因式分解双十字交乘
因式分解法十字相乘法
十字相乘法因式分解
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。
对于像ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数为1时，可表达为x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1)222541636089x y z xy yz xz+--+-(2)2274012742a ab b a b+-++(3)2227156381341x y z xy yz xz+---+ (4)2224985422242a b c ab bc ac+++--(5)22634455212x xy y x y+-+++ (6)24040593521m mn m n--++(7)22152********x xy y x y+-+--(8)22284233215x y z xy yz xz+--++(9)2263491413206x xy y x y--++-(10)222723531031615x y z xy yz xz+--+-(11)22203973189m mn n m n-+++-(12)22320123346m mn n m n++---(13)22546212x y x y-+-+(14)22152********x xy y x y-+-++ (15)2212104256525x xy y x y+--+-(16)222822472x xy y x y-+-+(17)2227334451818x xy y x y --++-(18)2224275351223x y z xy yz xz --+-+(19)21863733535x xy x y ++++(20)2230774931356x xy y x y ++---(21)22242312501224x xy y x y ---++(22)2230148551025m mn n m n --+-+(23)222122854424m mn n m n +---+(24)221431151421x xy y x y ++--(25)2240316624a ab b a b -+-+-(26)222212721x xy y x y--+-(27)22141122799x xy y x y -+-++(28)226520914x xy y x y -++-+(29)2214217454025p pq q p q -+-++(30)22943103326m mn n m n +-+--(31)222243524222248a b c ab bc ac-+-+-(32)2226364210x xy y x y +----(33)22113021624x xy y x y ++---(34)2228499424218x y z xy yz xz+++++(35)22144775436x xy y x y+-++-(36)2245191712m mn n m n+---+ (37)22225145251720x y z xy yz xz---++ (38)22104121212849m mn n m n-+++-(39)2281721292220m mn n m n-++--(40)224564121012x xy y x y++++(41)2225536242436x y z xy yz xz-++--(42)2224063538a b c ab bc ac-++++ (43)254121521a ab a b++++(44)274283612m mn m n+-+-(45)25649344212x xy x y--+-(46)2243914x xy y x y--++-(47)2272113565287m mn n m n----+ (48)2235834218a ab b a b--+-(49)22728211156p pq q p q-++--(50)22256126112734a b c ab bc ac---+-(51)228953421x xy y x y++++-(52)22351110244535x xy y x y+----(53)22264155161048x y z xy yz xz-+---(54)222151412111327a b c ab bc ac-++++ (55)222827526136p pq q p q+++++ (56)2226435309658x y z xy yz xz+----(57)22202422739a ab b a b----+ (58)2226366132033x y z xy yz xz----+ (59)22216716542440a b c ab bc ac-++--(60)2224544111731x y z xy yz xz----+ (61)22418829187x xy y x y-+-++(62)2221218113315x xy y x y-++-+ (63)22220427749x xy y x y+++--(64)2228189182721x y z xy yz xz--+-+ (65)2212142040525x xy y x y--+++ (66)224217152743x xy y x y+--++ (67)22262124394632a b c ab bc ac--+-+ (68)22291069415x y z xy yz xz-+--+ (69)2228129201218x y z xy yz xz-+--+ (70)22925656612x xy y x y+--++(71)2218236282016a ab b a b +-+--(72)2224137122512x xy y x y +----(73)2225307404012x xy y x y +---+(74)2225621435830x y z xy yz xz -++++(75)22324814682330x xy y x y +---+(76)22123615381114x xy y x y -+-+-(77)222813670942x xy y x y ---++(78)224247310m mn n m n +-+-+(79)2248286741728a