参数估计的方法有
第三讲 参数估计 (1)
L( x1 , x2 , x3;q ) =ˆ Pq { X1 = x1 , X 2 = x2 , X 3 = x3 }
= Pq { X1 = x1 }Pq { X 2 = x2 }Pq { X 3 = x3 }
= p( x1;q ) p( x2;q ) p( x3;q ) = q x1 (1 − q )1− x1q x2 (1 − q )1− x2 q x3 (1 − q )1− x3
其它
其中 −1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
数学期望
是一阶
1
=
= E(X
( + 1)
)
1
1
= x( 0
x +1dx
+ =
1)
x dx +1
原点矩由矩估计法,
X
=
0
+1
+2
总体矩
样本矩
+2
从中解得 ˆ = 2 X − 1 , 即为 的矩估计.
Gauss
Fisher
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人 射中的 .
最大似然估计法就是用使L(q )达到最大值的qˆ去估计q . 称qˆ为q 的最大似然估计（MLE）.
怎样求最大似然估计呢？ 因为lnx是x 的严格单增函数，lnL与L有相同的极大值点， 故一般只需求lnL的极大值点即可----令其一阶偏导为0，得到 似然方程（组），求解即可。
用最小二乘法估计模型参数
用最小二乘法估计模型参数最小二乘法是一种参数估计方法，常用于拟合线性回归模型。
该方法通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
本文将详细介绍最小二乘法的原理、应用领域以及具体操作步骤，以期为读者提供有关该方法的生动、全面且有实际指导意义的文章。
一、最小二乘法原理最小二乘法最初由法国数学家勒让德于18世纪提出，其核心思想是选择能够最小化观测值与模型预测值之间残差的参数。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，这些差异可用来评估模型的拟合程度。
最小二乘法的目标是找到使残差平方和最小化的参数，从而得到最佳拟合效果。
二、最小二乘法的应用领域最小二乘法广泛应用于各个领域，尤其是数理统计学、经济学、工程学和社会科学等领域。
在这些领域，研究人员经常需要通过观测数据来拟合数学模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
例如，在经济学中，研究人员可以利用最小二乘法来估计市场需求曲线和供应曲线的参数，从而预测市场价格和销售量的变化。
三、最小二乘法的具体操作步骤1. 收集观测数据：首先，需要收集一组相关的观测数据，这些数据是建立数学模型的基础。
2. 选择模型：根据实际问题的需要，选择适当的数学模型来描述观测数据之间的关系。
常见的模型包括线性模型、多项式模型和指数模型等。
3. 确定目标函数：目标函数是最小二乘法的核心，其定义为观测值与模型预测值之间残差的平方和。
通过最小化目标函数，可以找到最佳拟合效果的参数。
4. 求解参数：利用数学方法，对目标函数进行求解，求得最小化目标函数的模型参数。
常用的求解方法包括求导、矩阵运算和数值优化算法等。
5. 模型评估：为了评估拟合效果，需要对模型进行验证。
常用的方法有计算残差平方和、拟合优度和假设检验等。
6. 参数解释和预测：最后，根据所得到的模型参数，解释模型的物理含义，并利用模型进行预测和推断。
通过上述步骤，我们可以利用最小二乘法对观测数据进行拟合，并估计模型的参数。
最小二乘法不仅在理论研究中有重要应用，而且在实际问题的解决中也扮演着重要的角色。
参数估计的类型和优缺点
参数估计的类型和优缺点
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。
根据所使用的数据类型和模型假设，参数估计可以分为不同的类型，每种类型都有其优缺点。
以下是一些常见的参数估计类型及其优缺点：
1.点估计：点估计是最简单的参数估计形式，它使用单一的观测值或样本统计量来估计未
知参数的值。
优点是简单直观，计算方便；缺点是精度较低，且无法给出估计的不确定性或误差范围。
2.区间估计：区间估计使用样本统计量和某些统计方法来估计未知参数的可能取值范围。
优点是能够给出估计的不确定性或误差范围，从而更好地了解参数的精度；缺点是计算较为复杂，需要更多的数据和计算资源。
3.贝叶斯估计：贝叶斯估计基于贝叶斯定理，使用先验信息、样本信息和似然函数来估计
未知参数的后验分布。
