计量经济学讲义第五讲(共十讲)

第五讲 自相关高斯-马尔科夫假定五是：(,)0,i j i j C ovariance i j εεεεδ==≠如果该假定不成立，那么称模型的误差项是序列相关的。

由于序列相关主要针对于时间序列数据，因此，下面把i 改写为t ，样本容量N 改写为T 。

笔记：1、如果基于横截面数据的回归模型其误差项是相关的，则称为空间自相关。

但是要记住，除非观察顺序具有某种逻辑或者经济上的意义，否则，在横截面数据回归中，观察顺序是可以随意的，因此，也许在某种观测顺序下误差项呈现出一种模式的自相关但在另一种观测顺序下又呈现出另外一种模式的自相关。

然而，当我们处理时间序列时，观测服从时间上的一种自然顺序。

2、在经济变量时间序列回归模型中，误差项经常被称之为冲击（Shock ）。

对经济系统的冲击经常具有持续性，从而这为误差项序列相关提供了现实依据。

一、 自相关的后果在证明高斯-马尔科夫定理时，我们仅仅在证明OLS 估计量的方差最小（在所有线性无偏估计量中）时用到了序列无关假定，而在证明线性、无偏性并没有用到该假定，因此违背无自相关性假定并不影响线性、无偏性，只影响方差最小性质。

在证明方差最小时，我们分了两步，其中第一步是计算OLS 估计量的方差。

对模型：t 01t t y x ββε=++有：12ˆ12222()()()()(())()()[()]t t t t t t t t tx x Variance x x x x Variance x x Variance x x x x βεδβεε-=+---==--∑∑∑∑∑∑在假定五：0,0t t j j εεδ+=≠下，有：122ˆ222()[()]ttt x x x x βεδδ-=-∑∑如果假定五不成立，那么正确的方差表达式应该是：12ˆ1221122()2()()[()]t t t jT T tt t t j t j t x x x x x x x x βεεεδδδ+--+==-+--=-∑∑∑∑所以， OLS 法下通常的系数估计量方差的表示是错误的。

一般来说它小于真实的方差。

这是因为，对于经济数据来说，正的序列相关是最常见的，因此tt jεεδ+一般为正，而()()t t j x x x x +--一般也是正的。

因此，111()()t t j T T tt t j t j x x x x εεδ+--+==--∑∑一般是大于0的。

当然，依靠错误的标准误所进行的t 检验也是无效的。

标准的F 检验同样依赖于高斯-马尔科夫假定，因此在序列相关情况下通常的F 检验也是无效的。

笔记：应该注意的是，如果模型设定有误，那么也可能使误差项是序列相关的。

例如，如果设定的模型遗漏了变量，而这些被遗漏的变量是自相关的，它们进入了误差项，从而导致误差项也具有自相关性。

因此，误差项序列相关同异方差一样，它也可能是模型设定错误的信号。

如果产生自相关性的原因是模型设定有误，那么我们首先应该要作的事情是正确设定模型！二、发现自相关（一）图示法误差项当然我们是观察不到的，但我们可以获得残差。

直观来看，我们可以基于残差来判断误差项所具有的性质。

如果残差随着观测顺序的变化并不频繁地改变符号，见图一，则这是误差项序列正自相关的证据；如果残差随着观测顺序的变化频繁地改变符号，则这是误差项序列负自相关的证据，见图二。

图一：正序列相关ˆt εˆt ε图二：负序列相关笔记：1、与上述图形检验思路一样但更正规的一种检验方式是游程检验（runs test ）。

首先记录残差的符号，例如：(++++++++++)(--)(+++++++)(-)(++++++)。

所谓游程是指具有同一符号的一个不间断历程。

在此例中，具有5个游程。

直观来看，如果游程太多，这意味着残差频繁地改变符号，而这是负自相关的证据；反之，如果游程太少，则是正自相关的证据。

我们是用残差来近似作为误差的观测值。

给定观测值的个数，利用Swed & Eisenhart 所给出的一定显著水平下关于游程数的两个临界值，我们可以检验误差是独立的这个原假设。

具体详情可参见相关教科书。

2、在图一中，残差大约在三个位置改变了符号，你也许会问，这不是违背了正序列相关的判断吗？记住！我们发现的正序列相关是统计规律，而统计规律是大部分观测所具有的规律。

（二）Durbin-Watson 检验图示法仅仅是非正式的检验方法。

接下来我们介绍著名的DW 检验。

该法用来检验误差项是否存在一阶自相关。

首先利用OLS 残差ˆt ε构造检验统计量：21221ˆˆ()ˆTt t t Tt t D W εεε-==-=∑∑显然，2211122222211ˆˆˆˆˆˆ22(1)ˆˆT T TTt t t t t t t t t t TTt t t t D W εεεεεεεε---======+-=≈-∑∑∑∑∑∑1221ˆˆˆTt t t Tt t εεε-==∑∑就是残差的（样本）一阶自相关系数ˆρ，当然其前提是：（1）残差均值为零，这意味着初始模型必须带有截距；（2）残差序列是同方差的，这进一步意味着初始模型中的误差项必须是同方差的。

直观来看，它就是对误差项一阶自相关系数ρ的估计。

因此，ˆ2(1)DW ρ≈-。

如果误差项没有一阶自相关，那么ˆρ应该接近于0，而DW 应该接近于2；如果误差项具有强烈的一阶正自相关关系，即ˆρ接近于1，而DW 应该接近于0；如果误差项具有强烈的一阶负自相关关系，即ˆρ接近于-1，而DW 应该接近于4。

