【教案】6.5《频率与概率》(北师大版九年级数学上册)
人教版九年级数学上册概率初步《用频率估计概率(第1课时)》示范公开课教学设计
《用频率估计概率（第1课时）》教学设计教学目标1．掌握用频率估计概率的具体步骤和适用范围，理解用频率估计概率的合理性和必要性．2．了解频率与概率的区别和联系．教学重点掌握用频率估计概率的具体步骤和适用范围．教学难点1．理解用频率估计概率的合理性和必要性．2．了解频率与概率的区别和联系．教学过程知识回顾1．画树状图法当一次试验要经过3个（或3个以上）步骤或涉及3个（或3个以上）因素时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法．此外，当一次试验涉及两个因素时，也可用画树状图法．2．概率的定义一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．新知探究一、探究学习【问题】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币时，会出现哪些可能的结果呢？（2）它们的概率是多少呢？【师生活动】学生独立思考，然后教师抽取学生代表发言．【答案】（1）出现“正面向上”和“反面向上”两种情况．（2）都是12．【追问】这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢？【师生活动】教师与学生通过实验共同完成新知的探究．【设计意图】让学生带着问题进入本节课的新知学习．【试验】1．把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并完成表格．第1组的数据填在第1列，第1，2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列．【新知】如果在抛掷硬币n次时，出现m次“正面向上”，则称比值mn为“正面向上”的频率．【师生活动】学生分组按要求试验、思考，完成表格的填写．【答案】【试验】2．根据表格中的数据，在下图中标注出对应的点．【师生活动】教师组织学生整理试验数据，在折线统计图中标出对应的点并连线．【答案】【设计意图】让学生亲身经历抛掷硬币的随机试验，收集和描述数据，培养随机观念，为揭示频率的随机性和稳定性做准备．【问题】（1）图中的横轴、纵轴分别表示什么？（2）过纵轴上刻度为0.5的点有一条水平直线，它的含义是什么？（3）标出的点的含义是什么？【答案】（1）抛掷次数、“正面向上”的频率．（2）“正面向上”的概率为0.5．（3）对应小组试验数据求和后获得的“正面向上”的频率．【设计意图】帮助学生复习与理解图表中各种数据的含义．【材料】历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见表格．【思考】结合本班获取的试验数据与材料中的试验数据，试着分析出随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？【师生活动】学生独立思考，然后师生共同完成归纳．【答案】可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5附近摆动．一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小．这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5．它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值．【归纳】试验中，某事件发生的次数与总次数的比值，称为频率．对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．【设计意图】引导学生发现，尽管频率具有随机性，但在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率表现出一定的稳定性．二、典例精讲【例1】判断题（1）连续掷一枚质地均匀的硬币10次，结果10次全部是正面，则正面向上的概率是1．（）（2）小明掷硬币10 000次，则正面向上的频率在0.5附近．（）（3）设一大批灯泡的次品率为0.01，那么从中抽取1 000只灯泡，一定有10只次品．（）【师生活动】学生思考、回答，教师点评．【答案】×√×【新知】概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生．【设计意图】通过例1，加深学生对概率定义的理解．【例2】下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（）．A．频率就是概率B．频率是随机的，与试验次数无关C．概率是稳定的，与试验次数无关D．概率是随机的，与试验次数有关【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．【答案】C【解析】频率是随机的，随试验而变化，但概率是唯一确定的一个值，在大量重复试验中，随试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率附近．故选C．【归纳】频率与概率的区别和联系【设计意图】通过例2，归纳出频率与概率的区别和联系．【例3】在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜色外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的试验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是试验的部分数据：（1）完成表格的填写．（精确到0.001）（2）估计摸出一个球恰好是白球的概率．（精确到0.01）【师生活动】学生独立完成后，全班交流．【答案】解：（1）填表如下．（2）由题表可估计，摸出一个球恰好是白球的概率是0.25．【归纳】用频率估计概率的具体步骤（1）判断：先判断某个试验所有可能的结果是不是有无限个或各种可能的结果是不是等可能的．（2）试验：大量重复试验直至某种事件发生的频率在某一个固定数的附近摆动．（3）估计：用上述固定的数估计概率．【设计意图】通过例3，归纳出用频率估计概率的具体步骤．三、拓展提升【思考】（1）能否用列举法求出抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子的概率？（2）能否用频率估计它们的概率呢？【师生活动】小组讨论，然后教师讲解．【答案】（1）不能．用列举法求概率仅适用于“各种结果出现的可能性相等”的随机事件．（2）能．用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大．【设计意图】让学生意识到用频率估计概率是一种获得随机事件的概率的新方法，它的使用范围比用列举法求概率更广．课堂小结板书设计一、频率与概率的区别和联系二、用频率估计概率的具体步骤三、用频率估计概率的适用范围课后任务完成教材第144页练习题．教学反思_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。
频率与概率(北师大版必修三)
18
练习
某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果 如下表:
投篮次数
进球次数 进球频率
n m
8
10
15
20
30
40
50
6
8
0.80
12
0.80
17
0.85
25
0.83
32
0.80
38
0.76
m 0.75 n
(1)计算表中进球的频率;
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少? 概率约是0.8
(3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能 投中8次吗? 不一定. 投10次篮相当于做10次试验,每次试验的结果都 是随机的, 所以投10次篮的结果也是随机的. 但随着投篮 次数的增加,他进球的可能性为80%.
