面板数据截距固定和随机效应的判断

2.1 固定效应模型。 在面板数据散点图中，如果对于不同的截面或不同的时间序列，模型的截距是不同的，则可以采用在模型中加虚拟变量的方法估计回归参数，称此种模型为固定效应模型（fixed effects regression model）。 固定效应模型分为3种类型，即个体固定效应模型（entity fixed effects regression model）、时刻固定效应模型（time fixed effects regression model）和时刻个体固定效应模型（time and entity fixed effects regression model）。下面分别介绍。 （1）个体固定效应模型。 个体固定效应模型就是对于不同的个体有不同截距的模型。如果对于不同的时间序列（个体）截距是不同的，但是对于不同的横截面，模型的截距没有显著性变化，那么就应该建立个体固定效应模型，表示如下，

yit = 1 xit +1 W1 + 2 W2 + … +N WN +it, t = 1, 2, …, T (3) 其中

Wi =其他个个体如果属于第。，,0,...,2,1,1Nii

it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T，表示随机误差项。yit, xit, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T分别表示被解释变量和解释变量。 模型（3）或者表示为

y1t = 1 +1 x1t +1t, i = 1（对于第1个个体，或时间序列），t = 1, 2, …, T y2t = 2 +1 x2t +2 t, i = 2（对于第2个个体，或时间序列），t = 1, 2, …, T … yN t = N +1 xN t + N t, i = N（对于第N个个体，或时间序列），t = 1, 2, …, T

写成矩阵形式，

y1 = (1 x1)1+1 = 1 + x1  +1

… yN = (1 xN)N+N = N + xN  +N

上式中yi，i，i，xi都是N1阶列向量。为标量。当模型中含有k个解释变量时，为k1阶列向量。进一步写成矩阵形式，

121NNyyy= NN100010001121NN

+Nxxx21 + 121NN

上式中的元素1，0都是T1阶列向量。 面板数据模型用OLS方法估计时应满足如下5个假定条件： （1）E(it|xi1, xi2, …, xiT, i) = 0。以xi1, xi2, …, xiT, i为条件的it的期望等于零。 （2）(xi1, xi2, …, xiT), ( yi1, yi2, …, yiT), i = 1, 2, …, N分别来自于同一个联合分布总体，并相互独立。 （3）(xit, it)具有非零的有限值4阶矩。 （4）解释变量之间不存在完全共线性。 （5）Cov(it is|xit,xis, i) = 0, t  s。在固定效应模型中随机误差项it在时间上是非自相关的。其中xit代表一个或多个解释变量。 对模型（1）进行OLS估计，全部参数估计量都是无偏的和一致的。模型的自由度是N T –1–N。 当模型含有k个解释变量，且N很大，相对较小时，因为模型中含有k + N个被估参数，一般软件执行OLS运算很困难。在计量经济学软件中是采用一种特殊处理方式进行OLS估计。 估计原理是，先用每个变量减其组内均值，把数据中心化（entity-demeaned），然后用变换的数据先估计个体固定效应模型的回归系数（不包括截距项），然后利用组内均值等式计算截距项。这种方法计算起来速度快。具体分3步如下。 （1）首先把变量中心化（entity-demeaned）。 仍以单解释变量模型（3）为例，则有

iy= i + 1ix+i, i = 1, 2, …, N (4)

其中iy=TtityT11，ix=TtitxT11，i=TtitT11, i = 1, 2, …, N。公式(1)、(4)相减得， (yit -iy) = 1(xit -ix) + (it -i) (5) 令(yit -iy) =ity~，(xit -ix) =itx~，(it -i) =it~，上式写为

ity~ = 1itx~+it~ (6) 用OLS法估计（1）、（6）式中的1，结果是一样的，但是用（6）式估计，可以减少被估参数个数。 （2）用OLS法估计回归参数（不包括截距项，即固定效应）。

在k个解释变量条件下，把itx~用向量形式X~表示，则利用中心化数据，按OLS法估计公式计算个体固定效应模型中回归参数估计量的方差协方差矩阵估计式如下， Var(ˆ) = 2ˆ(X~'X~)-1 (7)