ab b a b ---++(80)2210414213910x xy y x y +-++-(81)25628272418m mn m n +++-(82)22251236162424x y z xy yz xz+-+++(83)2226425484111a b c ab bc ac++-+-(84)222402242182x y z xy yz xz+-++-(85)22245615592360x y z xy yz xz+++++(86)2224235207358x y z xy yz xz-+-+-(87)2263024194014x xy y x y +++++(88)22152896x xy y x y+-+-(89)229211825246x xy y x y +-+--(90)228383516388x xy y x y ++--+(91)222271544273a b c ab bc ac +---+(92)2218935187236x xy y x y +-+--(93)22227343033x y z xy yz xz +-+--(94)222191222115x xy y x y --+-+(95)22189201815x xy y x y--++(96)2262521395118x xy y x y -++-+(97)222481225143510x y z xy yz xz-----(98)2492863814p pq p q +--+(99)244211620x xy x y +--+(100)272958510x xy x y --++初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(943)(64)x y z x y z---+(2)(727)(6)a b a b-++(3)(73)(56)x y z x y z---+(4)(725)(74)a b c a b c+-+-(5)(723)(924)x y x y++-+ (6)(87)(553)m m n---(7)(347)(563)x y x y++--(8)(42)(8)x y z x y z-+--(9)(922)(773)x y x y+--+ (10)(87)(953)x y z x y z-+--(11)(53)(473)m n m n---+ (12)(326)(61)m n m n+-++ (13)(932)(621)x y x y++-+ (14)(565)(33)x y x y----(15)(375)(465)x y x y+--+ (16)(421)(72)x y x y---(17)(93)(346)x y x y+--+ (18)(6)(775)x y z x y z--++ (19)(277)(95)x y x+++ (20)(671)(576)x y x y+++-(21)(344)(836)x y x y--+-(22)(545)(625)m n m n-+++ (23)(346)(724)m n m n+---(24)(23)(757)x y x y++-(25)(832)(522)a b a b-+--(26)(3)(247)x y x y-++ (27)(723)(23)x y x y----(28)(37)(22)x y x y-+-+ (29)(25)(775)p q p q----(30)(926)(51)m n m n--++(31)(656)(474)a b c a b c+---(32)(62)(265)x y x y++--(33)(64)(56)x y x y+++-(34)(273)(473)x y z x y z++++ (35)(76)(271)x y x y-++-(36)(453)(4)m n m n+---(37)(575)(52)x y z x y z-++-(38)(537)(277)m n m n---+ (39)(925)(964)m n m n-+--(40)(56)(922)x y x y+++(41)(56)(56)x y z x y z--+-(42)(5)(86)a b c a b c++-+(43)(61)(921)a a b+++ (44)(62)(76)m n m+-+ (45)(872)(76)x y x-+-(46)(47)(2)x y x y+--+ (47)(977)(851)m n m n--+-(48)(73)(56)a b a b-++ (49)(32)(773)p q p q-+--(50)(836)(74)a b c a b c+--+ (51)(7)(83)x y x y+++-(52)(755)(527)x y x y++--(53)(855)(83)x y z x y z--+-(54)(323)(574)a b c a b c-+++ (55)(753)(42)p q p q++++ (56)(855)(876)x y z x y z-+--(57)(463)(573)a b a b--+-(58)(926)(73)x y z x y z++--(59)(274)(84)a b c a b c+---(60)(54)(94)x y z x y z++--(61)(421)(47)x y x y----(62)(265)(33)x y x y-+-+ (63)(267)(77)x y x y+-++ (64)(863)(33)x y z x y z--++ (65)(655)(245)x y x y++-+ (66)(731)(653)x y x y--+-(67)(76)(634)a b c a b c++--(68)(353)(322)x y z x y z-+++ (69)(423)(263)x y z x y z++-+ (70)(36)(922)x y x y+---(71)(924)(234)a b a b--++ (72)(33)(874)x y x y--++ (73)(572)(56)x y x y+---(74)(772)(832)x y z x y z++-+ (75)(825)(476)x y x y--+-(76)(257)(632)x y x y---+ (77)(727)(436)x y x y+---(78)(72)(65)m n m n-+++(79)(867)(64)a b a