2018年高考数学(文)二轮复习 专题突破训练(高考22题)12 4“80分”标准练4 Word版含答案
2018年高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题二函数与导数2.3函数与导数的应用专项练课件文
'=
������ '(����������)������ '(������) ������ 2 (������ )
[g(x) ≠0].
-3一、选择题 二、填空题
1.函数f(x)=excos x在点(0,f(0))处的切线斜率为( A.0 B.-1 C.1 D.
������ ������ ������ 1 1
1
故 k≥1.故选 D.
-8一、选择题 二、填空题
6.(2017河南郑州三模,文6)已知f'(x)=2x+m,且f(0)=0,函数f(x)的图
象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列 S2 017 的值为(
2 017 A. 2 018
1 ������(������)
2.3 函数与导数的应用专项练
-2-
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导 数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0),相应的切线方程 是y-y0=f'(x0)(x-x0). 注意:在某点处的切线只有一条,但过某点的切线不一定只有一 条. 2.常用的求导方法 (1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(ex)'=ex,
解析:由函数的图象可知f(0)=d>0,排除选项A,B; f'(x)=3ax2+2bx+c, 且由图象知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的减区间,可知a<0,排除D.故选C.
-5一、选择题 二、填空题
3.与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是 ( A ) A.3x+y+2=0 B.3x-y+2=0 C.x+3y+2=0 D.x-3y-2=0
2018年高考数学(理)二轮复习 专项精练：(高考22题) 12+4“80分”标准练3
1 12＋4“80分”标准练3 1．(2017·山东)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B等于( ) A．(1,2) B．(1,2] C．(－2,1) D．[－2,1) 答案 D 解析 ∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]． ∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)．∴A∩B＝[－2,1)，故选D. 2．(2017·湖北省黄冈中学三模)复数z1＝2＋i，若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z1·z2等于( ) A．－5 B．5 C．－3＋4i D．3－4i 答案 A 解析 由题意可知z2
＝－2＋i，
所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－4＋i2＝－5，故选A. 3．(2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案 A 解析 对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错误； 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知，年接待游客量逐年增加，故B正确； 对于选项C，D，由图可知显然正确． 故选A. 2
4．(2017·湖北省黄冈中学三模)已知向量m＝(－1,2)，n＝(1，λ)，若m⊥n，则m＋2n与m的夹角为( ) A.2π3 B.3π4 C.π3 D.π4 答案 D 解析 依题意，m·n＝0，即－1＋2λ＝0，
解得λ＝12，故m＋2n＝(1,3)， 则m＋2n与m的夹角的余弦值 cos θ＝510·5＝22，
又θ∈[0，π]，故θ＝π4.
5．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l垂直于α，则l垂直于α内的所有直线； ②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线； ③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β； ④若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l. 其中正确的命题的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 答案 C 解析 对于①，由线面垂直的定义可知①正确； 对于②，若l平行于α内的所有直线，根据平行公理可知，α内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故②错误； 对于③，根据面面垂直的判定定理可知③正确； 对于④，若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则直线l与m无公共点， ∴l与m平行或异面，故④错误． 故选C.
2018年高考数学(理)二轮复习 专项精练：(高考22题) 12+4“80分”标准练3(含答案解析)
12＋4“80分”标准练31．(2017·山东)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B等于( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)答案 D解析∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)．∴A∩B＝[－2,1)，故选D.2．(2017·湖北省黄冈中学三模)复数z1＝2＋i，若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z1·z2等于( ) A．－5 B．5C．－3＋4i D．3－4i答案 A解析由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－4＋i2＝－5，故选A.3．(2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案 A解析对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错误；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知，年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.4．(2017·湖北省黄冈中学三模)已知向量m ＝(－1,2)，n ＝(1，λ)，若m⊥n ，则m ＋2n 与m 的夹角为( ) A.2π3B.3π4C.π3D.π4答案 D解析 依题意，m·n ＝0，即－1＋2λ＝0， 解得λ＝12，故m ＋2n ＝(1,3)，则m ＋2n 与m 的夹角的余弦值 cos θ＝510·5＝22， 又θ∈[0，π]，故θ＝π4.5．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α，则l 垂直于α内的所有直线； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ④若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l . 其中正确的命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析 对于①，由线面垂直的定义可知①正确；对于②，若l 平行于α内的所有直线，根据平行公理可知，α内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故②错误；对于③，根据面面垂直的判定定理可知③正确；对于④，若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则直线l 与m 无公共点， ∴l 与m 平行或异面，故④错误． 故选C.6．(2017届山东省、湖北省部分重点中学模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π4－2B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π4＋2C ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12＋2D ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12－2 答案 C解析 根据三角函数图象的平移变换可知，将f (x )的图象向左平移π4个单位长度得到函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再将f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向上平移2个单位长度得到函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2的图象，因此g (x )＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12＋2.