电磁场与电磁波课后答案

第一章矢量场 1.1 z y x C z y x B z y x A ???3;?2??;??3?2+-=-+=-+=ρρρ 求:(a) A ； (b) ?b ； (c) ρρA B ? ； (d) ρρB C ? ； (e) ()ρρρA B C ?? (f) ()ρρρA B C ?? 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )?2??(61?z y x B B b -+==ρρ ( c) 7=?B A ρρ; (d) z y x C B ?4?7?---=?ρρ (e) z y x C B A ?4?2?2)(-+=??ρρρ (f) 19)(-=??C B A ρρρ 1.2 ρA z =++2???ρπ?; ρB z =-+-???ρ?32 求:(a) A ； (b) ?b ； (c) ρρA B ? ； (d) ρρB A ? ; (e) B A ρρ+ 解：(a) 25π+=A ;(b) )?2?3?(141?z b -+-=?ρ;(c) 43-=?πB A ρρ (d) z A B ?)6(?3?)23(+--+=?π?ρπρρ (e) z B A ??)3(?-++=+?πρρρ 1.3 ρA r =+-22???πθπ?; ρB r =-??πθ 求:(a) A ； (b) ?b ； (c) ρρA B ? ； (d) ρρB A ? ; (e) ρρA B + 解：(a) 254π+=A ； (b) )??(11?2

θππ-+=r b ； (c) 22π-=?B A ρρ ； (d) ?πθππ?3?2?22++=?r A B ρρ ; (e) ?π?2?3-=+r B A ρρ 1.4 ρA x y z =+-???2; ρB x y z =+-α???3 当ρρA B ⊥时，求α。解：当ρρA B ⊥时，ρρA B ?=0, 由此得 5-=α 1.5 将直角坐标系中的矢量场ρρF x y z x

F x y z y 12(,,)?,(,,)?==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

解：(1)圆柱坐标系由(1.2-7)式，???ρsin ?cos ??1-==x

F ρ;???ρcos ?sin ??2+==y F ρ (2)圆球坐标系由(1.2-14)式, ???θθ?θsin ?cos cos ?cos sin ??1-+==r x F ρ ???θθ?θcos ?sin cos ?sin sin ??2++==r y

F ρ

1.6 将圆柱坐标系中的矢量场ρρF z F z 1223(,,)?,(,,)?ρ?ρρ??

==用直角坐标系中的坐标分量表示。解：由(1.2-9)式，)??(2?sin 2?cos 2?2221y y x x y

x y x F ++=+==??ρρ )??(3?cos 3?sin 3?3222y x x y y

x y x F +-+=+-==???ρ

1.7将圆球坐标系中的矢量场ρρF r r F r 125(,,)?,(,,)?θ?θ?θ

==用直角坐标系中的坐标分量表示。解：由(1.2-15)式，)???(5)?cos ?sin sin ?cos (sin 52221z z y y x x z

y x z y x F ++++=++=θ?θ?θρ )?sin ?sin cos ?cos (cos 2z y x F θ?θ?θ-+=ρ2

2222???????z y x z z y y x x y x y x x y r ++++?++-=?=?

}?)(??{112222222z y x y yz x xz y

x z y x +-++++= 1.8求以下函数的梯度：

(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6 (b) f z z (,,)sin ρ??ρ=-+24

解：(a) z x y x x

z y f ??10?)105(-+-+=? (b) z z f ??cos 2?ρ?ρ

?ρ-+-=? (c) ?θθθθ?sin 5?sin 2?cos 2r r

f --=? 1.9 求标量场f x y z xy z (,,)=+22在点(1,1,1)沿)??(2

1y x l -=ρ方向的变化率。解：)(21?x y l f l f -=??=??

1.10 在球坐标中，矢量场ρρF r ()为

ρρF r k r r ()?=2 其中k 为常数，证明矢量场ρρF r ()对任意闭合曲线l 的环量积分为零，即 ρρF dl l

?=?0

解：由斯托克斯定理, ??????=?s l S d F l d F ρ

ρρρ 因为0)?(2=??=??r r k F ρ 所以 ρρF dl l

?=?0 1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。

1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。

1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。

1.14计算下列矢量场的散度

a) ρF yzx zyy xzz =++??? b) ρF z z =++ρρ???sin ??2 c) ρF r r r =++2?cos ??θθ? 解：(a) z x F +=??ρ

(b) ?ρcos 2z F +=??ρ

1.15计算下列矢量场的旋度

a) ρF xyx yzy z =+-???2 b) ρF =+2?sin ?ρ?? c) ρF rr =++??sin ?θθ? 解： (a) z x x

y F ??2--=??ρ (b) ∧=??z F ρ

?sin ρ (c) )??sin ?cos 2(1?θθθ+-=??r r

F ρ 1.16计算

a) ???ρ,,r e kr

b)??????(?),,()ρρρρr ke kr c)??????ρρρρ

,,(?)r z 解：(a) ;????ρ?ρ?ρρρ=?ψ?+?ψ?+?ψ?=?z

z ;?sin ???r r r r r r =?ψ?+?ψ?+?ψ?=??