优点是能够结合先验信息和样本信息，更好地了解参数的不确定性；缺点是需要主观设定先验分布，可能会受到主观因素的影响。
4.极大似然估计：极大似然估计通过最大化似然函数来估计未知参数的值。
优点是方法简
单、计算方便，且在某些情况下具有一致性和渐近正态性等优良性质；缺点是对某些复杂的模型或数据分布可能不适用。
5.最小二乘估计：最小二乘估计通过最小化误差的平方和来估计未知参数的值。
优点是计
算简便，适用于多种线性回归模型；缺点是对模型的假设要求较高，且容易受到异常值的影响。
参数估计和假设检验
参数估计和假设检验参数估计和假设检验是统计学中常用的两种方法，用于根据样本数据对总体的特征进行推断和判断。
参数估计是通过样本数据估计总体参数值的方法，而假设检验则是基于样本数据对总体参数假设进行判断的方法。
下面将详细介绍这两种方法以及它们的应用。
1.参数估计参数是指总体特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
在实际应用中，我们往往无法得到总体数据，只能通过抽样得到样本数据。
参数估计的目标是利用样本数据去估计总体参数的值。
最常用的参数估计方法是点估计和区间估计：-点估计是使用样本统计量来估计总体参数的值，常用的样本统计量有样本均值、样本方差等。
-区间估计是利用样本数据构建一个置信区间，用来估计总体参数的取值范围。
置信区间的计算方法通常是基于样本统计量的分布进行计算。
在进行参数估计时，需要注意以下几个要点：-选择适当的样本容量和抽样方法，确保样本具有代表性，并满足参数估计的要求。
-选择适当的样本统计量进行参数估计，并对其进行合理的解释与限制。
-利用抽样分布特性和统计理论，计算参数估计的标准误差和置信区间，对参数估计结果进行解释和判断。
2.假设检验假设检验是基于样本数据对总体参数假设进行判断的方法。
在实际问题中，我们常常需要根据样本数据来判断一些总体参数是否达到一些要求或存在其中一种关系。
假设检验的基本步骤：-建立原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是对总体参数取值的一种假设，备择假设则是原假设的对立假设。
-选择适当的统计量用来检验假设，并计算样本统计量的检验统计量。
-根据样本数据计算得出的检验统计量，利用抽样分布特性和统计理论计算P值。
-根据P值与事先设置的显著性水平进行比较，如果P值小于显著性水平，则拒绝原假设；反之，接受原假设。
在进行假设检验时，需要注意以下几个要点：-显著性水平的选择：显著性水平（α）是进行假设检验过程中设置的一个临界值，它反映了能够容忍的错误发生的概率。
常用的显著性水平有0.05和0.01-选择适当的统计量与检验方法：根据问题的性质和数据类型选择适当的统计量和检验方法。
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
5.3 参数估计及应用
五、必要抽样容量的计算
1．推断总体平均数所需的样本单位数
（1）在重复抽样条件下：
t 2 2
n
பைடு நூலகம்
x2
（2）在不重复抽样条件下：
Nt2 2
n
Nx2 t2 2
五、必要抽样数目的确定
2．推断总体成数所需的样本单位数
（1）在重复抽样条件下：
t2 p1 p
n
p2
（2）在不重复抽样条件下：
Nt2 p(1 p) n
② 该储蓄所本月存款额在 1000元以上存单所占比 重范围。(概率保证程度 为95.45%)。
存款额分组 （元）
100元以下 100-200 200-500 500-1000 1000-2000 2000-5000 5000以上
合计
存款单 （张）
15 40 70 35 25 10 5
200
解：该储蓄所存单平均存款额与标准差计算表
Np2 t2 p(1 p)
例题5---4
案例
某市自来水城镇居民用户共有114万户，2016年其 满意度的标准差为1。现对该市城镇自来水居民用户 2017年的满意度进行抽样估计，要求平均满意度的 允许误差最大不超过0.1，概率保证程度为95%。
案例思考： 如果采用重复抽样方法，需要抽查多少城镇自来水居民用户？
案例分析
案例采用重复抽样方法，可以使用下面的公式进行计算：
n
t2 2 x2
1.962 12 0.12
384
分析
为了满足该市城镇自来水用户对产品平均满意度的推断，我 们至少应抽取384户城镇自来水用户进行调查。
思维导图
实践任务
对兴安职业技术学院在校大学生平均每月消费支 出情况，选择合适的组织形式进行抽样调查，并 确定必要抽样数目。
不完整数据估计参数的方法