故选C. 7．(2017届上海市松江区二模)设a ，b 分别是两条异面直线l 1，l 2的方向向量，向量a ，b 夹角的取值范围为A ，l 1，l 2所成角的取值范围为B ，则“α∈A ”是“α∈B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 直线的方向向量所成角的范围是[0，π]， 故A ＝[0，π]；异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故B ＝⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故“α∈A ”是“α∈B ”的必要不充分条件．故选C.8．(2017届湖南师大附中模拟)一个算法的程序框图如图所示，若输出的y ＝12，则输入的x 可能为( )A ．－1B ．1C ．1或5D ．－1或1答案 B解析 这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 6，x ≤2，2x ，x >2的函数值，输出的结果为12，当x ≤2时，sin πx 6＝12，解得x ＝1＋12k ，或x ＝5＋12k ，k ∈Z ，即x ＝1，－7，－11，…，当x ＞2时，2x＝12，解得x ＝－1(舍去)，则输入的x 可能为1.故选B.9．(2017届山东省济宁市二模)已知点M (x ，y )为平面区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，y －1x ≤0，y ≥a ，0<a <1内的一个动点，若z ＝y ＋1x的最大值为3，则区域D 的面积为( ) A ．ln 2＋58B ．ln 2－12C ．ln 2＋18D ．ln 2－38答案 D解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，y －1x ≤0，y ≥a ，0<a <1作出可行域如图阴影部分所示，A (a ，a )，z ＝y ＋1x 的最大值为P (0，－1)与A 连线的斜率，即z max ＝k PA ＝a ＋1a ＝3，则a ＝12.∴区域D 的面积为1211221121111()()22111(2)(ln )222x dx dx x x x x x -+-=-+-⎰⎰＝－18＋14＋ln 2－1－ln 1＋12＝ln 2－38.故选D.10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16 3B ．24 3 C.8033D ．26 3答案 C解析 该几何体的直观图如图所示，它是一底面是菱形的直四棱柱在左上角切去一个三棱锥后形成的几何体．所以V ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×43×4×4－13⎝ ⎛⎭⎪⎫34×42×4＝8033.故选C.11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与两条平行直线l 1：y ＝x ＋b 与l 2：y ＝x －b 分别相交于四点A ，B ，D ，C ，且四边形ABCD 的面积为8b23，则椭圆E 的离心率为( )A.22B.32C.23D.33答案 A解析 如图所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2a ＋y2b＝1⇒(a 2＋b 2)x 2＋2ba 2x ＝0， 可得点A 的横坐标为－2ba 2a 2＋b 2.∴|AB |＝2×2ba2a 2＋b 2.又∵原点到AB 的距离d ＝b2，∴四边形ABCD 的面积为|AB |×2d ＝2×2ba 2a 2＋b 2×2b ＝8b23. 整理得a 2＝2b 2，椭圆E 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝22.故选A.12．(2017·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C.[]－23，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 答案 A解析 关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x ＞1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23， 当且仅当3x 2＝2x ，且x ＞1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x 2＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916，当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x ＞1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x ＞1，即x ＝2时，“＝”成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.故选A. 13．(2017届山东师大附中模拟)已知点A ，B 为圆C ：x 2＋y 2＝4上的任意两点，且|AB |>2，若线段AB 的中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 内的概率为________． 答案 34解析 由题意，线段AB 的中点组成的区域M 为以原点为圆心，3为半径的圆内部，由几何概型的公式得到π(3)2π×4＝34，故答案为34. 14．(2017·全国Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 答案 －8解析 设等比数列{a n }的公比为q . ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1，① a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2. ∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.15．(2017届山东省济宁市二模)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．答案 1解析 ∵x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线， ∴两圆外切，∴圆心距等于两半径之和，即a 2＋4b 2＝9，∴1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2a 2＋4b 29＝19⎝⎛⎭⎪⎫5＋4b2a 2＋a 2b 2≥19(5＋4)＝1. 当且仅当a 2＝2b 2时取等号，则1a 2＋1b2的最小值为1.16．(2017届山东省、湖北省部分重点中学模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1，若方程f (x )＝mx －13恰有四个不等的实数根，则实数m 的取值范围是____________．答案 231(,e )3-解析 f (x )＝mx －13恰有四个不等的实数根，可化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1与函数y ＝mx －13恰有四个不同的交点，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1与函数y ＝mx －13的图象，由已知得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，B (1,0)，∴k BC ＝13. 当x ＞1时，f (x )＝ln x ，f ′(x )＝1x，设切点A 的坐标为(x 1，ln x 1)， ln x 1＋13x 1＝1x 1，得231e ,x =故2311e ,ACk x -== 结合图象可得实数m 的取值范围是231(,e ).3-。
2018年高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题八客观压轴题8.1高考客观题第12题专项练课件文
所以有g(a)=2-4a+ln a=2b+ln a<0⇒ln a<-2b,故选A.
-8-
6.(2017湖南邵阳一模,文12)设x0为函数f(x)=sin πx的零点,且满足
1 |x0|+f ������0 + 2 <11,则这样的零点有(
DHale Waihona Puke )A.18个 B.19个C.20个
D.21个
1 2 1 2 1 2
函数单调递减. ∴f(x)<f(e)=eln e-e=0, ∴f(2)=eln 2-2<0,即2>eln 2,∴①正确. ②∵3ln 2=ln 8>ln 2.82>ln e2=2,
∴ln 2>3,②正确 . ③π2<42=16,3π>33=27,因此 π2<3π,③正确 . ln2 ln π ④∵2π<π2,∴ 2 < π ,④正确.故选 D.
