圆锥曲线离心率题型(最新整理)
圆锥曲线的离心率题型解析
华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚 朱新婉
圆锥曲线的的离心率是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线e 的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题有所帮助.
类型一：离心率的定义
例1 （2014湖北卷） 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且21,F F P ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
02160=∠PF F . ． ．334.A B 3
32C 3D 2
分析：既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离21F PF ?心率所需的“”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点.
c a 2,2解析：不妨设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，椭圆、)(,,21n m n PF m PF >==1a 2a 双曲线的离心率分别为，则由椭圆、双曲线的定义，得，，21,e e 12a n m =+22a n m =-平方得-------①， ------②，
212242a n mn m =++222242a n mn m =+-又由余弦定理得---------③，
2224c n mn m =+-由①②③消去得，即
.mn 2222143c a a =+4312221=+e e 再据平面向量不等式的坐标表示得
222)(?≤?22
122133111()11(e e e e ?+?=+316)31)(311(2221=++≤e e
所以.故选.3
341121≤+e e A 评注：圆锥曲线的离心率的定义是解决离心率问题的基础，值得注意的是，椭圆离心率a c e =
)1,0(∈e ；抛物线的离心率；双曲线的离心率.
1=e ),1(+∞∈e 类型二：离心率的几何意义
例支各一个交点，求的取值范围.
k
分析：双曲线离心率决定了双曲线的分布与形状，另外直线中的几何意义明显（直e 3:+=kx y l k 线陡峭程度），故本题可用数形结合求解.
且斜率为的直线与曲线的左右支各一个交点，直线必须绕在两直线)3,0(k 3:+=kx y l C l )3,0(
评注：离心率是圆锥曲线的特征数，它确定了圆锥曲线形状、分布等（做双曲线先画渐近线），借e 助这一几何意义，往往为“数形结合”解题带来便利.聪明的读者，在什么范围时，直线与双曲线k l 的右支（或左支）有两个交点呢？
C 类型三：求离心率的值
分析：求圆锥曲线的离心率，一般要根据已知条件（如等量关系、几何图形的特征等）建立关于c b a ,,
评注：有没有注意到条件，涉及到最终答案的取舍，也是能不能准确求解本题的关键.0>>b a 类型四：求离心率的范围
例4（2016浙江）如图，设椭圆)1(1222>=+a y a
x （Ⅰ）求直线被椭圆截得到的弦长（用表示）；
1+=kx y k a ,（Ⅱ）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围.)1,0(A 分析：求圆锥曲线的离心率取值范围，就是列出关于的不等关系，再解不等式.
e c b a ,,,解析：（I ）设直线被椭圆截得的线段为，由得1y kx =+AP ?????=++=1122
2y a x kx y
，故，．02)1(2
222=++kx a x k a 01=x 222212k a k a x +-=因此．
22222121121k k a k
a x x k AP ++=-+=（II ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点满足4y Q P ,．记直线的斜率分别为，且．
AQ AP =AQ AP ,21,k k 2121,0,k k k k ≠>且由（I ）知，，，2121
21
2112k k a k a AP ++=2222222112k k a k a AQ ++=故，=++2222
22
2112k k a k a 2222222112k k a k a ++所以，
0])2(1)[(22212222212221=-+++-k k a a k k k k 由于，得，
2121,0,k k k k ≠>且0)2(12221222221=-+++k k a a k k 因此.)2(1)11)(11
(222221-+=++a a k k 因为，所以关于的方程有解的充要条件是，
1)11)(11
(2221>++k k 21,k k 1)2(122>-+a a
则为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，
