数列的通项与求和
数列的通项与求和
（一）数列的通项
数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式的关系：{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==
-≥
112211
()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ；
1
2112
1
n
n n n n a a a a a a a a ---=
?
??
?
（二）数列求和
（1）公式法：①等差数列求和公式 ②等比数列求和公式
③1123(1)2n n n ++++=+ ，2222
1123(1)(21)6
n n n n ++++=++ ，
2135(21)n n ++++-= ，2
135(21)(1)n n +++++=+ .
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在
一起，再运用公式法求和. 例1求数列:1
2
2
3
13
1311,,3
1311,31
1,1n +
+++
++
+ 的前n 项的和.
分析 从一般项入手，记a
n
=1
2
3
13
13
11-+
++
+
n ，
则 a n ＝)3
11(23
n
-
＝
1
3
1
21
2
3-?-
n .
可见，每一项都可分成一个常数项与一个等比数列的和，若记原数列的前n 项为S n ，则
S n ＝∑
∑=--=?+
-
=
-
-
=?
-
=
n
k n n
k n
k k n n a 1
1
1
13
414
32
3)3
11(4
32
3)3
1
21
2
3(
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通
项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.
例2. 求数列{n}的前n 项和. 解 记S n =1+2+…+(n-1)+n, 将上式倒写得: S n =n+(n-1)+…+2+1
把两式相加,由于等式右边对应的项和均为n+1, ∴2 S n =n(n+1),即S n =21
n(n+1)
说明 此法亦称为高斯求和.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构
成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）. 例3.求和S n =
n
n n n 2
122
32252
3211
3
2
-+
-+
++
+-
解 由原式乘以公比2
1得:
2
1S n =
1
3
2
2122322
321+-+
-+
++
n n
n n
原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并, ∴S n -2
1
S n =21
+
1
12
2
122
12
1
21+---
+++n n n
即 S n =32
2
32++-
n n
一般地, 当等比数列{b n }的公比为q, 则错位相减的实质是作“S n - qS n ”求和.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，
那么常选用裂项相消法求和. 例4求和：S n ＝
)
1(13
212
11++
+×+
×n n
分析 从一般项考虑知：
1
1-1)
1(1+=+n n n n ，
所以将各项裂项后，前后的相邻项可以相消。 即 S n ＝1
)1
n 1-1
()31
-21()2
1
-1(+=
++++n n n
例5 求证：1tan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan --=
?-++?+?n x
nx nx x n x x x x
观察 观察式子的结构特点,左边各项的两因式的角之差 为定值x,从一般项入手,能否使之裂项出现这两角的差?
点拨 考虑两角差的正切函数公式的变式.
事实上,由1tan )1-tan(-tan tan )1tan(-=?-x
x
k kx x
k x k
令k=2,3,…,n.各式相加即得结论
数列的通项
一、填空题
1.设数列{}n a 的通项公式为42+=n a n ,则=5a _______,=15a ________,=-+n n a a 1____.
2. 数列{}n a 的通项公式为n
n a 2=,则1a =_____,=11a _______,
n
n a a 1+=_______.
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n n s n +=23,则其通项公式为__________.
4. 已知数列{}n a 的前n 项和为132-=n s n ,则其通项公式为__________.
5.设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f _____________；当ｎ＞４时，()f n ＝_____________． 6.求前n 和: (8)
13
412
211
+++的结果为___________________________.
7.已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ , 如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 次运算． 二、解答题
8.已知数列{}n a 的前几项如下，写出数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24,……； （2）2，8110
,498,256,94
，……；
（3）3，33，333，3333，33333，……；
（4）1，0，3，0，5，0，7，0，……；
（5）1.1,11.11,111.111,1111.1111, ……。
9.已知数列{}n a 的前几项和122+-=n n s n 。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）此数列是否为等差数列？为什么？
10．（1）已知数列{}n a 满足:,2
1,211n
n n a a a +
==+,1≥n 求通项n a 。
（2）已知数列{}n a 满足:,12,111-+==+n a a a n n ,1≥n 求通项n a 。
11．(1)已知数列{}n a 满足:n n
n a a a 2,111==+，求通项公式n a 。
(2)已知数列1a =1,1
1+=
+n n a a n
n , 求通项公式n a 。
12．（1）已知数列{}n a 满足:12,311+==+n n a a a ，求通项公式n a 。
（2）已知数列{}n a 满足:,3
3,111+==+n n n a a a a 求通项公式n a 。
（3）已知数列{}n a 满足:)2(,0...,21211≥=-+++=-n a a a a a n n 且.求通项公式 n a 。
14.已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a 求数列}{n a 的通项公式；
数列的通项参考答案
一、填空题
1．14，34，2 2．2，2048，2 3．n a =6-n 2 4．n a =?
??≥-=2,361,2n n n
5． )1)(2(2
1+-n n 6．
n
n n ??
?
