学而思-小升初专项训练--比例百分数篇-教师版演示教学

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名校真题测试卷9 （比例百分数篇）

时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________

1 （06年清华附中考题）

甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是________元.

2 （05年101中学考题）

100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？

3（06年实验中学考题）

有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是升。

4 （06年三帆中学考题）

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有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍。这两堆煤共重（）吨。

5 （03年人大附中考题）

一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，开始时黑棋子，求白棋子各有多少枚？

【附答案】

1 【解】：设方程：设甲成本为X元，则乙为2200-X元。根据条件我们可以求出列出方程：90%×[（1+20%）X+(1+15%)(2200-X)]-2200=131。解得X=1200。

2 【解】：转化成浓度问题

相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：100×（1-99%）=（1-98%）X，解得X=50。

方法二：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98％的干蘑菇加水后得到99％的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问题了。但要注意，10千克的标注应该是含水量为99％的重量。将100千克按1∶1分

配，如下图：

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所以蒸发了100×1/2=50升水。

3 【解】此题的关键是抓住不变量：差不变。这样原来两桶水差13-8=5升，往两个桶中加进同样多的水后，后来还是差5升，所以后来一桶为5÷（7-5）×5=12.5，所以加入水量为4.5升。

4 【解】从甲堆运12吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重12×2=24吨，这样乙堆运12吨给甲堆，说明现在甲乙相差就是24+24=48吨，而甲堆煤就是乙堆煤的2倍，说明相差1份，所以现在甲重48×2=96吨，总共重量为48×3=144吨。

5 【解】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1（=10：5）变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份。这样原来黑棋=45÷9×10=50，白棋=45÷9×5+15=40。

第九讲小升初专项训练比例百分数篇

这一讲主要涉及比例的意义和性质，按比例分配，正反比例等几个知识。

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在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．

成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）。在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如：

成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．

经济浓度问题

这一节的内容与生活实际联系很紧密，在浓度问题中要理解好溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量之间的关系。而经济问题中，则要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系。

1 分数百分数应用题

【例1】（★★）某班有学生48人，女生占全班的37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生？

【解】这是一道变换单位“1”的分数应用题，需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度问

题做，就简单多了。

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浓度差之比1∶24 重量之比 24∶1 48÷24×1=2人

方法二：男生原来有48×（1-37.5％）=30，来了女生后男生的人数书不变的，所以后来全班的总人数就是30÷（1-40％）=50，所以增加的2人就是转来的女生人数。

【例2】（★★）把一个正方形的一边减少 20％，另一边增加2米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？

【解】设正方形的边长是“1”.

因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了 20％，另一边将增加

所以正方形的边长是 2÷25％＝8（米）.

正方形的面积是 8×8＝ 64（平方米）.

【例3】（★★★）学校男生人数占45％，会游泳的学生占54％。男生中会游泳的占72％，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？

【解1】在全体学生中，不会游泳的女生占33.4％.

在全体学生中，会游泳的男生占 45％×72％＝32.4％.

在会游泳的学生中，男生占 32.4％÷54％×100％＝ 60％

在全体学生中，不会游泳的女生占（100％-45％）-54％×（1-60％）＝33.4％.

【解2】画一个图非常清楚。

【例4】某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的1/3与原二班的

1/4组成新一班，将原一班的1/4与原二班的1/3组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？

【解】：原一班的1/3与原二班的1/4 + 原一班的1/4与原二班的1/3=7/12总人数，余下1-7/12=5/12，是30人，所以总人数=30/（5/12）=72人；72-30=42人，新一班与新二班的人数和为42人，新一班的人数比新二班的人数多10%，新一班人数：新二班人数=11：10，即原一班的（1/3-1/4）=1/12比原二班的1/12多2人，原一班比原二班共多12×2=24人，所以，原一班有24+（72-24）/2=48人。

答：原一班有48人。

2 比和比例

【例5】（★★★）一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘

米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？

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画出图便于解题：

【解1】：BC 的长：182÷13＝14（厘米），

BD 的长：14＋13＝27（厘米），

从图中看出AB 长就是原长方形的宽，AD 与AB 的比是14∶5，

AB 与BD 的比是

5∶（14－5）＝5∶9，

原长方形面积是42×15＝630（平方厘米）。

答：原长方形面积是630平方厘米。

【解2】：设原长方形长为14x ，宽为5x ．由图分析得方程

（14x －13）×13－5x×13＝182，

9x ＝27，

x ＝3。 则原长方形面积 （14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）。

【拓展】已知长方形的周长为346米，若边长分别增加2米，则面积增加多少平方米？ 设两边长分别为a 、b ，这样增加的面积我们可以分为一个2×2的正方形，一个2×a 的长方形，一个2×b 的长方形，所以增加的面积就是2×（a+b ）+2×2=350平方米。