不幸的是，在误差项的一阶自相关系数为零的原假设下，DW 的精确分布取决于解释变量矩阵X 。

然而，Durbin-Watson 证明，DW 的精确分布位于两个极限分布之间。

我们利用这两个极限分布就可以进行检验了。

在实践中，经济变量如果存在自相关，那么一般是正自相关【针对水平变量而不是差分变量，对于差分变量，负自相关是常见的，这是因为差分表示变量的变化。

如果经济变量在均衡位置上下波动，那么上一期涨幅较大往往意味着在本期将出现回落】，因此，在进行DW 检验时，我们通常利用的是单侧（左侧）检验【很多教材所所提供的临界值表是针对单侧检验】。

事实上，如果你计算的DW 值超过了4-d l ，这往往是模型错误设定的信号。

在单侧检验下，给定显著水平，当l DW d ≤，我们认为误差项是一阶正自相关的；当u ld DW d <≤，则无法判断；当u d D W <，我们认为误差项不存在一阶自相关。

DW 检验应该注意的问题：（1） 该检验用来判断误差项是否是一阶自相关的。

一阶自相关不存在并不一定意味着不存在高阶自相关。

（2）回归模型必须带有截距项以保证残差均值为零；（3）DW 统计量的分布除了取决于解释变量矩阵X 外还依赖于全套的经典线性模型假定。

因此，为了保证DW 检验的有效，其他相关假定的成立也是重要的（比如说同方差假定）。

（4）解释变量中不能含有滞后因变量。

考虑模型：121tt t t y a b x b y ε-=+++，当t ε与1t ε-相关时， t ε与1t y -是相关的，这违背了标准假定（标准假定是，要么解释变量非随机，要么随机但与误差项无关），如果此时利用OLS 估计上述模型，那么估计量将是有偏的，且偏差不会随样本的增加而趋于零。

事实上，OLS 估计将把误差项所包含的信息价值归功于解释变量，而相应的残差看起来再也不含有价值的信息，因此，此时DW 值经常接近于2，从而具有误导性1。

1Durbin 针对此情况提出Durbin-h统计量：/2(1DW h =-，h 渐进服从标准正态分布。

由于不能保证21ˆ[()]1T se β<，故该检验具有局限性。

d U d L 4-d U 4-d L 2（5）没有缺失数据。

例如，完整样本是1978-2008年的年度数据，但是，由于某些原因，我们所掌握的样本没有1999年的观测值。

笔记：既然ˆ2(1)DWρ≈-，为什么不基于2121ˆˆˆ/ˆTTtt t t t εεερ-==∑∑=直接进行检验呢？如果考虑回归：1ˆˆˆˆt t v ερε=-+，则 212221ˆˆˆ//211ˆˆˆˆTTTTt tt tt t t t t t t εεερεεε-====≈--=∑∑∑∑针对上述回归，利用t 检验不是可以检验ˆρ的显著性吗？这里首先要指出的是，既然D W 约等于ˆ2(1)ρ-，故利用上述t 检验只是渐进合理的，或者说适用于大样本。

不过基于残差自回归的检验确实具有一定的优点，例如操作简单，并且还可以利用异方差稳健标准误。

但要记住，此时原模型同样不能含有滞后因变量，解释同DW 检验。

我们还可以对这种方法进行推广，如进行回归：11ˆˆˆ...p t t p t t b b v εεε--=+++，以检验误差项是否具有高阶自回归性质。

（三）相关图(Correlogram)分析首先介绍基本概念： 1、 自相关系数定义t ε与t τε-的相关系数为τρ。

为了估计它，我们首先利用OLS估计得到残差序列ˆ{}t ε，然后，就ˆt ε对ˆt τε-就行无截距回归，则可以得到ˆτρ。

112ˆˆˆˆTt Ttt t t t τττττρεεε=+=+--=∑∑在原假设：0τρ=下，ˆ(0,1/)aN T τρ，因此，在95%的置信水平下，样本自相关函数将落在2±。

笔记：为什么ˆτρ的渐进方差是1/T ？考虑ˆt ε对1ˆt ε-回归，按照系数标准误的公式，有：222ˆˆˆ2ˆ2ˆ11111122ˆˆttttTTttt t T T TTt t τεεερεττδδδδττεεδ=+=+==≈=--∑∑。

另外有：222211ˆˆˆˆ(0,1/)(0,1)ma aaam N T N T T τττττρρχρχ=⇒⇒⇒∑ 而21ˆmT ττρ=∑正是Box-Pierce Q 统计量【注：Q 统计量所对应的原假设是...120m ρρρ====】。

在小样本下，为了更加接近卡方分布，对该统计量的一个修正是：211ˆ(2)()mT T T ττρτ=+-∑ ，此即Ljung-Box Q 统计量，这个统计量被EVIEWS采用。

2、 偏自相关系数如果关于误差项的模型是()AR τ形式：1122...t t t t t p p p v ττεεεε---=+++则p τ被称为误差序列{}t ε的τ阶偏自相关系数。

对其的估计是还是通过对残差进行自回归，那么其相应的估计系数就是ˆp τ。

12ˆˆˆ (12)ˆˆˆˆppptt t t ττεεεε=++---同样，在原假设：0p τ=下，ˆp (0,1/)aN T τ 。

笔记：t ε与t τε-的自相关系数与偏自相关系数的区别在于，前者度量了两变量之间简单、常规的相关程度；而后者在度量相关程度时，首先剔除了121...t t t τεεε----（）、、对两者的影响。