??-++2112
2
7. 21n (n ＋3)
二、解答题
8．（1）12
-=n a n ； （2）2
)
12(2-=
n n a n ； （3）)110
(3
1-=
n
n a ；
（4）[]n
n n a )
1(12
1--=
； （5）)1010(9
1n
n
n
a --=
9．(1)利用公式???≥-==-21,11n s s n s a n n
n 得到???≥-==2,341,2n n n a n
(2) 由通项公式可知,此数列从第二项开始成等差数列,但此数列不是等差数列. 10．利用叠加法可求得 (1)=n a 1
213-?
?
?
??-n ; (2)1)1(2
+-=n a n
11．利用叠乘法可求得,(1)2
2
2
n
n n a -=; (2)n
a n 1=
12．(1)递推公式两边同时加1,得
21
11=+++n n a a ,构造新等比{}1+n a 数列,得=n a 121-+n
(2) 递推公式两边同时取倒数,得
3111
=-
+n
n a a ,构造新等差数列, 得?
?????n a 1=
n a 231
-n (3) 递推关系化简为1-=n n s a ,当2≥n 时,1--=n n n s s a ,故有12-=n n s s ,得到新等比数列
{}n s ,故n n
s 2=,当2≥n 时,n a =1
2
-n ,所以???≥==-2
,21
,21n n a n n
14．解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d . 由,8log
2log
)2(log
29,32
2
2
31+=+==d a a 得即d =1.
所以,1)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即.12+=n n a
数列的求和
一、填空题
1. 已知数列{}n a 的通项公式为1
1++
=
n n a n ,则其前99项的和99S =____________.
2.在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，则100S =_ ___. 3．=?
++?
+?
+?n
n 2
1 (8)
134
122
11_______________.
4.2
2
2
2
2
2
2
2
12 (9596)
979899100
-++-+-+-=_______________.
5.某工厂去年的总产值为a ,计划今后五年内每年比上一年增长10%,这5年的最后一年该厂的总产值是____________. 二、解答题
6．已知数列{}n a 的通项公式为122-+=n a n
n ,求前n 项和n s 。
7．求和：)13(2 (10272424)
3
2
+++++++++n n
8．已知)
1(2+=n n a n ，求前n 项和n s 。
9．已知1--
=n n a n ，求100s 。
10．已知1
412
-=n a n ,求其前前n 项和n s .
11.求和：已知数列{}n a 是等差数列，且21=a ，12321=++a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令),(R x x a b n n n ∈=求数列{}n b 的前n 项和n s .
12.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n
n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n .
数列的求和参考答案
一、填空题
1．9 2．2600 3．n
n n 2
2
121
-
-- 4．5050 5．a 5
1.1
二、解答题
6．解：（分项求和）令=n b n 2，12-=n c n ，其前n 项和分别是n A 、n B ，则
n A =
22
2
1)21(21
-=--+n n
，n B =
2
2
)
121(n n n =-+
∴=n s n A +n B =2n +221-+n
7．解：（分项求和）)13(2...1027242432+++++++++n n =（)]13(...1074[)2...222432++++++++++n n
=
2
4342
2)
134(2
1)
2
1(42
1
1
n
n n n n n ++
-=+++
--+-
8．解：（裂项求和）)
1(2+=n n a n =)111(
2+-
n n
∴n s =2[（1-2
1）+（)1
11(...)4
13
1(
)312
1+-++-+-n n
]
=2（1
11+-n ）
=
1
2+n n
9．解：)1(...)23()12()01(--
++-
+-+-
=n n s n =n
10．解：（裂项求和）1412
-=
n a n =
)1
211
21(2)
12)(12(1
+-
-=+-n n n n
∴n s =2[)]1
211
21
(
...)7
15
1()513
1()3
11(+--++-
+-+-n n
=2（1
21
1+-
n ）=1
24+n n
11．解(1) ∵已知数列{}n a 是等差数列，且21=a ，12321=++a a a . ∴???=++++=1222111
1d a d a a a ∴21=a ,=d 2 ∴n a n 2=
(2) n
n n n nx x a b 2== 当x =0时, 0=n s
当1=x 时, n n n n s n +=+=
2
2
)
22(
当x ≠0时且1≠x 时,
n
n nx x x x s 2 (6423)
2
++++= ①
n xs 1
4322...642+++++=n nx
x x x ②
①-②得13222...222)1(+-++++=-n n n nx x x x x s x
1
21)1(2+---=n n
nx
x x x
x
nx x x
x n n ----=
++12)1(221
1
x
x x
nx
n n --+-=
++11
2221
1
∴n s 2
1
1
)
1(1
222x x x nx
n n --+-=
++
12. 解：（1）：当;2,111===S a n 时
,24)
1(22,22
2
1-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当
故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.4
1,4,,11=∴==q d b qd b q 则
故.4
2}{,4
121
1
1
1---=
?
-=n n n n n n b b q
b b 的通项公式为即
（2）,4)12(4
2
2411
---=-==n n n
n n n n b a c
]
4)12(4
)32(454341[4],
4)12(45431[1
3
2
1
2121n
n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴--
两式相减得
].
54)56[(9
1]
54)56[(3
14
)12()4444(2131
3
2
1
+-=
∴+-=
-+++++--=-n
n n
n
n n n T n n T