【例6】（★★★）有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2∶5。现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由

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一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（左下图），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（右下图），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？

【解】4∶3。设竖式纸盒有a 个，横式纸盒有b 个，则共用长方形纸板（4a ＋3b ）块，正方形纸板（a ＋2b ）块。根据题意有：

（a ＋2b ）∶（4a ＋3b ）＝2∶5，即5（a ＋2b ）＝2（4a ＋3b ），解得a ∶b ＝4∶3。

【例7】（★★★）某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4∶3.结果录取91

人，其中男生与女生人数之比是8∶5.未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3∶4.问报考的共有多少人？

【解1】报考人数是119人，

录取学生中男生：91×

8

58 =56人，女：91-56=35（人）. 先将未录取的人数之比3：4变成4：4×34，又有56×34＝42（人）

未录取男生 4 × 3= 12（人），女生 16（人）。

报考人数是 （56+ 12）+ （35 + 16）= 119（人）。

【解2】

(56+3x)：（35+4x）=4：3 得：X=4

未录取男生4 × 3= 12（人），女生 16（人）。

报考人数是（56+ 12）+ （35 + 16）= 119（人）。

【例8】（★★★）幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班中男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？

【解】[方法一]：鸡兔同笼

[思路]：由于男女生有比例关系，而且知道总数，所以我们可以用鸡兔同笼。

解：假设18名女生全部是大班，则

大班男生数：女生数=5:3=30：18，即男生应有30人，

实际男生有32人，32-30=2，相差2个人；

中班男生数：女生数=2:1=6：3，

以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，需要换2组；

所以，大班女生有18-3×2=12个。

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答：大班有女生12名。

[方法二]：份数

[思路] ：可以把中班女生数看作“1”份，那么中班男生数为2份．从而大班中的男生

数为32—2份，大班里的女生人数是18—1份．根据题意有(32—2份)：(18—1份)=5：

3，只要求出1份的数目即可。

解：设中班女生数看作“1”，(32—2份)：(18—1份)=5：3，求出一份是6人

所以大班的女生则有18—6=12人．

答：大班有女生12名。

3经济浓度问题

【例9】（★★）某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？

【解】设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3.其中

80％的卖价是 1.3×80％，

20％的卖价是 1.3÷2×20％.

因此全部卖价是 1.3×80％＋1.3 ÷ 2×20％＝ 1.17.

实际获得利润的百分数是 1.17－1＝ 0.17＝17％.

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【例10】（★★★）A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水 10克倒入 A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从 B中取出 10克倒入 C中。现在 C中盐水浓度是 0.5％。问最早倒入A中的盐水浓度是多少？

【解】最早倒入A中的盐水浓度为 12％。

B中盐水的浓度是（30 ＋ 10）×0.5％÷10×100％=2％。

现在A中盐水的浓度是（20＋10）×2％÷10×100％＝ 6％。

最早倒入A中的盐水浓度为（10＋10）×6％÷10=12％。

【例11】（★★★）小明到商店买红、黑两种笔共66支。红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元。由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85％付钱，黑笔按定价80％付钱，如果他付的钱比按定价少付了18％，那么他买了红笔多少支？

【来源】北京市第14届迎春杯数学竞赛初赛试题

【解】浓度倒三角的妙用：

红笔按85％优惠，黑笔按80％优惠，结果少付18％，相当于按82％优惠，可按浓度问题进行配比。与其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。然后就可以按比例分配这66支笔了。

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【例12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋

每双利润为24元。每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元。最低档次的皮鞋每天可生

产180双，提高一个档次每天将少生产9双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利

润最大？最大利润是多少元？

【解】第9档次；7776元。

由题意，生产第n（n=1，2，…，10）档次的皮鞋，每天生产的双数为189－9n=9×（21－n）双，每双利润为18＋6n=6×（3＋n）（元），所以每天获利润［6×（3＋n）］×［9×［（21－n）］=54×（3＋n）×（21－n）元。

两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大。上式中，因为（3+n）与（21－n）的和是24，而n=9时，（3＋n）与（21－n）都等于12，所以每天生产第9档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是54×（3＋9）×（21－9）＝7776（元）。

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）分数百分数应用题参见例1，2，3，4

2）比和比例参见例5，6，7，8

3）经济浓度问题参见例9，10，11，12

（注：作业题--例题类型对照表，供参考）

题1—类型1；题2，4，5，6，8—类型4；题3，7—类型5

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1、（★★★）某中学，上年度高中男、女生共290人.这一年度高中男生增加4％，女生增加5％，共增加13人.本年度该校有男、女生各多少人？

【解】男生156人，女生147人。

如果女生也是增加 4％，这样增加的人数是290×4％＝11.6（人）.比 13人少 1.4人.因此上年度是1.4÷（5％- 4％）＝140（人）.本年度女生有

140×（1＋5％）＝ 147（人）.