a >)1,0(A 31a <≤则．]22,0(11122∈-=-==a a a a
c e 评注：一般地，建立关于的不等式的方法主要有：利用题设指定条件、圆锥曲线的定义、圆锥c b a ,,曲线的方程（如参数方程）、圆锥曲线的性质（如范围）、二次方程的判别式、不等式等． 类型五： 与离心率有关的定值
例5（2014江西）如图，已知双曲线的右焦点，点分别在曲线的两)0(1:222>=-a y a
x C F B A ,C 条渐近线上，轴， (为坐标原点）.(1)求双曲线的方程；
x AF ⊥OA BF OB AB //,⊥O C (2)过曲线上一点的直线与直线相交于点，与直线C )0)(,(000≠y y x P 1:020=-y y a
x x l AF M
相交于点，证明点在曲线上移动时，恒为定值，并求此定值.23=x N P C NF
MF 分析：本题第二问的位置不影响的值，宜采用直接证明法，即先求出)0)(,(000≠y y x P NF MF N M ,的坐标，用距离公式代入检验即可.值得提醒的是直线为双曲线过点的的切线，1:
020=-y y a x x l P 而直线为双曲线的一条“准线”.2
3=x 解析:（1）设，因为，所以)0,(c F 1=b 12+=
a c 直线方程为，直线BF 的方程为，解得，OB x a y 1-=)(1c x a y -=)2,2(a
c c B -又直线的方程为，则，.OA x a y 1=),(a c c A a
k AB 3=又因为，所以，解得，故双曲线的方程为.OB AB ⊥1)1(3-=-a a 32=a C 13
22
=-y x （2）由（1）知，则直线的方程为，即，3=a l 1300=-y y x x 0
033y x x y -=因为直线的方程为，所以直线与的交点，AF 2=x l AF )332,2(00y x M -直线与直线的交点为，则，l 23=x )3323,23(0
0y x N -])2([9)32(420202022-+-=x y x NF MF 因为是上一点，则，)0)(,(000≠y y x P C 13
2020=-y x 代入上式得，则所求定值为.3
4])2([9)32(420202022=-+-=x y x NF MF e NF MF ==332评注：与圆锥曲线离心率有关的定值问题有很多，其中教材有经典例题，那就是圆锥曲线的“统一定
义”.依据统一定义可得：椭圆上任意一点到右焦点（或左)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C )0,(1c F ）的距离与到直线（右准线）（或（左准线））的距离之比为椭圆离心率；)0,(2c F -c a x 2=c
a x 2-=e 双曲线上任意一点到右焦点（或左）的距离与到直)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C )0,(1c F )0,(2c F -线（右准线）（或（左准线））的距离之比为离心率.c a x 2=c
a x 2
-=e 圆锥曲线的离心率问题是数学中的一类典型问题，一般要涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，往往综合性强且方法灵活，从上可以看出，解决圆锥曲线离心率问题，定义是基础、运算是关键、建立关于间的关系（等或不等）是解题突破口.只有审清题意，认真推演，才能准c b a ,,确作答.
应对训练
1、（2016天津）设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，13222=+y a x )3(＞a F A FA
e OA OF 311=+其中为原点，为椭圆的离心率. 求椭圆的方程.
O e 2、（2016山东）已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x E ABCD E 的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______.
CD AB ,E BC AB 32=E
3、已知斜率为的直线两点，且的中点为1l B A ，AB ，求双曲线的离心率.
)3,1(C C 4、 设为椭圆的两焦点，若上存在点，使得，求21,F F )0(1:2222>>=+b a b
y a x C P 02190=∠PF F 椭圆离心率的范围.
5 如图，在等腰梯形中，，且，设，以为
ABCD CD AB //AD AB 2=2,0(,π
θθ∈=∠DAB B A ,焦点，且过的双曲线的离心率为，以为焦点，且过的椭圆的离心率为，则D C ,1e D C ,B A ,2e （ ）
（A ）随着的增大，增大，为定值 （B ）随着的增大，减小，为定值
θ1e 21e e θ1e 21e e （C ）随着的增大，增大，为增大 （D ）随着的增大，减小，为减小θ1e 21e e θ1e 21e e 参考答案
1、2
2
143x y += 2、 3、 4、 5、（）22)1,22
[∈e B