随机变量的数字特征与特征函数(课堂PPT)
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三章随机变量的数字特征 67页PPT
令 tx
tet2 2d;t 2
三.随机变量函数的期望
EX1：设随机变量X的分布律为
X -1 0 1
Pk
1 3
1 3
1 3
求随机变量Y=X2的数学期望
解: Y 1 0
Pk
2 3
1 3
E(Y)12012 3 33
定理1 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X) 的期望E(g(X))为(p77)
刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间
解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
10 X
Y
g(X)
3505
X X
70 X
0 X 10 10 X 30 30 X 55 55 X 60
fX
(x)
1 60
0x60
0 others
1 60
E(Y)600 g(x)dx
第三章 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数 大数定律 中心极限定理
3.1数学期望
一.数学期望的定义 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
E{X22X YY2} {E [(X)2]2[E(X)]E[(Y) ][E(Y)2]}
D(X)D(Y) 2E(XY )2E(X)E(Y) X与Y独立 E (X) Y E (X )E (Y )
D (X Y ) D (X ) D (Y )
n
n
若 X 1,.X .n独 . 立 D ( ， X i)则 D (X i)
概率论课件第四章 随机变量的数字特征
xk}
1 2k
,
k 1, 2,
, 其中xk
(1)k
2k k
.
显然级数
k 1
xk
pk
k 1
(1)k
1 k
ln
2,
但由于 |
k 1
xk
|
pk
k 1
1 k
，因此X的期望不存在
2019/11/29
8
连续型随机变量的数学期望：
设f(x)为连续型随机变量X的概率密度， 对X的取值区间作一分割，有
解：设y为进货量，y [2000, 4000], 收益为Z.则
Z
H (x)
3y, 当x y时 3x ( y x), x
y
于是E(Z )
H (x) f (x)dx
1
4000
H (x)dx
2000 2000
1
y
(4x y)dx
1
ii. 对于“和”,不要求X1,X2,…,Xn相互独立; 对 于“积”要求X1,X2,…,Xn相互独立.
2019/11/29
20
例1. 二项分布的均值的计算:
设X~b(n,p),引入r.v.Xi(i=1, 2, …, n), 它们是相 互独立的且都服从0--1分布: P{Xi=1}=p, P{Xi=0}=q, X表示n次独立重复试验中A发生 的次数,Xi表示第i次试验的结果:Xi=1表示A发 生, Xi=0表示A不发生, 所以
2π
2π
(上式中第一项被积函数为奇函数,因而
积分为0, 而第二项后一部分为1 ,
随机变量的数字特征与特征函数.
定义：设X为一随机变量，如果 E X E X 2 存在，则称其 为X的方差，记为D(X) ,即 而称
D X
D X EX E X 2
为均方差或标准差。
2 2 D X E X E X 计算公式：
方差性质→
分析：对于相互独立的随机变量X,Y，有E(XY)=E(X)E(Y),从而
EX E X Y E Y
EXY YE X XE Y E X E Y
E XY E X E Y
0
反之则说明，当E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}≠0时，X与Y
定义 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),
如果 收敛，则称 xf ( x )dx | x | f ( x ) dx
为随机变量X的数学期望或均值，记为E(X)或 EX,即
E X x f ( x )dx
2
例6( p140) : 设X ~ N , , 求E X .
解：f x
1 e 2
x 2
2 2
, x
1 EX x e 2
x
2 2
2
dx
可见，X~N(μ,σ2),则其数 学期望为μ。后面例题的 计算使用了这一结论。
函数的数学期望→
三、随机变量函数的数学期望
k 1 k k
E Y E g X g x p
k 1 k
P141例8
k
(2)设连续型随机变量X的概率密度为f (x),又Y = g (X),若
E Y g x f ( x )dx
概率论和数理统计 随机变量的数字特征17页PPT文档
(1)D(C) ＝0; (2) D(CX)=C2D(X); (3) 当X、Y独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y); (4) D(X)=0等价于P﹛X=C﹜=1. (C为常数)
10
7、常见分布的期望方差:
(1)二点分布: (2)二项分布: (3)泊松分布: (4)正态分布:
(5)均匀分布: (6) 指数分布
存在,则称之为X的方差.记为D（X）或Var(X)
D（x）=Var（X）= E X E( X )2
另外，记 ( X ) D( X ) ，称为标准差或均方差
5、方差的计算方法：
当X为离散型随机变
D( X ) E X E( X )2 xk E( X )2 pk
2
2、 数学期望的性质： （1）设C是常数，则 E（C）=C
这里C视为 退化的随机变量
（2）设X为一随机变量，C为常数，则有
E（CX）=CE（X） （3）设X，Y为两个随机变量，则有
E（X+Y）=E（X）+E（Y）
（4）若X，Y为两个相互独立的随机变量，则有
E（XY）=E（X）E（Y）
注： (1) Ein1 Xi in1E(Xi)
6
例1.26 设随机变量 X ~ U 0 , , 求 E (X s ) E ( X , i ) E [ n X , E ( X ) 2 .
