MATLAB之第二讲 矩阵与多项式运算 (2)
矩阵多项式计算例题
矩阵多项式计算例题在数学中，矩阵多项式被广泛地应用于科学技术和工业领域。
这种类型的矩阵被定义为一种矩阵，其系数项是任意多项式。
在实际应用中，矩阵多项式可以帮助人们很好地解决各种工程和科学问题。
本文将介绍一些矩阵多项式计算的例题，以帮助读者更好地理解矩阵多项式的概念和应用。
例题一：计算矩阵多项式f(A)，其中A=[1 2;3 4]，f(x)=x^2+2x+3。
解析：首先将f(x)表示为其在矩阵A上的计算结果，即：f(A)=A^2+2A+3I，其中I表示单位矩阵。
将矩阵A带入上式，得：f(A)=[1 2;3 4]^2+2[1 2;3 4]+3[1 0;0 1]根据矩阵乘法和矩阵加法的定义，可以将上式进一步计算，化简后得到：f(A)=[18 26;40 58]因此，f(A)的值为：[18 26;40 58]例题二：计算矩阵多项式f(A)，其中A=[3 4;5 6]，f(x)=(x+1)^3。
解析：将f(x)展开，得到：f(x)=(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1。
再将f(x)表示为其在矩阵A上的计算结果，得：f(A)=A^3+3A^2+3A+I。
将矩阵A带入上式，得：f(A)=[216 348;405 660]因此，f(A)的值为：[216 348;405 660]例题三：计算矩阵多项式f(A)，其中A=[1 0 1;0 -1 0;1 0 1]，f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1。
解析：将f(x)表示为其在矩阵A上的计算结果，得：f(A)=A^4+A^3+A^2+A+I。
将矩阵A带入上式，得：f(A)=[5 0 5;0 3 0;5 0 5]因此，f(A)的值为：[5 0 5;0 3 0;5 0 5]通过上述三个例题，我们可以看到矩阵多项式计算的基本步骤：先将多项式表示为矩阵形式，然后将矩阵带入多项式表达式中，最后计算矩阵乘积和矩阵加和来得到结果。
矩阵多项式计算的好处在于，它们可以像单项式一样进行加减乘除，并可与向量和矩阵的操作结合使用。
MATLAB教程4
4.4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ拟合与插值
说明：interp1仅是 插值指令的一种， 还有interp2 、 interp3等。
ys=interp1(x,y,xs,’method’); 其中:(1) x,y是测量数据对； (2) xs是需要内插的点所构成的向量。 (3) method是指所使用的内插方法。 插值算法： ‘nearest’，‘linear’，‘spline’，‘cubic’
f ( x) g ( x) f ( x) / g ( x)
杨惠--《matlab语言及应用》--第四章
4.3 多项式计算
3.
功能：按数组运算规则计算多项式的值。 多项式值的计算： 其中x可以是标量和数组。
y=polyval(p,x); y=polyvalm(p,x);
功能：按矩阵运算规 则计算多项式的值。 其中x必须为方阵。
conv(p1,p2)
3、多项式除法运算
[Q,r]=deconv(p1,p2)
p1=conv(p2,Q)+r
例题开讲
f ( x) 3x 5 5 x 4 2 x 3 7 x 2 5 x 6 g ( x) 3x 2 5 x 3
已知
求： (1) f ( x) g ( x) (2) f ( x) g ( x)
4.4 拟合与插值
1）最邻近插值方法（nearest）
插值点的值与其最邻近的点的函数值相等。
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4.4 拟合与插值
2）线性插值方法（ linear ）
插值点的值在前，后两个数据点所构 成的直线上。
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4.4
拟合与插值
第六章MATLAB数值计算
第六章MATLAB数值计算 6-1多项式的运算 6 —1-1多项式的生成和表达 1. 多项式的表达 在MATLAB环境下多项式是用向量的形式表达的。 向量最右边的元素表示多项式的 0 阶,向左数依次表示多项式的第 1阶、第2阶、第3阶…。 例如多项式5x4 3x2 2x 1表示为：［5 0 3 2 1］。
2. 多项式的生成 语法：
P=ploy (MA) 说明： 1. 若MA为方阵，则生成的多项式 P为方阵MA的特征多项式。 若MA为向量，则向量和多项式满足这样一种关系 MA r1 r2 |||rn ,生成的多项式为： x r1 x r2 x r3 x rn a0xn a1xn 1
3. 直接输入的方式生成多项式。 例6-1 利用方阵M=［5 6 7;8 9 1;11 12 13 ］生成一个多项式(为方阵 M的特征多项式) 程序设计：
>> clear M=［5 6 7 ; 8 9 1;11 12 13］; P=poly(M ) ; %产生多项式的向量表达式 Px=poly2str ( P,'x') ; %生成常见的多项式表示形式 P,Px 运行结果： P = 1.0000 —27.0000 90。0000 54。0000 Px = xA3 - 27 xA2 + 90 x + 54
例6-2 利用向量A= : 2 3 4 5］生成一个多项式。 程序设计:
2. 呆 2 |||an 1x an 〉 >clear A=[2 3 4 5] ； P=poly（A）; Px=poly2str （P， 'x'） ; P，Px 运行结果 ： P = 1 — 14 71 — 154 120 Px = xA4 — 14 xA3 + 71 xA2 — 154 x + 120
6—1-2 多项式的乘除 语法: A. c=conv （ a， b） B. [q,r ] =decony（ c， a） 说明： 1. a、b 和 c 分别是多项式的向量表示形式。 个多项式的除法运算 .
第5讲MATLAB多项式及插值
第5讲MATLAB多项式及插值
5.1.2 求和与求积
数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方 法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格 式为：
sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘积。 sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。 prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。 sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时， 返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。 prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时， 返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。
为解决Rung问题，引入分段插值。 第5讲MATLAB多项式及插值
算法分析：所谓分段插值就是通过插值点用折线或低次曲线 连接起来逼近原曲线。
MATLAB实现 可调用内部函数。 ➢ 命令 interp1
功能 ： 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之 间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其 中函数f(x)由所给数据决定。
t = 1900:10:1990; p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669...
150.697 179.323 203.212 226.505 249.633]; 对应于美国从1900年到1990年的每10年的人口数，求 1975年的人口。由此推断美国1900年到2000年每一年的 人口数，并画出图形。
k1
j1
xxj ) xk xj
jk
MATLAB中没有直接实现拉格朗日算法的函数，我们已经介 绍过该函数的书写：
第2章 MATLAB基本语法(part 1)
方法2 方法2：利用表达式输入 B=[1,sqrt(25),9,13 2,6,10,7*2 3+sin(pi),7,11,15 4 abs(-8) 12 16] abs(B= 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 注意回车键的用法。
x=linspace(2,12,6)
x= 2
4
6
8
10
12
ones(3) ones(3,4) F=5*ones(3) z=zeros(2,4) R=rand(4,4)
x=0:0.5:2 y=linspace(0,2,7) z=[0 x 1] u=[y;z]
2.2.2、 2.2.2、矩阵元素
采用下标来表示矩阵元素，同时可用下标对矩阵 元素进行修改 A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] A=
area = s(s − a )(s − b)(s − c)
其中：s=(a+b+c)/2。
例5 : 计算1996/18的结果 计算1996/18的结果 例6:计算: 6:计算:
1 1 1 1 1 1 1 1− + − + − + − 2 3 4 5 6 7 8
例7：已知y=x2 , 求x=̟时的y值。 x=̟ 例8：计算
C= 298 583 526 341 496 304 202 265 113
D=A*3 D=
63 6 12 21 39 57 3 24 51
矩阵除法
运算符 \左除 /右除 2. 若A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算 矩阵是非奇异方阵，则A B/A运算 均可以实现，且左除和右除一般不同，这是 因为： A\B=inv(A)*b B/A=B*inv(A) 其中inv函数用来求某一个矩阵的逆阵。 其中inv函数用来求某一个矩阵的逆阵。
Matlab学习指导第四章 数值计算
2x1-x2-x3=4
3x1+4x2-2x3=11 3x1-2x2+4x3=11
A=[ 2,-1,-1 ; 3,4,-2; 3,-2,4 ]; b=[4; 11; 11]; det(A), rank(A), rank([A,b]) x=A\b
方程组的解的三种情况:
对于方程Ax=b, A为Am×n矩阵,有三种情况: 当m=n时,此方程成为"恰定"方程,求解精确解 当m>n时,此方程成为“超定”方程,寻求最小二乘解 (直线拟
合)
1) 恰定方程组的解
当m<n时,此方程成为"欠定"方程,寻求基本解 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程 x = 方程组Ax=b (A非奇异)，解为x=A\b 例4.2.1-2 求下列方程组的解 3.00 1.00 1.00
