余角和补角的定义和性质

2
1
3
4
解：∠2与∠4相等。
因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里，我们 用到了“等量减 等量，差相等”。
补角性质： 等角的补角相等
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
∴∠1=∠2
(同角的余角相等）
1 与 2 互 余 , 1 = ( 6 x 8 ), 2 ( 4 x 8 ),
则 1 _ _ _ _ _ , 2 _ _ _ _ _ .
解 ： 1 与 2 互 余
(6 x 8 ) (4 x 8 ) 9 0 x9
1=69+8=62
2=498=28
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
角 的余角是
3
9 ，补角是 0
同一个锐角的补角比余角大
只有锐角才有余角。 4 5 同角的余角（补角）相等；
等角的余角（补角）相等。
180 ,
90 。
探索研究
如图，已知AOB是一直线，OC是∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪 些角相等？
4
2
3
1
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
4
2
1
3
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
4
2
1
3
余角性质： 等角的余角相等
A D
1 O
2
如图∠AOB = 90 °
∠COD = 90 °
则∠1与∠2是什么关系？ B
检测
D E
A
O
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则∠3=
.
2. 2.O为直线AB上的一点，OD平分∠AOB，
∠COE = 90 °
则∠BOC =
， 30 °
∠COD =
。
C
∠DOE B
∠AOE
同角或等角的补角相等
同角或等角的余角相等.
如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并 试着说明理由？
F
G
如图，E、F是直线DG上两点 ∠BEF = ∠BFE ∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
巩固应用
1.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？试着说明 理由？
解： （1）∠1=∠3
∵∠COD=∠EOD=90°
.(
若∠3和∠4互余,
则
.(
)
∠1 + ∠2 =18Biblioteka Baidu °
互补定义 )
互补定义
∠3和∠4互余 ∠3 + ∠4 =90 °
互余定义 互余定义
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
4
1
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
C
答： ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2
（等角的余角相等)
数量 关系
互余 ∠1+∠2=90°
对 应 图 形
2 1
性
质
等角的余角相等
互补 ∠1+∠2=180°
2
1
等角的补角相等．
注意
互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与位置无关。 1
D
A
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°
B
又∵∠2=∠4
2
3
4
1
E
O
∴∠1=∠3 C
（等角的余角相等）
巩固练习 如图∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °∠1与∠2是什么关系？
A
1
O
2
D B
C
解： ∵∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °
∴∠1+∠DOB=90° ∠2+∠DOB=90°
C D
E 1
3 2
4
A
O
B
认真观察下面的图形，回答下列问题： （1）图中有哪几对互余的角？
∠A与∠B互余 ∠A与∠2互余
∠1与∠B互余 ∠1与∠2互余
A
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 说明它们相等的原因。
∠B=∠2 ∠A=∠1
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
C
2
1
B D
A
B
C
DE
解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。 根据题意得： （180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °,
则
.(
)
若∠1和∠2互补,
则
.(∠1和∠2)互补
若∠3 + ∠4 =90 °,则
D
A
B
2
3 4
1
C
E
O
200m 300m
你知道方位角吗？ 北
西北
西
西南 南
东北 东
东南
探究：方位角
（1）正北，正南，正西，正东，
E
西 B
北 D
45°
余角和补角的定义和性质
1
2 1
2 1
互为余角 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余
角，其中一个角是另一个角的余角。
2 1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o 30o
60o
40o
50o 80o
4 3
4
3
4
互为补角 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一
个角是另一个角的补角。
3
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
我来试一试： ∠α 5° 32° 45° 77°
62°23′ x
∠α的余角 85° 58° 45° 13°
27°37′ 90° x
∠α的补角 175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
4
2
1
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
4
1
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2 1
4 3
例3 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
练习
一、填空
1、70°的余角是
，补角是
2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是
。 ，它的补角是
20°
180°- ∠
。 110 ° 90°- ∠
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ） ∠的补角是（180 °—∠ ）
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数。