六年级数学第二讲
小升初六年级数学比和比例专题讲解.教师版1
第二讲比和比例教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、主要比例转化实例①x ay b=⇒y bx a=；x ya b=；a bx y=；②x ay b=⇒mx amy b=；x may mb=(其中0m≠)；③x ay b=⇒x ax y a b=++；x y a bx a--=；x y a bx y a b++=--；④x ay b=，y cz d=⇒x acz bd=；::::x y z ac bc bd=；⑤x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad．三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为():a a b+和():b a b+，所以甲分配到axa b+个，乙分配到bxa b+个.⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b(这里a b>)，数量差为x，那么A的元素数量为axa b-，B的元素数量为bxa b-，所以解题的关键是求出()a b-与a或b的比值．四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。
第2讲折扣-2022-2023学年六年级数学下册易错题精编讲义(人教版)
第2讲折扣（讲义）（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1、折扣的意义。
商店有时降价出售商品，叫作打折扣销售，俗称“打折”。
几折就表示十分之几，也就是百分之几十；几几折表示十分之几点几，也就是百分之几十几。
2、折扣问题的解题方法。
（1）已知原价和折扣，求现价：现价=原价×折扣。
（2）已知原价和折扣，求便宜的钱数：便宜的钱数=原价-原价×折扣或便宜的钱数=原价×（1-折扣）。
（3）已知现价和折扣，求原价：原价=现价÷折扣。
（4）已知原价和现价，求折扣：用现价除以原价，结果用百分数表示，同时在答语中要体现出来。
1、解决折扣问题时，不要把折扣价和节省的钱数相混淆，折扣价是指按原价打几折后的销售价，节省的钱数是指原价减去折扣价。
2、在解决有关折扣的实际问题时，不要把打折后的价格当作定价。
3、要正确理解折扣的意义，不要误认为打几折就是便宜百分之几十。
【易错一】“五一”假期，甲、乙两个家电卖场都推出了促销活动，甲店九折优惠，乙店满100元减10元，李老师要买的豆浆机在两店的标价均是420元，去（）店更优惠。
A．甲B．乙C．甲、乙任选【解题思路】甲卖场商品的实际价格＝商品的标价×90%，求乙卖场商品的实际价格时，先计算商品标价里面有多少个100元，再用标价减去多少个30元，最后比较两个卖场商品的实际价格，据此解答。
【完整解答】甲店：九折＝90%420×90%＝378（元）乙店：420里面有4个100元。
420－4×10＝420－40＝380（元）因为378元＜380元，所以去甲店更优惠。
故答案为：A【易错点】根据两个店的促销活动计算出相同价格的商品在两个店购买的实际价格是解答题目的关键。
【易错二】某厂准备给130名工人每人发一套工作服，有两个商场的服装款式和价格比较符合厂方要求。
两个商场每套服装的定价都是100元，优惠情况如下：甲商场：一次性购买50套以上，打七五折；乙商场：每买10套送3套，多买多送。
第二讲 正比例反比例(讲义)人教版六年级下册数学
第2讲 正比例反比例思维启航一、训练目标知识传递：学习与比例相关的分数问题，理解相关联的量。
能力强化：分析能力、综合能力、推算能力。
思想方法：假设思想、比较思想、对比思想。
二、知识与方法归纳1.正比例（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（2）如果用x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示它们的比值（一定），正比例关系用字母表示为： yx =k （一定） 三个要素：第一：两种相关联的量；第二：其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少；第三：两个量的比值一定。
2.反比例（1）成反比例的量 ：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种 量中相对应的两个数的积一定， 这两种量就叫做成反比例的量， 它们的关系叫做反比例关系。
用字母表示。
如果用字母 X 和 Y 表示两种相关联的量，用 K 表示它们的乘积（一定），反比例关系的式子可以表示为 X•Y=K（一定）（2）生活中还有哪些成反比例的量？举例①大米的质量一定，每袋质量和袋数成反比例。
②教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成反比例。
③长方形的面积一定，长和宽成反比例。
思维进阶例1.汽车原计划速度以每小时40千米的速度开往目的地，实际汽车的速度为每小时50千米，结果汽车比原计划早到1个小时，原计划所花时间是多少小时？例2.甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，这个长方形的周长是多少厘米？思维训练1.一辆客车从甲城开往乙城需10小时，另一辆货车从乙城开往甲城需15小时，两车同时出发相向而行。
相遇时，货车比客车少行100千米，甲、乙两城间的距离是多少千米？例3.甲乙两车从AB 两地同时出发，保持各自的速度，相向而行，当甲车行了全程的51时，乙车行了全程的41多10千米；当甲车行到全程的53时，乙车超过中点80千米，AB 两地全程是多少千米？例4.一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高20%，可提前25分钟到达；若以原速行驶100千米，再将车速提高25%，可提前10分钟到达。
