线性代数试卷A及标答2
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数(A 卷)一、选择题(每小题3分，共15分)1 .设A 、B 是任意n 阶方阵，那么下列等式必成立的是() (A) AB BA (B) (AB)2 A 2B 2 (C) (A B)2 A 2AB B 2 (D) A B B A2 .如果n 元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量，那1 0 0210, A *是A 的伴随矩阵，则(A*)4 .设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5, t)T 正交，则t5 .设A 为正交矩阵，则A1 11 6 .设a,b,c 是互不相同的三个数，则行列式ab c2,22a b c7 .要使向量组 1 (1, ,1)T , 2 (1,2,3)T, 3 (1,0,1)T 线性相关，则8 .三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为么矩阵A 的秩为((A) n (B) )s (C)n s (D)以上答案都不正确 3 .如果三阶方阵A (a j )3 3的特征值为1,2,5 ,那么ana 22a 33 及A 分别等于()(A) 10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,4 .设实二次型f(x 1,x 2)2 (X ,X 2)4X 1 X 2的矩阵为A, 那么()2 3(A) A3 1 ⑻(C)1 1(D)5.若方阵A 的行列式A0, 则((A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 二、填空题(每小题3分，共30分)(B)A (D)A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关 的列向量组线性相关，行向量组线性无关1如果行列式D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于2.设A3.设，是非齐次线性方程组AX b 的解若也是它的解，那么关组和秩. 四、(10分)设有齐次线性方程组X 1 ( 1)X 2 X 3 0, (1)X 1 X 2 X 3 0, X 1 X 2 ( 1)X 3 0.问当 取何值时，上述方程组（1）有唯一的零解；（2）有无穷多个解，并求出这些解. 五、（12分）求一个正交变换X PY ,把下列二次型化成标准形：、222f （X 1,X 2, X 3） X 1 X 2 X 3 4X 1X 2 4X 1X 3 4X 2X 3.六、（6分）已知平■面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, 12 : bx 2cy 3a 0, 13 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.线性代数(A 卷)答案1. D2. C3. B4. A5. A■-4*11.02. (A ) A3. 14. 35. 16. (c a)(c b)(b a)7. 08. 1,9.411 t 0 10. A I 5 42、1.解由AX(A I ) 1B . (2分)9 .若二次型 f(X i ,X 2,X 3)X 21 x 22 5x 23 2tX i X 2-2X 1X 3 4X 2X 3 是正定的，则 t 的取值范围10 .设A 为n 阶方阵，且满足A 2 2A 4I 0,这里I 为n 阶单位矩阵，那么A 1三、计算题（每小题9分，共27分）1 .已知A 1 00 1 ,求矩阵X 使之满足AX 0 0X B.2 .求行列式的值.3求向量组 (1,0,1,0), 2 ( 2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 （4, 3,1, 3,）的一个最大无或-1由于1 23 4 1 2 3 41 2 3 4 0 1 1 3 r r 0 1 1 3 「3 5r 2 0 1 1 3 1 3 01 UUuLu 0 5 3 3 LuiuiUj2 0 0 2 12 0 73 3 0 733424四、解 方程组的系数行列式卜面求 (A I ) 由于(4分）(A I)所以 (A I) (7分）2.解 10 10 10 1010(9 分)10(4 分）(8160 (9 分)3.解 故向量组的秩是UjuniUr31 2 03 12 0(6分)3是它的一个最大无关组。
