灰色关联度分析解法及详细例题解答

灰色关联度分析解法及详细例题解答

1.地梭梭生长量与气候因子的关联分析

下表为1995年3年梭梭逐月生长量（X0）、月平均气温（X1）、月降水量（X2）、月日照（X3）时数和月平均相对湿度（X4）的原始数据，试排出影响梭梭生长的关联序，并找出主要的影响因子。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X0(cm) 0.01 0.5 1.5 10.8 13 16.3 18 19.3 14.8 10.3 8 1

X1(℃) 4.2 7.4 10 16.1 21.1 23.9 24.7 24.5 22 18 13.1 6.8 X2(mm) 17 10.8 17.4 19.7 248.7 72.2 96.9 269.5 194.8 58.1 4.9 12.6 X3(hour) 54.5 73.8 84.7 137 149.6 109.5 101.6 164.6 81.6 84 79.3 66.5 X4(%) 81 79 75 75 77 79 83 86 83 82 81 82

灰色系统理论提出了灰色关联度的概念，它是提系统中两个因素关联性大小的量度，关联度的大小直接反映系统中的各因素对目标值的影响程度。运用灰色关联分析法进行因素分析的一般步骤为：

第一步：确定分析数列。

确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。（Y）设参考数列（又称母序列）为Y = {Y （k）| k = 1，2，Λ，n}；影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。（X）比较数列（又称子序列）Xi = {Xi（k）| k = 1,2,Λ,n}，i = 1，2，Λ，m。

第二步，变量的无量纲化

由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此为了保证结果的可靠性，在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。

第三步，计算关联系数。X

0（k）与x

i

（k）的关联系数

记，则

，称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为(0,1),具体取值可视情况而定。当时，分辨力最好，通常取ρ = 0.5。

ξi（k）继比较数列xi的第k个元素与参考数列xo的第k个元素之间的关联系数。

第四步，计算关联度

因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式如下：

第五步，关联度排序

关联度按大小排序，如果r1 < r2，则参考数列y与比较数列x2更相似。

在算出Xi（k）序列与Y（k）序列的关联系数后，计算各类关联系数的平均值，平均值ri就称为Y（k）与Xi（k）的关联度。

本题解答过程：

第一步：数据处理

X 0（k）= {0.01，0.5，1.5，10.8，13，16.3，18，19.3，14.8，10.3，8，1 } X 1（k）= {4.2，7.4，10，16.1，21.1，23.9，24.7，24.5，22，18，13.1，6.8 }

X 2（k）= {17，10.8，17.4，19.7，248.7，72.2，96.9，269.5，194.8，58.1，4.9，12.6 }

X 3（k）= {54.5，73.8，84.7，137，149.6，109.5，101.6，164.6，81.6，84，79.3，66.5 }

X 4（k）= {81，79，75，75，77，79，83，86，83，82，81，82}

x0-x1 x0-x2 x0-x3 x0-x4

-4.19 -16.99 -54.49 -80.99 -6.9 -10.3 -73.3 -78.5 -8.5 -15.9 -83.2 -73.5 -5.3 -8.9 -126.2 -64.2 -8.1 -235.7 -136.6 -64 -7.6 -55.9 -93.2 -62.7 -6.7 -78.9 -83.6 -65 -5.2 -250.2 -145.3 -66.7 -7.2 -180 -66.8 -68.2 -7.7 -47.8 -73.7 -71.7 -5.1 3.1 -71.3 -73 -5.8 -11.6 -65.5 -81

第二步：计算关联系数

0min min ()()i x k x k -=|-8.5，-250.2，-145.3，-81︳= 250.2 0max max ()()i x k x k -=|-4.19，3.1，-65.5，-62.7︳= 65.5

ρ，称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为(0,1),具体取值可视情况而定。通常取ρ = 0.5。

ξi （k ）继比较数列xi 的第k 个元素与参考数列xo 的第k 个元素之间的关联系数。

0000min min ()()max max ()()

()()()max max ()()

i i i i i x k x k x k x k k x k x k x k x k ρερ-+-=

-+-

=

250.2+0.5⨯65.5

|x0(k )−xi(k)|+0.5⨯65.5

= 282.7

|x0(k )−xi(k)|+32.75

将相应0()x k 与()i x k 的数值代入式min max

max

()i k ερ∆+∆=

∆+∆中，得

ε1 7.652951 7.129887 6.853333 7.429698 6.920441 7.006196 7.166033 7.449275 7.076345 6.988875 7.468956 7.333333

ε2

5.683554

6.566783 5.810894 6.787515 1.053083 3.188945 2.53202

0.999116 1.32879

3.509621 7.885635 6.374295