圆与方程高考历年真题

圆与方程高考真题精选

2009年考题

1.（2009辽宁）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，

则圆C 的方程为（ ）

（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=

【解析】选B.圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.

2.（2009浙江）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S ，故其内切圆半径为r=345

12

+-=,当该圆运动时，最多与直角三角形S 的两边也有4个交点。

3.（2009上海）.过圆22(1)(1)1C x y -+-=：

的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于

点A 、B ，AOB ?被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足

|||,S S S S I ∏+=+￥

则直线AB 有（ ）

（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条

【解析】选B.由已知，得：,IV II III I S S S S -=-，第II ，IV 部分的面积是定值，所以，

IV II S S -为定值，即,III I S S -为定值，当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位

置符合题意，即直线AB 只有一条，故选B 。

4.（2009湖南）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）

（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1 （C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=1

【解析】选B.设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有11

1022111a b b a -+?--=???-?=-?+?

， 解得：2

2a b =??

=-?

，对称圆的半径不变，为1，故选B. 5.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为60?的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为

（A ）3 （B ）2 （C ）6 （D ）23 【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程为

22

2230,243021,R 24123

31

x y x y d d -=+-=?-=

=-=-+圆（）的圆心（0，2）到直线的距离为

因此弦长为2

6.（2009重庆高考）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离

【解析】选B.圆心(0,0)为、到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2

22

d =

=，而2

012

<

<，选B 。 7.（2009重庆高考）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）

A ．22(2)1x y +-=

B ．22(2)1x y ++=

C ．22(1)(3)1x y -+-=

D ．22(3)1x y +-=

【解析】选A.方法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b ，2(01)(2)1b -+-=，

解得2b =，

故圆的方程为22(2)1x y +-=。

方法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=

方法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。

8.（2009上海高考）过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( )

（A ）0=x . （B ）1=y . （C ）01=-+y x . （D ）01=+-y x . 【解析】选C.点)1,0(P 在圆03222=--+x y x 内，圆心为C （1，0），截得的弦最长时的直线为CP ，方程是11

1

x

y

+

=，即01=-+y x 。 9. （2009广东高考）以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 .

【解析】将直线6x y +=化为60x y +-=,圆的半径112

r ==+, 所以圆的方程2225(2)(1)2

x y -++= 答案:2225(2)(1)2

x y -++=

10. （2009天津高考）若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为23

则=a ___________。

【解析】由知22260x y ay ++-=的半径为26a +，由图可知222)3()1(6=---+a a 解之得1=a 答案:1.

11.（2009全国Ⅱ）已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为

(

M ,

则四边形ABCD 的面积的最大值为 。

【解析】设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+.

四边形ABCD 的面积1||||2

S AC BD =?=答案:5.

12.（2009全国Ⅱ）已知圆O ：522=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=2

1-(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和2

5，所以所求面积为4

2552521=??。 答案:

25

4

13. （2009湖北高考）过原点O 作圆x 2+y 2－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分

别为P 、Q ，

则线段PQ 的长为 。

【解析】可得圆方程是22(3)(4)5x y -+-=又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ = 答案:4

14.（2009四川高考）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，

且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 . 【解析】由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5<

525)52()5(222±=?=+=m m ，∴45

20

52=??

=AB 。

答案:4.

15.（2009福建高考）已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:12cos 22sin x y θ

θ=-+??=+?

(θ为参数 )试判断他们的

公共点个数.

【解析】圆的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=. 其圆心为(1,2)C -,半径为2. 圆心到直线的距离

7

25

d =

=< 故直线与圆的公共点个数为2. 答案：2

16.（2009海南、宁夏高考）已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+? （t 为参数）， C 2：8cos ,

3sin ,

x y θθ=??

=?（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2

t π

=，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到

直线

332,

:2x t C y t =+??

=-+?

（t 为参数）距离的最小值。 【解析】（Ⅰ）22

2

2

12:(4)(3)1,: 1.649

x y C x y C ++-=+=

1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.

2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭

圆.

（Ⅱ）当2

t π

=

时，3(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2

P Q M θθθθ--++故

3C 为直线3270,|4cos 3sin 13|.5

x y M C d θθ--==

--到的距离

从而当43cos ,sin 55θθ==-时，85

.5

d 取得最小值

17.（2009江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆

222:(4)(5)4C x y -+-=.