六年级奥数-第二讲.比和比例.教师版
比和比例（二）例题精讲：模块一、比例转化【例1】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【例2】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【例3】①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例4】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．【巩固】有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【例5】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【例6】幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?【例7】甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？【例8】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例9】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？【巩固】学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37。
数学六年级第2讲-素数与合数
辅导讲义➢知识点回顾：1．一个正整数，如果只有____ _和____ _两个因数，这样的数叫做素数，也叫做____ _；如果___________________________，这样的数叫做合数。
2．___________既不是素数也不是合数。
3．每个合数都可以写成几个____ _相乘的形式，其中每个____ _都是这个合数的____ _，叫做这个合数的____ _。
4．把一个合数用____ _相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
5．既是奇数又是合数的最小的正整数是________，最小的奇数素数是____ _；既是偶数又是素数的数________；最小的偶合数是____ _；➢案例1：下面有一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1-56号，再将号码中的素数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．➢案例2：关于素数的猜想：由于人们对素数的着迷，所以自古以来提出了各种各样的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想：1742年6月7日哥德巴赫提出下列猜想：“所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和。
”用如下形式表示：4＝2＋2；6＝3＋3；8＝3＋5；10＝3＋7＝5＋5；12＝5＋7；14＝3＋11＝7＋7；关于这个猜想至今270多年还没有人给出严格的证明！请写成两个素数的和为100的素数对。
知识点1、质数与合数概率质数（素数）：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数，也叫素数。
如：2、3、5、7、11、13、17、19等。
合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
如：4、6、8、9、10等。
注：（1）1不是质数也不是合数，2是最小的质数。
（2）正整数又可以分为1、素数和合数三类。
100以内的素数表：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 4143 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97【例题1】（1）两个素数的和是39，这两个素数的差是多少？（2）三个互不相同的素数相加，和为40，这三个素数分别是多少？（3）有四个数，一个是最小的奇素数，一个是最小的偶素数，一个是小于30的最大素数，另一个是大于70的最小素数，求他们的和。
第二讲 小数的四则混合运算-2023年六年级数学下册小升初数学专项复习
2023年小学六年级小升初数学专项复习（2）——小数的四则混合运算★★知知识识归归纳纳总总结结一、小数的加法和减法1．小数加法的意义与整数加法的意义一样，是把两个数合并成一个数的运算。
小数减法的意义与整数减法的意义一样，是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
2. 小数加法的法则：小数加法的法则与整数加法的法则一样，也是相同的数位对齐。
由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的位数就必然对齐了。
步骤：①把各个加数的小数点上下对齐；②按照整数加法的法则进行计算，从右边最末一位加起，满十进一；③和（计算结果）的小数点要与加数的小数点上下对齐。
3. 小数减法的法则：小数点对齐，相同位数对齐。
步骤：①把被减数和减数的小数点上下对齐；②按照整数减法的法则进行计算，从右边最末一位减起，不够减时，借一当十；③差的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐。
【例1】（2022秋•扶沟县期末）一根绳子长3.7米，用去一些后，还剩1.9米。
用去多少米？【分析】用这根绳子的长度减去还剩的长度，即可计算出用去多少米。
【解答】3.7﹣1.9＝1.8（米）答：用去1.8米。