解析: ∵x0为函数f(x)=sin πx的零点,∴sin πx0=0,即πx0=kπ,k∈Z,
则 x0=k,若 k 是偶数,则 f ������0 + 若 k 是奇数,则 f ������0 + 的取值有 9 个 ;
1 2
=1;
=-1. <11 得 |k|<-1+11=10,-10<k<10,k <11 得 |k|<1+11= 12,-12<k<12,k 的
专题八
客观压轴题
8.1
高考客观题第12题专项练
-3-
选择题(共15小题,每小题8分)
1.(2017 湖北武昌 1 月调研,文 12)若 f(x)=cos 2x+a cos
2018年高考数学二轮复习(高考22题)124“80分”标准练2文
12＋4“80分”标准练21．(2017·全国Ⅲ)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}， ∴A ∩B ＝{2,4}． ∴A ∩B 中元素的个数为2. 故选B.2．(2017届山东师大附中模拟)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝(2a＋1)＋2i 的模为( ) A. 2 B. 3 C. 6 D.11 答案 C 解析2－i a ＋i ＝(2－i )(a －i )(a －i )(a ＋i )＝2a －1－(2＋a )ia 2＋1， 若2－i a ＋i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0，2＋a ≠0，解得a ＝12，则z ＝(2a ＋1)＋2i ＝2＋2i.则复数z ＝(2a ＋1)＋2i 的模为22＋(2)2＝4＋2＝6， 故选C.3．(2017届湖南师大附中模拟)下边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是( )A.x 甲＝76，x 乙＝75B ．甲数据中x ＝3，乙数据中y ＝6C ．甲数据中x ＝6，乙数据中y ＝3D ．乙同学成绩较为稳定解析 因为甲得分的中位数为76分，所以x ＝6，因为乙得分的平均数是75分，所以 56＋68＋68＋70＋72＋(70＋y )＋80＋86＋88＋8910＝75，解得y ＝3，故选C.4．(2017·浙江省宁波市镇海中学模拟)关于周期函数，下列说法错误的是( ) A ．函数f (x )＝sin x 不是周期函数 B ．函数f (x )＝sin 1x不是周期函数C ．函数f (x )＝sin|x |不是周期函数D ．函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为π 答案 D解析 对于A ：函数f (x )＝sin x ，令x ＝u ，u ≥0， 则f (u )＝sin u 不是周期函数． ∴A 对；对于B ：函数f (x )＝sin 1x ，令1x＝t ，t ≠0，则f (t )＝sin t ，不是周期函数，∴B 对；对于C ：函数f (x )＝sin|x |是由函数y ＝sin x 的部分图象关于y 轴对称所得，不是周期函数，∴C 对；对于D ：函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为π2，∴D 不对．故选D. 5．(2017·山东)执行如图所示的程序框图，当输入的x 值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A ．x >3B ．x >4C ．x ≤4D ．x ≤5 答案 B解析 输入x ＝4，若满足条件，则y ＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y ＝log 24＝2，符合题意，结合选项可知应填x ＞4.6．(2017·湖北省黄冈中学模拟)设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是( )A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 答案 C解析 C 中，当m ⊂α时，若n ∥α，则直线m ，n 可能平行，可能异面；若m ∥n ，则n ∥α或n ⊂α，所以“n ∥α”是“m ∥n ”的既不充分也不必要条件，故C 项不正确．7．(2017届山东省聊城市三模)已知两点A (－m ,0)和B (2＋m ,0)(m ＞0)，若在直线l ：x ＋3y －9＝0上存在点P ，使得PA ⊥PB ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,4) C ．[3，＋∞) D ．[4，＋∞) 答案 C解析 以AB 为直径的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝(1＋m )2.在直线l ：x ＋3y －9＝0上存在点P ，使得PA ⊥PB ，则直线l 与圆有公共点． ∴|1－9|2≤1＋m ，解得m ≥3.故选C. 8．(2016·全国Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) A ．18＋36 5 B ．54＋18 5 C ．90 D ．81 答案 B解析 由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，45，几何体的表面积S ＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.9．(2017届山东省、湖北省部分重点中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b ＞0)的左、右焦点，若直线y ＝3x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2是矩形，则双曲线的离心率为( )A ．5－2 5B ．5＋2 5 C.3＋1 D.3－1答案 C解析 由题意可知，矩形的对角线相等，将y ＝3x 代入x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，可得x ＝±a 2b 2b 2－3a 2，y ＝±3·a 2b 2b 2－3a 2，∴4a 2b 2b 2－3a2＝c 2，∴4a 2b 2＝(b 2－3a 2)c 2， ∴4a 2(c 2－a 2)＝(c 2－4a 2)c 2，∴e 4－8e 2＋4＝0， ∵e ＞1，∴e 2＝4＋23，∴e ＝3＋1. 故选C.10．(2017届四川省成都市三诊)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143 B.1143C.2413D.613 答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.11．(2017届吉林省东北师大附中模拟)已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，AB ＝2，AC ＝23，∠ABC ＝60°，且棱锥O －ABC 的体积为463，则球O 的表面积为( )A ．10πB ．24πC ．36πD ．48π 答案 D解析 ∵AB ＝2，AC ＝23，∠ABC ＝60°. ∴由正弦定理c sin C ＝a sin A ＝bsin B ，可得2sin C ＝23sin 60°，C <60°，sin C ＝12，C ＝30°，∴∠A ＝90°，BC ＝22＋12＝4. ∵A ，B ，C 是球O 的球面上三点， ∴截面圆的圆心为BC 中点，半径为2. ∵棱锥O －ABC 的体积为463，∴13×12×2×23×d ＝463，∴d ＝22， 设球O 的半径为R ， 则R 2＝(22)2＋22＝12，∴球O 的表面积为4πR 2＝48π，故选D.12．设正数x ，y 满足13log x ＋log 3y ＝m (m ∈[－1,1])，若不等式3ax 2－18xy ＋(2a ＋3)y 2≥(x－y )2有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，5529B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，3121 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3121，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5529，＋∞答案 C解析 ∵13log x ＋log 3y ＝m ，即log 31x ＋log 3y ＝log 3yx＝m ，∴y x ＝3m ，∵m ∈[－1,1]，∴y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. ∵3ax 2－18xy ＋(2a ＋3)y 2≥(x －y )2，∴3a －18y x ＋(2a ＋3)y 2x 2≥1－2y x ＋y 2x2，令y x＝t ，则2(a ＋1)t 2－16t ＋3a －1≥0， 设f (t )＝2(a ＋1)t 2－16t ＋3a －1，∵不等式3ax 2－18xy ＋(2a ＋3)y 2≥(x －y )2有解，∴f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上的最大值f (x )max ≥0， (1)当a ＝－1时，f (t )＝－16t －4，∴f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－163－4<0，不符合题意． (2)若a <－1，则f (t )开口向下，对称轴为t ＝4a ＋1<0， ∴f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上单调递减， ∴f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝29a 9－559<0，不符合题意．(3)若a >－1，则f (t )开口向上，对称轴为t ＝4a ＋1>0， (ⅰ)若0<4a ＋1≤13，即a ≥11时，f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上单调递增， ∴f (t )max ＝f (3)＝21a －31>0，符合题意； (ⅱ)若4a ＋1≥3，即－1<a ≤13时，f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上单调递减， ∴f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝29a 9－559≤2927－559<0，不符合题意；(ⅲ)若13<4a ＋1<3，即13<a <11时，f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上先减后增， ∴f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13或f (t )max ＝f (3)， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝29a 9－559≥0或f (3)＝21a －31≥0，解得a ≥5529或a ≥3121，又13<a <11，∴3121≤a <11， 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3121，＋∞. 