不完整数据估计参数的方法在统计学中，不完整数据是指样本中存在一些缺失或缺损的观测值。
这种情况下，我们需要使用特定的方法来估计参数。
以下是几种常见的不完整数据估计参数的方法：1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它假设数据的缺失是随机且与完整数据的观测无关的。
该方法通过与已观测到的数据相比较，寻找最大化未观测数据可能性的参数值。
通过最大化似然函数来找到符合已观测数据的最优参数。
2. 指数经验似然估计（Exponential Empirical Likelihood Estimation, EEL）：指数经验似然估计是一种鲁棒的参数估计方法，用于处理不完整数据。
该方法利用指数分布来估计未观测数据的概率密度函数，并最大化观测数据的经验似然函数。
3. 多重插补（Multiple imputation）：多重插补是一种常见的不完整数据处理方法，它通过生成多个完整的数据集来估计参数。
首先，缺失值被随机插补，然后在每个插补数据集上进行参数估计，最后将多个估计结果合并为一个最终的估计值。
这种方法能够提供更可靠的估计结果和更准确的标准误差。
4. 期望最大化算法（Expectation-Maximization algorithm, EM）：期望最大化算法是一种迭代方法，用于估计含有不完整数据的模型参数。
该算法通过迭代地进行两个步骤：期望步骤（E-step）和最大化步骤（M-step）。
在E-step中，通过给出当前的参数估计，计算缺失数据的期望值；在M-step中，通过最大化完整数据的对数似然函数，更新参数估计。
该方法在缺失数据模型中的参数估计中具有良好的性能。
以上所提到的方法是处理不完整数据估计参数常用的方法之一。
根据实际情况和数据特点选择合适的方法，能够有效地提高参数估计的准确性和可靠性。
参数估计量
参数估计量参数估计量是统计学中的一个重要概念，它用于描述样本数据与总体数据之间的关系。
在统计学中，我们通常通过收集一定数量的样本数据来推断总体数据的特征。
而参数估计量就是帮助我们从样本数据中推断总体数据特征的工具。
一、参数估计量的定义参数估计量是指在对总体分布进行描述时，利用样本信息对未知参数进行估计的统计量。
例如，在对某种药物治疗效果进行评价时，我们需要知道该药物治疗成功率的真实值。
但是由于人口数量庞大，我们无法测量每个人的治疗效果。
因此，我们只能通过抽取一部分人群作为样本来推断整个人群的治疗成功率。
这时候，我们需要使用参数估计量来对治疗成功率进行估计。
二、常见的参数估计量1. 样本均值样本均值是指将所有样本数值相加后再除以样本数量所得到的平均值。
它可以用来估计总体均值。
2. 样本方差样本方差是指将每个数值与平均数之差平方后相加再除以样本数量所得到的结果。
它可以用来估计总体方差。
3. 样本比例样本比例是指某个特定属性在样本中出现的频率。
它可以用来估计总体比例。
4. 样本标准差样本标准差是指样本方差的平方根。
它可以用来估计总体标准差。
三、参数估计量的性质1. 无偏性无偏性是指参数估计量的期望值等于真实参数值。
如果一个参数估计量是无偏的，那么在重复抽样时，该估计量的平均值会趋近于真实参数值。
2. 一致性一致性是指随着样本数量增加，参数估计量越来越接近真实参数值。
如果一个参数估计量是一致的，那么在重复抽样时，该估计量会逐渐趋近于真实参数值。
3. 有效性有效性是指一个参数估计量与其他可行的估计量相比，具有更小的方差。
如果一个参数估计量是有效的，那么它对于推断总体特征更加准确和可靠。
四、常见的点估计方法1. 极大似然法极大似然法是一种常见的点估计方法，它通过最大化似然函数来估计参数值。
具体而言，极大似然法会寻找一个参数值，使得该参数值下样本数据出现的概率最大。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的线性回归分析方法，它通过最小化误差平方和来估计参数值。
参数估计中点估计常见方法
参数估计中点估计常见方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊参数估计里点估计的那些常见方法。
这
可重要着呢，就像咱生活中找路一样，得有合适的办法才能找到正确
的方向呀！
先来说说矩估计法。
这就好比是搭积木，咱通过一些已知的“积木块”来推测整体的形状。
它利用样本矩来估计总体矩，从而得到参数的
估计值。
你想想，这多有意思呀，就像从一些小细节里能看出大乾坤
一样！
还有极大似然估计法。
这就好像侦探破案，根据现场留下的蛛丝马