8
频率的定义与性质
1. 定义
在相同的条件下, 进行了 n 次试验 , 在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 nA 生的频数.比值 称为事件 A 发生的频率, 并记 n 成 f n ( A).
9
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. n5 n 50 试验 序号 nH f f nH
2 3 1 5 1 2 4 123 4 5 6 7 0.4 0.6 0.2
2
n 500 f nH
0.502 0.498 0.512
0.44 251 22 1 在 处波动较大 249 25 0.50 21 0.42 256
1 在 处波动较小 20.2 24 0.48
随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 1.0 247 0.494 25 0.50
频率与概率(北师大版必修三)
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练习：某射手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数 n 击中靶心的次数 m 10 20 8 19 50 100 200 500 44 92 178 455
击中靶心的频率m/n 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)计算表中击中靶心的各个频率； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？
例：对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测 的数据如下：
抽取 台数 优等 品数 50 40 100 92 200 192 300 285 500 478 1000 954
（1）计算表中优等品的各个频率； （2）该厂生产的电视机优等品的概率是多 少？
17
解：⑴ 各次优等品频率依次为
0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954 ⑵优等品的概率为：0.95
f 不一定相同;
(2) 试验次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度
较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
14
概率定义与性质 事件 A 的概率的定义 (概率统计定义)
一般地，在大量重复进行同一试验时，
事件 件
发生的频率 A 的概率，记做 A
在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事
m 总是接近于某个常数， n
（1）某地明年1月1日刮西北风； （2）当x是实数时， 随机事件 必然事件 不可能事件
x 0;
2
(3) 手电筒的电池没电，灯泡发亮；
（4）一个电影院某天的上座率超过50%。 随机事件 （5）从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的 随机事件 10张号签中任取一张，得到4号签。
7
思考：由于随机事件具有不确定性，因而从表面看似 乎偶然性在起支配作用，没有什么必然性。但是，人 们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然 就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复 实验中，它却呈现出一种完全确定的规律性。
北师大版九年级数学上册同步学案：第3章概率的进一步认识2用频率估计概率
3.2用频率估计概率【教学目标】知识与技能通过试验,理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,并可据此估计一事件发生的概率。
过程与方法经历试验,统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
情感、态度与价值观积极参与数学活动．通过实验提高学生学习数学的兴趣；提高自身的数学交流水平,增强与人合作的精神和解决实际问题的能力,发展学生的辩证思维能力。
【教学重难点】教学重点：通过实验估计随机事件发生的概率的方法教学难点：领会当实验次数很大时,可以用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率【导学过程】【创设情景,引入新课】回顾思考】1.用树状图和列表的方法求概率时应注意。
并且实验出现的结果是。
2.比如掷一枚图钉,有几种结果?它们是等可能的吗?3.掷一只墨水笔尖,也有“正”“反”两种可能,但出现的可能性相等吗?结论：一个试验,虽然结果有有限个,但各个结果出现的可能性不相等,求这一事件的概率只有动手做大量的试验．因为我们知道：当实验次数很大时,实验频率稳定于理论概率,并可据此估计某一事件发生的概率．【自主探究】1.议一议：400个同学中,一定有两个同学的生日相同(可以不同年)吗?为什么? 300个同学呢?为什么?有人说:“50个同学中,就很有可能有两个同学的生日相同.”这话正确吗?为什么?调查全班同学,看看有无两个同学的生日相同.2.想一想：如果你们班50个同学中有两个同学的生日相同,那么说明50个同学中有两个同学的生日相同的概率是1吗?为什么? 如果你们班50个同学中没有两个同学的生日相同,那么能说明50个同学中没有两个同学的生日相同的概率是0吗?为什么?3.做一做：每个同学课外调查10个人的生日,从全班的调查结果中随机选取50个被调查人,看看他们中有无两个同学的生日相同.将全班同学的调查数据集中起来,设计一个方案,估计50个人中有两个同学的生日相同的概率.课外调查的10个人的生肖分别是什么?他们中有2个人的生肖相同吗?6个人中呢?利用全班的调查数据设计一个方案,估计6个人中有2个人生肖相同的概率.通过调查,我们估计了6个人中有两个人生肖相同的概率. 要想使这种估计尽可能精确,就需要尽可能多地增加调查对象,而这样做即费时又费力. 能不能不用调查即可估计出这一概率呢?有人说,可以用12个编有号码,大小相同的球代替12种不同的生肖,这样每个人的生肖就有对应着一个球. 6个人中有两个人【课堂探究案】1.现在有一个盒子,3个红球,7个白球,每个球除颜色外全部相同。
九年及数学中考专题(数与代数)-第二十六讲《-概率(2)》课件(北师大版)(新编201911)
三.知识要点
2．从数学的角度来说，统计与概率这两个 学科互为基础，他们是一个密不可分的整体. 概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳 定性的基础之上的，而统计又离不开概率的 理论支撑，统计推断、估计、假设检验等统 计方法的合理性和科学性都有赖于概率理论 的严密性.具体来说，用实验的方法估计随 机事件发生的概率等活动本身就是一个统计 活动，而本估计方法的理论依据则是概率问 题.