解 依题知，X的概率密度为f(x)1 , x0,
故
0 , 其 他
1 1
2
E(sin
X
)
sx in f(x )d xsx in d x sx in dx
gxk pk 绝对收敛
10
7、常见分布的期望方差:
(1)二点分布: (2)二项分布: (3)泊松分布: (4)正态分布:
(5)均匀分布: (6) 指数分布
存在,则称之为X的方差.记为D（X）或Var(X)
D（x）=Var（X）= E X E( X )2
另外，记 ( X ) D( X ) ，称为标准差或均方差
5、方差的计算方法：
当X为离散型随机变
D( X ) E X E( X )2 xk E( X )2 pk
2
2、 数学期望的性质： （1）设C是常数，则 E（C）=C
这里C视为 退化的随机变量
（2）设X为一随机变量，C为常数，则有
E（CX）=CE（X） （3）设X，Y为两个随机变量，则有
E（X+Y）=E（X）+E（Y）
（4）若X，Y为两个相互独立的随机变量，则有
E（XY）=E（X）E（Y）
注： (1) Ein1 Xi in1E(Xi)
6
例1.26 设随机变量 X ~ U 0 , , 求 E (X s ) E ( X , i ) E [ n X , E ( X ) 2 .
解 依题知，X的概率密度为f(x)1 , x0,
故
0 , 其 他
1 1
2
E(sin
X
)
sx in f(x )d xsx in d x sx in dx
gxk pk 绝对收敛
随机变量的数字特征优秀课件 (2)
1
d1x2 0 1x2
1ln1x2
0
lim1ln1x2 x
故Eξ不存在。
连续型随机变量函数的数学期望
如ξ的密度函数为f(x), 若 gxfxdx
则g()的数学期望
E g () g x fx dx
例11 若ξ服从[0，2π] 上均匀分布，求E(sinξ) 。
解 ξ的密度函数为
(3) E f() g () E () fE ()g
特别地 E ( )E E
E ( a b c ) a E b E c
(4) 如 ,相互独E 立 (， )E则 E
(5) 如 ab,则 E 存在 a， E b 且
注：这些性质可以推广到多个随机变量上。
E(c11c22 cnn) c1E 1c2E 2 cnE n
随机变量的数字特征
§4.1 一维随机变量的数字特征
4.1.1 随机变量的数学期望
1.离散型随机变量的数学期望
设随机变量的分布律为 P(xk)pk
若当
xk
k
pk
时，则称
xk
k
pk
为随机
变量的数学期望或均值，记作E ，即有
E x kp k x kP ( x k)
k
k
离散型随机变量函数的数学期望
已 P {知 x k} p k ，当 f(x k)p k 时
k
f()的数学期望为
E(f) f(xk)P (xk)
k
例１ 甲、乙两射手的稳定成绩分别为
ξ（甲中环数） 8
9
10
概率
0.3 0.1 0.6
η（乙中环数） 8
9
10
概率
0.2 0.4 0.4
大学文科数学课件：随机变量的数字特征
记为
E(X)．即
E( X ) xf (x)dx
(12.1.2)
随机变量的数字特征
例12.1.5 设X~U(a, b)， 求E(X) 解 X的密度函数为
f
(x)
b
1
a
,
0,
由公式（12.1.2）得
a x b, 其他.
b
E(X ) xf (x)dx
x
dx a b
a ba
2
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
12.1 数学期望 12.2 方差
随机变量的数字特征
12.1 数学期望
12.1.1
定义12.1.1 设离散型随机变量X的分布律为 pk=P{X=xk} (k=1, 2, …)
若
| xk | pk k
随机变量的数字特征
则称 xk pk 为随机变量X的数学期望， 简称期望或均值， k
记为E(X)． 即
E( X ) xk pk k
(12.1.1)
期望公式（12.1.1）实际上是随机变量X的取值以概率为 权的加权平均， 其物理意义为： 质量为单位1的一根金属细 棒， 其质量散布在坐标为x1, x2, …的质点M1, M2, …上.
