2.4.1二次函数的图像ppt课件高中数学必修1北师大版(1)
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高中数学 2.4.2《二次函数的性质》课件(2) 北师大版必修1
(2)已知顶点的坐标，设顶点式． 设二次函数的解析式为 y＝a(x＋2)2＋3.∵二次函数的图像经过 点(－3,2)，代入得：2＝a(－3＋2)2＋3，解之得 a＝－1.∴所求二次 函数的解析式为 y＝－(x＋2)2＋3，即 y＝－x2－4x－1. (3)已知与 x 轴两交点的坐标，设零点式． 设二次函数的解析式为 y＝a(x＋1)(x－1)， ∵二次函数的图像经过点(0,1)，代入得：1＝a(0＋1)(0－1)，解 之得 a＝－1. ∴所求二次函数的解析式为 y＝－(x＋1)(x－1)，即 y＝－x2＋1.
知能自主梳理
1．二次函数解析式的表示法 (1)________，形如 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)________，形如 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． (3)________，形如 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数(y＝ax2＋bx＋c)的性质 学习研究二次函数的性质，必须熟练掌握二次函数的图 像，结合图像研究性质．
注意：(2)、(3)中 f(a＋x)＝f(a－x)与 f(x＋2a)＝f(x)是等价的．
已知函数 f(x)＝x2－3x－4. (1)求这个函数图像的顶点坐标； (2)已知 f(－2)＝6，不直接计算函数值，求 f(5)．
[解析] f(x)＝x2－3x－4＝(x－32)2－245. (1)函数 f(x)图像的顶点坐标为(32，－245)． (2)∵|32－(－2)|＝72，|5－32|＝72. ∴据抛物线 f(x)＝x2－3x－4 的对称性可知 f(5)＝f(－2)＝ 6.
(3)∵f(x)＝3(x－1)2－2 的图像开口向上，且对称轴为 x＝ 1，
∴离对称轴越近，函数值越小． 又|－12－1|>|32－1|， ∴f(－12)>f(32)．
高中数学第二章函数第4节4.1二次函数的图像课件北师大版必修1
法二：先把 y＝x2 的图像向下平移 1 个单位长度得到 y＝x2－1 的图像，然后 再把 y＝x2－1 的图像向右平移 1 个单位长度得到 y＝(x－1)2－1 的图像，最后把 y＝(x－1)2－1 的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，便可得到 y＝2(x－ 1)2－2，即 y＝2x2－4x 的图像．
2．掌握 a，h，k 对二次函数图像的影响．(难点、易混点)
第二页，共44页。
[基础·初探] 教材整理 1 函数 y＝x2 与函数 y＝ax2(a≠0)
的图像间的关系 阅读教材 P41～P42 第 2 自然段结束有关内容，完成下列问题． 二次函数 y＝ax2(a≠0)的图像可由 y＝x2 的图像各点的 纵坐标变为原来(yuánlái)的
第三十一页，共44页。
【精彩点拨】 (1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再 由函数的对称性列表描点可画出图像；
(2)函数图像与 x 轴、y 轴相交的条件分别是 y＝0，x＝0，可求对应的变量值， 进一步求出三角形的面积；
(3)观察图像可得到图像在 x 轴上方(即 y＞0)时 x 的取值范围，y＝0 与 y＜0 时亦可得．
第四页，共44页。
教材整理 2 函数 y＝ax2(a≠0)与函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像 阅读教材 P42 第 3 自然段～P44 的有关内容，完成下列问题．
左
h
右
|h|
第五页，共44页。
2．将二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为 y＝a(x＋h)2＋k (a≠0) 的形式，然后通过函数 y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数 y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图像．
S△ABC＝12|AB|·|OC|＝12×4×6＝12； (3)由函数图像知，当 x＜－1 或 x＞3 时，y＞0；当 x＝－1 或 x＝3 时，y＝0； 当－1＜x＜3 时，y＜0.