b--+-(80)(572)(225)x y x y+--+ (81)(76)(843)m m n++-(82)(566)(26)x y z x y z+-++(83)(665)(7)a b c a b c----(84)(86)(524)x y z x y z+++-(85)(93)(565)x y z x y z++++ (86)(775)(654)x y z x y z--+-(87)(667)(42)x y x y++++ (88)(32)(543)x y x y-++ (89)(33)(962)x y x y++--(90)(454)(272)x y x y+-+-(91)(954)(33)a b c a b c-+--(92)(676)(356)x y x y--++ (93)(9)(334)x y z x y z+++-(94)(331)(745)x y x y-+++ (95)(343)(65)x y x y-++ (96)(673)(36)x y x y-+-+ (97)(835)(645)x y z x y z++--(98)(72)(747)p p q-+-(99)(445)(4)x y x+--(100)(82)(95)x y x---。
《因式分解之十字相乘法》PPT课件
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
两个一次二项式 整式乘法 一个二次
相乘的积
三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次
两个一次二项式相
三项式 因式分解
乘的积
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
pq
q ab, p a b
如果二次三项式
x2+px+q中的常数项系 数q能分解成两个因数a、 b的积，而且一次项系 数p又恰好是a+b，那 么x2+px+q就可以进行 如上的因式分解。
16
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
初中多项式因式分解双十字相乘法
初中多项式因式分解双十字相乘法练习及答案(1) 2249517214x xy y x y +++++(2) 22726715743114m mn n m n ++--+(3) 2354237366p pq p q ++++(4) 2221371246177m mn n m n ++---(5) 2228457294235x xy y x y --++- (6) 2240436862942x xy y x y +---+ (7) 224031354025x xy y x y --++ (8) 227108162215x xy y x y +--+-(9) 22613711132x xy y x y ++++-(10) 22212412141930x y z xy yz xz ++--+(11) 22245328352149a ab b a b ++++-(12) 22492418x xy x y +---(13) 222251*********x y z xy yz xz -++--(14) 23530344221x xy x y +---(15) 2294930636x xy y x y +-++(16) 2282812343221m mn n m n +++++(17) 2221635248588x y z xy yz xz --+-+ (18) 224106273735x xy y x y -++-+ (19) 22209918x xy y x y ---+-(20) 22631363956x xy y x y +---+ (21) 22253630246619x y z xy yz xz --+-+(22) 22272416464032a b c ab bc ac +++--(23) 222121376128m n m n ----(24) 2228254213415x xy y x y ---+- (25) 22251815213320x y z xy yz xz +++--(26) 222222541515x y z xy yz xz ++-+-(27) 2223298366x y z xy yz +-++(28) 2221562628a ab b a b +---+(29) 22283512475250x y z xy yz xz +++++(30) 2221063321911a b c ab bc ac ++--+(31) 22284115342510x xy y x y -+-++(32) 22236245602624x y z xy yz xz +--+-(33) 22294243212x y z xy yz xz -++--(34) 222718415611x y z xy yz xz -++++(35) 22184620554525x xy y x y -++-+(36) 222419227842m mn n m n +++-- (37) 22644043273x xy y x y ++--+(38) 2225562033x xy y x y +-+-+(39) 227268661x xy y x y +-+-- (40) 2242252835537x xy y x y +---- (41) 230101925x xy x y ----(42) 22251433714a b c ab bc ac +-+-+(43) 225622255136x xy y x y +++++(44) 22212103235a ab b a b ++---(45) 2281430241310m mn n m n +--++(46) 2210712371a ab b a b +--+-(47) 222831149a b c ab bc ac ++-+-(48) 226211513196x xy y x y +++++(49) 221670491449x xy y x y ++++(50) 22354510382u uv v u v -+-+-(51) 22235308173218x y z xy yz xz ---++(52) 22248218221560a b c ab bc ac ++--+(53) 22319288275u uv v