通俗地讲, 拟合就是由已知点得到一条曲线, 使该曲线 最能反映点所代表的规律.比如做欧姆定理的实验的时 候,由于实验中存在误差,最后拟合得到的曲线是一条 直线,而且肯定只有部分点落在拟合的直线上,但此时 该直线和测试点的方差最小.由拟合直线的斜率就可以 知道电阻的阻值.拟合是探测事物变化规律的办法. 插值就是根据函数上某些已知点(或实验数据),按一定 规律(插值方法)寻求未知的点,比如已知一个常用对数 y=log(x)表,是按照x=0.1:0.1:10制表的,如果按已知数 据求y=log(2.897)就可以用插值得到.表制得越密,插值 越准确．
16
对于方程组Ax=b, 采用x=A\b计算，如果方程组为yC=d, 要使用右除，即指令为y=d/C
Ax=bx'A'=b'yC=d x=A\bx'=b'/A'y=d/C 例4.2.1-1 解下列方程组 2x1+2x2+3x3=3
matlab第4章
行向量元素为按降幂排列的多项式系数。
1．多项式乘法函数 conv ( )
格式：C= conv (A, B) %求多项式A和B的乘积
A、B是两个多项式的系数向量，按降幂排列。 conv( ) 把两个多项式相乘合并成一个多项式。
2
p1 2s 3;
2
p2 s 2 4
3 2
A (2s 3)(s 4) 2s 3s 8s 12
x：操作点处的状态向量
u：操作点处的输入向量
x，u缺省值为0。
20
( s 1)(s 2 2s 6) 2 【例4.4】 求传递函数 G(s) 2 s (s 3)(s 3 2s 2 3s 4)
的分子和分母多项式，并求传递函数的特征 根。
21
% num 分子多项式 % conv( ) 采用嵌套形式
G (s)
5s 3 s 3 6 s 2 11s 6
13
3．部分分式展开函数residue ( ) 功能：对两个多项式的比进行部分展开。 格式：[r, p, k]=residue(b, a) 求B(s)/A(s)的部分分式展开式 向量b和a是按s降幂排列的多项式系数。
14
B( s) bn s n bn1s n1 ...b0 F ( s) A( s) an s n an1s n1 ...a0
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2．并联 G(s)=G1(s)+G2(s) 模型并联函数 parallel 格式：[num, den]=parallel(num1, den1, num2, den2) num1, den1：G1(s) 的分子、分母多项式 num2, den2：G2(s)的分子、分母多项式 num, den：G(s) 的分子、分母多项式
MATLAB卷积运算（conv、conv2、convn）解释
MATLAB卷积运算（conv、conv2、convn）解释1conv（向量卷积运算）所谓两个向量卷积，说⽩了就是多项式乘法。
⽐如:p=[1 2 3],q=[1 1]是两个向量，p和q的卷积如下：把p的元素作为⼀个多项式的系数，多项式按升幂（或降幂）排列，⽐如就按升幂吧，写出对应的多项式：1+2x+3x^2;同样的，把q的元素也作为多项式的系数按升幂排列，写出对应的多项式：1+x。
卷积就是“两个多项式相乘取系数”。
（1+2x+3x^2）×（1+x）=1+3x+5x^2+3x^3所以p和q卷积的结果就是[1 3 5 3]。
记住，当确定是⽤升幂或是降幂排列后，下⾯也都要按这个⽅式排列，否则结果是不对的。
你也可以⽤matlab试试p= [1 2 3]q=[1 1]conv(p,q)看看和计算的结果是否相同。
conv2（⼆维矩阵卷积运算）a=[1 1 1;1 1 1;1 1 1];b=[1 1 1;1 1 1;1 1 1];>> conv2(a,b)ans = 1 2 3 2 1 2 4 6 4 2 3 6 9 6 3 2 4 6 4 2 1 2 3 2 1>> conv2(a,b,'valid')ans = 9>> conv2(a,b,'same')ans = 4 6 4 6 9 6 4 6 4>> conv2(a,b,'full')ans = 1 2 3 2 1 2 4 6 4 2 3 6 9 6 3 2 4 6 4 2 1 2 3 2 1convn（n维矩阵卷积运算）>> a=ones(5,5,5)a(:,:,1) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a(:,:,2) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a(:,:,3) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a(:,:,4) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a(:,:,5) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1>>b=ones(5,5,5);>> convn(a,b,'valid')ans = 125>> convn(a,b,'same')ans(:,:,1) = 27 36 45 36 27 36 48 60 48 36 45 60 75 60 45 36 48 60 48 36 27 36 45 36 27ans(:,:,2) = 36 48 60 48 36 48 64 80 64 48 60 80 100 80 60 48 64 80 64 48 36 48 60 48 36ans(:,:,3) = 45 60 75 60 45 60 80 100 80 60 75 100 125 100 75 60 80 100 80 60 45 60 75 60 4521.full如下图：图（1）图中蓝⾊为原图像，⽩⾊为对应卷积所增加的padding，通常全部为0，绿⾊是卷积后图⽚。