【精编】北师大版高中数学必修一课件：2.4.1~2《二次函数的图象、二次函数的性质》-精心整理
＝－12x2－3x－52. (1)求这个函数的顶点坐标和对称轴； (2)已知 f－72＝185，不计算函数值，求 f－52； (3)不计算函数值，试比较 f－14与 f－145的大小．
解 (1)∵f(x)＝－12x2－3x－52＝－12(x＋3)2＋2. ∴函数的顶点坐标为(－3,2)，对称轴方程为 x＝－3； (2)f－52＝f－72＝185； (3)由于抛物线开口向下，且－14－(－3)＞－145－(－3)， ∴f－14＜f－145.
题型二 二次函数的性质 【例 2】 (1)画出 y＝2x2－4x－3 的图像，根据图像讨论图像的 开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． (2)画出 y＝－x2＋4x＋5 的图像，根据图像讨论图像的开口方向、 顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． (3)讨论二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像的开口方向、顶点 坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． [思路探索] 画出二次函数的图像，由图像研究二次函数的单调 性、最值等性质．
2．常见结论 (1)当 f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，则有x1＋2 x2＝－2ba. (2)当二次函数 f(x)在(－∞，m]和(m，＋∞)上的单调性相反时， 则有 m＝－2ba； 当 a＞0 时，二次函数 f(x)在(－∞，m]上为减函数，则有 m≤－ 2ba，二次函数 f(x)在[m，＋∞)上为增函数，则有 m≥－2ba； 当 a＜0 时，二次函数 f(x)在(－∞，m]上为增函数，则有 m≤－ 2ba，二次函数 f(x)在[m，＋∞)上为减函数，则有 m≥－2ba.
4．二次函数的最值
对二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 a＞0 时，函数有最小值
4ac4－a b2，此时 x＝
解 (1)∵f(x)＝－12x2－3x－52＝－12(x＋3)2＋2. ∴函数的顶点坐标为(－3,2)，对称轴方程为 x＝－3； (2)f－52＝f－72＝185； (3)由于抛物线开口向下，且－14－(－3)＞－145－(－3)， ∴f－14＜f－145.
题型二 二次函数的性质 【例 2】 (1)画出 y＝2x2－4x－3 的图像，根据图像讨论图像的 开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． (2)画出 y＝－x2＋4x＋5 的图像，根据图像讨论图像的开口方向、 顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． (3)讨论二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像的开口方向、顶点 坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． [思路探索] 画出二次函数的图像，由图像研究二次函数的单调 性、最值等性质．
2．常见结论 (1)当 f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，则有x1＋2 x2＝－2ba. (2)当二次函数 f(x)在(－∞，m]和(m，＋∞)上的单调性相反时， 则有 m＝－2ba； 当 a＞0 时，二次函数 f(x)在(－∞，m]上为减函数，则有 m≤－ 2ba，二次函数 f(x)在[m，＋∞)上为增函数，则有 m≥－2ba； 当 a＜0 时，二次函数 f(x)在(－∞，m]上为增函数，则有 m≤－ 2ba，二次函数 f(x)在[m，＋∞)上为减函数，则有 m≥－2ba.
4．二次函数的最值
对二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 a＞0 时，函数有最小值
4ac4－a b2，此时 x＝
北师大版高中数学必修1二次函数性质的再研究二次函数的图像课件
【方法总结】 抛物线 y＝a(x＋h)2＋k 在平移时，a 不变，只 是 h 或 k 发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确求出顶 点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．
如何由函数 y＝2x2 的图像变换为函数 y
＝2x2＋4x－6 的图像？ 解：将 y＝2x2＋4x－6 配方得 y＝2(x＋1)2－8， 因此，把函数 y＝2x2 的图像向左平移 1 个单位长度，得到函
2．作出二次函数的图像应注意什么？ 答：一般采用“一轴五点”，即对称轴、顶点与 x 轴交点、 与 y 轴交点及交点关于对称轴的对称点．若不方便取值时，可列 表取关于对称轴对称的点．
3．二次函数图像平移规律是什么？ 答：图像平移规律“左加右减，上加下减”即把图像向左(右) 平移时，只需把原解析式中的 x 加上(减去)一个正数，向上(下)平 移时只需将原解析式加上(减去)一个正数．
2 课堂互动探究
典例精析 规律总结
作出下列函数的图像． (1)y＝x2＋1；(2)y＝2x2－4x＋1.