u v +++++ (54) 22273914332842x xy y x y ++--- (55) 224414749x xy x y -+-- (56) 2366328148m mn m n ++--(57) 22249201571356x y z xy yz xz -++++(58) 22462952x xy y x y +++++(59) 2285321314021x xy y x y +---+(60) 222734721836a ab b a b +---+(61) 22235496143547a b c ab bc ac -+-++(62) 229374682735a ab b a b -++-+(63) 22242288733040x y z xy yz xz +++--(64) 2245396165x xy y x y -+---(65) 22264103241116x y z xy yz xz ---++(66) 21515173542m mn m n +++-(67) 22426721191435m mn n m n -+++-(68) 2232202560307m mn n m n ----+(69) 22541054936356x xy y x y -+-++(70) 22224730592933x y z xy yz xz +----(71) 2232528153712a ab b a b +++++(72) 2315132012p pq p q +--+ (73) 226181213176m mn n m n ++--+(74) 224942735436a ab b a b ---+-(75) 22205535537435x xy y x y +++++ (76) 240252757x xy x y -++- (77) 2273528361836m mn n m n ++++- (78) 2224014151931a b c ab bc ac --+-+ (79) 22816312812914x xy y x y -+-++(80) 221034313014x xy y x y +----(81) 22401030335118p pq q p q +-+--(82) 2242336792935x xy y x y +++++(83) 228192363x xy y x y +--++(84) 224230241735x xy y x y --+-+(85) 22363710372010x xy y x y -----(86) 2272362033m mn n m n ++++-(87) 22815104025m mn n m n ++--+(88) 22164218105121m mn n m n +--+-(89) 22354412563221x xy y x y ++--+ (90) 2218893435m n m n ---- (91) 222451212288x y z xy yz xz +---+ (92) 222835318262a b c ab bc ac ---+-(93) 2210184331120x xy y x y --+-+(94) 22235356243737a b c ab bc ac -----(95) 248969x xy x y ++--(96) 222724163088a ab b a b --+-+(97) 22493562833p pq q p q --+-+(98) 2274624324016x xy y x y ++--+(99) 2223058251414a b c ab bc ac -----(100) 223522354227x xy y x y +++++初中多项式因式分解双十字相乘法练习答案(1)(4)(451)x y x y++++(2)(832)(957)m n m n+-+-(3)(76)(561)p p q+++(4)(347)(731)m n m n+-++ (5)(477)(75)x y x y-++-(6)(567)(86)x y x y+---(7)(575)(85)x y x y-++(8)(745)(23)x y x y-++-(9)(2)(671)x y x y+++-(10)(643)(24)x y z x y z-+-+(11)(347)(877)a b a b+++-(12)(6)(243)x x y-++(13)(525)(566)x y z x y z--+-(14)(763)(57)x y x++-(15)(956)(6)x y x y-++(16)(423)(267)m n m n++++ (17)(476)(454)x y z x y z++--(18)(5)(467)x y x y-+-+ (19)(43)(56)x y x y-++-(20)(923)(732)x y x y--+-(21)(65)(566)x y z x y z++--(22)(64)(744)a b c a b c+-+-(23)(337)(774)m n m n--++ (24)(765)(471)x y x y+--+ (25)(565)(33)x y z x y z+-+-(26)(225)(5)x y z x y z----(27)(432)(834)x y z x y z+-++(28)(734)(322)a b a b--+-(29)(872)(56)x y z x y z++++(30)(53)(26)a b c a b c-+-+ (31)(755)(432)x y x y----(32)(66)(645)x y z x y z-+--(33)(372)(362)x y z x y z+---(34)(764)(3)x y z x y z-+++ (35)(955)(245)x y x y-+-+ (36)(87)(326)m n m n+-++ (37)(843)(81)x y x y+-+-(38)(533)(521)x y x y++-+ (39)(721)(41)x y x y--++ (40)(671)(747)x y x y++--(41)(625)(51)x y x--+(42)(73)(52)a b c a b c+++-(43)(821)(76)x y x y++++(44)(225)(51)a b a b+-++ (45)(452)(265)m