空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结

一.知识要点。

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。

3. 共线向量

量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a // b 。

(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b ( b 工0 ), a // b 存在实数 入，使a = X b 。

(3) 三点共线：A B 、C 三点共线<=>AB

<=>

oc

(4) 与

a 共线的单位向量为

4.共面向量

(1)定义: 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

(2) 共面向量定理：如果两个向量ad 不共线，p 与向量a,b 共面的条件

r

是存在实数x,y 使p xa yb 。

(3) 四点共面：若A 、B C 、P 四点共面<=>AP xAB yAC

<=> OP xOA yOB zOC(其中 x y z 1)

r

5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量

2. (2)向量具有平移不变性 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、 uuuuuruuu r

v uun LLW LUU r

OB OA AB

a b ； BA OA OB a

运算律：⑴加法交换律：abba

⑵加法结合律：(a b) c a (b c) ⑶数乘分配

律：(a b) a b 减法与数乘运算如下(如

r

uuu

r

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、 平行六面体法则 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直 线平行或重合，那么这些向

AC

xOA yOE （其中（y

a

p，存在一个唯一的有序实数组x, y,z，使p xa yb zc。「若三向量a,b)c不共面，我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，

a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三

UUU UUU UUU UULT 个有序实数X, y, Z,使OP

xOA yOB zOC。

6.空间向量的直角坐标系：

(1)空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使OA xi yi zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

注：①点A(x,y,z )关于x轴的的对称点为(x,-y,-z), 关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)

(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单

r r r f » t f

位正交基底，用｛i, j,k｝表示。空间中任一向量a xi y j zk

=(x,y,z)

(3)空间向量的直角坐标运算律：

r r r r

①若 a @8283)，b (Ebb)，则a b 佝ga? b?© d)，

r r r

a b (a i b?,a3 Q)，a ( a i, a?, a3)( R)，

r r

a b a1b1 a2b2 a3b3，

r r

a//b a i ga?鸟且d( R)，

r r

a b a1b1 a2b2 a3b3 0。

LULL

②若人(为』1,乙)，B(X2,y2Z)，则AB (x? y? 乙)。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的

坐标减去起点的坐标。

③定比分点公式：若人化，％,/)，B(x?,y?,z?)，AP PB，则点p坐

/ x 1 x ? y 1

y ? z

z ?、

标为(」

?

, 1

?

㈡

?)。推导：设

P ( x,y,z )则

1 1 1

(x x 1,y y 1,z zj (x ? x,y ? y,z ? z),显然，当 P 为 AB 中点时，

④ABC 中，A 他，％,^) ,B(x ?, y ?,z ?),C(X 3, 丫

3

启)，三角形重心P 坐标

x 1 x ? P(

—r y y ?乙 z ? ? , ?

或 d A,B . (X 2 X -)2

(y 2 y -)2

② z -)2

7. 空间向量的数量积。

（1） 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ，在空间任取一点O ,

uuu r uuu r

r

r

r

作OA a,「OB b ，贝q AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作 a,b ；且规 定o

a,b ，显然有a,b b,a ；若a,b ，则称a 与b 互相

2

垂直，记作：a b 。

（2） 向量的模：设OA a ,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模， 记作：Hi 。

（3） 向量的数量积：已知向量a,b ，则| a | |b | cos a,b 叫做a,b 的

「

r r

数量积，记作a b ，即a b 向|b| cos a,b 。

X i X 2 X 3 y i y 2 y 3 乙 z ?

Z 3

为 P （

3 ' 2

⑤厶ABC 的五心：

内心 P ：内切圆的圆心, 角平分线的交点 AP

z

AB AC 、 （

AB AC ）

（单位向 AC

量）

外心 P:外接圆的圆心, 中垂线的交点。 P. 垂心 垂直）

P ：高的交点：PA PB PA PC PB PC

|PB （移项，内积为0,则

PC

重心 P:中线的交点，三等分点（中位线比）

AP

中心：正三角形的所有心的合一。

、 r r

（4）模长公式：若a ⑻总厶）,b （bibg ）,

|a| \a a Ja

-(AB AC) 3

（5）夹角公式：cosa b

a 2 a 3 , |

b | \ b b D b ： 6

r r a b a b a b a b |a| 1 b|

4a a/a/j b

-2 匕22b 2

△ ABC 中①AB ? AC 0 <=>A 为锐角②AB? AC 0 <=>A 为钝角，钝角△ (6)两点

间的距离公式：若 A(x 1

, y 1

,z 1

) , B(X 2, y 2

,z 2

),

f

uuu

,untr 贝S |AB| \AB

2

2 2 2

,(X 2 X -) (y 2 y i ) (Z 2 Z -)，