【解】 (1)对称轴为 y 轴，顶点坐标为(0，1)，x＝±1 时，y ＝2；x＝±2 时，y＝5－1
对称轴 x＝1，顶点(1，－1).
第二章 函 数
§4 二次函数性质的再研究 4．1 二次函数的图像
1 课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 理解二次函数的图像中 a，b，c，h，k 的作用，领会研究二 次函数图像常用的方法；掌握二次函数解析式的表示法，并能灵 活运用.
1．函数_y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠__0_)__叫作二次函数，它的定义域是 _R_．当 b＝c＝0 时，则二次函数变为_y_＝__a_x_2(_a_≠__0_)．它的图像是 一__条__顶__点__为__原__点__的__抛__物__线___．当 a＞0 时，抛物线开口向_上__，a＜0 时，抛物线开口向下___．
高中数学 2.4.2 二次函数的性质配套课件 北师大版必修
二次函数的最值
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值． 【思路探究】
●教学建议 教学过程主要分复习、探究新知、例题讲解、练习巩 固、小结这五部分．在复习这个过程中先复习上一节课学 过的二次函数图像的知识点，使学生很快进入到二次函数 的氛围当中，接着使学生看图回忆大家所学过的函数的增 减性，同时提出问题——二次函数的增减性是怎么样的， 从而过渡到本节课所要学习的内容．利用四幅具体的二次 函数图像，通过小组讨论的方式，让学生自主发现随着自 变量的增大，函数值的变化情况．接着在让学生根据图像 找到最大值或者是最小值，并考虑何时取到最值，若取到 最大或最小值与哪个系数有关．通过这三个问题的设置， 学生也基本了解了二次函数的性质．然后用表格的形式将 性质进行总结归纳，使学生的知识形成了一定的体系．
上是增加的
上是减少的
a的符号
a>0
a<0
性质
最大值、 最小值
当x＝－2ba时， 函数取得最小值
4ac－b2 4a ；无最大值
当x＝－2ba时， 函数取得最大值
4ac－b2 4a ；无最小值
二次函数的性质
已知函数y＝f(x)＝3x2－6x＋1. (1)求其对称轴和顶点坐标； (2)已知f(－1)＝10，不计算函数值，求f(3)； (3)不直接计算函数值，试比较f(－12)与f(32)的大小． 【思路探究】 本题中已知二次函数f(x)的解析式，故 可考虑用配方法将f(x)配成顶点式，进而确定对称轴和顶点 坐标．然后再结合对称性求f(3)及比较f(－12)与f(32)的大小．
3．当自变量x为何值时，函数的图像达到最低点？它的 最小值为多少？
【优质课件】北师版高中数学必修一2.4.2二次函数的性质优秀课件.ppt
4ac b2之后，就可通过a, 4a
b 2a
,
直接得 4ac b2 4a
函数的主要性质，并依此画出图
像。
练习实践
1. 教材P53 ：T1、2、3、4. 2.函数y =4 x2 -mx+5的对称轴为x=-2
则x=1时y=___D_
a –7 b 1 c 17
d 25
3. y =-x2 -6x+k图像顶点在x轴上， k= _____-9______
华大客车投入客运，据市场分析，
每辆车营运的总利润Y(万元)与营
运年数X(X∈ N+)为二次函数关系， 每辆车营运多少年时可使营运年平均利润最大C （）A3 B 4 C5 D 6
16
14
12
1110
11
8
77 6
4
2
4
6
4
5
6
10
拓展练习
1、菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时 一般期望它达到最高点（大约距地25到 30米）爆炸，如果在距地18米处点火， 且烟花冲出的速度是14.7米/秒。
b-1 ≤ a ≤ 2
b
(3)0<b ≤ 1时， 求 对任意 x∈［ 0, 1 ］, │ f(x) │≤ 1的充要条件。
小结
1. 二次函数的几大性质
2.二次函数的几大性质的 应用
作业
教材P47：A 4、5、6 B1
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
（1）写出烟花距地高度与时间的关系式。 （2）烟花冲出后何时是它爆炸的最佳时刻？
这时距地高度是多少？
2、（2002河南两广高考）已知 a>0,f(x)=ax-bx2.