故选C.13．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.14．(2017·河北省石家庄市冲刺卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则使得f (2x )＜f (x －1)成立的x 的取值范围为________． 答案 {x |x ＜－1}解析 定义在R 上的奇函数f (x )，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 2(x ＋1)为增函数，且此时f (x )＞0， 当x ＜0，则－x ＞0，此时f (－x )＝log 2(－x ＋1)＝－f (x )，即当x ＜0时，f (x )＝－log 2(－x ＋1)，此时函数为增函数，且f (x )＜0， 综上可知，f (x )在R 上为增函数，则不等式f (2x )＜f (x －1)等价为2x ＜x －1， 即x ＜－1.15．(2017届吉林省东北师大附中模拟)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为__________元． 答案 2 200解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意， 得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值． 线性约束条件表示的可行域如图所示，解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝2时，z min ＝2 200.16．(2017·湖南省邵阳市联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M (x 0,22)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA |.若|MA ||AF |＝2，则|AF |＝______. 答案 1解析 由题意，M (x 0,22)在抛物线上， 则8＝2px 0，则px 0＝4，①由抛物线的性质可知，|DM |＝x 0－p 2，|MA ||AF |＝2，则|MA |＝2|AF |＝23|MF |＝23⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2，∵圆M 被直线x ＝p2截得的弦长为3|MA |，则|DE |＝32|MA |＝33⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2，由|MA |＝|ME |＝r ，在Rt△MDE 中，|DE |2＋|DM |2＝|ME |2，即13⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 22＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 22，将①代入整理得4x 20＋p 2＝20，②由①②，解得x 0＝2，p ＝2，∴|AF |＝13⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2＝1.。
2018年高考数学(文)二轮复习 专题突破讲义：规范答题示例
规范答题示例1 函数的单调性、极值与最值问题典例1 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．审题路线图 求f ′(x )――→讨论f ′(x )的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.评分细则 (1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分；(4)构造函数g (a )＝ln a ＋a －1给2分； (5)通过分类讨论得出a 的范围，给2分．跟踪演练1 (2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )>0.②若a >0，则由(1)知，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a ， 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f (x )≥0.③若a <0，则由(1)知，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2， 从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0， 即342e a -≥时f (x )≥0.综上，a 的取值范围是34[2e ,1]-．规范答题示例2 导数与不等式的恒成立问题典例2 (12分)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )的符号→证明结论(2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――→结合(1)知f (x )min ＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1→⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t －t －e ＋1→研究g (t )的单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0，g (－m )≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围评分细则 (1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝ln x ＋1x. (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意的x >1，恒有ln(x －1)＋k ＋1≤kx 成立，求k 的取值范围；(3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．(1)解 f ′(x )＝－ln xx2，由f ′(x )＝0⇒x ＝1，列表如下：因此函数f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)， 极大值为f (1)＝1，无极小值． (2)解 因为x >1，ln(x －1)＋k ＋1≤kx ⇔ln (x －1)＋1x －1≤k ⇔f (x －1)≤k ，所以f (x －1)max ≤k ，所以k ≥1.(3)证明 由(1)可得f (x )＝ln x ＋1x ≤f (x )max ＝f (1)＝1⇒ln x x ≤1－1x ，当且仅当x ＝1时取等号．令x ＝n 2 (n ∈N *，n ≥2)． 则ln n 2n 2<1－1n 2⇒ln n n 2<12⎝⎛⎭⎫1－1n 2 <12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1(n ≥2)， 所以ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<12⎝⎛⎭⎫1－12＋13＋12⎝⎛⎭⎫1－13＋14＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1＋1n ＋1－12＝2n 2－n －14(n ＋1).规范答题示例3 解三角形典例3 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A ，sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C评分细则 (1)第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分；(2)第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练3 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3a b. (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC →的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝3ab， 由正弦定理可得3cos C ＋sin C ＝3sin Asin B， ∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A⇒3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C )⇒3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ，∴sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理可得2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝(a ＋c )2－2ac －b 2， 整理得3ac ＝(a ＋c )2－b 2， 即3ac ＝175－49. ∴ac ＝42， ∴AB →·BC →＝－BA →·BC → ＝－|BA →||BC →|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.规范答题示例4 三角函数的图象与性质典例4 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－34，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间． 审题路线图 (1)f (x )＝m·n ――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性周期性求出ω――――――→()2f =α和差公式cos α (2)y ＝f (x )――→图象变换y ＝g (x )――→整体思想g (x )的递增区间评分细则 (1)化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；(2)计算cos α时，算对cos ⎝⎛⎭⎫α－π3给1分；由cos ⎝⎛⎭⎫α－π3计算sin ⎝⎛⎭⎫α－π3时没有考虑范围扣1分； (3)第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．