（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。

【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。 (1)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即

40kx y k --=

由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离

22

232(

)12

d =-=， 结合点到直线距离公式，得：

2

|314|

1,1

k k k ---=+

化简得：272470,024

k k k k +===-或 求直线l 的方程为：0y =或7

(4)24

y x =--， 即0y =或724280x y +-=

(2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：

1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：11

0,0kx y n km x y n m k k

-+-=--++=

因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。

故有：2

241|5|

111n m k k k k

--++=++，

化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或

关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=????

--=??

m-n+8=0

或m+n-5=0 解之得：点P 坐标为313(,)22

-或51(,)2

2

-。

2008年考题

1、（2008山东高考）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是

（ ）

A ．22

7

(3)13

x y -+

-=（） B ．22(2)(1)1x y -+-=

C ．22(1)(3)1x y -+-=

D ．

2

23

(1)12x y -+-=（） 【解析】选B.设圆心为(,1),a 由已知得|43|1

1,2().52

a d a -==∴=-舍

2、（2008广东高考）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）

A ．x ＋y ＋1＝0

B ．x ＋y －1＝0

C ．x －y ＋1＝0

D ．x －y －1

＝0

【解析】选C.易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，

将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为

10x y -+=（或由图象

快速排除得正确答案）。

3、（2008山东高考）已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为

（ ）

A ．106

B ．206

C ．306

D ．406

【解析】选B 。将方程化成标准方程22(3)(4)25x y -+-=，过点(3,5)的最长弦（直径）为10,AC =

最短弦为2225146,BD =-=1

20 6.2

S AC BD =?= 4、（2008全国Ⅰ）若直线b

y

a

x

+

＝1与圆122=+y x 有公共点，则（ ） A ．122≤+b a B ．122≥+b a C ．11122≤+b a D ．11

122≥+b

a

【解析】选D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：d r ≤，

221111

()()d a b

-=

≤+，2211

()()1a b

+≥．

5、（2008安徽高考）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l

的斜率的取

值范围为（ ）

A ．[3,3]-

B ．(3,3)-

C ．33

[,]33

-

D ．33(,)33

-

【解析】选C.方法一：数形结合法（如图） 另外，数形结合画出图象也可以判断C 正确。 方法二：利用距离与半径的关系

点()4,0A 在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为(4)y k x =-， 即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径 2

2411

k k d k -=

≤+，

得222141,3

k k k ≤+≤

33k -≤≤. 6、（2008上海高考）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含

边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点(,)P x y 、(,)P x y ''满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）

A ．?

AB B ．?AB C ．?AB D ．?AB 【解析】选D.由题意知，若P 优于P '，则P 在P '的左上方，

∴当Q 在 上时，左上的点不在圆上，

∴不存在其它优于Q 的点， ∴Q 组成的集合是劣弧。

7、（2008天津高考）已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，

且6AB =，则圆C 的方程为 ． 【解析】本小题主要考查直线方程中的对称．．问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识．

由已知可求圆心的坐标为(0,1)-，所以2

2

2

2

(411)3185

r --=+=，圆的方程为22(1)18x y ++=．

答案:22(1)18x y ++=

8、（2008宁夏海南高考）已知,m ∈R 直线m y m mx l 4)1(:2=+-和圆

01648:22=++-+y x y x C .

（Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；

（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为2

1

的两段圆弧？为什么？ 【解析】（Ⅰ）22

,0()1

m

k km m k m =

∴-+=*+Q ， ,m ∈R Q ∴当k ≠0时0?≥，解得11

22

k -≤≤且k ≠0

又当k ＝0时，m ＝0，方程()*有解，所以，综上所述1122

k -≤≤

（Ⅱ）假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为2

1的两段圆弧．设直线l 与圆C 交

于A ，B 两点

则∠ACB ＝120°．∵圆22:(4)(2)4C x y -++=，∴圆心C （4，-2）到l 的距离为1．

故有

1=，整理得423530m m ++=．

∵254330?=-??<，∴423530m m ++=无实数解．

因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为2

1

的两段圆弧．

9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C ． （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论． 【解析】（Ⅰ）令x =0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b ）