2020_2021学年高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像作业课件北师大版必修1
所以 a＝12，b＝2，c＝32或 a＝－12，b＝－2，c＝－32. (2)由(1)知 y＝12x2＋2x＋32或 y＝－12x2－2x－32， 配方，得 y＝12(x＋2)2－12或 y＝－12(x＋2)2＋12，
——能力提升—— 14．(5 分)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像如图所示，有 下列结论： ①a＋b＋c<0； ②a－b＋c>0； ③abc>0； ④b＝2a. 其中正确结论的个数是( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
第二章 函数
§4 二次函数性质的再研究 第13课时 二次函数的图像
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1．掌握二次函数中参数对其图像的影响； 2．掌握二次函数图像间的变换规律及应用．
——基础巩固—— 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．将函数 y＝x2 的图像向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后所得函数解析式为( C ) A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1
(1)由图像知 x2－2x－3＝0 的根为 x＝－1 或 x＝3. (2)当 y>0 时，就是图中在 x 轴上方的部分，这时 x>3 或 x<－1； 当 y<0 时，即抛物线在 x 轴下方的部分，这时－1<x<3.
13．(13 分)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口大小与抛物 线 y＝12x2＋1 的相同，它的对称轴是 x＝－2，它与 x 轴的两个交点 之间的距离为 2.
解析：由题图可得 f(1)＝a＋b＋c<0， f(－1)＝a－b＋c>0，顶点的横坐标为－2ba＝－1， 所以 b＝2a，ab>0， 又 f(0)＝c>0，所以 abc>0.故选 D.
高中数学 第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质课件 北师大版必修1
(3)由(1)可知 f(x)图像的对称轴是 x=3,
且 f(x)在(-∞,3]上是减少的.
因为-145<-14<3,所以 f
-
15 4
>f
-
1 4
.
K12课件
8
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
K12课件
9
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
K12课件
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探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1 如果函数f(x)=x2+bx+1对任意实数x都有f(2+x)=f(2x),求f(1),f(2)的值.
;递减区间是
.
(3)当自变量x为
时,函数的图像达到最低点,它的最小
值是
.
(4)该函数在[0,2]上的最小值和最大值分别为
.
解析:把已知函数配方得f(x)=(x-1)2-4.
(1)f(x)的顶点是(1,-4);对称轴x=1.
(2)因为a=1>0,所以函数图像开口向上,递增区间为[1,+∞),递减
区间为(-∞,1].
a>0
a<0
图像
定义域 开口 方向 对称轴
顶点
R 图像开口向上,并向上 无限延伸 对称轴是 x=- ������
2������
顶点坐标是 - ������ , 4������������-������ 2
2������ 4������
R
图像开口向下,并向下无限 延伸
K12课件
3
函数 单调性 最值
二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)
新教材北师大版必修第一册 4.1一元二次函数 课件(46张)
2.参数“a,h,k”对y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的影响 (1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小; (2)h决定了二次函数图象的对称轴的位置; (3)k决定了二次函数图象的顶点的高度.
【跟踪训练】
1.已知二次函数 y=x2-8x +c的图象的顶点在 x轴上,则c=
类型三 一元二次函数的最大值和最小值(数学运算)
角度1 求一元二次函数的最大值或最小值
【典例】求函数y= 1 x2-2x+4的最小值.
