第2讲 勾股定理逆定理(培优课程讲义例题练习含答案)

勾股定理的逆定理（基础）

【学习目标】

1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；

2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；

3. 理解勾股数的含义；

4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.

【要点梳理】

要点一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角

形是否为直角三角形.

要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1） 首先确定最大边（如c ）.

（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的

直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.

要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222

a b c +>时，此三角形

为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.

要点三、勾股数

满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22

1

21n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n ≥1，n 是自然数）是直角三角形的

三条边长；

（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三

条边长；

【典型例题】

类型一、勾股定理的逆定理 1、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．

（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；

（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34

； （3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；

【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．

【答案与解析】

解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，22

25625c ==，

∴ 222a b c +=．

∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形． （2）∵ a b c >>，222239251141616b c ??+=+=+= ???，2

241639a ??== ???， ∴ 222b c a +≠．

∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．

（3）∵ 0m n >>，

∴ 222m n mn +>，2222

m n m n +>-．

∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++， 22224224()2b m n m m n n =+=++，

∴ 222a c b +=．

∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．

【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22

a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．

举一反三：

【变式】（春?安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）

A.1组

B.2组

C.3组

D.4组

【答案】C.

解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；

②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；

③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；

④72+242=252，∴能组成直角三角形．

故选C ．

2、（春?丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B ＝∠90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积．

【思路点拨】由AB ＝3，BC ＝4，∠B ＝90°，应想到连接AC ，则在Rt △ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．

【答案与解析】

解：连接AC ，在△ABC 中，

因为∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，

所以222223491625AC AB BC =+=+=+=，所以AC ＝5，

在△ACD 中，AD ＝13，DC ＝12，AC ＝5，

所以2222225122514416913DC AC AD +=+=+===，

即222DC AC AD +=．

所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°．

所以1

122ABC ACD ABCD S S S AB BC AC DC =+=+△△四边形

113451222

=??+??63036=+=．

【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察．

类型二、勾股定理逆定理的应用

3、已知：,,a b c 为ABC ?的三边且满足222

338102426a b c a b c +++=++，试判断ABC ?的形状.

【答案与解析】

解：∵222338102426a b c a b c +++=++

∴0338262410222=+-+-+-c c b b a a

0)13()12()5(222=-+-+-c b a

∴5,12,13a b c ===，2

22c b a =+

∴△ABC 是直角三角形.

【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.

举一反三：

【变式】请阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．

解：

∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4， 第一步

∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）， 第二步

∴c 2=a 2+b 2， 第三步

∴△ABC 为直角三角形． 第四步

问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误： _________ ；

（2）错误的原因是： _________ ；

（3）本题正确的结论是： _________ ．

【答案】

解：（1）第三步；

（2）方程两边同时除以（a 2﹣b 2）时，没有考虑（a 2﹣b 2）的值有可能是0；

（3）∵c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）

∴c 2=a 2+b 2或a 2﹣b 2=0

∵a 2﹣b 2=0

∴a +b =0或a ﹣b =0

∵a +b ≠0

∴c 2=a 2+b 2或a ﹣b =0

∴c 2=a 2+b 2或a =b

∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．

4、（?秦皇岛校级模拟）如图，铁路MN 和铁路P Q 在P 点处交汇，点A 处是第九十四中学，AP=160米，点A 到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．

（1）火车在铁路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．

（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？

【思路点拨】（1）过点A作AE⊥MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE=80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；

（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可．

【答案与解析】

解：（1）会受到影响．

过点A作AE⊥MN于点E，

∵点A到铁路MN的距离为80米，

∴AE=80m，

∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，

∴学校会受到影响；

（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中，

∵AB=100m，AE=80m，

∴BE===60m，

∴BC=2BE=120m，

∵火车的速度是180千米/时=50m/s，

∴t===2.4s．

答：学校受到影响的时间是2.4秒．

【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．