量纲分析

量纲分析

量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。

例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。我们把这种统一性称为量纲。

单位：物理量的大小；

量刚：物理单位的种类。

m 、cm、mm 长度类用L表示

分、小时、秒时间类用T表示

公斤、克质量用M=［m］表示

一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，量刚只能用L来表示。

通常用［m］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。

基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。

在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热力学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]

其他量的量纲可以由基本量纲导出。

导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲

例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT 1，加速度的量纲为LT 2。（导出量刚）

任何物理量B的因次可写成

[B]=M a L b T c

用（）表示物理量的单位，用[] 表示物理量的量刚。

量纲按基本量纲的指数a、b、c的值，可分为以下三类：几何学量纲：a≠0，b=0，c=0 例如：[m]=M

运动学量纲：a≠0，b≠0，c=0 [ρ]=ML-3

动力学量纲：a≠0，b≠0，c≠0 [p]=ML-3T-2

1.基本量纲：具有独立性、唯一性

在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时间T三个作为基本量纲。许多物理问题的研究只涉及M, L,T三个基本量纲，我们称这样的问题为MLT 系统.运动问题都是MLT系统.其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如

流速dim v=[v]＝LT－1

密度dimρ＝ML－3

力dim F＝MLT－2

压强dim p=M L－1 T－2

MLT系统各物理量的量纲

速度LT −1 加速度LT −2 力MLT −2

能量、功ML2T −2 功率ML2T −3 频率T −1 压强ML−1T −2质量M 时间T 长度L 表面张力MT −2 密度ML−3

转矩ML2T −2 动量MLT −1

熵ML2T −2 比重ML−2T −2

角动量ML2T −1 热量ML2T −2

转动惯量ML2 角速度T −1

角加速度T −2 粘性ML−1T −1

4 无因次量(无量纲）

指该物理量的因次为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，

特点：（1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；

（2）具有客观性；

（3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。

由于物理量是有量纲的，因此用数学公式来描述任何一个客观规律时，等式两边的量纲必须一致，这个要求称为量纲一致原则。根据量纲一致原则和牛顿第二运动定律，我们可以导出力的量纲为MLT 2。在量纲一致的原则下，

问题中物理量之间关系的分析称为量纲分析。量纲分析是应用物理理论解决实际问题的一个有力工具，可以用来合理地组合变量从而简化问题的处理，导出新知识和获得新信息。

量纲和谐原理的重要性

a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。

b、量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。

c、可用来建立物理方程式的结构形式。

下面我们来看几个典型的例子：

例:单摆运动，质量为m的小球系在长度为l 的线

的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置θ

后，在重力mg作用下做往复摆动，忽略阻力，求

摆动周期t的表达式

解：在这个问题中有关的物理量有t,m,l,g,设它们之间有关系式

t=km a l b g c

其中a\b\c 为待定常数，k是无量纲的比例系数则有量纲

T=M a L b+c T-2c

得：a=0 ,b+c=0 , - 2c=1

a=0 b=1/2 ,c=-1/2 t=kl1/2g-1/2

例题a：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速度g有关。试求位移s的表达式。

解：s=Kg a t b

L=（LT-2）a T b

根据量纲和谐原理，方程两侧的量纲应一致，则

L a=1 T -2a+b=0

得出：a=1,b=2

s=Kgt2

例题b:液体在恒定水头H作用下从面积为A的孔口流出，v与H、ρ、g和μ有关。试求v的表达式。

量纲分析法

量纲分析法有两种：雷利法和π定理