令f (x )=0，得x 2+2x +b =0，由题意b ≠0且△>0，解得b <1且b ≠0 （Ⅱ）设所求圆的一般方程为x 2+ y 2+D x +E y +F=0

令y =0，得x 2+D x +F=0，这与x 2+2x +b =0是同一个方程，故D=2，F=b 令x =0，得y 2+ E y +b =0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1 所以圆C 的方程为x 2+ y 2+2x -(b +1）y +b =0 （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1），（-2，1）

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b +1）×1+b =0，右边=0

所以圆C 必过定点（0，1）； 同理可证圆C 必过定点（-2，1）．

10、（2008北京高考）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=o 时，求菱形ABCD 面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．

由2234x y y x n

?+=?=-+?，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上， 所以212640n ?=-+>

，解得33

n -

<<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，

，， 则1232

n

x x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．

所以122

n

y y +=

． 所以AC 的中点坐标为344n n ??

???

，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ??

??

?，在直线1y x =+上， 所以314

4

n

n

=

+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o ， 所以AB BC CA ==． 所以菱形ABCD

的面积2

S AC =

．

由（Ⅰ）可得22

2

2

1212316

()()2

n AC x x y y -+=-+-=，

所以234343(316)S n n ??

=

-+-<< ? ??

?． 所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值43．

11、（2008湖北高考）如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，

OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=?，曲线C 是满足

||||||MA MB -

为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．22，求直线l 斜率的取值范围.

【解析】（Ⅰ）方法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得

｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝222

2(23)123122++--+（）＝＜｜AB ｜＝4.

∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，

则c ＝2，2a ＝22，∴a 2

=2,b 2

=c 2

-a 2

=2.∴曲线C 的方程为12

22

2=-

y x . 方法2：同方法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜

PB ｜＜｜AB ｜＝4.

∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为a b

y a x (122

22=-＞0，b ＞0）.

则由??

???=+=-41132222

22

b a b

a ）（解得a 2=

b 2

=2, ∴曲线C 的方程为.12

22

2=-

y x 图1 图2

(Ⅱ)方法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ①

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴ 2

22

10(4)46(1)0

k k k ?-≠???=-+?->??

?1k k ≠±???<

1222

46

,11k x x k k

=---,于是 ｜EF

=＝.132214)(12

2

2

212

212

k

k k x x x x k --?

+=-+?+

而原点O 到直线l 的距离d ＝

2

12k

+，

∴S △OEF =.1322132211221212222

22k

k k k k k EF d --=--?+?+?=? 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有

　解得.22,022********

2

≤≤-≤--?≥--k k k k k ③

综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1)∪(-1,1) ∪(1, 2]. 方法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴ 2

22

10(4)46(1)0

k k k ?-≠???=-+?->??

?1k k ≠±???<

2

2

212

21k

k k

x x x x --=

-?=

-+ ③

当E 、F 在同一支上时（如图1所示），

S △OEF ＝;2

1

212121x x OD x x OD S S ODE ODF -?=-?=

-?? 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.

+=??ODF OEF S S S △ODE =

.2

1

)(212121x x OD x x OD -?=+? 综上得S △OEF ＝,2

121x x OD -?于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =

.13222

2

k

k --

若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥?OEF S

42

20,k k k ≥?--≤≤≤解得 ④ 综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2]. 2007年考题

1、(2007安徽高考)若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为2

2,则a 的值为 (A)-2或2

(B)2

32

1或 (C)2或0

(D)-2或0

【解析】选C.若圆04222=--+y x y x 的圆心(1，2)到直线0=+-a y x 的距离为2

2，

2=，

∴ a =2或0，选C 。

2、（2007上海高考）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）

Ａ．2

1

)2()3(22=

-++y x Ｂ．2

1)2()3(22=++-y x

Ｃ．2)2()3(22=-++y x

Ｄ．2)2()3(22=++-y x

【解析】选C.圆2222210(1)2x y x x y +--=?-+=，圆心（1，0）线032=+-y x 对称的圆半径不变，排除A 、B ，两圆圆心连线，线段的中点在直线032=+-y x 上，C 中圆2)2()3(22=-++y x 的圆心为（－3，2），验证适合，故选C 。 3、（2007湖北高考）已知直线1x

y

a

b

+

=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）

A ．60条

B ．66条

C ．72条

D ．78条

【解析】选A.可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点， 而圆22100x y +=上的整数点共有12个，分别为()()()6,8,6,8,8,6±-±±，

()()()8,6,10,0,0,10-±±±，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个

点中过任意两点，构成2

12

66C =条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52860+=条，选A.