跟踪演练3 (2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.规范答题示例5 数列的通项与求和问题典例5 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)．已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．且a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .审题路线图数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n分析b n 的特征――――――→选定求和方法分组法及裂项法、公式法求和评分细则(1)求出d给1分，求a n1时写出公式结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；(2)b n写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；(3)缺少对b n的变形直接计算S n，只要结论正确不扣分；(4)当n为奇数时，求S n中间过程缺一步不扣分．跟踪演练5 (2017·山东)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n .(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n .规范答题示例6 空间中的平行与垂直关系典例6 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点． (1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用中位线定理取PD 的中点M――→考虑平行关系长度关系平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――→线面平行的判定定理EF ∥平面P AD(2)平面P AD ⊥平面ABCDP A ⊥AD ――→面面垂直的性质P A ⊥平面ABCD ―→P A ⊥DE――→正方形ABCD 中E ，H 为AB ，BC 中点DE ⊥AH ――→线面垂直的判定定理DE ⊥平面P AH ――→面面垂直的判定定理平面P AH ⊥平面DEF在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE FM 且AE ＝FM ，AEFM 为平行四边形，评分细则(1)第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD同样给分；(2)第(2)问证明P A⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC的中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面P AH只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，缺少条件不扣分．为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V—ABC的体积．(1)证明因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB，又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB . (3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥C —VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥V —ABC 的体积与三棱锥C —VAB 的体积相等， 所以三棱锥V —ABC 的体积为33.规范答题示例7 直线与圆锥曲线的位置关系典例7 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值； ②求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――→已知离心率e a 2＝b 2＋c 2基本量法求得椭圆C 的方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ和S △OAB的关系得S △ABQ 的最大值评分细则 (1)第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；(2)第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练7 (2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝ 2 NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )， PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1. 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .规范答题示例8 解析几何中的探索性问题典例8 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论评分细则(1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分；(2)不验证Δ>0，扣1分；(3)直线AB方程写成斜截式形式同样给分；(4)没有假设存在点M不扣分；(5)MA →·MB →没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．跟踪演练8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， 且Δ＝(18m )2＋84(3m 2＋4)>0， ∴y 1＋y 2＝－18m3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4.由A ，P ，M 三点共线可知，y M 163＋4＝y 1x 1＋4， ∴y M ＝28y 13(x 1＋4).同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．规范答题示例9 概率与统计的综合问题典例9 (12分)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．审题路线图 利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量 →列举基本事件空间→利用古典概型公式求解评分细则(1)各层抽样数量每个算对给1分；(2)没有列举基本事件只求对基本事件个数给1分；(3)求对样本事件个数而没有列出的给1分；(4)最后没下结论的扣1分．跟踪演练9近日，某市楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积为80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅每平方米的销售价格(单位：万元/平方米)：(1)求a ，b 的值；(2)张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．解 (1)a ＝1.16，b ＝1.17.(2)A 户型小于100万的有2套，设为A 1，A 2； B 户型小于100万的有4套，设为B 1，B 2，B 3，B 4， 买两套售价小于100万的房子所含基本事件为：{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，B 4}，{B 2，B 3}，{B 2，B 4}，{B 3，B 4}，共15个． 令事件C 为“至少有一套面积为100平方米住房”，则C 中所含基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，共9个．∴P (C )＝915＝35，即所买两套房中至少有一套面积为100平方米的概率为35.。
2018年高考数学(文)二轮复习 专题突破训练：(高考22题)12+4分项练6
12＋4分项练6 平面向量1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 2．(2017届青海省西宁市二模)已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 3答案 B解析 由(a －b )⊥b ，有(a －b )·b ＝0，所以a·b －b 2＝0，即(－2＋3m )－(1＋3)＝0，得m ＝23，故选B.3．(2017·日照二模)已知点P (－3,5)，Q (2,1)，向量m ＝(－λ，1)，若PQ →∥m ，则实数λ等于( )A.45B ．－45 C.54D ．－54 答案 C解析 由题意得PQ →＝(5，－4)，因为PQ →∥m ，所以4λ＝5，即λ＝54，故选C. 4．已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A ．20B ．12C ．4 3D ．2 3 答案 D解析 ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2.又|b |＝1，a·b ＝2×1×cos 60°＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝23，故选D.5．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b | 答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b .∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.6．(2017届重庆市巴蜀中学三模)已知向量m ＝(1,2)，n ＝(2,3)，则m 在n 方向上的投影为( ) A.13B ．8 C.855D.81313 答案 D解析 依题意有投影为m·n |n |＝2＋64＋9＝81313. 7．(2017·四川省师范大学附属中学模拟)在△ABC 中角A ＝π3，b ＋c ＝4，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →的最小值为( )A.932B.83C.269D ．