【点评】本题解题关键是根据小数减法的意义，列式计算，熟练掌握小数加减法的计算方法。
【例2】（2022秋•沾化区期末）乐乐带70元到文具店购买下面的学习用品，他带的钱够吗？25.8元/个9.5元/支13.2元/个 1.58元/支【分析】把四种文具的钱数相加，即可计算出购买四种文具的钱数之和，再与70元进行比较即可。
【解答】解：25.8+9.5+13.2+1.58＝35.3+13.2+1.58＝48.5+1.58＝50.08（元）70＞50.08答：他带的钱够。
【点评】本题解题关键是根据小数加法的意义，列式计算，熟练掌握小数加减法的计算方法。
【例3】（2022秋•齐河县期末）爸爸的身高比小红高0.52米，比妈妈的身高高0.21米，妈妈的身高比小红高多少米？【分析】根据题意可知，爸爸的身高比妈妈高，妈妈的身高比小红高，因为爸爸的身高比小红高0.52米，比妈妈的身高高0.21米，所以可用0.52减去0.21即可得到妈妈比小红高的米数．【解答】解：0.52﹣0.21＝0.31（米）答：妈妈的身高比小红高0.31米．【点评】解答此题的关键是确定用爸爸比小红高的米数减去爸爸比妈妈高的米数即是妈妈比小红高的米数．【例4】（2022春•灵台县期末）小文在做一道减法题时。
人教版小学六年级上册数学精品讲义第2讲 位置和方向(二)(思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练)
第2讲位置和方向（二）（思维导图+知识梳理+典型精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：用方向和距离确定物体的位置1、确定物体的位置时，要先找观测点，再用方向和距离两个要素来确定，两个要素缺一不可。
2、先确定（中心或观测点），然后确定（方向），再以图例选定的单位长度为基准来确定（距离）；最后在具体位置标出（名称）。
知识点二：描述路线图1、描述路线时的要素：起点在哪，终点在哪，沿着什么方向，移动多少距离。
2、描述路线时，除起点和终点外的点，既是上一段的终点，又是下一段的起点。
三、典型精讲考点一：确定物体的位置【典型一】以学校为观测点，乐乐家在北偏西30°方向，笑笑家在南偏东30°方向，乐乐家、学校、笑笑家的位置在同一条直线上。
√（判断对错）【分析】根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，分别画出乐乐家和笑笑家的大体位置，判断即可。
【解答】解：如图：以学校为观测点，乐乐家在北偏西30°方向，笑笑家在南偏东30°方向，乐乐家、学校、笑笑家的位置在同一条直线上。
原题说法正确。
故答案为：√。
【典型二】如图是第一小学附近区域的平面图．先量一量，再填一填．（1）图书馆在第一小学偏°方向米处．（2）电影院在第一小学偏°方向米处．【分析】（1）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以第一小学的位置为观测点即即可确定图书馆的大致方向，再用量角器量出所偏的度数；用刻度尺量出两地的图上距离，再根据图中所标注的线段比例尺即可求出两地的实际距离．（2）同理，以第一小学的位置为观测点即即可确定电影院的大致方向，再用量角器量出所偏的度数；用刻度尺量出两地的图上距离，再根据图中所标注的线段比例尺即可求出两地的实际距离．【解答】（1）量得图书馆在第一小学东偏北45°方向，两地的图上距离是2.5厘米2.5×500＝1250（米）答：图书馆在第一小学东偏北45°方向1250米处．（2）量得电影院在第一小学西偏南30°方向，两地的图上距离是4厘米500×4＝2000（米）答：电影院在第一小学西偏南30°方向2000米处．故答案为：东，北，45，1250；西，南，30，2000．考点二：描述路线图【典型一】小企鹅迷路了，你能告诉它回家的路吗？它应该向偏的方向走，再向走，就可以到家了．【分析】根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以小企鹅现在的位置为观测点，向西偏北的方向走30米，再向正西方向走50米即可以吃到萝卜．【解答】它应该向东偏北10°的方向走500m，再向正北走80m，就可以到家了．故答案为：东，北10°，500m，正北，80m．【典型二】根据路线图信息，请写出小兔去小熊家所走的路线。
六年级 第二讲 分数乘法应用题
第二讲分数乘法应用题姓名【经典例题】例题1：某村要修一条4500米的公路，已修了1020米，还要修多少米正好修了这条路的2/3？例题2：一条水渠长5/8千米，第一次修了全长的3/5,第二次修了1/8千米，两次共修多少千米？例题3：一本书共120页，天天第一天看了1/5，第二天看了总页数的1/3，第三天从哪页看起？例题4：甲乙两列火车从相距500千米的两地同时相对开出，甲车每小时行80千米，2小时后两车还相距全程的2/5，乙车每小时行多少千米？【同步练习】1：学校食堂有800千克的大米，已经吃了300千克，还要吃多少千克正好是总数的4/5.2：小明看一本124页的书，已经看了全书的1/4，再看多少页就正好看了这个本书的一半？3：幼儿园有3吨煤，第一次运走了1/2，第二次又运走了1/4吨，这时还剩多少吨？4：一筐梨重45千克，上午卖出3/5，下午卖出剩下的2/3，还剩多少千克梨没卖？5：服装厂8月份计划生产西装2400套，结果上半月完成了计划的5/8，下半月又完成了计划的2/5，8月超产西装多少套？6：小红第一天看了一本书的4/11，第二天看了的相当于第一天的3/2，小红两天有没有看完这个本书？7：甲乙两船同时从相距240千米的A,B两港相对开出，6小时候，甲船行了全程的3/4，乙船行了全程的2/3，这时两船相距多少千米？8：农场计划耕地480亩，第一天耕地1/4，第二天比第一天多耕了1/8，第二天耕地多少亩？9:一种物品原价100元，先涨价1/10后，再降价1/10，现价多少元？【拓展提高】1：六年级3个班学生去植树，一班植树80棵，二班植树的棵树是一班的9/8，三班植树的棵树比二班的7/9还多7棵，三班植树多少棵？2：一本书，第一天杜了总页数的1/5，第二天读了余下的1/4，哪天看的多？3：乒乓球从20米的高空落下，大约能弹起的高度是落下的高度的2/5，这个乒乓球第二次落下后又弹起多少米？至少弹起几次后它的弹起高度不足0.5米？4：冰箱厂计划每天生产300台冰箱，8天完成任务，实际5天完成了总任务的5/6，照这样计算，提前几天完成任务？5：一只猴摘了一些桃，它数了数一共有243个。