二.复习目标
1.牢固掌握概率的求法，会运用列表法或树 状图求简单事件的概率. 2.掌握等可能事件发生的结过的判断，会求 这类事件发生的概率. 3.关注概率知识在实际问题中的应用.
三.知识要点
1. 通过设计简单的概率模型，在不确定的 情境中做出合理的决策；概率与实际生活 联系密切，通过理解什么是游戏对双方公 平，用概率的语言说明与统计之间的关 系，可以解决一些实际问题.
第二十六讲 频率与概率的应用
一.课标链接
一次函数的应用
由于有关概率统计的教学素材都来自现 实生活，我们在学习这部分知识时要注重在 实验中体会频率的稳定性，感受实验频率与 理论概率之间的关系，并形成对概率的全面 理解，发展初步的辩证思维能力,概率知识 的应用题则以通过设计概率模型或一些具体 活动来解释一些事件发生的概率，进一步丰 富对概率的认识，以及联系统计知识，借助 日常生活中的例子，应用频率与概率的关系， 计算一些事件发生的概率，解决简单的问题， 考查学生联系实际进行合理推理的应用能力.
四.典型例题
例1集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一 个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白 球20只，且每一个球上都写有号码（1～20号），另 外袋中还有1只红球，而且这21只球除颜色外其余完 全相同.规定：每次只摸一只球.摸前交1元钱且在1~20 内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写 的号码相同奖10元.
频率与概率(北师大版必修三)
(2) 试验次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度
较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
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概率定义与性质 事件 A 的概率的定义 (概率统计定义)
一般地，在大量重复进行同一试验时，
事件 件
发生的频率 A 的概率，记做 A
在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事
m 总是接近于某个常数， n
很多 当抽查的球数很多时，抽到优等品的频 m 常数 率 接近于常数0.95，在它附近摆动。
n
12
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
很多 当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽 m 常数 发芽的频率 接近于常数0.9，在它附近摆 n 动。 13
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
例：对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测 的数据如下：
抽取 台数 优等 品数 50 40 100 92 200 192 300 285 500 478 1000 954
（1）计算表中优等品的各个频率； （2）该厂生产的电视机优等品的概率是多 少？
17
解：⑴ 各次优等品频率依次为
0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954 ⑵优等品的概率为：0.95
18
练习
某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果 如下表:
投篮次数
进球次数 进球频率
n m
8
10
15
20
30
40
50
6
8
0.80
12
0.80
17
0.85
25
0.83
32
0.80
38
0.76
频率与概率(北师大版必修三)
练习2：随机事件在n次试验中发生了m次，则（ (A) 0＜m＜n (B) 0＜n＜m (C) 0≤m≤n (D) 0≤n≤m
）
20
知识小 结 1．随机事件的概念
在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件，叫做随机事件． 2．随机事件的概率的定义 在大量重复进行同一试验时， 事件 A 发 m 生的频率 总是接近于某个常数，在它附近 n 摆动，这时就把这个常数叫做事件 A的概 率． 3．概率的性质： 0 P A 1
0.4 0.8
18
27
0.36 0.54
0.502 251 波动最小 262 0.524
258 0.516
10
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示
2048 4040 抛掷次数（n) 正面朝上次数(m) 1061 2048 12000 6019 0.501 24000 12012 0.5005 30000 14984 0.499 6
频率(m/n)
0.518 0.506
频率m/n
1
0.5
抛掷次数n
2048 4040 12000 24000 30000 72088
11
m
45 50
92 100
194 200
470 500
954 1000
1902 2000
n
n
优等品频率 m 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
3
下列事件能否发生？
(1)
“导体通电时,发热”
---------------必然发生 ---------------必然发生 -------不可能发生 ------可能发生也可能不发生 -----可能发生也可能不发生
频率与概率(北师大版必修三)
1
一、教学目标：1．理解随机事件 在大量重复试验的情况下，它的发 生呈现的规律性；2．掌握概率的 统计定义及概率的性质． 二、教学重点：随机事件的概念及 其概率． 教学难点：随机事件的概念及其概 率． 三、教学方法：探究讨论法 四、教学过程
2
一类现象的结果总是确定的，即在一 定的条件下，它所出现的结果是可以预知 的，这类现象称为确定性现象； 另一类现象的结果是无法预知的，即在 一定的条件下，出现哪种结果是无法预先确 定的，这类现象称为随机现象．
0.4 0.8
18
27
0.36 0.54
0.502 251 波动最小 262 0.524
258 0.516
10
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示
2048 4040 抛掷次数（n) 正面朝上次数(m) 1061 2048 12000 6019 0.501 24000 12012 0.5005 30000 14984 0.499 6
例：对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测 的数据如下：
抽取 台数 优等 品数 50 40 100 92 200 192 300 285 500 478 1000 954