n m n--+-(46)(231)(541)a b a b+--+(47)()(83)a b c a b c----(48)(332)(253)x y x y++++ (49)(877)(27)x y x y+++(50)(551)(722)u v u v-+--(51)(564)(752)x y z x y z-++-(52)(623)(86)a b c a b c-+-+ (53)(375)(41)u v u v++++ (54)(326)(977)x y x y+-++ (55)(47)(67)x x y+--(56)(474)(92)m n m++-(57)(745)(753)x y z x y z-+++ (58)(2)(421)x y x y++++ (59)(73)(837)x y x y+---(60)(946)(36)a b a b+---(61)(77)(576)a b c a b c++-+(62)(47)(95)a b a b-+-+ (63)(742)(674)x y z x y z+-+-(64)(965)(51)x y x y---+ (65)(82)(853)x y z x y z+--+ (66)(556)(37)m n m+-+(67)(677)(735)m n m n-+--(68)(457)(851)m n m n--+-(69)(973)(672)x y x y----(70)(376)(85)x y z x y z---+(71)(343)(74)a b a b++++ (72)(53)(34)p q p+--(73)(332)(243)m n m n+-+-(74)(76)(771)a b a b+--+ (75)(475)(557)x y x y++++ (76)(51)(857)x x y--+(77)(776)(46)m n m n+-++(78)(523)(875)a b c a b c--++ (79)(947)(932)x y x y----(80)(27)(542)x y x y--++ (81)(863)(556)p q p q--++ (82)(637)(725)x y x y++++(83)(923)(91)x y x y+---(84)(257)(265)x y x y++-+ (85)(455)(922)x y x y--++ (86)(721)(33)m n m n+-++ (87)(35)(55)m n m n+-+-(88)(263)(837)m n m n+--+ (89)(767)(523)x y x y+-+-(90)(647)(325)m n m n++--(91)(26)(252)x y z x y z-+--(92)(453)(27)a b c a b c+--+ (93)(54)(245)x y x y++-+(94)(75)(576)a b c a b c++--(95)(23)(43)x y x++-(96)(342)(944)a b a b-+++ (97)(763)(71)p q p q-+++ (98)(64)(744)x y x y+-+-(99)(554)(62)a b c a b c--++ (100)(731)(57)x y x y++++。
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法什么是因式分解十字相乘法？因式分解十字相乘法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解的过程。
通过使用十字相乘的方法，可以将一个复杂的多项式分解为更简单的因式。
这种方法常用于解决多项式的乘法和因式分解问题。
如何使用因式分解十字相乘法？以下是使用因式分解十字相乘法的步骤：步骤 1：观察多项式的结构首先，我们需要观察多项式的结构，特别是查看是否有公因式。
如果存在公因式，我们可以先提取出来，以简化后续的计算。
步骤 2：找到多项式的两个因式接下来，我们需要找到多项式的两个因式，这两个因式相乘后可以得到多项式。
这两个因式应该满足以下两个条件：1.相乘后得到的结果与原始多项式相同。
2.相乘后得到的结果可以进一步分解。
步骤 3：使用十字相乘法一旦我们找到了两个因式，我们可以使用十字相乘法来展开计算。
十字相乘法的步骤如下：1.将两个因式分别写在一个十字形结构的两侧。
2.首先，将两个因式的每个对应的项相乘，将结果写在下方。
3.然后，将下方的结果进行合并，得到最终的分解式。
步骤 4：进一步分解如果在步骤 3 中的分解式仍然可以进一步分解，我们可以重复步骤 2 和步骤 3 ，直到不再存在进一步分解的可能。
步骤 5：总结结果最后，我们可以将所有得到的因式整理在一起，以得到最终的因式分解结果。
一个示例：因式分解 x^2 + 5x + 6让我们使用因式分解十字相乘法来解决一个简单的例子，以便更好地理解这个方法。
我们要解决的多项式是 x^2 + 5x + 6 。
步骤 1：观察多项式的结构这个多项式没有显式的公因式，所以我们可以继续下一步。
步骤 2：找到多项式的两个因式我们需要找到两个因式，它们相乘后可以得到 x^2 + 5x + 6 。
一个直观的选择是 (x + 2) 和 (x + 3) 。
我们可以验证一下它们是否满足条件。
(x + 2) * (x + 3) = x^2 + 5x + 6满足条件，我们可以继续下一步。
十字相乘法完整版ppt课件
2
2
= (6x ＋x－5) (12x ＋2x－1 )
2
= (6x －5)(x ＋1) (12x ＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－
－1－10=－111
1
1
－5＋6=1
完整版课件
17
2 2
练习2 将 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2
分解因式 2 2
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2 2 2
x2 7x 12 x2 3x 10
小结：
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一 定同号,符号与一次项系数相同；
当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异 号，绝对值大的数与一次项系数同号
