2013年厦门市高中毕业班适应性考试数学理科试题(5月质检)扫描版
师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科数学试题
高三适应性月考卷（三）数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟， 参考公式：样本数据x 1,x 2，…，x n 的标准差 锥体体积公式()()()222121n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦r r r Lv=13Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V=ShS=42R π, V=343R π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}|31,,|5,,A x x k k N B x x x Q ==+∈=≤∈则A B I 等于 （ ）A ． {1,2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4} 2．在复平面内，复数311i i+-对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．一个几何体的三视图如图l 所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体 （ ）的体积为 A ．1B ．33 C ．3D ．2334．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 （ ）A ．||2x y =B ．21(1)y g x x =+C ．22x x y -=+D ．111y g x =+ 5．执行如图2所示的程序框图，则输出的x 值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．36．已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤ 若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[]4,4-C ．(][),44,-∞-+∞UD ．(][),11,-∞-+∞U7．如图3，直线y=2x 与抛物线y=3－x 2所围成的阴影部分的面积是 （ ） A ．353B ．22C ．23D ．3238．对于函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--，下列说法正确的是 （ ）A ．该函数的值域是[]1,1-B ．当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >C ．当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取最大值1D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数9．实数对（x ，y ）满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z=kx －y 当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U B ．1,|2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1.12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(],1-∞-10．已知函数21,0,()1,0,x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩则满足不等式2(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为 （ ）A ．[)3,0-B ．（－3，0）C ．（－3，1）D ．（－3311．若在曲线f （x ，y ）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f （x ，y ）=0的“自公切线”。
福建省厦门市高三数学适应性考试题 理(厦门5月质检)
福建省厦门市2012年高中毕业班适应性考试数学（理）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．复数241i z i-=+（i 为虚数单位）的共轭复数等于 A ．1+3i B ．1- 3i C ．-1 +3i D ．-1 -3i2．“2<x<3”是“x （x-5）<0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况用茎叶图记录，下列四个结论中，不正确的是A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定4．已知圆C:（x+l ）2+y 2=1，过点P （ -3，0）作圆的两条切线，切点为A ，B ，则四边形PACB的面积等于A B C ．2 D ．5．等差数列{n a }中，14(*)n n a a n n N ++=∈，则其公差d 等于A ．2B ．4C ．±2D ．+46．某校3名艺术生报考三所院校，其中甲、乙两名学生填报不同院校，则填报结果共有A ．18种B ．19种C ．21种D ．24种7．已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中相互垂直的棱共有A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 8．函数,sin x y a y ax ==（a>0且a ≠1）在同一个直角坐标系中的图象可以是9．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则cos 21PF F ∠等于A ．35B ．34C ．45D ．5610．将ln y x =的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y 轴相切，则角θ满足的条件是A ．esin θ= cos θB ．sin θ= ecos θC ．esin θ=lD ．ecos θ=1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．执行右边的程序，输出的结果是 ．12．已知函数2()122cos f x x x =-+，则函数()y f x =的单调递减区间是 ． 13．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且320,OA OB OB ++=则∠AOC= ．14．如图，射线(0)x ≥上的点A 1，A 2，…，A n ，其中A 1（1，A 2（，且111||||(2,3,4,...).2n n n n n A A A A n A +-==则的横坐标是 ．15．定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R ，使得对任意的x ∈R ，都有f （x+λ）=λf （x ），则称y=f （x ）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是____（写出所有真命题对应的序号）．①若函数()y f x =是倍增系数λ=-2的倍增函数，则()y f x =至少有1个零点；②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数λ=1；③函数()x f x e -=是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）； ④若函数()sin(2)(0)f x x ωω=>是倍增函数，则(*)2k k N πω=∈. