指数运算和指数函数

指数运算和指数函数

This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

指数运算和指数函数

一、知识点

1.根式的性质

（1）当n 为奇数时，有a a n

n

= （2）当n 为偶数时，有?

??<-≥==)0(,)

0(,a a a a a a n

n

（3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零

2.幂的有关概念

(1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n

n

(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1

*∈≠=

-N p a a a p

p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a

n m n

m

且

(5)负分数指数幂 n

m n

m a

a 1=

-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且

(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义

3.有理指数幂的运算性质

(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=

(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?=

4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。

5. 指数函数的图象和性质

二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）

① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d =

则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c

又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大）

x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数

11

2,

3,

(),

()2

3

x x x x y y y y ====的图像：

三、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

(2)中间量法

(3)分类讨论法

(4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若0A B A B ->?>；0A B A B -

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断

1A B >，或1A

B

<即可． 四、典型例题

类型一、指数函数的概念

例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值．

【答案】2

【解析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，

可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠?且解得12,01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =．

举一反三：

【变式1】指出下列函数哪些是指数函数

（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；

（5）1

(21)(1)2

x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．

【答案】（1）（5）（6）

【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x

y -==14x

??

???

，符合指数函数的定

义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．

类型二、函数的定义域、值域

例2．求下列函数的定义域、值域.

(1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =(a 为大于1的常数)

【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,4

3

)；

（3）1,2??

-+∞????

[)0,+∞；（4）[1，a)∪(a ，+∞)

【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).

∵ (13)1111313

x x x

y +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x

>1， ∴ 10113x <

<+， ∴ 1

1013x

-<-<+，

∴ 1

01113x

<-

<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，4

3)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 21

2=x 即 x=-1

时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,4

3

).

(3)要使函数有意义可得到不等式211

309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，

所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2??

-+∞????

，值域是[)0,+∞.

(4)∵

01

1

112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵

11

1

011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a a y a y x x x x

≠=≥=-+-+11

211

21且， ∴值域为[1，a)∪

(a ，+∞).

【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中

11

2

111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)2

-12x y = (2)y =

(3)y =0,1)y a a =>≠

【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0

[)0+∞，

【解析】(1)R

(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．

(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞

(4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0

【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.

类型三、指数函数的单调性及其应用

例3．讨论函数221()3x x

f x -??

= ?

??

的单调性，并求其值域．

【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x

-??

> ?

??

恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调

区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．

【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】

解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，

∴222

221()3x x f x -??

= ?

??，2

11

211()3x x f x -??

= ?

??

，

222

22

212121212

1122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--?? ?????

??=== ? ?????

?? ???． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．

又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)

113x x x x -+-??

> ?

??．

又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >．

∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．

（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0．

又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知

2121()(2)

1013x x x x -+-??<< ???

．∴21()()f x f x <．

∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．

综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．

∵x 2

―2x=(x ―1)2

―1≥－1，1013<<，221

110333x x

--??

??

<≤= ?

???

??

． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．

解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2

－2x ，则1()3u

f u ??

= ???

．

∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3u

f u ??

= ???在其定义域内是减函

数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．

又1()3u

f u ??

= ???在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函

数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．

值域的求法同解法一．

【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a =的单调与()y f x =的单调性相反．

举一反三：

【变式1】求函数2

32

3x

x y -+-=的单调区间及值域.

【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3

[,)2

x ∈+∞上单减. 1

4(0,3]

【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；

[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，

其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3

(,]2

x ∈-∞上单增，

u=-x 2+3x-2在3

[,)2x ∈+∞上单减，

则2

32

3x

x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3

[,)2

x ∈+∞上单减.

又u=-x 2

+3x-22311

()244

x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为1

4(0,3].

【变式2】求函数2

-2()(01)x

x

f x a a a =>≠其中，且的单调区间.

【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2

-2x 在区间

(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2

-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函

数，在区间[)1+∞，上为增函数；

当0

上为减函数，内函数u=x 2

-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2

-2()x x

f x a =在区间(1)-∞，

上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.

例4．证明函数1

()(1)1

x x

a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。 【解析】定义域为x ∈R ，任取x 1

121

22()

(1)(1)

x x x x a a a a -=++. ∵1210,10x x a a +>+>， ∴12(1)(1)0x x a a ++>，

又a>1， x 1

则 1

()(1)1

x x

a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 另：12121(1)x x x x x a a a a --=-， ∵10x a >， a>1且x 2-x 1>0，

∴211x x a ->， ∴ 2110x x a --<.

【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.

例5．判断下列各数的大小关系：

(1)与+1

； (2)2

4-231

(),3,()33

1

(3)，0， 2.51

()2

(4)0,1)a a >≠

【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。

【答案】（1）<+1

（2）2-24311()<()<333 （3） 2.50 2.51

()<(2.5)<22

（4）当a>1时，<0

【解析】

(1)因为底数>1，所以函数y=为单调增函数， 又因为a

.