迹来推断最有可能的情况。
我们根据样本出现的概率，去找到让这个
概率最大的参数值，那这很可能就是我们要找的“真相”啦！
咱再打个比方，矩估计法像是拼图，从局部慢慢拼成整体；而极大
似然估计法呢，就像是寻宝藏，在众多可能性中找到最有可能藏着宝
贝的地方。
那这两种方法有啥优缺点呢？矩估计法简单直接，但有时候可能不
够精确；极大似然估计法呢，往往更能抓住关键，但计算可能会稍微
复杂点。
这就跟咱走路一样，有的路近但不好走，有的路远但平坦呀！
在实际应用中，咱得根据具体情况来选择合适的方法。
可不能瞎用哦，不然就像闭着眼睛走路，那不得撞墙上呀！咱得根据数据的特点、问题的需求来灵活运用。
比如说，要是数据比较简单，矩估计法可能就挺好用；要是数据很复杂，那极大似然估计法说不定能发挥大作用呢！这就跟咱挑工具干活似的，得选对了工具才能干得又快又好呀！
总之呢，参数估计中点估计的常见方法就像是我们手里的武器，我们得了解它们的特点和用途，才能在面对各种问题时游刃有余呀！大家可得好好记住这些方法，说不定啥时候就能派上大用场呢！可别小瞧了它们哦！。
统计学中的参数估计与置信区间
统计学中的参数估计与置信区间统计学是关于收集、分析和解释数据的学科，其中包括了参数估计和置信区间的概念。
参数估计用于通过从样本中进行推断来估计总体参数的值，而置信区间则是对这个估计结果进行测量误差范围的一种方法。
一、参数估计参数估计是统计学中重要的概念，其目的是通过样本数据来估计总体参数的值。
总体参数是指总体分布的特征，例如均值、方差、比例等。
在实际研究中，很难直接获得总体数据，因此我们通常采用抽样方法，从总体中选取样本进行分析。
参数估计有两种方法：点估计和区间估计。
点估计是通过样本数据计算出一个单独的数值来估计总体参数的值，例如计算样本均值作为总体均值的估计值。
点估计简单直观，但无法确定其准确性。
因此，统计学家提出了置信区间的概念。
二、置信区间置信区间是一种用于衡量参数估计的不确定性的方法。
它提供了一个范围，其中包含了对总体参数值的估计。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示参数估计的可信程度。
通常，置信区间的置信水平设定为95%或90%。
置信区间的计算通常基于样本数据的分布特性和统计推断方法。
对于大样本，根据中心极限定理，可以使用正态分布来计算置信区间；对于小样本，根据t分布进行计算。
三、计算步骤下面以计算样本均值的置信区间为例来介绍计算步骤。
1. 收集样本数据，并计算样本均值。
2. 确定置信水平，例如95%。
3. 根据样本数据的特点，选择相应的分布进行计算。
若样本数据服从正态分布，可以使用正态分布进行计算；若样本数据不服从正态分布，可以使用t分布进行计算。
4. 根据所选分布的特点和样本大小，计算置信区间的下限和上限。
5. 解释置信区间的含义，例如可以说“置信区间为（下限，上限）表示我们有95%的信心相信总体均值在这个范围内”。
四、置信区间的应用置信区间的应用非常广泛，对于研究者和决策者来说都非常重要。
首先，置信区间可以用于总体参数估计。
通过置信区间，我们可以得到一个关于总体参数值的范围，而不只是一个点估计。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
参数估计的方法有
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）：假设模型的参数是未知的，通过寻找最大似然函数值对应的参数值来估计参数。
2. 最小二乘估计（Least Squares Estimation，LSE）：通过使得实际观测值与模型预测值之间的残差平方和最小化来估计参数。
3. 贝叶斯估计（Bayesian Estimation）：将参数看作是随机变量，通过贝叶斯定理来估计后验分布，得到参数的估计值。
4. 矩估计（Method of Moments，MM）：根据样本统计量与理论统计量之间的差异来估计参数。
5. 最优控制估计（Optimum Control Estimation，OCE）：根据系统动态方程和观测方程来估计未知参数。
6. 辅助变量法（Auxiliary Variable Method，AVM）：引入一个辅助变量来简化似然函数，然后再通过最大化辅助变量的似然函数来估计参数。
7. 径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）：通过神经网络模型和训练数据来估计参数。
8. 决策树（Decision Tree）：通过构建决策树来进行参数估计。