大学线性代数A卷答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：杭州电子科技大学信息工程学院考试试卷（A）卷考试课程线性代数考试日期20XX20XXXX年1月20XXXX 日成绩课程号教师号任课教师姓名考生姓名学号年级专业（注意：答案务必写在答题纸相应位置，否则按零分处理）一．单项选择题（）(1) 二阶行列式等于（ C ）（2）已知，则在中，一次项的系数是（B）（3）设矩阵是同阶方阵，下列各式中肯定正确的是（C）（4）设矩阵满足, 则必有（A）(5) 设阶矩阵A的秩为r，则（B）（A）A的所有r阶子式不为零（B）A的所有r+1阶子式全为零（C）A 可逆（D）方程组AX=b一定有解（６）在方程组中，若方程的个数小于未知量的个数，则（C）（Ａ）必有无穷多个解（Ｂ）必有无穷多个解（Ｃ）仅有零解（Ｄ）一定无解（７）设Ａ为ｎ阶方阵，且，是的两个不同的解向量，则的通解为（ D ）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）（８）设２是可逆矩阵Ａ的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（B）（９）特征多项式相同是两个矩阵相似的（B）（Ａ）充分条件（Ｂ）必要条件（Ｃ）充要条件（Ｄ）以上三者都不是（20XXXX）二次型的标准型是（A）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）二．填空（）（１）是三阶方阵且，则。
（２）=（３）。
（４）设, 则。
（５）向量能由，线性表示，则。
（６）设A是三阶方阵且，而, 则。
（７）如果二阶矩阵与相似，则，。
（８）矩阵的非零特征值是。
（９）二次型的矩阵为。
（20XXXX）实对称矩阵Ａ的各阶顺序主子式全大于零是Ａ正定的(充要)条件。
三．判断是非（）（1）设矩阵是同阶方阵，则由, 可得或（ F ）。
（2）一组向量中含有零向量，则这组向量必定线性相关（T）。
（３）解线性方程组时，对增广矩阵既可以施行初等行变换，也可以施行初等列变换（F）。
（４）实对称矩阵Ａ满足，则Ａ为正定矩阵（F）。
（５）正交矩阵的行列式等于１或者－１（T）。
四．计算题（）１.利用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵。
线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料
线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。
《线性代数与概率统计》(线性代数)试卷A 答案
装订计算机系《线性代数与概率统计》（线性代数）课程试卷 (A)参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)1. 行列式x 010x4x13 的展开式中，2x 的系数为（ B ）A. -1B. 2C. 3D. 42. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( B )。
A.n r A r <=)(B.A 的列秩为nC.A 的每一个行向量都是非零向量D. 伴随矩阵存在3.n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( D ) A. s ααα,,,21 中至少有一个零向量 B. s ααα,,,21 中至少有两个向量成比例 C. s ααα,,,21 中任意两个向量不成比例D.s ααα,,,21 中至少有一向量可由其它向量线性表示4. n 阶对称阵A 为正定矩阵的充分必要条件是（ C ）A. 0A >B. A 等价于单位矩阵EC. A 的特征值都大于0D. 存在n 阶矩阵C ，使TA C C =5. 当r (A )=r (A ,B ) < n 时，则n 元线性方程组AX = B （ A ） A ．有无穷多解B. 无解C. 有唯一解D. 无法确定解的个数二、填空题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)1. 设A 为三阶矩阵，且2=A ，则=A 3 54装订线 内 不 准 答 题2. n 维零向量一定线性___相___关。
3. 设向量T )1,0,1(1=α与T a ),1,1(2=α正交，则=a -1 。
4. 设A 为正交矩阵，则=A A T15. 设三阶矩阵A 的特征值为-2、1、4，则=A -8三、计算题（本大题共6 题，每小题10分，共 60 分)1. 计算4阶行列式2123100023126231解： 2123100023126231=(4分) =-1*（1+8+27-6-6-6） (8分)=-18 (10分)2. 求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121的逆矩阵。
线性代数模拟试卷A及答案
线性代数模拟试卷A 及答案（考试时间：120分钟）一、填空题（每小题3分，共15分）1.行列式D 中第2行元素的代数余子式之和21222324A A A A +++= ，其中1111111111111111D -=--。
2.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=420310002A ,则A -1等于 。
3.设向量组ααα123,,线性相关，而向量组ααα234,,线性无关，则向量组ααα123,,的最大线性无关组是 。
4.3阶实对称矩阵A 的特征值为2、5、5，A 属于特征值2的特征向量是1111Tα=（，，），则A 属于特征值5的两个线性无关的特征向量可以取为2α=_ ；3α=__ 。
