求解TSP量子蚁群算法

求解旅行商问题的混合量子蚁群算法 摘要：针对蚁群算法求解旅行商问题时易陷入局部最优和收敛速度慢的问题，提出一种新的求解旅行商问题的混合量子蚁群算法。该算法采用量子比特的概率幅对各路径上的信息素进行编码，量子旋转门及蚂蚁走过的路径对信息素进行更新，加快算法收敛速度；为了避免搜索陷入局部最优，设计一种新的变换邻域准则，以提高求解效率。TSPLIB中部分实例仿真结果表明该算法比传统蚁群算法具有更快的收敛速度和求解精度。 关键词：量子蚁群算法；变换邻域准则；旅行商问题

Hybrid Quantum Ant Colony Algorithm for

Traveling Salesman Problem

Abstract： Aiming at the Traveling Salesman Problem based on ant colony optimization which is easy to fall into local optimums and has a slow convergence rate，a hybrid quantum ant colony optimization algorithm is presented .In this algorithm，the pheromone on each path is encoded by a group of quantum bits, the quantum rotation gate and ant’s tour are used to update the pheromone so as to accelerate its convergence speed; To avoid the search falling into local optimum, the new neighborhood exchange strategy is designed to improve solution efficiency. Some cases from the TSP library(TSPLIB) are used to experiment, the results show that the algorithm has rapider convergence speed and higher accuracy than the classical ant colony algorithm. Key words: Quantum Ant Colony Algorithm; neighborhood exchange strategy ; Traveling Salesman Problem

1 引言 蚁群算法是一种模拟进化算法，最早是意大利学者Dorigo M 于1991 年提出[1]，其灵感来源于蚂蚁在寻找食物过程中发现路径的行为，算法成功地用于TSP求解、工件排序、图着

色、车辆调度等多目标组合优化问题27。然而,迭代次数多、收敛速度慢、易于陷入局部最优解仍是制约ACO算法广泛应用的主要瓶颈。

量子计算8的研究开始于二十世纪八十年代，Benioff 和 Feynman 提出了量子计算的概念。量子计算利用量子理论中有关量子态的叠加、纠缠和干涉等特性，用来解决经典计算中的许多难题，并以其独特的计算性能引起科技界的广泛关注。1985 年 Deutsch 指出，利用量子态的相干叠加性可以实现并行的量子计算。1994 年 Shor 提出大数因子分解的量子算法，此算法可在量子计算机上以多项式时间实现，它使 NP 问题变成 P 问题。2002 年，Kuk-Hyun Han 等提出量子进化算法(Quantum-InspiredEvolutionary Algorithm, QEA)，它是一种基于量子计算原理的概率优化方法。它以量子计算的一些概念和理论为基础，用量子位编码来表示染色体，用量子门作用和量子门更新来完成进化搜索，具有种群规模小而不影

响算法性能、同时兼有“勘探”和“开采”的能力、收敛速度快和全局寻优能力强的特点9。量子蚁群算法（Quantum Ant Colony Algorithm，QACA）则将量子计算和蚁群算法相结合，把量子计算中的态矢量和量子旋转门引入到蚁群算法中，加快了算法的收敛速度。量子蚁群算法已成功地求解许多组合优化问题，文献[10]使用量子蚁群算法对0-1背包问题（0/1 knapsack problem）进行求解，并用数值试验说明了算法的有效性。文献[11]利用量子计算 2

的并行性，将量子蚁群算法用于求解多任务联盟问题，并取得了较好的结果。文献[12]中分析了量子蚁群算法的优缺点，提出一种新的量子蚁群算法用于求解小规模旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），但对于求解较大规模问题时，该算法易陷入局部最优和停滞状态。 针对量子蚁群算法求解TSP问题的不足，本文提出一种混合量子蚁群算法（Hybrid Quantum Ant Colony Algorithm，HQACA），该算法设计了一种新的变换邻域准则来对求得的解进行优化，扩大解的搜索空间，改善种群信息结构，避免搜索陷入局部最优。对国际通用的TSPLIB中部分实例进行了实验, 并将该算法与目前比较常用的一些算法进行了比较, 仿真结果表明该算法具有更好的收敛速度和求解精度。