θ?θθ kr kr kr kr ke r

r ke kr e e ?)(=?=?=? (b) ;2)(1=??=??ρρρ

ρρρ ;3)(122=??=??r r r r r ρ kr kr kr kr kr ke r k e k k e e k e k ?)(?=??=??+??=??ρρρρρ (c) ?ρρ?)?(;0;0=??=??=??z r ρρ 1.17已知ρA yx xy =-??，计算ρρA A ???() 解：0)(;?2=???-=??A A z A ρρρ 1.18已知??=??=ρρF x y z F δδδ()()(),,0计算ρF 解：根据亥姆霍兹定理，因为0=??F ρ

，所以0=A ρ ??????==??=ΦV V r dz dy dx R z y x dV R r F r πδδδππ41''')'()'()'(41')'('41)(ρρρ

24?r r F π=Φ-?=ρ 1.19已知??=??=ρρF

z x y z 0,?()()(),δδδ计算ρF 解：根据亥姆霍兹定理，因为0=??F ρ，所以0=Φ r z dz dy dx R z z y x dV R F A V V πδδδππ4?'''?)'()'()'(41''41==??=??????ρρ 24??)?1?1(41?41r r z z r z r r z A F πππ?=??+??=??=??=ρρ 1.20求矢量场z z F ???++=?ρρρ穿过由ρ?π≤≤≤≤≤1001,,z 确定的区域的封闭面的通量。解：根据高斯定理，矢量场z z F ???++=?ρρρ穿过由l z ≤≤≤≤≤0,0,1π?ρ确定的区域的封闭面的通量 ???????=?=ψS V dV F S d F ρρρ 因为 31)(1=??+??+??=??z F F F F z ?ρρρρ?ρρ 所以 ???==??=ψV l V dV F 2332πρ 第二章习题解 2-1.已知真空中有四个点电荷q C 11=，q C 22=，q C 34=，q C 48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。解：设z r ?=ρ,y r x r y r x r ?',?',?',?'2321-=-===ρρρρ z y r r R z x r r R z y r r R z x r r R ??';??';??';??'44332211+=-=+=-=+-=-=+-=-=ρρρρρρρρρρρρ 84?15?6?3)????(41024442333222221110πεπεz y x R R q R R q R R q R R q E ++=+++=ρ 2-2.已知线电荷密度为ρl 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。 (a) (b) (c) 题2-2图

解：(a) 由对称性043

21=+++=E E E E E ρρρρρ

(b) 由对称性0321=++=E E E E ρρρρ

y a

y x y x a E E E l l

a ?2)}??()??{(40021περπερ-=--+-=+=ρρρ

半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为

y a E l b ?20περ=ρ 总电场为0

=+=b a E E E ρρρ

2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为ρs ，求轴线上的电场强度。

解:在无限长的半边圆筒上取宽度为?ad 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为?ρρad s l =,对?积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为 y d x y a d r a E s s s ?)?cos ?sin (22?0000

0??-=--==πππερ???περπε?ρρ 题2-3图题2-4图

2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。

解: 在平板上'x 处取宽度为'dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dx s l ρρ=，在点),(y x 处产生的电场为

ρρπε'?21),(0dx y x E d s =ρ 其中 22)'(y x x +-=ρ；22)'(??)'(?y

x x y y x x x +-+-=ρ

对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为

)}2/2/(2?)2/()2/(ln ?{4),(2

2220y a x arctg y a x arctg y y a x y a x x y x E s --+++-++=περρ 2-5.已知电荷分布为 ρ=≤>?????r a r a r a

220;;

ρs b r a ==;

r 为场点到坐标原点的距离，a ，b 为常数。求电场强度。

解：由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理

??=?s q S d E 0ερρ

等式左边为 r s E r S d E ??=?2

4πρρ

半径为 r 的球面内的电量为???

????>+<=a r ba a a r a r q ;554;54

2325

ππ 因此，电场强度为

???????>+<=a r r

ba a a r a r E r ;55;520232

εε

2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为

ρ=≤>?????r a r a r a

;;0 r 为场点到z 轴的距离，a 为常数。求电场强度。

解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理 ??=

?s q S d E 0ερρ

等式左边为 r s E r S d E ??=?π2ρ

半径为 r 的圆柱面内的电量为???????><=a r a a r a r q ;3

2;3223

ππ 因此，电场强度为

???????><=a r r

a a r a r E r ;3;30202

εε 2-7. 在直角坐标系中电荷分布为

ρρ(,,);;x y z x a x a =≤>???

00 求电场强度。

解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，

取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为 ?

??><=a x aS a x xS q ;2;200ρρ

因此，电场强度为 ???????><=a x a a x x E x ;

000ερερ 题2-9图题2-7图

2-8. 在直角坐标系中电荷分布为

ρ(,,);;x y z x x a x a =≤>???

0 求电场强度。

解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面

积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为 ?

??><=a x S a a x S x q ;;22 因此，电场强度为 ???????><<=a x a a x x E x ;20;20

2002ερερ???????-<-<<--=a x a x a x E x ;20;20202

εε

2-9.在电荷密度为ρ（常数）半径为a 的带电球中挖一个半径为b 的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c

解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为 0

3ερR E a ρρ= 完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为 03ερr E b ρρ-=

所以，空腔中某点的电场为 003)(3ερερc r R E E E b a ρρρρρρ=-=+= c ρ为从球心指向空腔中心的矢量。

2-10.已知电场分布为

ρE x b x b x b x x b x x b =-<<>-

??22222?;//?;/?;/

求电荷分布。