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）为适应2012年3月23日公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导意见》，某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为：从10个备选测试项目中随机抽取4个，只有选中的4个项目均测试合格，科目二的培训才算通过．已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为0．8；乙对其中8个测试项目完全有合格把握，而对另2个测试项目却根本不会．（I ）求甲恰有2个测试项目合格的概率；（Ⅱ）记乙的测试项目合格数力ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分13分）如图，三棱柱ADF — BCE 中，所有棱长均为2，∠ABC=60°，∠ABE=90°，平面ABCD ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AC ，BF 上的动点．（I ）若M ，N 分别是AC ，BF 的中点，求证：MN ∥平面ADF ；（Ⅱ）若AM=FN =a （0≤a ≤2），当四面体AMNB 的体积最大时，求实数a 的值．18．（本小题满分13分）已知函数()sin(2),f x A x θ=+其中A ≠0,(0,)2πθ∈，试分别解答下列两小题．（I ）若函数()f x 的图象过点E (,1),(126F ππ-，求函数()y f x =的解析式； （Ⅱ）如图，点M ，N 分别是函数()y f x =的图象在y 轴两侧与x 轴的两个相邻交点，函数图象上的一点P （t ）满足2,16PN MN π⋅=求函数f （x ）的最大值．19．（本小题满分13分）如图，在一段笔直的国道同侧有相距120米的A ，C 两处，点A ，C 到国道的距离分别是119米、47米，拟规划建设一个以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的临时仓库，且四周围墙总长为400米，根据公路法以及省公路管理条例规定：建筑物离公路距离不得少于20米．若将临时仓库面积建到最大，该规划是否符合规定？20．（本小题满分14分）已知函数f （x ）=21nx+ax 2 -1 （a ∈R ）（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若a=l ，试解答下列两小题． （i ）若不等式(1)(1)f x f x m ++-<对任意的0<x<l 恒成立，求实数m 的取值范围；（ii ）若x 1，x 2是两个不相等的正数，且以12()()0,f x f x +=求证：12 2.x x +>21．本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．（1）（本小题满分7分）选修4-2:矩阵与变换已知111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵10a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭属于特征值1λ=2的一个特征向量．（I ）求矩阵M ；(Ⅱ)若21a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求10M a ． （2）（本小题满分7分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，A （l ，0），B （2，0）是两个定点，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）． （I ）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）以A （l ，0为极点，|AB |为长度单位，射线AB 为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲（I ）试证明柯西不等式：22222()()()(,,,);a b x y ax by a b x y R ++≥+∈（Ⅱ）若222,x y +=且2211||||,()()x y x y x y ≠+++求的最小值．。
湖北省2013届高三5月高考模拟及答题适应性考试数学(理)试题A卷 Word版含答案
湖北省2013届高三5月高考模拟及答题适应性考试数学（理）试题A本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1i 2i-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列命题中错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．若R ∈y x ,，则“x y =”是“2)2(y x xy +≥”成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 和q 中必一真一假D ．对命题p ：R ∈∃x ，使得210x x -+<，则p ⌝：R ∈∀x ，则210x x -+≥3．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则2 2侧视图俯视图判断框中应填A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n >5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是A ．613 B ． 365 C ．65 D ．36136．在OAB ∆中，120=∠AOB ，2=OA ，1=OB ，D 、C 分别是线段AB 和OB 的中点，则=⋅ A ．2- B ．23-C ．21- D ．437．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三 棱锥的正视图可能为8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A ．169 B ．21 C ． 167D ．8322 1 1 A ． 2 1 1 B ． 2 1 1 C ． 21 1 D ．11 12 3 1 6 11 6 1 24 50 35 10 1 ……………………………9．设点P 是双曲线22197x y -=右支上一动点，,M N 分别是圆()2241x y ++=和()2241x y -+=上的动点，则PM PN -的取值范围是A ．[]4,8B ．[]2,6C ．[]6,8D ．[]8,12 10．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()())1(xyyx f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；③函数()f x 只有一个零点； ④)41()31()21(f f f <+．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． (一)必考题（11—14题）11．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--=,1,,11,12x e x x x f x 则⎰-21d )(x x f =__________．12．若nxx )12(-的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则它的第4项系数是________．13．