六年级数学思维培优秋季-第2讲：分解素因数(含答案解析)
小结 3
9
自主巩固（30 分钟）
1.写出下列各组数的最小公倍数：
1 与 299（ ）
12 与 36（
）
13 与 52（ ）
10 与 14（
）
6 与 15（ ）
22 与 66（
）
【难度】★
【例】36 和 54 的公因数有_____________． 【难度】★ 【举一反三】 1.三个数 16、24 和 30 的公因数有______． 【难度】★★
类型二：最大公因数
4
【例】126 和 630 的最大公因数是________________． 【难度】★
【举一反三】 1.有 a、b、c、d 四个正整数，已知 a、b 的最大公因数是 60，c、d 的最大公因数是 48，那么 a、b、c、d 这四个数的最大公因数是______． 【难度】★★
2.两个数的积是 144，它们的最小公倍数是 36，这两个数各是多少？ 【难度】★★
7
类型三：概念辨析
【例】下列说法中正确的个数为（ ）个
（1）若三个正整数只有公因数 1，则这三个数两两互素；
（2）若 m n 3 ，则两个正整数 m、n 的最小公倍数是 m；
（3）互素的两个数没有公因数；
（4）能同时被 6、8 整除的数一定能被 48 整除；
子，则每只猴子可得 15 粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得 18 粒．已知第一群猴子猴四十几只，
那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？
【难度】★★★
2.一个正整数被 4 除余 1，被 6 除余 1，被 9 除余 1，则这个数最小是多少？
六年级奥数第二讲：分数计算技巧--分数裂项(一)
六年级奥数第二讲： 分数计算技巧---分数裂项（一）【专题精析】 在计算一列分数之和时，根据)(a n n a ＋＝n 1a n ＋1-把一个分数拆分成两个分数相减的形式，使中间的分数相互抵消，大大化简了运算，这种分数的运算技巧，称作裂项法。
裂项有两种方法：裂和：b a b a a b 11+=⨯+ 比如：3121232365+=⨯+= 裂差：b a b a a b 11-=⨯- 比如：3121322361-=⨯-=练习：1、将下列各数裂项： 例如：4131121-= =201 =209 =152 2、计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋8007991⨯当分子并不是分母之差（或和），而是成倍数关系时，裂项之后再乘以倍数1（或倍数）。
)11(1)(1k n n k k n n +-⨯=+⨯ 比如：）（71314173441731-⨯=⨯⨯=⨯ )11()(k n n N k n n Nk +-⨯=+⨯ 比如：）（413151215125-⨯=⨯= 练习：1、将下列各数裂项：例如：）（51413203-⨯= =212 =994 =563 =551=5612、计算：13112002752002532002312002⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯【基础练习】 1、计算：21＋61＋121＋201＋301＋421＋561＋721＋9012、计算：311⨯＋531⨯＋751⨯＋ (1031011)3、计算：21＋65＋1211＋2019＋30294、计算：49472752532312⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯【拓展提高】1、计算：（1）421＋615＋1216＋2017＋3018＋4219（2）221-65-127＋209-＋30114213-2、计算：（1）161-＋421＋561721＋（2）199919981998⨯＋200019991998⨯＋200120001998⨯＋ (205020491998)3、计算：513⨯＋953⨯＋1393⨯＋ (200119973)4、计算：30×（151＋351＋631＋991＋1431＋1951）5、计算：（1）613⨯＋1163⨯＋16113⨯＋……＋76713⨯＋81763⨯（2）、2521⨯＋4851⨯＋61181⨯＋……＋1001521491⨯＋1021551521⨯6、计算：（1）561542133011209411+-+-（2）56154213301120912732-+-+-（3）7271565542413029201912116521+++++++。
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六年级第二讲、最优化问题
【教学目标】熟练利用两点之间线段最短与尽量不走回头路和重复路去解决最优化问题。
【教学重点】利用两点之间线段最短与尽量不走回头路和重复路去解决最优化问题。
【教学难点】利用平行和垂直的知识，很快数出图形的个数。
【教学过程】
第一课时
一、引入
同学们都有这样的体会：从一个地方到另一个地方，两地之间有许多路，就有许多种走法，
从中选择一条最近的路，也就是要选择一条最短的路线。这类问题归结为“最优化问题”。在解
决最优化问题时需要注意：两点之间线段最短。
例1、下图中，小冬和小李分别住在M、N两地，如果他们要步行到河边坐同一条船，请问，
船停靠在何处，小冬和小李两人所走的路程和最短?