其中2ˆ=kΝΝΤˆ~ˆ~，ˆ~是相对于~的残差向量。 （3）计算回归模型截距项，即固定效应参数i。 iˆ=iY-iXˆ

相对于混合估计模型来说，是否有必要建立个体固定效应模型可以通过F检验来完成。 原假设H0：不同个体的模型截距项相同（建立混合估计模型）。 备择假设H1：不同个体的模型截距项不同（建立个体固定效应模型）。 F统计量定义为： F=)1/()]1()2/[()(NNTSSENNTNTSSESSEuur=)1/()1/()(NNTSSENSSESSEuur (9) (8) （2）时刻固定效应模型。

yit = 1 xit +1 + 2 D2 + … +T DT +it, i = 1, 2, …, N (10) 其中

Dt =)(,0,...,2,1个截面其他个截面。，ttTt不属于第如果属于第

it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T，表示随机误差项。yi t, xit, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T分别表示被解释变量和解释变量。模型（10）也可表示为

yi1 = 1 +1 xi1 + i1, t = 1，（对于第1个截面），i = 1, 2, …, N yi2 = (1 +2) +1 xi2 + i2, t = 2，（对于第2个截面），i = 1, 2, …, N …

yiT = (1 +T) +1 xiT + iT, t = T，（对于第T个截面），i = 1, 2, …, N 如果满足上述模型假定条件，对模型（2）进行OLS估计，全部参数估计量都具有无偏性和一致性。模型的自由度是N T –T-1。

F=)1/()]1()2/[()(TNTSSETNTNTSSESSEuur=)1/()1/()(TNTSSETSSESSEuur (11) 其中SSEr，SSEu分别表示约束模型（混合估计模型的）和非约束模型（时刻固定效应模型的）的残差平方和。非约束模型比约束模型多了T-1个被估参数。 注意：当模型中含有k个解释变量时，F统计量的分母自由度是NT-T- k。

（3）时刻个体固定效应模型。 时刻个体固定效应模型就是对于不同的截面（时刻点）、不同的时间序列（个体）都有不同截距的模型。如果确知对于不同的截面、不同的时间序列（个体）模型的截距都显著地不相同，那么应该建立时刻个体效应模型，表示如下， yit = 1 xit +1+2D2 +…+T DT +1W1+2W2 +…+N WN+it, i=1,2,…,N，t = 1, 2, …,

T (12) 其中虚拟变量

Dt =其他个截面如果属于第。，,0,...,2,1Ttt （注意不是从1开始）

Wi =其他个个体如果属于第。，,0,...,2,1,1Nii （注意是从1开始）

it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T，表示随机误差项。yi t, xit, (i = 1, 2, …, N;

t = 1, 2, …, T)分别表示被解释变量和解释变量。模型也可表示为 y11 = 1 +1 +1 x11 + 11, t = 1，i = 1（对于第1个截面、第1个个体） y21 = 1 +2 +1 x21 + 21, t = 1，i = 2（对于第1个截面、第2个个体） … yN1 = 1 +N +1 xN1 + N1, t = 1，i = N（对于第1个截面、第N个个体）

y12 = (1 +2) +1 +1 x12 + 12, t = 2，i = 1（对于第2个截面、第1个个体）

y22 = (1 +2) +2 +1 x22 + 22, t = 2，i = 2（对于第2个截面、第2个个体） … yN2 = (1 +2) +N +1 xN2 + N2, t = 2，i = N（对于第2个截面、第N个个体） … y1T = (1 +T) +1 +1 x12 + 1T, t = T，i = 1（对于第T个截面、第1个个体） y2T = (1 +T) +2 +1 x22 + 2T, t = T，i = 2（对于第T个截面、第2个个体） … yNT = (1 +T) +N +1 xNT + NT, t = T，i = N（对于第T个截面、第N个个体）

如果满足上述模型假定条件，对模型（12）进行OLS估计，全部参数估计量都是无偏的和一致的。模型的自由度是N T– N–T。注意：当模型中含有k个解释变量时，F统计量的分母自由度是NT– N -T- k+1。 相对于混合估计模型来说，是否有必要建立时刻个体固定效应模型可以通过F检验来完成。

F=)/()]()2/[()(TNNTSSETNNTNTSSESSEuur=)/()2/()(TNNTSSETNSSESSEuur (13) 其中SSEr，SSEu分别表示约束模型（混合估计模型的）和非约束模型（时刻个体固定效应模型的）的残差平方和。非约束模型比约束模型多了N+T个被估参数。 注意：当模型中含有k个解释变量时，F统计量的分母自由度是NT-N-T- k-1。

（4）随机效应模型

其中ui N(0, u2)表示截面随机误差分量；vt N(0, v2)表示时间随机误差分量；wit N(0, w2)表示混和随机误差分量。同时还假定ui，vt，wit之间互不相关，各自分别不存在截面自