如图是斯特林数三角阵表，表中第r 行每一个 数等于它左肩上的数加上右肩上的数的1r -倍， 则此表中：（Ⅰ）第6行的第二个数是______________； （Ⅱ）第1n +行的第二个数是___________．（用n 表示）14．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式cb a 111++ cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，C 为OA 的中点，连结BC 并延长交圆O 于点D ，则CD = ． 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y t x 21,2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 为2cos sin ρθθ=．设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则⋅= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()x x x x f sin sin cos 2cos sin 22-+=ϕϕ（πϕ<<0）在π=x 处取最小值．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C ．18．（本小题满分12分）某车站每天上午安排A 、B 两种型号的客车运送旅客，A 型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B 型车发车时刻可能是9：00，9：20， 9：40．两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表： 频 数 频 率A 型车8：00发车 25 0．25 A 型车8：20发车 m 0．50 A 型车8：40发车 25 0．25B 型车9：00发车 25 0．25 B 型车9：20发车 50 0．50 B 型车9：40发车25 n （Ⅰ）直接写出表中的m ，n 的值； （Ⅱ）某旅客8：10到达车站乘车，根据上表反映出的客车发车规律，（ⅰ）求该旅客能乘上A 型客车的概率；（ⅱ）求该旅客候车时间ξ（单位：分钟）的分布列和数学期望．（注：将频率视为概率）19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，65=a ，且1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an n n b 2)1(4⋅--=λ(*n ∈N ），问:是否存在非零整数λ，使数列{}n b 为递增数列． 20．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥A C ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上．（Ⅰ）证明：AM ⊥PN ；（Ⅱ）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成 的二面角为30º，若存在，试确定点P 的位置，若不存 在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知平面内一动点P 到椭圆15922=+y x 的右焦点F 的距离与到直线2-=x 的距离相等．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,(m M （0>m ）作倾斜角为60的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，若点F 始终在以线段AB 为直径的圆内，求实数m 的取值范围；A B CNMP A 1 B 1 C 1（Ⅲ）过点)0,(m M （0>m ）作直线与曲线C 相交于A ，B 两点，问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由﹒22．（本小题满分14分）设函数()ln f x x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设1212,0,,0,x x p p >>且121,p p +=证明：()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+；（Ⅲ）设0,,,21>n x x x ，0,,,21>n p p p ，且121=+++n p p p ，如果e 2211≥+++n n x p x p x p ，证明：e )()()(2211≥+++n n xf p x f p x f p ．一、选择题：1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C二、填空题：11．22e e π+- 12．160- 13．274；111!2n n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭14． 15． 553 16． 0三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )在x ＝π处取最小值， ∴sin(π＋φ)＝－1，∴sin φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π2． ………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ．由f (A )＝32，得cos A ＝32．∵角A 是△ABC 的内角，∴A ＝π6．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝2sin B ，∴ sin B ＝22．∵b ＞a ，∴B ＝π4，或B ＝3π4．当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12；当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12．故C ＝7π12，或C ＝π12． ………………………………12分18．解：（Ⅰ）m =50，n =0．25． ………………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）设某旅客8：20，8：40乘上车事件分别为A ，B ，则A ，B 互斥．∴()()()113244P A B P A P B +=+=+=． …………………………………5分 （ⅱ）可能取值为10,30,50,70,90ξ=，则()1102P ξ==，()1304P ξ==，()3115014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()311701428P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()3119014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭．ξ的分布列是ξ30．…………………12分19．解：（Ⅰ）设公差为（d ≠0），由题意，知，． 于是 解得．．………………………………………………………4分 （Ⅱ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅．20．解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，．由题意，可设．（Ⅰ）∵)21,1,0(=，， ．∴ AM ⊥PN ．……………………… 6分（Ⅱ）设),,(z y x n =是平面PMN 的一个法向量，)21,21,21(-=， 则 即得令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ，∴)22,21,3(λλ-+=．