5.已知3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=44644325x A 和3阶矩阵对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001B 相似,则=x ___ _____。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设向量组()1,1,1Tαλ=,()21,,1Tαλ=,()31,1,Tαλ=线性相关，则必有（ ）A.0λ= 或 λ=1B.1λ=- 或 λ=2C.1λ= 或 λ=2D.1λ= 或 λ=-22.设α是n 维列向量，λ为实数，则向量λα的长度λα= ( )A.αλB.αλ⋅C.αλ⋅nD.αλ⋅n3.若向量组r ααα,,,21 可由另一向量组s βββ,,,21 线性表示，则 ( ) A.s r ≤B.s r ≥C.1212(,,,(,,,)r s r r αααβββ≤ ）D.1212(,,,(,,,)r s r r αααβββ≥ ）4．设n 阶矩阵A 与B 相似，则必有 （ ）A.,A B 同时可逆或同时不可逆B.,A B 有相同的特征向量C.,A B 均与同一个对角矩阵相似D.矩阵λE -A 与λE -B 相等5. 设A 为n 阶矩阵，满足2A A =，且A E ¹，则（ ）A. A 为可逆矩阵B. A 为零矩阵C. A 为不可逆矩阵D. A 为对称矩阵三、计算题（每小题10分，共60分）1.计算行列式 D =--1102334620331247的值2.设101110012A 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫，301110014B 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫，X 为未知矩阵，且满足：AX B =。
线性代数试题A(附答案)
第二学期试卷（A ）一、填空题。
（4′×5）1、行列式_________a b bb a b b b a=a 立方-3ab^+2b 立方2、已知4阶行列式D 中第二列元素以次为－1，2，0，1，它们的余子式以次为5，3，－7，4，则D=____15_______3、设A 为三阶矩阵，且2A =，则1_______,A A -=4______T AA =4*3______,______A A == 8|A*|=|A|n-4、线性方程组12340x x x x +++=的基础解系含有________个解，并求出它的一个基础解系为____________5、如果0x 是非齐次方程组的一个解，1x 是其导出组的一个解，则_________是非齐次方程组的一个解。
二、单项选择题（2′×10）1、有矩阵3*2A ，2*3B ，3*3C ，下列（ ）运算可行A ．ACB ．BC C ．ACB Ｄ．AB －BC2、设n 阶行列式ij a 中等于0的元素个数大于2n n -，则此行列式ij a 的值为（ ）A ．－２ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．１或－１ ３、若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则123123123a a a b b b c c c =（ ） A ．－3 B ．３ Ｃ．－６ Ｄ．６ ４、下列结论恒成立的是（ ）A ．若2A O =，则A ＝OB ．若2A A =，则A ＝O 或A=IC ．若AX ＝AY ，且A O ≠,则X ＝YD ．若AX ＝AY 且A O ≠，则X ＝Y5、设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（ ）A ．()22T T A A =B ．()11122A A --= Ｃ．()()()()1111T T A A ----=Ｄ．()()()()111T T T A A ---=６、若A 满足（ ），则矩阵A 的秩为rA ．存在r 阶子式不为0B ．任意r ＋1阶子式均为0C ．不为0的子式的阶数小于等于rD ．不为0的子式的最高阶数为r7、初等矩阵（ ）A ．都可以经过初等变换为单位阵B 所对应的行列式的值为1C ．相乘仍为初等矩阵D ．相加仍为初等矩阵8、下列向量组中，线性无关的向量是（ ）A ．（1，2）（3，4）（7，8）B ．（0，0，0）（1，2，4）C ．（1，2，3）（－1，－2，－3）D ．（1，2，3）（3，4，7）9、若12,,,m a a a …，（m ≥2）线性相关，那么向量组内（ ）可由向量组的其余向量线性表示A ．任何一个向量B ．没有一个向量C ．至少有一个向量D ．至多有一个向量10、若线性方程组1231231232000x x x kx x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则（ ） 只要是D=0就行了！A ．k ＝1B ．k ＝2C ．k ＝－1D ．k=－2三、设A ＝301110014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若矩阵A 满足关系式AX ＝2X ＋A ，求X （18′）(5 -2 -2) （4 -4 -6）（-2 2 5）第一个括号第一行，第二个第二行，第三第三行四、λ取何值时，线性方程组12312312311x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解，并求其解 （17′）利用矩阵的秩，只有当入—1≠0 就可以算出入=1然后代入其中的那个矩阵，就可以了五、设向量组123412131111,,,,13354526αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1．求向量组1234,,,αααα的秩2．求该向量组的一个极大无关组3．将其余向量用此极大无关组线性表示 （15′）六、设矩阵A 满足22A A I O --=，证明：A ，A ＋2I 都可逆，并求11,(2)A A I --+ （10′）。