(2)因为44

133-??= ???，又13x y ??= ???是减函数，所以-4

2-23111()<()<333?? ???

，即

2-24311

()<()<333

． (3)因为 2.5

2

1>， 2.5

112??

< ?

??

，所以 2.50 2.51

()<(2.5)<22

(4)当a>1时，<0．

【总结升华】

(1)注意利用单调性解题的规范书写；

(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；

(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”). 举一反三：

【变式1】比较大小： (1)与 (2)与 (3)与

(4)与

(5)11

0.2

3324

1.5

,(),()33

-. 【解析】 (1)＜

(2)＞.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x 3，它为增函数.

(3)由，0<<1， <0， >1， <00<， 则；

(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.20.221.5()3

-=，又函数2

()3x y =为减

函数，

001x y >?<<， ∴ 1

0.2322

1()()033

>>>，

∵4()3x y =为增函数，1

03

x =>时，y>1，1

1

0.233422()()()333>>.

另解：幂函数1

3

y x =为增函数，则有11

3342

()1()33

>>，(下略).

【高清课堂：指数函数 369066 例1】

16

6

【变式2】利用函数的性质比较1

2

2，13

3，

【答案】13

3>122>16

6

【解析】12

2=31136

6

6

2(2)8==

作出8,9,6x x x y y y ===的图象知

所以13

3>122>16

6

【变式3】 比较， ， 1

32

()3

的大小.

【答案】7.02.031

3.15.1)3

2

(<<-

【解析】先比较31

51

2.02

.0)32()32()23(5

.1与==--的大小.由于底数3

2

∈(0，1)， ∴ x y )32(=在R 上是减函数，∵ 051

31>>， ∴ 1)32()32()32(0051

31

=<<<，再考虑指数函

数y=， 由于>1， 所以y=在R 上为增函数， ∴ 7.02.031

3.15.1)3

2

(<<-.

【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.

例6. (分类讨论指数函数的单调性)

【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值。

2

1

21333

3

1233-,1

--,01

a a a a a a a a ?>?===??<

举一反三：

【变式1】如果215x x a a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．

【答案】当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤-

【解析】（1）当01a <<时，由于215x x a a +-≤，

215x x ∴+≥-，解得6x ≥-． （2）当1a >时，由于215x x a a +-≤，

215x x ∴+≤-，解得6x ≤-．

综上所述，x 的取值范围是：当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤-．

类型四、判断函数的奇偶性

例7．判断下列函数的奇偶性：)()2

1

121(

)(x x f x

?+-= (()x ?为奇函数) 【答案】偶函数

【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x ?定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是

()x ?定义域除掉0这个元素)，令2

1

121)(+

-=

x x g ，则2

11222121221121)(+--=+-=+-=

--x x x x x

x g ∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ?为奇函数，∴ f(x)为偶函数.

【总结升华】求()()()f x g x x ?=?的奇偶性，可以先判断()g x 与()x ?的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出()f x 的奇偶性．

举一反三：

【变式1】判断函数的奇偶性：()2

21x

x x

f x =

+-. 【答案】偶函数

【解析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}，

又112121

()()()()222

211221x x x

x x f x x x x --=-+=-+=---- 21111111

()(1)()()222

212121x x

x x x x x f x -+=-=+-=+=---， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题

例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x y a =的图象，而

12,,3,22a π????

∈??????

，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．

【答案】

22 1

2

π 3 【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数＜C 1的底数＜C 4的底数＜C 3的底数．

【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y 轴的右边“底大图高”，在y 轴的左边“底大图低”．

举一反三：

【变式1】 设()|31|x f x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ）

A ．33c b <

B ．33c b >

C ．332c a +>

D ．332c a +<

【答案】D

【变式2】为了得到函数935x y =?+的图象，可以把函数3x y =的图象( )

A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

【答案】C

【解析】注意先将函数935x y =?+转化为235x y +=+，再利用图象的平移规律进行判断．

∵293535x x y +=?+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =?+的图象，故选C ．

【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

指数函数测试题1

1．函数2

10)

2()5(--+-=x x y （ ）

A ．}2,5|{≠≠x x x

B ．}2|{>x x

C ．}5|{>x x

D ．}552|{><

2．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （ ）

A ．

2

5

1+ B ．

2

5

1+- C ．

2

5

1± D ．

2

1

5± 3．函数???

??>≤-=-0

,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围

（ ）

A ．)1,1(-

B ． ),1(+∞-

C ．}20|{-<>x x x 或

D ．}11|{-<>x x x 或

4．函数2

2)

21

(++-=x x y 得单调递增区间是 （ ）

A ．]2

1

,1[-

B ．]1,(--∞

C ．),2[+∞

D ．]2,2

1[

5．已知2

)(x

x e e x f --=，则下列正确的是

（ ）

A ．奇函数，在R 上为增函数

B ．偶函数，在R 上为增函数

C ．奇函数，在R 上为减函数

D ．偶函数，在R 上为减函数