3 答案 C解析 AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →＝29()AB →2＋AC →2＋59AB →·AC → ＝29(c 2＋b 2)＋59bc ×12＝29(b ＋c )2－16bc ≥29(b ＋c )2－16×(b ＋c )24＝269(b ＝c 时等号成立)，即AE →·AF →的最小值为269，故选C.8．(2017届辽宁省锦州市质检)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A.23B.12C.43D ．1 答案 A解析 由题知AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝－3，又O 为AD 的中点，AO →＝λAB →＋μBC →，则AD →＝2AO →＝2λAB →＋2μBC →，可得AD →·BC →＝(2λAB →＋2μBC →)·BC →＝2λAB →·BC →＋2μBC →2＝－6λ＋18μ.又AD 为BC 边上的高，AD →与BC →互相垂直，则AD →·BC →＝0，即－6λ＋18μ＝0，可得λ＝3μ，又AD →＝2λAB →＋2μBC →，BD →＝AD →－AB →，则BD →＝(2λ－1)AB →＋2μBC →，而BD →与BC →共线，则2λ－1＝0，λ＝12，μ＝16，则λ＋μ＝23.故选A.9．(2017届上海市宝山区二模)如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线l 1，l 2同侧，且P 到l 1，l 2的距离分别为1,3.点M ，N 分别在l 1，l 2上，|PM →＋PN →|＝8，则PM →·PN →的最大值为( )A ．15B ．12C ．10D ．9 答案 A解析 如图，过点P 作l 1的垂线为y 轴，以l 1为x 轴，建立平面直角坐标系如图，l 1：y ＝0，l 2：y ＝2，P (0，－1)，设M (a,0)，N (b,2)，所以PM →＝(a,1)，PN →＝(b,3)，PM →＋PN →＝(a ＋b,4)，由|PM →＋PN →|＝8，可知(a ＋b )2＋16＝64，∴a ＋b ＝43或a ＋b ＝－43，而PM →·PN →＝ab ＋3，当a ＋b ＝43时，PM →·PN →＝ab ＋3＝－a 2＋43a ＋3，当a ＋b ＝－43时，PM →·PN →＝ab ＋3＝－a 2－43a ＋3，可知两种情况最大值均为15，故选A.10．(2017届福建省泉州市适应性模拟)如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[－4,4]B ．[－21，21]C ．[－5,5]D ．[－6,6]答案 C解析 如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则OB →＝i ，OA→＝－32i ＋32j ，可得i ＝OB →，j ＝233OA →＋3OB →，由图知当P 在C 点时有，OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →，此时x ＋y 有最大值5，同理在与C 相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →，此时x ＋y 有最小值－5.故选C.11.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于点G ，点P 在 DG上运动(如图)．若AP →＝λAE →＋μBF →，其中λ，μ∈R ，则6λ＋μ的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[2，22]C ．[2,22]D ．[1,22]答案 C解析 建立如图所示的坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，E (2,1)，C (2，2)，D (0,1)，F ⎝⎛⎭⎫1，32， 设P (cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π2，AP →＝(cos θ，sin θ)，AE →＝(2,1)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－1，32，∵AP →＝λAE →＋μBF →， ∴(cos θ，sin θ)＝λ(2,1)＋μ⎝⎛⎭⎫－1，32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝2λ－μ，sin θ＝λ＋32μ，解得⎩⎨⎧ λ＝14sin θ＋38cos θ，μ＝12sin θ－14cos θ，∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∵0≤θ≤π2，∴π4≤θ＋π4≤3π4， ∴2≤22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤22， 即6λ＋μ的取值范围是[2,22]，故选C.12．(2017·河北省衡水中学三模)已知向量α，β，γ满足|α|＝1，α⊥(α－2β)，(α－γ)⊥(β－γ)，若|β|＝172，|γ|的最大值和最小值分别为m ，n ，则m ＋n 等于( ) A.32B ．2 C.52D.152 答案 C解析 把α放入平面直角坐标系，使α起点与坐标原点重合，方向与x 轴正方向一致， 则α＝(1,0)，设β＝(x 1，y 1)，因为α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝0，所以x 1＝12，β＝⎝⎛⎭⎫12，y 1. 设γ＝(x ，y )，所以(1－x )⎝⎛⎭⎫12－x －y (y 1－y )＝0，化简得x 2＋y 2－32x －y 1y ＋12＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －342＋⎝⎛⎭⎫y －y 122＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ y 21＋1422. 点(x ，y )可表示圆心在⎝⎛⎭⎫34，y 12，半径为y 21＋142的圆上的点．|γ|＝x 2＋y 2， 所以最大值m ＝⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫y 122＋y 21＋142，最小值为n ＝⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫y 122－y 21＋142. 因为|β|＝172，所以14＋y 21＝174，解得y 21＝4. 所以m ＋n ＝⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫y 122＋y 21＋142＋ ⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫y 122－y 21＋142 ＝2⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫y 122＝52.故选C. 13．若向量a ＝(1，－x )与向量b ＝(x ，－16)方向相反，则x ＝________.答案 －4解析 若向量a ＝(1，－x )与向量b ＝(x ，－16)方向相反可得，－x 2＝－16⇒x ＝±4. 因为方向相反，所以x ＝－4.14．(2017届福建省宁德市质检)若|a |＝2，b ＝(2，2)，a ·(b －a )＋2＝0，则向量a 与b 的夹角为________． 答案 π3解析 因为b ＝(2，2)，所以|b |＝2.因为|a |＝2，a·(b －a )＋2＝0，所以a·b －a 2＝a·b －22＝－2，所以a·b ＝2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝12， 又因为θ∈[0，π]，所以向量a 与b 的夹角为π3.15.(2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，tan ∠BAC ＝22，D 是BC 边上的点，且BD ＝3CD ，则AD →·BC →＝________.答案 194解析 △ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，tan ∠BAC ＝22，由sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，tan ∠BAC ＝sin ∠BAC cos ∠BAC， 解得cos ∠BAC ＝13，D 是BC 边上的点，且BD ＝3CD ，可得AD →·BC →＝(AB →＋BD →)(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫AB →＋34BC →(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫14AB →＋34AC →(AC →－AB →)＝－14AB →2＋34AC →2－12AB →·AC → ＝－14×4＋34×9－12×2×3×13＝194. 16．(2017·湖北省武汉市调研)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且∠A ＝60°，若AO →＝αAB →＋βAC→(α，β∈R )，则α＋β的最大值为________．答案 23解析 设△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由于AO →＝αAB →＋βAC →，AB →·AO →＝α|AB →|2＋βAB →·AC →，AC →·AO →＝αAB →·AC →＋β|AC →|2，所以12c 2＝c 2α＋12bcβ，12b 2＝12bcα＋b 2β， 解得⎩⎨⎧ α＝23－b 3c ，β＝23－c 3b ，α＋β＝43－13⎝⎛⎭⎫b c ＋c b ≤43－23b c ×c b ＝23， 当且仅当b ＝c 时“＝”成立．。
2018年高考数学(文)二轮复习高考22题12+4分项练9直线与圆(含答案)