线性代数试卷及答案 卷A
河南工业大学成教学院课程 线性代数 试卷专业班级： 卷A姓 名： 学 号：注：（1）不得在密封线以下书写班级、姓名。
（2）必须在密封线以下答题，不得另外加纸。
………………………………………密 封 线 ………………………………………………………一 .单项选择题（每题3分）1.若 111221226a a a a =，则 121122212020021a a a a -- 的值为（ A ）（A ）12 (B) –12 (C) 18 (D) 02.设A 、B 都是n 阶矩阵，且AB=0,则下列一定成立的是（ C ）（A ）A=0或B=0 (B) A 、B 都不可逆（C ）A 、B 中至少有一个不可逆 （D ）A+B=03. 若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则（ B ）(A) 4k =或1K =- (B) K= 4－或K=1(C) 4K ≠且1K ≠- (D) 4K ≠-且1k ≠4. A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵()*AB =( D )(A) A B ** (B) 11||AB A B -- (C) 11B A -- (D) B A **5.设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（D ）（A ）r n = （B ） r n ≥ （C ） r n > （D ）r n <二 .填空题（每题3分）1．行列式 12342345_______32005000= 1602．若n n ⨯阶矩阵A 的行列式|A|＝3，A *是A 的伴随矩阵，则A *__3^n-1____3. A 为n n ⨯阶矩阵，且2320A A E -+=,则1A -=______4. n1100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦___1__(n 为正整数)5. 设1101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则1(2A)________=－三．计算题（共63分）1. 计算行列式12n12n 12nb a a a a b a a a a b a ＋＋＋(12分)解：r2-r1、r3=r1、...ri-r1、...rn-r1D=|b+a1 a2 a3 ....................... an|-b b 0 0-b 0 b 0.............................-b 0 0 .......................... bc1+c2+c3+...+cj+...+cn=|b+a1+a2+...+an a2 ............... an|0 b ................. 0 ......................................0 0 .................... b=(b+Σai)*[b^(n-1)]=b^n+[b^(n-1)]*(a1+a2+...+an)2．3411231100250013A⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求1A-（12分）3 41 12 5解：令B= ，C= ，D= ，则原矩阵可以写为分块2 3 -1 1 1 3B C B ^-1 -B ^-1CD^-1 矩阵的形式A= ，它的逆矩阵易得为A^-1=0 D 0 D ^-1而利用伴随矩阵与逆矩阵的关系可以直接得到3 -4 3 -4B^-1=1/ B B *=1×=-2 3 -2 32 -53 -5D^-1=1/ D D *=1×=-1 3 -1 2-15 38计算可得-B^-1CD^-1=11 -283 -4 -22 37-2 3 16 -27所以A^-1= 0 0 3 -50 0 -1 23.求解齐次线性方程组1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩.（15分）解：基础解系为：1 2 2 1 2 2 1 0 -2 -5/32 1 -2 -2 -3 -6 -4 1 2 4/3 1 -1 -4 -3 0 0 0 0 0 0通解为：X12k1+5/3k2 2 5/3X=k1ξ1+ k2ξ2= X2 = -2k1-4/3k2 =k1 -2 +k2 -4/3X3 k1 1 0X4 k2 0 14.设211210111A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,311342B⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦求解矩阵方程XA B=（12分）解:5. 