完整版课件
4
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7 x 10 x 2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7 x 18
完整版课件
5
例2 分解因式：x26x16
解： x26x16
x26x16
x8x2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
完整版课件
6
2
例3 分解因式 3x2－10x＋3
x
－3
2
解：3x －10x＋3
=(x－3)(3x－1)
3
－
x－9x－x=－101x
完整版课件
7
（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 － 15x － 18 ( 3 ) -6x2 +3x +18
x2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
十字相乘法： 简记口诀：
对于二首次尾三项分式解的，分交解因叉式相，乘借，用一个十字
数学十字相乘法公式
数学十字相乘法公式摘要：一、引言二、数学十字相乘法公式简介1.公式定义2.公式结构三、数学十字相乘法公式的应用1.求解一元二次方程2.求解多项式因式分解四、数学十字相乘法公式的推导1.推导过程2.关键步骤解析五、总结正文：一、引言数学十字相乘法公式是数学中一种非常实用的公式，广泛应用于一元二次方程和多项式因式分解的求解。
本文将对其进行详细介绍，包括公式的定义、结构、应用以及推导过程。
二、数学十字相乘法公式简介1.公式定义数学十字相乘法公式，又称“双十字相乘法”，是一种求解一元二次方程和多项式因式分解的方法。
它利用两个十字交叉相乘的形式，将方程的系数与常数项分别填入，从而得到两个括号的形式，进一步求解方程。
2.公式结构数学十字相乘法公式具有简洁的结构。
它包含两个部分：一元二次方程的系数与常数项。
通过这两个部分的交叉相乘，我们可以得到一个双括号的形式，即(ax + b)(cx + d)，其中a、b、c、d 分别代表方程的系数与常数项。
三、数学十字相乘法公式的应用1.求解一元二次方程数学十字相乘法公式可以用于求解一元二次方程。
假设我们有一个一元二次方程：ax + bx + c = 0，其中a、b、c 分别为方程的系数，我们可以利用数学十字相乘法公式，将方程的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)，从而进一步求解方程。
2.求解多项式因式分解数学十字相乘法公式同样适用于求解多项式因式分解。
假设我们有一个多项式：f(x) = ax + bx + c，其中a、b、c 分别为多项式的系数，我们可以利用数学十字相乘法公式，将多项式的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)，从而实现多项式的因式分解。
四、数学十字相乘法公式的推导1.推导过程数学十字相乘法公式的推导过程相对简单。
首先，我们需要将一元二次方程的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)。
十字相乘法
十字相乘法１.概念（１）十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
（２）十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。
对于形如ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x2+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
２.通俗方法例１：a2x2+ax-42首先，我们看看第一个数，是a2，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a ×+？）×(a ×+？）然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成-21×2 或者21×-2首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×-6.(a×-7））×(a×+6）=a2x^2-ax-42(计算过程省略，）得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a再算：(a×+7）×(a×+(-6））=a2+ax-42正确，所以a2x2+ax-42就被分解成为(ax+7）×(ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式.３.例题解析例２把2x2-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.（1）分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1×2=2×1；（2）分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 31×3+2×1=5 ≠-71 3╳2 11×1+2×3=7 ≠-71 -1╳2 -31×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-71 -3╳2 -11×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.解2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)通常地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例３把5x2+6xy-8y2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即1 2╳5 -41×(-4)+5×2=6解5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例４把(x-y)(2x-2y-3）-2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-21 -2╳2 11×1+2×(-2）=－3=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).指出：将元x、y换成（x+y），以（x+y）为元，这就是“换元法”４．具体应用双十字相乘法是一种因式分解方法。