若存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º， 则|cos<n m ,>|=23)22()21(9|22|22=-+++-λλλ．化简得． ∵△＝100-4⨯4⨯13＝-108<0，方程无解． ∴不存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º．……………12分 21．解：（Ⅰ）易知椭圆的右焦点坐标为．由抛物线的定义，知P 点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线． 所以，动点P 的轨迹C 的方程为． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意知，直线AB 的方程为． 代入，得． 设，则．因为点始终在以线段为直径的圆内， 为钝角． 又，， ，． 即， ． 因此， ．综上，实数的取值范围是．（Ⅲ）设过点的直线方程为，代入，得 ．设，则，． 于是．的中点坐标为 又 ．设存在直线满足条件，则． 化简，得．所以，对任意的恒成立， 所以 解得，．所以，当时，存在直线与以线段为直径的圆始终相切．…………13分 22．解：（Ⅰ）．由，得；由，得．在单调递减；在单调递增．在取最小值．………………………………………………4分 （Ⅱ）令，不妨设， 则． ， ．而是增函数，．，所以在是增函数．，即．．………………………………8分（Ⅲ）先证明．当时，由（Ⅱ）知不等式成立．假设当时，不等式成立，即．当时，，．．……………………………14分。
福建省厦门市2013届高三3月质量检查理科数学试题(扫描版)
厦门市2013届高三质量检查 数学〔理科〕评分标准一．选择题；BCABD BACCA 10.分析1：BC=2，045A ∠=，所以2sin aR R A=⇒=，如图建系， (1,0),(1,0)B C -(0,1)O ，求得圆O：22(1)2x y -+=，设(,)A x y ，则OA BC ⋅=分析2：||||cos ,4cos ,OA BC OA BC OA BC OA BC ⋅=⋅<>=<>… 分析3211()()()(22OA BC OD DA BC DA BC AC AB AC AB c ⋅=+⋅=⋅=-+⋅-=-又2sin sin sin 45b c B C ==， 所以222211()))]22c b C B -=-=22221()4(sin sin ) (2)c b C B -=-= 二．填空题：11. 1± 12. 725-13.(或)14.mnN15．②③ 15.分析：如图设12(,0),(,0)P x Q x ，当P ，Q 关于3(,0)2对称时，即1232x x += 12()()f x f x =,所以f(x)关于32x =对称. ④设()f x t =，则()1f t =+，观察出10t =，则23t =三．解答题：16.此题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力．总分值13分． 解：〔1〕3()cos 2f x x x =+ωω 13(sin )22x x =+ωω --------------------------------------------1分3(sin coscos sin )33x x =+ππωω3)3x =+πω------------------3分 2=4,==42o T >ππωω因为，所以 -----------5分 ()3sin()23f x x ππ=+所以 ------------6分〔2〕将()f x 的图像沿x 轴向右平移23个单位得到函数()32g x x π=---------------------------7分因为P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，所以3),(3,3)P Q ------------------------------------------------------------------------9分 所以2,4,OP PQ ==-------------------------------------------------------------------------10分222312,cos 2OQ PQ OP OQ OQ QP θ+-===⋅分所以6πθ=---------------------------------------------------------------------------------------13分法2：60,60,30=30o o o o POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以 法3：利用数量积公式(2,23)(3,3)3cos 41293QP QO QP QOθ⋅-⋅-==+⋅+⋅，=30o θ所以 17． 此题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法，考查空间想象、计算、推理论证等能力．总分值13分． 解：〔Ⅰ〕连接OQ ，由题知PA ∥QC,∴P 、A 、Q 、C 共面BD ⊥AC,BD ⊥PA,PA∩AC=A ，∴BD ⊥平面PACQ, ∴BD ⊥OP. ----------------------------------1分 由题中数据得PA=2，AO=OC=2,OP=6,QC=1，OQ=3 ∴△ PAO ∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC,又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP ⊥OQ 〔或计算PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，OP ⊥OQ 〕---------------3分∵OP ⊥BD, OP ⊥OQ,BD∩OQ=O ，∴OP ⊥平面QBD--------------------------4分〔Ⅱ〕如图，以A 为原点，分别以AB,AD,AP 所在直线为X,Y,Z 轴建立直角坐标系， ∴各点坐标分别为A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C 〔2,2,0〕，D 〔0,2,0〕,P 〔0,0,2〕,Q(2,2,1),O(1,1,0)-------------------5分∴BP =(-2,0,2), BQ =〔0,2,1〕,设平面PBQ 的法向量),,(z y x n =∴22020n BP x z n BQ y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，得⎩⎨⎧-==z y z x 2，不妨设1-=y ，∴)2,1,2(-=n ------------------------------------------------------------------------------------6分由〔Ⅰ〕知平面BDQ 的法向量)2,1,1(--=OP ，---------------------------------7分<cos OP ，n >=2146663OP n OP n⋅-++==⋅⋅， ∴二面角P-BQ-D 平面角的余弦值为66.------------------------------------------9分 〔Ⅲ〕设PE ED λ=,∴()(1)0,2,2PD PE ED ED λ=+=+=-,()10,2,21ED λ=-+ 222,,11CE CD DE λλ-⎛⎫=+=- ⎪++⎝⎭，-------------------------------------------------11分∵CE ∥平面PBQ,∴CE 与平面PBQ 的法向量)2,1,2(-=n 垂直。
