中考数学压轴题之动点问题

中考数学压轴题之——

一、因动点产生的直角三角形问题

1．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD 上．

（1）求线段CF的长；

（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

2．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．

（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；

（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；

（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．

二、因动点产生的平行四边形问题

3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y =kx +b 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD =4AC ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）；

（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的一点，若△ACE 的面积的最大值为4

5，求a 的值； （3）设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

4．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E 点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

6．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ，以AQ 为边作Rt △ABQ ，使∠BAQ =90°，AQ ：AB =3：4，作△ABQ 的外接圆O ．点C 在点P 右侧，PC =4，过点C 作直线m ⊥l ，过点O 作OD ⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF =2

3CD ，以DE ，DF 为邻边作矩形DEGF ．设AQ =3x ． （1）用关于x 的代数式表示BQ ，DF ．

（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．

（3）在点P 的整个运动过程中，

①当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形？

②作直线BG 交⊙O 于点N ，若BN 的弦心距为1，求AP 的长（直接写出答案）．

7．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（−1，0）的抛物线y=−x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．

（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；

（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．

8．如图，直线y =mx +4与反比例函数y =x

k （k ＞0）的图象交于点A 、B ，与x 轴、y 轴分别交于D 、C ，tan ∠CDO =2，AC ：CD =1：2．

（1）求反比例函数解析式；

（2）联结BO ，求∠DBO 的正切值；

（3）点M 在直线x = −1上，点N 在反比例函数图象上，如果以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A （0，5），与x轴交于点E、B．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．