计算矩阵3112322140511135524aA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩为3，求a (12分)解：r4-r2,r1-r3,r2-2r30 1 1 a-1 -20 2 1 -1 -61 0 1 1 50 1 2 4 0r1-r4,r2-2r40 0 -1 a-5 -20 0 -3 -9 -61 0 1 1 50 1 2 4 0r3*(-1/3), r1+r20 0 0 a-2 00 0 1 3 21 0 1 1 50 1 2 4 0交换行1 0 1 1 50 1 2 4 00 0 1 3 20 0 0 a-2 0因为 r(A)=3, 所以 a = 2.四.证明题（7分）设32=,证明5A E+可逆，并求1A E+（7分）A E-(5)解：（A+5E）【1/127（A^2-5A+25E）】=1/127（A+5E）（A^2-5A+25E）=1/127（A^3+5A^2-5A^2-25A+25A+125E）=1/127（A^3+125E）由于A^3=2E，所以1/127（A^3+125E）=1/127（127E）=E，所以（A+5E）可逆，且（A+5E）^-1=1/127（A^2-5A+25E）。
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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟这是题文 这是参考答案 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0.各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件41141222222n n n--**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T=A A E 立即得到1T-=A A 且1T===A A AA E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x .参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=A A 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A 的余子式(3阶子式)全为零.*A 是零矩阵.3. 设A 是n 阶方阵，满足2A E =，则（ B ）（A ）A 的行列式为1 （B ）,A E A E -+不同时可逆. （C ）A 的伴随矩阵*A A = （D ）A 的特征值全是12000=⇒+-=⇒+=-=A E A E A E A E A E 或.4. 设n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ C ） （A ）ACB E = (B) CBA E = (C) BCA E = (D) BAC E =()()=⇒=A BC E BC A E .p7性质1.2, p35定理1.10或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=，()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。
线代A试题与答案
《线性代数》试题一、填空题1.四阶行列式ij a 的展开式中，项21133442a a a a 所带的符号是 号.2.设矩阵1012A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则2A = ；nA = . 3.设A 是2阶方阵，B 是3阶方阵，2A =，3B =-，则TA B -= .4.线性方程1230x x x ++=的一个基础解系是 .5.若矩阵A 满足2A A =，且1A =，则A 的特征值为 .6.若矩阵0011100a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭有三个线性无关的特征向量，则a b += .7.四阶行列式ij a 的展开式中，项13342142a a a a 所带的符号是 号.8.设矩阵1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2A = ；nA = .9.设A 是n 阶方阵，2A =-，则13()TA A -= .10.已知向量组123,,ααα线性无关，向量组122313,,k αααααα+++线性相关，则常数k = .11.若矩阵A 有个特征值为1，则3223B A A =-有个特征值为 . 12.若实对称矩阵两个特征向量(1,2,1),(1,1,)T T a --，则a = .13.多项式21()3201xf x xx x-=-中2x 项的系数是 . 14. 设101010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵nA 中位于第三行第三列的那个元素是 .15.设A 为三阶方阵，4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.16. 若向量(1,1,1)与(1,2,)a -正交，则a = .17.若0λ=是方阵A 的一个特征值，则A -= . 18.二次型121323f x x x x x x =++的秩等于 .19．若方阵A 满足2A E =，则A 的特征值必定为 .二、选择题1.