12＋4分项练9 直线与圆1．(2017届甘肃省兰州第一中学模拟)“λ＝3”是“直线λx ＋2y ＋3λ＝0与直线3x ＋(λ－1)y ＝λ－7平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 当λ＝3时，两直线分别为3x ＋2y ＋9＝0,3x ＋2y ＋4＝0，所以两直线斜率相等，平行且不重合．若两直线平行且不重合，则λ3＝2λ－1≠3λ7－λ，∴λ＝3，综上所述，λ＝3是两直线平行且不重合的充要条件，故选C.2．(2017届北京市丰台区二模)圆(x ＋1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝x －1的距离为( ) A ．1 B.22C. 2 D ．2 答案 C解析 圆心坐标为(－1,0)，直线方程为x －y －1＝0， 所以d ＝|－1－1|12＋(－1)2＝2，故选C.3．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．6 D ．1或2 答案 D解析 由l 1⊥l 2，得a (3－a )－2＝0， 即a ＝1或a ＝2，故选D.4．(2017届山东省烟台市适应性考试)已知直线ax －y ＝0(a ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0交于A ，B 两点，C 为圆心，若∠ACB ＝π3，则圆C 的面积为( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π答案 B解析 由题意可得，△CAB 为等边三角形， 圆的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1， 圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1，∵直线和圆相交，△ABC 为等边三角形， ∴圆心到直线的距离为R sin 60°＝32×a 2－1， 即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝32×a 2－1，解得a 2＝7，∴圆C 的面积为πR 2＝6π. 故选B.5．(2017届湖南师大附中月考)与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．6条答案 B解析 直线过原点时，设方程为y ＝kx ，利用点到直线的距离等于半径可求得k ＝±1，即直线方程为y ＝±x ；直线不过原点时，设其方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，同理可求得a ＝4，直线方程为x ＋y ＝4，所以符合题意的直线共3条，故选B.6．(2017·辽宁省鞍山市第一中学模拟)圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的和为( ) A ．18 B ．6 2 C ．5 2 D ．4 2答案 C解析 因为圆心C (2,2)，r ＝32， 所以圆心到直线x ＋y －8＝0的距离d ＝42＝22，所以圆上的点到直线的距离的最大值为32＋22＝52，圆上的点到直线的距离的最小值为0，故选C.7．(2017届北京市朝阳区二模)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于Α，Β两点，Ο为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．30° 答案 A解析 如图所示，设直线l ：y ＝k (x －2) (k <0)由面积公式S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB 可知，当∠AOB ＝90°时S △AOB 取最大值．由于圆的半径为2，所以点O 到直线AB 的距离为1.故1＝|2k |k 2＋1，得k ＝－33，所以倾斜角为150°.故选A.8．(2017·韶关模拟)过直线y ＝x ＋1上的点P 作圆C ：(x －1)2＋(y －6)2＝2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于直线y ＝x ＋1对称时，|PC |等于( )A ．3B ．2 2C ．1＋ 2D ．2 答案 B解析 由题设可知当CP ⊥l ：y ＝x ＋1时，两条切线l 1，l 2关于直线l ：y ＝x ＋1对称，此时|CP |即为点C (1,6)到直线l ：y ＝x ＋1的距离，即d ＝|1－6＋1|1＋1＝42＝22，故选B.9．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2] 答案 B解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k PA ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象得k ≤34或k ≥2，故选B.10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0关于直线l 对称，则l 被圆心在原点半径为3的圆截得的最短的弦长为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 由题意，直线l 过圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心M (1,2)，则问题转化为过点M 的直线l 被圆x 2＋y 2＝9所截得的最短弦长，即直线l 垂直于OM 时，被圆x 2＋y 2＝9所截得的弦长最短，|OM |＝5，则弦长为29－5＝4，故选C.11．(2017届三湘名校教育联盟联考)直线l ：x ＋4y ＝2与圆C ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α，β，则cos α＋cos β等于( )A.1817 B ．－1217 C ．－417 D.417答案 D解析 可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程与圆方程联立消去y 可得17x 2－4x －12＝0，则x 1＋x 2＝417，又cos α＋cos β＝x 1r ＋x 2r ＝x 1＋x 2r ＝417.故选D.12．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C. 5 D ．2 答案 A解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． 设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得 λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.13．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是________． 答案 －33解析 圆心C 的坐标为(－2,0)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 恒有公共点，则圆心到直线l 的距离d ≤r ，即|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33，所以实数k 的最小值为－33. 14．(2017·安徽省江南十校联考)过定点P (2，－1)作动圆C ：x 2＋y 2－2ay ＋a 2－2＝0的一条切线，切点为T ，则线段PT 长的最小值是________． 答案2解析 因为圆x 2＋(y －a )2＝2的圆心坐标和半径分别为C (0，a )，r ＝2，则|PC |＝(a ＋1)2＋4，r ＝2，切线长|PT |＝(a ＋1)2＋4－2＝(a ＋1)2＋2，故当a ＝－1时，|PT |min ＝(－1＋1)2＋2＝ 2.15．(2017届重庆市巴蜀中学三诊)设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________. 答案6解析 因为点A ，B 关于直线x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1，圆心⎝⎛⎭⎪⎫－1，m 2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2.圆心(－1,1)，圆的半径R ＝2，圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝ 6. 16．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，下列说法中： ①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终外切； ②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝π6时，圆C 1被直线l ：3x －y －1＝0截得的弦长为3；④若点P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4. 正确命题的序号为________． 答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆外切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和，由题意，得圆C 1的半径为1，圆心坐标为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心坐标为(0,0)，所以两个圆的圆心距为(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)2＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝2.又因为两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意θ，圆C 1和圆C 2始终外切；对于②，由①得，两圆外切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，此时圆C 1的方程为：(x －3)2＋(y －1)2＝1，故圆C 1的圆心为(3，1)，设其被l 所截弦为CD ，过圆心C 1做C 1P 垂直于CD ，则由圆的性质，得点P 是弦CD 的中点，所以圆心到直线l 的距离为|(3)2－1－1|(3)2＋12＝12.又因为圆C 1的半径为1，所以其所截弦CD 的长为212－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，所以③正确；对于④，由①得，两圆外切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和，因为C 1的直径为2，C 2的直径也为2，故|PQ |的最大值为2＋2＝4.所以④正确．故正确命题的序号为①③④.。
2018年高考数学二轮复习 第二部分 高考22题各个击破 专题八 客观压轴题 8.1 高考客观题第12题专项练课件 文
取得极小值 f
2 ������
=1-������42,
要使 f(x)有唯一零点,应满足 f
2 ������
=1-������42>0,解得 a<-2(a>2 舍去),且这
时零点 x0 一定大于 0,满足题意,故 a 的取值范围是(-∞,-2).