（1）计算表中优等品的各个频率； （2）该厂生产的电视机优等品的概依次为
0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954 ⑵优等品的概率为：0.95
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练习
某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果 如下表:
投篮次数
进球次数 进球频率
n m
8
10
15
20
30
40
50
6
8
0.80
频率与概率(北师大版必修三)
5
事件的分类
1、必然事件：在条件S下,一定会发生的事件,叫 做相对于条件S的必然事件,简称必然事件． 2、不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件, 叫做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件．
3、随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生 的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机 件．
6
例1 指出下列事件是必然事件，不可能事件， 还是随机事件：
2 3 1 5 1 2 4 123 4 5 6 7 0.4 0.6 0.2
2
n 500 f nH
0.502 0.498 0.512
0.44 251 22 1 在 处波动较大 249 25 0.50 21 0.42 256
1 在 处波动较小 20.2 24 0.48
随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 1.0 247 0.494 25 0.50
频率(m/n)
0.518 0.506
频率m/n
1
0.5
抛掷次数n
2048 4040 12000 24000 30000 72088
11
某批乒乓球产品质量检查结果表：
优等品数 抽取球数
m
45 50
92 100
194 200
470 500
954 1000
1902 2000
n
n
优等品频率 m 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
f 不一定相同;
(2) 试验次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度
较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
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概率定义与性质 事件 A 的概率的定义 (概率统计定义)
一般地，在大量重复进行同一试验时，
北师版九年级数学上册作业课件(BS) 第三章 概率的进一步认识 用频率估计概率
A.5 B．10 C．12 D．15
6．(2020·新疆)表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为__0_._9__．(精确到0.1)
7．如图，这是一幅长为3 m，宽为2 m的长方形世界杯宣传画，为测量 宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内 随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量 重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近， 由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为_2_._4__m2.
2．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方
法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，
其中试验相对科学的是( D )
A.甲组
B．乙组
C．丙组
D．丁组
3．某人在做掷硬币试验时，投掷 m 次，正面朝上有 n 次(即正面朝上的 频率是 P＝mn )，则下列说法中正确的是( D )
朝上的点数 出现的次数
1234 5
6
7 9 6 8 20 10
解：(1)“3 点朝上”出现的频率是660 ＝110 ，“5 点朝上”出现的频率 是2600 ＝13
(2)小颖的说法是错误的．这是因为“5 点朝上”的频率最大并不能说明 “5 点朝上”这一事件发生的概率最大．只有当试验的次数足够多时，该事 件发生的频率才会稳定在事件发生的概率附近．小红的判断是错误的，因为 事件发生具有随机性，故“6 点朝上”的次数不一定是 100 次
8．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正 方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：
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6.5《频率与概率》课型新授课
1、经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
教学目标2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计一事件发生的概率
教学重点通过实验估计随机事件发生的概率的方法
教学难点领会当实验次数很大时，可以用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率
教学方法实验法|
教__学__内__容__及__过~程备注
一问题引入:
1、实验一：准备20张大小相同的卡片，上面分别写好1至20的数字，然后将卡片放在袋子里搅
匀，每次从袋中抽出一张卡片，记录结果，然后放回搅匀再抽•
(3) 从实验数据中可以发现什么规律？
(4) 频率随着实验次数的增加，稳定于什么值？
(5) 从袋中抽出一张卡片是5的倍数的概率是多少?
2、实验二：准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是
1和2•从每组牌中各摸出一张，称为一次实验.
(1) 一次实验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？
(2) 每人做30次实验，依次记录每次摸得的牌面数字，并根据实
验结果填写下面的表格:
(3) 根据上表，制作相应的频数分布直方图
(4) 你认为哪种情况的频率最大？
(5) 两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少？
(6) 汇总各个小组的数据，填写下表，并绘制相应的的频率折线统
计图
二、议一议
(1) 在上面的实验中，你发现了什么？如果继续增加实验次数呢?。