MATLAB程序设计与应用(第二版)课后实验答案
Matlab课后实验题答案实验一 MATLAB运算基础1. 先求下列表达式的值，然后显示MATLAB工作空间的使用情况并保存全部变量。
(1）0 122sin851ze =+(2）21ln(2z x=，其中2120.455ix+⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦(3）0.30.330.3sin(0.3)ln, 3.0, 2.9,,2.9,3.0 22a ae e az a a--+=++=--（4)2242011122123t tz t tt t t⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪-+≤<⎩，其中t=0:0.5：2.52. 已知：1234413134787,2033657327A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求下列表达式的值:(1) A+6＊B 和A —B+I(其中I 为单位矩阵） （2） A*B 和A.＊B （3） A^3和A.^3 (4） A/B 及B\A（5） ［A,B ］和［A （[1,3］，:);B^2] 解：3. 设有矩阵A 和B123453166789101769,111213141502341617181920970212223242541311A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1) 求它们的乘积C 。
(2） 将矩阵C 的右下角3×2子矩阵赋给D 。
(3) 查看MATLAB 工作空间的使用情况。
4. 完成下列操作：（1） 求[100，999]之间能被21整除的数的个数。
（2) 建立一个字符串向量，删除其中的大写字母。
解:(1） 结果:（2）.建立一个字符串向量 例如： ch='ABC123d4e56Fg9';则要求结果是：实验二 MATLAB 矩阵分析与处理1。
设有分块矩阵33322322E R A O S ⨯⨯⨯⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中E 、R 、O 、S 分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角阵，试通过数值计算验证22E R RS A OS +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
第6章_MATLAB数值计算_part2
6.2.2 数值积分
b a b
f ( x)dx p1 ( x)dx (b a )
a
b
f (a ) f (b) 2 ab
( f (a) 4 f ( ) f (b)) 数值积分方法 6 2 n 1 求解定积分的数值方法多种多样， h T f ( a ) f ( b ) 2 f ( a kh ) n 如简单的梯形法、辛普生 2 k 1 (Simpson)• 法、牛顿－柯特斯 h S ( f (x ) 4 f (x ) f ( x 1)) (Newton-Cotes)法等都是经常采 6 用的方法。 h f (a) 4 f ( x ) 2 f ( x ) f (b) 基本思想 6
第6章 MATLAB数值计算
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 数据处理与多项式计算 数值微积分 线性方程组求解 最优化问.1 数值微分（导数） 不关心微分的形式和性质，只关心该微分在一串离散点 的近似值以及所计算的近似值有多大的误差。 MATLAB下求数值导数的两种方法：
I e
0
1
x2
dx
2 被积函数由一个表格定义
在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道 的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时， 就无法使用quad函数计算其定积分。 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求 定积分问题用trapz(X,Y)函数。 其中向量X、Y定义函数关系Y=f(X)。
值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是2 的幂次时，可以取一个N使它大于N0且是2 的幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或 fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这 样，计算速度将大大加快。 相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。 ifft(F)返回F的一维离散傅立叶逆变换； ifft(F,N)为N点逆变换；ifft(F,[],dim)或 ifft(F,N,dim)则由N或dim确定逆变换的点数 或操作方向。