2
【思路导引】先配方变形,然后确定函数图象的开口方向和对称轴,最后求最小
值.
【解析】配方:y=
1 2
x2-2x+4=
1 (x 2)2 +2,此函数的图象是一条抛物线,开口
【拓展训练】 已知一元二次函数的图象经过点(1,0),(-5,0),且顶点纵坐标为 9 ,求这个函
2
数的解析式.
类型二 一元二次函数的函数值的变化趋势(逻辑推理) 【典例】试述一元二次函数y=3x2-6x-1函数值的变化趋势.
【解题策略】
一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 函数值的变化趋势
2
y=x2-mx+5的函数值y随x的增大而增大,所以 m ≤2,解得m≤4.
2
2.一元二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图象与y轴交于(0,7)点. (1)求出m的值和此函数图象与x轴的交点坐标; (2)试述函数值的变化趋势.
【补偿训练】 试述一元二次函数y=4x2+16x+5函数值的变化趋势. 【解析】配方,得y=4x2+16x+5=4(x+2)2-11, 此函数的图象开口向上,对称轴是直线x=-2, 所以在区间 (－,－上2,]y随x的增大而减小; 在区间 [－2,上),y随x的增大而增大.
北师大版高中数学必修一：4.1二次函数图像(共20张PPT)
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下
【实践一】
1.请同学们画出函数 y x2 和 y 2x2 的图像
x … -3
y x2 … 9
y 2x2 … 18
-2 -1 0 1 2
请你能用类似的方法画出
4
y
1
x12和y
01 4
2x2的图像？.
8 22 0 2 8
3… 9…
18 …
y
2、把函数y = x2 - 2x的图像向右移动2个单位，向下移
动3个单位，所得图像对应的函数解析式 y = x2 - 6x + 5
【知识运用】
例1、1)函数y 2x2的图像通过怎样的平移可得到函数
y 2x2 4x 2 的图像？
2)如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝2x2的图像？
4、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
D、 y=3(x-3)²+2
向上平移
向右平移
y 3x2 2个单位 y 3x2 2 3个单位 y 3(x 3)2 2
y=a(x+h)² (a≠0)
沿对称轴上(下) 平移|k|个单位
y=a(x+h)²+k(a≠0)
抽象概括
二次函数 意义是什么？
(a≠0)的图像中a,h,k的几何
1.a决定了二次函数图像的开口大小及方向
2.h决定了二次函数图像的左右平移 “h正左移，h负右移”
3.k决定了二次函数图像的上下平移 “k正上移，k负下移”
a<0时,开口向下
【实践一】
1.请同学们画出函数 y x2 和 y 2x2 的图像
x … -3
y x2 … 9
y 2x2 … 18
-2 -1 0 1 2
请你能用类似的方法画出
4
y
1
x12和y
01 4
2x2的图像？.
8 22 0 2 8
3… 9…
18 …
y
2、把函数y = x2 - 2x的图像向右移动2个单位，向下移
动3个单位，所得图像对应的函数解析式 y = x2 - 6x + 5
【知识运用】
例1、1)函数y 2x2的图像通过怎样的平移可得到函数
y 2x2 4x 2 的图像？
2)如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝2x2的图像？
4、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
D、 y=3(x-3)²+2
向上平移
向右平移
y 3x2 2个单位 y 3x2 2 3个单位 y 3(x 3)2 2
y=a(x+h)² (a≠0)
沿对称轴上(下) 平移|k|个单位
y=a(x+h)²+k(a≠0)
抽象概括
二次函数 意义是什么？
(a≠0)的图像中a,h,k的几何
1.a决定了二次函数图像的开口大小及方向
2.h决定了二次函数图像的左右平移 “h正左移，h负右移”
3.k决定了二次函数图像的上下平移 “k正上移，k负下移”