =1，OB =4.

在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CO ⊥AB ， ∴OC 2=OA ·OB =1×4=4. ∴OC =2， ∴ C （0，2）.

（2）∵OA =1，OB =4，C 、E 两点关于x 轴对称，

图10