因式分解(双十字相乘法)
因式分解(雙十字相乘法)準二次式的分解法(雙十字法)：例1 分解因式 2226113828z yz y xz xy x -+-++例2 分解因式 222252z yz xz y xy x ---+-例3 分解因式 310884422++---y x y xy x例4 分解因式 2114242-+++y x y xy例5 分解因式 513617522-+++y y xy x一、把下列各式因式分解：(1) 38836322---++y x y xy x(2) 2525322-+--+y x y xy x (3) 22--++y x y xy(4) 43522+++-y x y x (5) 963422--+-y y xy x(6) yz xz z y x 423222+--- (7) ac bc ab c b a 2332222--+-+(8) 222252a ay ax y xy x ---+-三次式的分解法：例6 分解因式 611623-+-x x x例7 分解因式 673+-x x例8 分解因式 31413623---x x x二、把下列各式因式分解：(1) 9323+-+x x x (2) 93523-++x x x(3) 15711623--+x x x (4) 6192323+-+x x x(5) 963422--+-y y xy x (6) 32238365437y xy y x x +-+(7) 14523--a a (8) 343+-x x(9) 14323+-y y (10) 44743234+--+x x x x因式分解(分組分解法)一、把下列各式因式分解：(1) bc ac ab a -+-2 (2) bx ay by ax 3443+++(3) by ay bx ax 6432+-- (4) b a ax bx bx ax -+-+-22(5) 2222322c ab bc a c ab c b a -+- (6) 22)()1(b a ab +-+(7) )9()(3ad bc cd ab +-+ (8) ay ax y x ++-22(9) 3223z yz z y y --+ (10) b a x a bx x 3334--+(11) 232232bx b ab b a a ax -++-- (12) bc ac ab c b a 222222-+-++(13) 222222)(4c b a b a -+- (14) ab b a 4)1)(1(22---二、把下列各式因式分解：(1) b a bc ac 22+++ (2) xz yz y xy +--2(3) bx ay by ax 6565+++ (4) y a x a xy x 2223412+--(5) d ab bd a c ab bc a 22229664+-- (6) 55222345-++--x x x x x(7) 222)4(2ax x a a --+ (8) yz z y x 2222+--(9) mn n m 2122+-- (10) 134+++a a a(11) y y y x x x ---++2323 (12) )1()1(22+-+b b a a(13) 2222224)(y x z y x --- (14) bx ay y x b a 222222+-+--(15)2222)()()()(c b a c b a c b a c b a +------++++(16)* abc c b a 3333-++。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法（实用版）目录1.十字相乘法简介2.十字相乘法的基本原理3.十字相乘法的具体步骤4.十字相乘法的应用举例5.十字相乘法的优点与局限性正文【1.十字相乘法简介】十字相乘法，又称为“十字相乘因式分解法”，是一种常用的因式分解方法。
这种方法主要适用于两个数的乘积为四位数或者更高位数的情况。
它通过将两个数的个位数相乘得到一个两位数，然后将这个两位数分解为两个一位数的乘积，再将这两个一位数分别乘以两个数的十位数，最后将四个乘积相加，从而得到原数的因式分解式。
【2.十字相乘法的基本原理】十字相乘法的基本原理是将一个四位数分解为两个两位数的乘积，而这两个两位数分别是由原数的个位数和十位数相乘得到的。
具体来说，设原数为 abcd，其中 a 和 b 为十位数，c 和 d 为个位数，则可以将原数分解为 (10a+c)(10b+d) 的形式。
【3.十字相乘法的具体步骤】(1) 将原数的个位数与十位数相乘，得到一个两位数 ac。
(2) 将这个两位数 ac 分解为两个一位数的乘积，即 a 和 c。
(3) 将原数的十位数分别乘以 a 和 c，得到两个乘积 10a 和 10c。
(4) 将原数的个位数分别乘以 b 和 d，得到两个乘积 bd 和 cd。
(5) 将这四个乘积相加，即 10a+ac+10b+bd=10(a+b)+(ac+bd)，得到原数的因式分解式。
【4.十字相乘法的应用举例】以原数 325 为例，按照十字相乘法的步骤进行分解：(1)3×2=6，得到两位数 62。
(2)62 分解为 2 和 31，即 62=2×31。
(3)3×2=6，1×3=3，得到两个乘积 6 和 3。
(4)2×3=6，5×1=5，得到两个乘积 6 和 5。
(5) 将四个乘积相加，即 6+3+6+5=20，得到原数的因式分解式325=(5×6)(3×4)=15×12。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解双十字交乘
十字相乘法是利用))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++这个公式，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。