13.(2017 山东潍坊二模,文
10)已知函数
f(x)=
D.(-∞,-4]
解析:∵f(x)=cos 2x+acos π + ������ =1-2sin2x-asin x=-2 sin������ +
2
������ 4
2+1+������82,令 t=sin x,则 f(x)=g(t)=-2
������ + ������
4
2+1+������82.由于 t=sin x 在区
D. -∞,- 1 ∪ 1 , + ∞
3
3
解析:函数f(x)的定义域为R,又由题意可知f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.
当 x>0 时,f(x)=ln(1+x)-1+1������2,因为 y1=ln(1+x)单调递增,y2=-1+1������2亦为
单调递增,所以f(x)在(0,+∞)为增函数.
C.(0,1)
D.(2,+∞)
解析: ∵函数 f(x)=x+������������(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,即方程 1-������������2=0 在区间(1,2)上有解,即 b=x2 在区间(1,2)上有解,∴b∈(1,4),此
时 f'(x)=���������2���2-������>0 在(2,+∞)上恒成立,因此 f(x)在(2,+∞)上是单调递增的, 故选 D.
2018年高考数学二轮复习高考22题12 4“80分”标准练1文
＋“分”标准练．(·全国Ⅰ)设集合＝{－＋<}，＝{－>}，则∩等于( )答案解析由＝{－＋<}＝{<<}，＝{－>}＝，得∩＝＝，故选.．已知实数，满足＝＋，则在复平面内，复数＝＋所对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限答案解析由＝＋，得＋＝(＋)(－)＝＋＋(－)，∴(\\(＋＝，－＝，))解得＝－，＝－.∴复数＝＋所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选.．(届广东省深圳市二模)若实数，满足约束条件(\\(－－≤，＋≥，－≤，))则＝－的最大值为( )．－．－．－．答案解析作出约束条件(\\(－－≤，＋≥，－≤))所对应的可行域，如图△及其内部．变形目标函数可得＝－，平移直线＝可知，当直线经过点()时，直线的截距最小，取最大值，代值计算可得＝－的最大值为＝×－＝.故选.．已知命题：∀>，＋≥；命题：∃>,＝.下列判断正确的是( )．是假命题．是真命题．∧(綈)是真命题．(綈)∧是真命题答案解析当>，＋≥＝，当且仅当＝时，等号成立，∴命题为真命题，綈为假命题；当>时，>，∴命题：∃>,＝为假命题，则綈为真命题．∴∧(綈)是真命题，(綈)∧是假命题．故选.．(·全国Ⅲ)执行下面的程序框图，为使输出的值小于，则输入的正整数的最小值为( )．．．．答案解析假设＝，程序执行过程如下：＝，＝，＝，≤，＝＋＝，＝－＝－，＝，≤，＝－＝，＝－＝，＝，＞，输出＝＜.符合题意．∴＝成立．显然是的最小值．故选.．设ω＞，函数＝－的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( )答案解析∵ω＞，函数＝－的图象向右平移个单位长度后，可得＝－的图象，再根据所得图象与原图象重合，可得－π＝π，∈，即ω＝－，则ω的最小值为，故选.。
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＋“分”标准练
．(届山东师大附中模拟)已知集合＝{＝(＋)}，＝{＜}，则∩等于()
．(－) ．()
．(－) ．(－，－)
答案
解析 由＋＞，得＞－，
∴＝(－，＋∞)，＝{＜}＝(－)，
∴∩＝(－)．故选.
．(·山东)已知是虚数单位，若复数满足＝＋，则等于()
．－ ． ．－ ．
答案
解析 方法一 ＝＝＝－，
＝(－)＝－.
方法二 ()＝(＋)，－＝，＝－.故选.
．(届山东省青岛市二模)已知命题，，“綈为假”是“∨为真”的()
．充分不必要条件
．必要不充分条件
．充要条件
．既不充分也不必要条件
答案
解析 若綈为假，则为真，则∨为真，即充分性成立，当假真时，满足∨为真，但綈为真，
则必要性不成立，
所以“綈为假”是“∨为真”的充分不必要条件，
故选.
．已知＝ π，132log2y，12z，则()
．＜＜．＜＜
．＜＜．＜＜
答案
解析 ＝ π＞，1133231loglog,232y
1
2
11
(,1).2z
∴＞＞.故选.
．(届山东省济宁市二
模)过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆锥的体积为()
．
答案
解析 由三视图可得底面圆的半径为＝，圆锥的高为＝，
∴原圆锥的体积为π··＝，故选.