随机变量的数字特征
例12.1.1 设X服从参数为p的0-1分布， 求E(X)
随机变量的数字特征
特别地， 若X、 Y相互独立， 则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
(12.2.6)
这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的
情况;
（4） D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数C， 即
P{X=C}=1
第三章随机变量的数字特征.ppt
0
2020/11/13
14
例6 P82
设随机变量X服从密度函数为 f (x) 1 x 的柯西分布，求X的数学期望。 (1 x2)
解：由于
| x | f (x)dx
| (1
x
| x
2
)
dx
0 x
x
dx
dx
(1 x2 )
0 (1 x2 )
2
0
x (1 x2
)
6 18 10 19 4 20
20
20
20
18 p18 19 p19 20 p20
2020/11/13
4
第二种办法是统计的办法, 实际情况更有用
就是通过对随机变量X进行一遍又一遍地重复试验, 假设 这试验一共做了n次, 而获得了18,19,20这三个年龄的次 数分别为n18, n19, n20次, 则将这n次试验所获得的年龄数 统统加起来除以n就是统计平均的年龄
dx
1
ln(1
x2
)
|0
所以， E(X)不存在
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几个重要的随机变量的数学期望
4、均匀分布U(a, b)
X
~
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其他,
系的重心，质量总和为： pk 1 k 1
E(X)
x1
x2
x3
p1
p2
p3
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例2
掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数， 求X的数学期望。
解：
E(X )
k 1
xk
pk
6
k
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例6 P82
设随机变量X服从密度函数为 f (x) 1 x 的柯西分布，求X的数学期望。 (1 x2)
解：由于
| x | f (x)dx
| (1
x
| x
2
)
dx
0 x
x
dx
dx
(1 x2 )
0 (1 x2 )
2
0
x (1 x2
)
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20
20
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18 p18 19 p19 20 p20
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第二种办法是统计的办法, 实际情况更有用
就是通过对随机变量X进行一遍又一遍地重复试验, 假设 这试验一共做了n次, 而获得了18,19,20这三个年龄的次 数分别为n18, n19, n20次, 则将这n次试验所获得的年龄数 统统加起来除以n就是统计平均的年龄
dx
1
ln(1
x2
)
|0
所以， E(X)不存在
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几个重要的随机变量的数学期望
4、均匀分布U(a, b)
X
~
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其他,
系的重心，质量总和为： pk 1 k 1
E(X)
x1
x2
x3
p1
p2
p3
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例2
掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数， 求X的数学期望。
解：
E(X )
k 1
xk
pk
6
k
《概率论与数理统计》课件 第七章 随机变量的数字特征
i 1,2, , 如果 xi pi ， 则称 i 1 E( X ) xi pi 为随机变量X的数学期望； i 1
或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.
(2)设连续随机变量X的密度函数为p( x),
如果
+
x p( x)dx ,
则称
-
E( X ) xp( x)dx 为随机变量X的数学期望.
5
例2.求二项分布B(n, p)的数学期望.
P(X
k)
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk ,k
1, 2,
, n.
n
解：EX kP{ X k}
k0
n
k
k0
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk
n
np
k 1
k
n 1! 1!n
pk1
k!
(1
p)nk
np[ p (1 p)]n1 np.
特别地，若X服从0 1分布，则EX p.
6
例3. 求泊松分布P( )的数学期望.
注：P( X k) k e , k 1, 2, .
k!
解：EX k k e e
k1
e
k1
k0 k !
k1 k 1 !
k1 k 1 !
ee
e x 1 x 1 x2 1 xn [这里，x ]
当 a 450时，平均收益EY 最大.
28
第二节 方差与标准差
29
引例
比较随机变量X、Y 的期望
X3 4 5 Y1 4 7 P 0.1 0.8 0.1 P 0.4 0.2 0.4
01 2 3 4 5 67
《随机变量 》课件
正态分布
广泛应用于自然和社会科学中， 形态对称且集中在均值附近的分 布。
随机变量的应用
统计学中的应用
随机变量在统计学中广泛应 用于推断、模型估计和假设 检验等领域。
金融学中的应用
随机变量在金融学中用于模 拟风险、计算期权定价和构 建投资组合等。
工程学中的应用
随机变量在工程学中有助于 分析不确定性、预测可靠性 和设计优化。
式，用于估计随机变量与其期望之间的
3
关系。
期望、方差和标准差
解释了随机变量的期望、方差和标准差， 并讨论了它们的重要性。
大数定理和中心极限定理
讲解了大数定理和中心极限定理，揭示 了随机变量的稳定性和分布规律。
一些常见的随机变量
二项分布
描述了具有两个互补结果的随机 试验的分布。
泊松分布
用于描述单位时间内独立随机事 件发生次数的分布。
频率函数用于描述离散随机变 量的分布，概率密度函数用于 描述连续随机变量的分布。
离散随机变的分布
介绍了常见的离散随机变量分 布，如二项分布和泊松分布。
连续随机变量的分布
介绍了常见的连续随机变量分 布，如正态分布和指数分布。
随机变量的数字特征1Fra bibliotek切比雪夫不等式和马尔科夫不等
2
式
介绍了切比雪夫不等式和马尔科夫不等
总结
随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，掌握随机变量的定义、分布和 数字特征对于深入理解概率与统计学至关重要。
《随机变量 》PPT课件
本课件介绍了随机变量的基本概念、分布以及数字特征，还探讨了随机变量 在统计学、金融学和工程学中的应用。
什么是随机变量
定义
随机变量是表示随机实验结果的数值的变量。