新课标2013届高三配套月考(一)数学试题(A卷)
2013届高三新课标数学配套月考试题一A适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数建议使用时间：2012年8月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. （2012·郑州质检）集合A =｛0，1,2｝，B ={21<<-x x }，则=B A （ ） A.｛0｝ B.｛1｝ C.｛0，1｝ D.｛0，1,2｝ 2. （2012·郑州质检）函数()xx x f 2log 12-=的定义域为（ ） A.()+∞,0 B.()+∞,1 C.()1,0 D.()()+∞,11,03. （2012·山东卷）已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则()UA B ð为（ ）A.{}1,2,4B.{}2,3,4C.{}0,2,4D.{}0,2,3,4 4.[2012·湖南卷]命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ） A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π5. （2012·太原模拟）已知集合{}|0M x y ==≥，{}|12N x x =+≤，全集I =R ，则图1中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}|1x x ≤≤ B.{}|31x x -≤≤C.{|3x x -≤<D.{|1x x ≤≤图16.（2012·哈尔滨第六中学三模）命题“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为（ ） A.2,240x x x ∀∈-+≥R B.2,240x x x ∃∈-+>R C.2,240x x x ∀∉-+≤R D. 2,240x x x ∃∉-+>R7. [2012· 山东卷]设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x =π对称，则下列判断正确的是（ ） A. p 为真 B. q ⌝为假 C.p q ∧为假 D.p q ∨为真 8．（2012·昆明第一中学一摸）函数()()221x a x af x x+--=是奇函数,且在()0,+∞上单调递增,则a 等于（ ）A.0B.-1C.1D.1±9.（2012·大连沈阳联考）设,a b 是平面α内两条不同的直线，是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10．（2012·昆明第一中学一摸）函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）11.（理）（2012·郑州质检）如图2所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ） A.21B. 61C. 41D. 31图2.（文）（2012·哈尔滨第六中学三模）函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为12+=x y ，则xx x f x f x ∆∆--→∆)2()(lim000等于（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．412.（理）（2012·昆明第一中学一摸）已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,如果()()g x f x =-5log 1x -，则函数()y g x =的所有零点之和为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8（文）（2012·昆明第一中学一摸）已知[1,1]x ∈-，则方程2cos 2πxx -=所有实数根的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上. 13. （2012·唐山二模）14.（2012·郑州质检）定义在R 上的函数()x f 是增函数，则满足()()23f x f x <-的取值范围是 .15.[2012·上海卷]若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .16.（2012·保定二模）设集合{}{0<1},|12,A x x B x x =≤=≤≤函数()()[]002()(),4-2x x A f x x A f f x A x x B ⎧∈⎪=∈∈⎨∈⎪⎩，且，则x 0取值区间是 .三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)17．（本小题满分10分）已知集合{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x x B ,{}a x a x C <<-=5|. （1）求B A ,()A B R ð;（2）若()B A C ⊆,求a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知22,1,(),12,2,2,x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩且3)(=a f ,求实数a 的值．19.（本小题满分12分）[2012· 陕西卷](1)如图3，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥”为真. （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）．图３20.（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）21．（本小题满分12分）（理）[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．（文）[2012·北京卷]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）（理）[2012· 广东卷]设a ＜1，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，B A D =.（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数ax x a x x f 6)1(32)(23++-=在D 内的极值点．（文）[2012·广东卷]设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =.（1）求集合D （用区间表示）.（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.