【思路分析】利用对称原理，首先在河的另一侧找到以河为对称轴的对称点Q，再连接QN，
如右上图，QN与河的交点设为P。因为两点之间线段最短，所以QN是两点间最短的距离，叉
因为M和Q是对称点，所以MP=OP，因此，MP和NP的长度之和与QN的长度相等。
练习：
1．李大妈家在A处，她要从A处去河边挑水，然后把水送到B处的菜地浇菜。请帮忙找
一条最短的路线，在下图中表示出来。
2．如图，甲、乙两村想在小河边合修一个取水码头，请问：这个码头的点选在何处，才
能使甲、乙两村取水时所走的路程和最短?
例2、A、B两村中间隔了一条河(见下图)，现在要在小河上架一座桥，要求A、B两村之间行
程最短，怎样在河两岸选择架桥地点?
从A点作河岸垂线，并在垂线上取AE等于河宽(相当于把河宽预先扣除)。因此，B、E间最
短线的长，也就等于B、A间的最短路线扣除河宽后的长。连接BE，与河的南岸相交于D，再
过A点，作DE的平行线，与河的北岸交于C，C、D就是A、B两村间行程最短的架桥地点图。
练习：
1．河的两岸住着王家和李家，如图所示，如何在河上铺一座桥，使两家串门方便，并走的路
程最短?
2．A、B两村位于河的两岸，要在河上垂直于河岸建一座桥，桥应修在什么地方，才能使
从A经过桥到B的路最近?(河的宽度不变)
在解决最优化问题时还需要注意：尽量不走回头路和重复路。
例3 下图(1)中的线段表示的是某人从A到B所能经过的路，某人从A到B地共有多少条最
短路线?
练习：
【思路分析】 为了叙述方便，我们在各交叉点都
标上字母，如右上图(2)，在图(2)中我们不难看出，
从A到B，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD一
个长与一个宽，即AD+BD或AH+HB，因此，水平方
向上，所有线段长度和应等于AD；在竖直方向上，
所有线段长度和应等于DB，这样走的路线才叫最短
路线，可见最短路线只能保持向右和向下走。
【思路分析】 在河上架桥，桥总是垂直于河
岸，桥的长度相当于河的宽度，因此，最短路
线必然是条折线。不论桥架在哪里，从A到B
都要经过这座桥，所以可以事先把这座桥的距
离扣除。通过画图，用图解法求架桥的地点。
解答：
1．小华从家上学，所经过的街道平面示意图如下，从家到学校所走的最近的路线有多少
条?
2．下面是一个小区的平面图，某人从A到B(只能从北到南及从西向东)，共有多少种不
同的走法?
或者利用平行和垂直的知识，很快数出图形的个数，也称为“最优化问题”。
【小结】
最优化问题有时只有一种，有时有许多种，可以按照一定的逻辑顺序来排列可能走
的路线，借助图表用标数法完成，要求不重复也不遗漏。并要注意题中的特定要求。
练习卷
1．如图，甲、乙两村分别在小河同侧，现在要在A、B两村之间找一条最短的线路，使
两村人来往时走的路最少。请你画出这条路线。
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图甲、乙两人分别在公路的两侧，两人约好在公路上的某一处见面，要使两人到公
路上的距离和最短，那么，他们应约在公路上的哪一处见面?
3．在公路的两边有甲、乙两个小区，现在要在公路的某处架一座天桥，请问，这座桥建
在何处，使两个小区的居民来往时路程和最短?
4．小明假日要到奶奶家，A处正在修花坛，不能通过，那么，小明到奶奶家的最短路线有几
条?
：
5．如图，要从A点到B点，在不走回头路，不走重复路的情况下，可以有多少种不同的路线?
（第4题） （第5题） （第7题）
6．在下图中，A点和B点表示两个居民小区，两个小区之间隔一条马路，为方便居民在小区
间来往，需要在马路上设人行横道，请你选择地点设置人行横道，使居民来往小区的路程最
近。