运用双十字乘法对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型的多项式分解因式的步骤： 1、用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；
2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D 。
一、用双十字相乘法分解多项式
我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：
计算)13)(532(-++-y x y x 。
∴5813376)13)(532(22-++--=-++-y x y xy x y x y x 从计算过程可以发现，乘积中的二次项22376y xy x --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项y x 813+，只和
乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。
根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式
581337622-++--y x y xy x 的分解因式的方法是：
1、先用十字相乘法分解22376y xy x --。
2、再将常数项－5的两个因数写在第二个十字的右边。
3、由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8y 。
再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等于13x ，那么原式就可以分解成
)13)(532(-++-y x y x 。
综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案。
例1、分解因式143318189202
2-+--+y x y xy x 。
∵4×6－15=9，－3×(－7)+2×6=33，－28+10=－18，
∴)765)(234(1433181892022-++-=-+--+y x y x y x y xy x 。
评注：在使用双十字相乘法时，不必标出,x y ，只需写出,x y 的系数就
可以了。
即第1列是x 的系数的两个因数；第2列是y 的系数的两个因数；第3列是常数项y
y
y y 835=+x
3-y
x 2x
3x
3y 3-x 2xy
xy xy 729-=+-1
－5-7
2
6-354-2
10
-45
35
32-+-y x y y xy 5322+-x
xy x 15962+-1
3)-+⨯y x 532+-y x 5
81337622-++--y x y xy x
例2、分解因式2820152-+--y x xy x 。
∵3×(－2)+5×1=－6+5=－1，∴2820152-+--y x xy x =)25)(143(-+-x y x 。
例3、分解因式16401816922-++-y x y x 。
∵3×(－2)+3×8=－6+24=18，
∴16401816922-++-y x y x =)243)(843(-++-y x y x 。
例4、分解因式2
2
2
20232656z yz xz y xy x -----。
∵2×5+3×(－4)=10－12=－2，
∴22220232656z yz xz y xy x -----)523)(432(z y x z y x ++--=。
评注：注意本题中的第3列是220z -的两个因式,不要丢掉z 。
例5、分解因式616213622-+++-y x y xy x 。
解法1：
∴616213622-+++-y x y xy x )26)(32(--+-=y x y x
解法2：616213622-+++-y x y xy x )62()1613(622-++--=y y x y x
)26)(32()32)(2()1613(62
--+-=-++--=y x y x y y x y x 。
解法3：616213622-+++-y x y xy x
)6)(2(6)16()6)(2(n y x m y x y x y x y x +-+-=-++--=
=mn y n m x n m y xy x ++-+++-)2()6(213622
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=+=+612166m n n m n m 解之，得2,3-==n m 。
∴616213622-+++-y x y xy x )26)(32(--+-=y x y x 。
评注：解法1是使用双十字相乘法分解因式；解法2将原多项式化成关于x 的二次三项式分解因式；解法3则使用了待定系数法。
练一练：用多种方法分解下式：23222----y y xy x 。
答案：)22)(1(++--y x y x 。
8-2
4
-43
35
-42
-332-23-1-2
6
14-3=1
-3221y
y y 131621812-=--+-)
2(+-y )32(--
y 6
1
(1)3112020141222+-+-+y x y xy x (2)22282143x xy y x y +-++-
(3)34215822--++-y x y xy x (4)233222+++-+y x y xy x
(5)632912422-+-+-y x y xy x (6)2227225353x xy y x y ---+-
(7)2231092x xy y x y --++- （8）22534x y x y -+++
（9）22xy y x y ++-- （10）223x xy x y -++-
(11)222246113z yz xz y xy x ---+- (12)22227376z yz zx y xy x -+---
(13)22267372x xy y xz yz z ---+- (14)2223438810x y z xy yz xz +++--
（15）143318189202
2
-+--+y x y xy x 。
（16）2820152
-+--y x xy x 。
（17）2
2
2
20232656z yz xz y xy x -----。
（18）61621362
2
-+++-y x y xy x 。