2、（★★★）在下图中AB，AC的长度是15，BC的长度是9.把BC折过去与AC重合，B点落在E点上，求三角形ADE与三角形ABC面积之比.

【解】1∶4.三角形ADE与三角形EDC面积之比是（15-9）∶9.

3、（★★★）成本 0.25元的练习本 1200本，按 40％的利润定价出售。当销掉80％后，剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的 86％，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？

【解】打了8折.

先销掉 80％，可以获得利润0.25×40％×1200×80％＝ 96.按86％获得利润0.25×40％

×1200×86％=103.2.因此，出售剩下的20％，要获得利润

103.2-96=7.2（元），

每本需要获得利润

7.2÷（1200× 20％）= 0.03（元）。

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现在售价是 0.25＋ 0.03＝ 0.28（元），定价是

0.25×（1＋ 40％）＝ 0.35（元）。售价是定价的0.28÷ 0.35=80％。

4、（★★★）甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的1

4

，如果甲给乙

20本，那么乙比甲多的数量恰好是两人总数的1

6

。那么他们共有多少本书？

【解】甲比乙多的数量恰好是两人总数的1

4

，把差1份，和4份，用和差问题来算一下，

大数为:(4+1)/2=2.5,小数:(4-1)/2=1.5, ,得甲是2.5份,乙是1.5份,甲与乙的比是5:3. 同理,甲给乙20本后,甲与乙的比是5：7，思考一下为什么是5：7，不要把前后项颠倒了。因为甲给乙20本书，甲减少多少，乙就增加多少，甲乙两人共有书的总数不变，我

们就把和的份数统一一下，在这里8与12的最小公倍数是24份：

5：3=15：9

5：7=10：14

观察比较甲从15份变为10份，是因为少了20本书，因此每份是4本，共有书就为4×（15+9）=96本。

5、（★★★）甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5∶4.求甲、乙、丙三人所有的图书数之比.

【解】3∶5∶4.

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（108+18）÷（5 + 5+ 4）= 9

甲、乙、丙三人图书数之比是

（9×5-18）∶（9×5）∶（9×4）=3∶5∶4。

6、（★★★）一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起

，第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体积之比。

【解】三种球体积之比是2∶8∶11.

设小球体积是1.当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球体积来计算溢出的水量.

小球时，容器中已经空出体积1，因此中球的体积是3+1=4.

未取出中球时，水是满的，取出中球后，容器空出体积4.再沉入小球和大球溢出水量是2.5，小球和大球的沉入，水又是满了，因此小球和大球的体积是4+2.5=6.5，而大球的体积是6.5-1=5.5.

三个球的体积之比是

1∶ 4∶ 5.5= 2∶ 8∶ 11.

7、（★★）某种密瓜每天减价20％.第一天妈妈按定价减价20％买了3个密瓜，第二天妈妈又买了5个密瓜，两天共花了42元.如这8个密瓜都在第三天买，问要花多少钱？

【解】第三天买，只要30.72元.

每个密瓜原来定价是

42÷[（1-0.2）×3+（1-0.2）×（1-0.2）×5）]=7.5（元）.

第三天买每个价格是

7.5×0.8× 0.8 ×0.8= 3.84（元）.

3.84×8=30.72（元）.

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8. （★★★★）袋子里红球与白球数量之比是19：13。放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5：3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13：11。已知放入的红球比白球少80只，那么原先袋子里共有多少只球？

【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干只白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比较。

红白

原来 19 ：13=57：39

加红 5 ： 3=65：39

加白 13 ：11=65：55

原来与加红球后的后项统一为3与13的最小公倍数为39，再把加红与加白的前项统一为65与13的最小公倍数65。观察比较得出加红球从57份变为65份，共多了8份，加白球从39份变为55份，共多了16份，可见红球比白球少加了8份，也就是少加了80只，每份为10只，总数为（57+39）×10=960只。

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