试卷类型：A2013届高三新课标原创月考试题一答案数学1. C 【解析】{}0,1AB =.2. D 【解析】由2log 0x ≠，得1x ≠，又0x >，故函数()221log x f x x-=的定义域为()()+∞,11,0 .3. C 【解析】{0,4}U A =ð,所以{0,24}U A B =（），ð,选C. 4. C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4π”.5. C 【解析】由题意，集合{}{2|30|M x x x x =-≥=≤≤,{}|31N x x =-≤≤,所以阴影部分为(){}{}{|33|31|3IM N x x x x x x x =<->-≤≤=-≤<或ð.6. B 【解析】全称性命题的否定一要否量词，二要否结论，所以原命题的否定为：2,240x x x ∃∈-+>R .7. C 【解析】函数x y 2sin =的最小正周期为22π=π，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为π,x k k =∈Z ,所以命题q 为假，所以q p ∧为假. 8． C 【解析】方法一:由函数()f x 是奇函数,得()()()()()221x a x af x f x x-+----==-=-()221x a x ax+---对一切实数R 恒成立,即()()222211x a x ax a x axx---+--=--对一切实数R 恒成立,所以()()2211a x a x --=-对一切实数R 恒成立,故210a -=,解得1a =±.当1a =-时,()211x f x x x x +==+不满足在()0,+∞上单调递增;当1a =时,()211x f x x x x-==-满足在()0,+∞上单调递增.综上,1a =.方法二:()()21af x x a x=-+-,若函数()f x 是奇函数,则210a -=,解得1a =±.当1a =-时,()211x f x x x x +==+不满足在()0,+∞上单调递增;当1a =时,()211x f x x x x-==-满足在()0,+∞上单调递增.综上,1a =.9. C 【解析】由线面垂直的定义可知l α⊥,l a l b ⇒⊥⊥，反之只有当a 与b 是两条相交直线时才成立，故“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥” 必要而不充分的条件.10． C 【解析】设()()()lg 27h x f x g x x x =-=+-，因为()()3lg 310,4lg 410h h =-<=+>，所以()()340h h <.又函数()()()lg 27h x f x g x x x =-=+-的图象是连续不断的，所以由零点存在定理得，()h x 的零点在区间()3,4内，即函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是()3,4.11. （理） D 【解析】由几何概型得，所投的点落在叶形图内部的概率是332121330113x x P ⎛⎫- ⎪⎝⎭===. （文）D 【解析】由导数的定义得0000000()(2)()(2)1()limlim22x x f x f x x f x f x x f x x x ∆→∆→--∆--∆'==⨯∆∆2,=所以000()(2)lim 4x f x f x x x ∆→--∆=∆. 12.（理）D 【解析】函数()y g x =的零点即为函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的交点的横坐标.作出函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的图象（如下图），函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的图象都关于直线1x =对称，且在对称轴的左右两端各有4个交点，故函数()y g x =的所有零点之和为428⨯=.（文）D 【解析】设()2xf x -=，()cos 2g x x π=.易知函数()2xf x -=的图象关于y 轴对称，函数()cos 2πg x x =的最小正周期为1，作出函数()2xf x -=与函数()cos 2πg x x =的图象（如下图所示）.数形结合易知函数()2x f x -=与函数()cos 2πg x x =的图象有5个交点，故方程2cos 2πx x -=所有实数根的个数为5.13. ()lg 2,+∞【解析】由1020x ->,得lg 2x >.14. ()3,+∞【解析】由函数()x f 是增函数，得23x x <-，解得3x >. 15. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为集合1{210}|2A x x x x ⎧⎫=+>=>-⎨⎬⎩⎭，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以A B =1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，即1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.16. 23log ,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为001x ≤<，所以0122x ≤<.所以()0f x B ∈.所以()00422x f f x =-⋅⎡⎤⎣⎦.由题知004221x ≤-⋅<,可得03222x <≤，解得203log 12x <≤.又001x ≤<，所以203log 12x <<.17．解：（1）{}102|<<=x x B A , 因为{}|37A x x x =<≥R 或ð, 所以(){}|23710A B x x x =<<≤<R 或ð.（2）由（1）知{}102|<<=x x B A ,①当C =φ时,满足()B A C ⊆,此时a a ≥-5,得25≤a ; ②当C ≠φ时,要()B A C ⊆,则⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-，，，10255a a a a 解得325≤<a .由①②得,3≤a .18.解：由已知3)(=a f ,①当1-≤a 时,32)(=+=a a f ,解得1=a ,这与1-≤a 前提矛盾；②当21<<-a 时,3)(2==a a f ,解得3±=a ,由于21<<-a ,则有3=a ； ③当2≥a 时,32)(==a a f ,解得23=a ,这与2≥a 前提矛盾； 综上所述,实数a19. 解：（1）证法一：如下图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a ·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，又因为a ⊂π，n ⊥π，所以a·n ＝0， 故a·c ＝0，从而a ⊥c .证法二：如图,记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点,过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .因为PO ⊥π，a ⊂π，所以直线PO ⊥a ， 又a ⊥b ，b ⊂平面P AO ，PO ∩b ＝P ， 所以a ⊥平面P AO .又c ⊂平面P AO ，所以a ⊥c .（2）逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．20. 解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.（2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--， 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦，从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， 所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点， 所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 21．（理） 解：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f （1）＝g （1），且f ′（1）＝g ′（1），即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ， 解得a ＝3，b ＝3.