2 TSP简述 直观地说，TSP问题就是指一位商人，从自己的家乡出发，希望能找到一条最短路径，途径给定的城市集合中的所有城市，最后返回家乡，并且每个城市都被访问且仅访问一次。形式上，TSP问题可以用一个带权完全图G=(N,A)来描述，其中N是城市的结点集合，A是所有边的集合。每一条边,ijA都分配一个权值ijd，它代表城市i与j之间的距离大小，其中,ijN。在非对称TSP中，一对结点i,j之间的距离与该边的方向有关，也就是说，至少存

在一条边,ij，有ijjidd。在对称TSP中，集合A中所有的边都必须满足ijjidd。TSP的目标就是寻找图中的一条具有最小成本值的哈密尔顿回路，这里的哈密尔顿回路是指一条访问图G中的每一个结点一次且仅一次的闭合路径。这样，TSP的一个最优解就对应于结点标号为1,2,...,n的一个排列，并且使得长度f最小。f的定义为：

1()(1)()(1)1niinifdd

 （1）

求解TSP问题最直接同时也是最精确的方法就是穷举搜索，将n个城市的任意排列看作一个有序表，它决定了所访问的城市的顺序，旅行商从某个城市出发，然后历经所有城市直至到出发城市，每个有序表都对应一个路径长度总耗费，由于每一条路径可能用2n种不同表示

方法，而n个城市排列数为n!，因此搜索空问大小为!21!2Snnn。穷举搜索算法

就是计算1!2n个不同的有序表的耗费，其中最小耗费对应的旅行路经就是TSP的解，随着城市数目的不断增加，求解空间将呈指数级增长，通过穷举法根本无法求解，因此用优化算法解决TSP就十分必要。目前, 求解 TSP 问题的算法较多, 最常用的方法主要有神经网络算法、蚁群算法、启发式搜索法、遗传算法、模拟退火算法和量子算法等。这些算法在求解TSP时有各自的优点和缺陷，有的运算快但易于收敛到局部最优解，有的求解精度高但收敛速度较慢，有的求解城市规模较小等，针对以上算法的不足，本文使用一种混合量子蚁群算法来求解TSP。

3 混合量子蚁群算法(HQACA)

3.1 量子信息编码 在经典计算中，采用 0 和 1 二进制表示信息，称为比特。在量子信息论中，信息的基本存储单元是量子比特，或称量子位。一个简单的量子比特是一个双态系统，它的两个极化状态对应经典信息的二进制存储单元状态的 0 和 1。区别于经典比特，一个量子比特除了可以处于 0 态和 1 态之外，还可以处于它们的叠加态。 3

一个量子位可以使用概率幅表示，那么有n个量子位的个体概率幅可表示为： 1212

...

...n

n







（2）

其中，i、i满足221ii，i=1,2,„,n，该量子个体可以表示任意量子叠加态。 在HQACA中，使用量子比特表示各路径上的信息素，第k只蚂蚁在各路径上的量子信息素编码可表示为： 111121111222122221221212nnnnkij

ij

nnnnnnnn

Q

















（3）

其中，n为城市总数目，ijij表示城市i到城市j之间路径上的信息素的概率幅，当ij时，221ijij；当ij时，2201,ijijijn。对于城市i和j，当

有蚂蚁通过i到j的路径，会使得该路径上信息素概率幅ij的值增大，信息素得以增强；反之，该路径上的信息素会有所挥发，信息素更新规则见3.4节。

3.2 信息素更新规则 按照TSP约束，当所有蚂蚁都构建好路径后，各边上的信息素将会被更新。首先，所有边上的信息素都会减少一个常量因子的大小，然后在蚂蚁经过的边上增加信息素。信息素的蒸发根据下面的公式执行 1,,ijijijA （4）

其中是信息素的蒸发率，有01，参数的作用是避免信息素的无限积累。在信息素的蒸发步骤之后，所有蚂蚁都在它们经过的边上释放信息素： 1,,mkijijijkijA

（5）

其中kij是第k只蚂蚁向它经过的边释放的信息素量。kij定义为 2

1,k0kkkkijijCijT，如果边在第只蚂蚁构建的路径上

否则 （6）