4、（2007湖北高考）由直线y=x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为

2

C.7

【解析】选C.切线长的最小值是当直线y=x +1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=

222

|

103|=+-，圆的半径为1，故切线长的最小值为

X

71822=-=-r d ，选C.

5、（2007重庆高考）若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 且∠POQ ＝120°（其中O

为原点），则k 的值为

（A ）

（B

（C ）

（D 【解析】选A.如图，直线过定点（0，1），

6、（2007广东高考）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线

l 的参数方程为3

3x t y t

=+??

=-?（参数t∈R），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2

x y θ

θ=??

=+?（参数[0,2]θπ∈），

则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l

的距离为______. 【解析】直线的方程为x+y-6=0

，=

答案:（0，2）；.

7、（2007广东高考）[

Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线l ，过Ａ作l 垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE 的长为_______。

【解析】根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余， 很容易得到答案，AE=EC=BC=3； 答案:6

π；3。

8、（2007天津高考）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是__________. 【解析】两圆方程作差得30x y +=. 答案:30x y +=

9、（2007山东高考）与直线20x y +-=和曲线

A

221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.

【解析】曲线化为22(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=的距离为

662

5 2.2

d +-=

=所求的最小圆的圆心在直线y x =上，其到直线的距离为2，圆

心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2x y -+-=。 答案:22(2)(2)2x y -+-=

10、（2007上海高考）已知圆的方程()2

211x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）。直线OP 的倾斜角为θ弧度，OP d =，则()d f θ=的图象大致为_____

【解析】 2cos()2sin ,(0,)2

OP π

θθθπ=-=∈

答案: 11、（2007湖南高考）圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ． R=

22

|

411|=-+，所以圆的方程为

【解析】半径

22(1)(1)2x y -+-=

答案:22(1)(1)2x y -+-=

12、（2007江西高考）设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是

．（写出所有真命题的代号）

【解析】圆心为（k-1，3k ）半径为22k ，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B 正确；由C 1、C 2、C 3的图像可知A 、C 不正确；若存在圆过原点（0，0），则有424222121029)1(k k k k k k =+-?=++-（*)N k ∈因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使上式成立，即所有圆不过原点。 答案:B 、D

13、（2007四川高考）已知O e 的方程是2220x y +-=，'O e 的方程是

228100x y x +-+=，由动点P 向O e 和'O e 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程

是__________________

【解析】O e ：圆心(0,0)O ，半径r ='O e ：圆心'(4,0)O ，半径'r =设(,)P x y ，由切线长相等得222x y +-=22810x y x +-+，即32

x =． 答案:3

2

x =

14、（2007北京高考）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的

方程为360x y --=，点(11)

T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；

（III ）若动圆P 过点(20)N -，

，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．

【解析】（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．

又因为点(11)

T -，在直线AD 上， 所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+． 即320x y ++=．

（II ）由36032=0x y x y --=??

++?

，

解得点A 的坐标为(02)-，，

因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．

又AM ==

从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．

（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，

所以PM PN =+

PM PN -=

故点P 的轨迹是以M N ，

为焦点，实轴长为

因为实半轴长a =2c =

．所以虚半轴长b =

从而动圆P

的圆心的轨迹方程为22

1(22

x y x -=≤．

15、（2007北京高考）已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，

22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．

（I ）求k 的取值范围；

（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）． 【解析】（I ）由方程2

2

y kx y x =??

=+?，

消y 得220x kx -+=． ①

依题意，该方程有两个正实根，故212800k x x k ??=->?+=>?，

，

解得k >

（II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+，

由2112y x =+，并令0y =，得11

12x t x =

- 1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <

，故1x ==

，k > 1x 是关于k 的减函数，所以1x

的取值范围是(0．

t 是关于1x

的增函数，定义域为(0，所以值域为()-∞，0，

（III ）当12x x <时，由（II ）可知11

1

2x OM t x ==-+． 类似可得2212x ON x =

-．121212

2x x x x

OM ON x x ++-=-+． 由①可知122x x =．从而0OM ON -=．当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=．