（2）记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a >0时，h (x )与h ′(x )的情况如下： ↗↘↗所以函数h (x )的单调递增区间为⎝⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎭－a 6，＋∞；单调递减区间为⎝⎭⎫－a 2，－a 6. 当－a2≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2<－1，且－a6≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 当－a6<－1，即a >6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6内单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a6，－1上单调递增， 又因h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. （文）解：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f （1）＝g （1），且f ′（1）＝g ′（1），即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ，解得a ＝3，b ＝3.（2）记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．22. （理）解：（1）x ∈D ⇔x >0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0.令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，Δ29(1)483(31)(3)a a a a ==＋－－－．①当13<a <1时，Δ<0，所以∀x ∈R ，h (x )>0，所以B ＝R .于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0，＋∞)．②当a ＝13时，Δ＝0，此时方程h (x )＝0有唯一解，x 1＝x 2＝3(1＋a )4＝3⎝⎛⎭⎫1＋134＝1，所以B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)．③当a <13时，Δ>0，此时方程h (x )＝0有两个不同的解x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4.因为x 1<x 2且x 2>0，所以B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)． 又因为x 1>0⇔a >0，所以i)当0<a <13时，D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)；ii)当a ≤0时，D ＝(x 2，＋∞)．（2）f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．当a <1时，f (x )在R 上的单调性如下表：↗↘↗①当13<a <1时，D ＝(0，＋∞).由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，x ＝1为f (x )在D 内的极小值点．②当a ＝13时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x ＝13为f (x )在D 内的极大值点．③当0<a <13时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．因为x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a －(3－5a )2－16a 24≥14[3＋3a －(3－5a )]＝2a >a 且x 1<3＋3a 4<1，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a ＋(1－3a )2＋(8－24a )4>3＋3a ＋(1－3a )4＝1，所以a ∈D,1∉D .由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点． ④当a ≤0时，D ＝(x 2，＋∞)且x 2>1.由表可得，f (x )在D 内单调递增．因此f (x )在D 内没有极值点．（文）解：（1）x ∈D ⇔x >0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0.令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝3(3a －1)(a －3)．①当13<a <1时，Δ<0，所以∀x ∈R ，h (x )>0，所以B ＝R .于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0，＋∞)．②当a ＝13时，Δ＝0，此时方程h (x )＝0有唯一解x 1＝x 2＝3(1＋a )4＝3⎝⎛⎭⎫1＋134＝1，所以B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)．③当0<a <13时，Δ>0，此时方程h (x )＝0有两个不同的解x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4.因为x 1<x 2且x 2>0，所以B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)． 又因为x 1>0⇔a >0，所以D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)． （2）f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的单调性如下：①当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)．由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，x ＝1为f (x )在D 内的极小值点．②当a ＝13时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x ＝13为f (x )在D 内的极大值点．③当0<a <13时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．因为x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a －(3－5a )2－16a 24≥14[3＋3a －(3－5a )]＝2a >a 且x 1<3＋3a 4<1，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a ＋(1－3a )2＋(8－24a )4>3＋3a ＋(1－3a )4＝1，所以a ∈D,1∉D .由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点．。
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2013年厦门市高中毕业班适应性考试
数学（理科）试题
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