若四阶行列式中，第三行元素依次为1,2,0,1-，对应的余子式依次为5,3,7,4-，则该行列式的值为 ( )（A ）3- （B ）5- （C ）15- （D ）52.若A 为n 阶可逆矩阵，*A 为伴随矩阵，则行列式*A = ( )（A ）1n A - （B ）nA （C ）1A - （D ）A3.若矩阵A 中所有的r 阶子式都为零，则必有（ ）（A ）()1r A r =- （B ）()1r A r ≤- （C ）()1r A r <- （D ）()r A r =4.已知向量组123,,ααα线性无关，若向量组122313,,k αααααα+++线性相关，则常数k = ( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2- （D ）1-5.若矩阵20022311x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与10002000y -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,则( )（A ）0,2x y ==- （B ）1,2x y == （C ）2,1x y == （D ）1,1x y =-=- 6.若三阶行列式的值为零，则该行列式中 ( )（A ）一行元素全为零 （B ）两行元素相等（C ）两行元素对应成比例 （D ）有一行可以用另外两行线性表出 7.若A 为3阶方阵，*A 为伴随矩阵，则*(2)A = ( )（A ）*2A （B ）*4A （C ）*8A （D ）*16A 8.若矩阵A 中有两个r 阶子式不为零，则必有（ ）（A ）()r A r = （B ）()r A r ≥ （C ）()r A r < （D ）()r A r > 9.设同阶非零矩阵,A B 满足AB O =，则A 的行向量组与B 的行向量组 ( ) （A ）分别都线性无关 （B ）只有一个线性无关 （C ）分别都线性相关 （D ）以上答案均错10.若矩阵10000201a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与10000002b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,则( )（A ）1,1a b ==- （B ）1,1a b == （C ）1,1a b =-= （D ）1,1a b =-=- 11.若同阶方阵,A B 满足AB O =,则( )（A ）必有A O = （B ）当B O ≠时，A O = （C ）,A B 都可能不是零阵 （D ）,A B 至少有一个为零阵12.若m 个n 维向量线性无关,则( )（A ）再增加一个向量后也线性无关 （B ）再去掉一个向量后仍线性无关 （C ）其中只有一个向量不能被其余的线性表出 （D ）以上都不对13.若三阶矩阵123a b A c d e f -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有两个特征值为1-和1,则另一个特征值为( ) （A ）0 （B ）2 （C ）3 （D ）414.若三阶方阵A 与对角阵111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似,则2006A =( ) （A ）E （B ）A （C ）E - （D ）2006A15.若n 阶方阵A 与B 合同,则必有( )（A ）A 与B 等价（B ）A 与B 相似（C ）A B =（D ）AX O =与BX O =同解 16.设n 阶方阵A 满足22A A E O --=，则必有( ) （A ）2A E = （B ）A E =- （C ）A E -可逆 （D ）A 不可逆17.设A 是13⨯矩阵，而123246369T A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则TAA =( )（A ）14 （B ）9 （C ）6 （D ）1518.设A 是三阶方阵，*A 是其伴随矩阵，若2A =，则*A =( )（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）819. 向量组1,,m αα线性无关的充分必要条件是( ) （A ）若11m m k k O αα++=，则常数1,m k k 全为零（B ）存在不全为零的常数1,m k k ，使11m m k k O αα++≠ （C ）存在全不为零的常数1,m k k ，使11m m k k O αα++≠（D ）该向量组的秩小于m20.设A 是m n ⨯阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为AX =O ，若m n <，则( ) （A ）AX b =必有无穷多解 （B ）AX b =必有唯一解 （C ）AX =O 必有唯一解 （D ）AX =O 必有非零解三、计算题1．计算行列式1111111111111111x x x x ---+---+--.2．设矩阵111231104A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且3AX A X -=,求矩阵X . 3．求向量组(1,3,4,2)a =-，(2,1,3,1)b =-，(3,1,2,0)c =-，(4,3,1,1)d =-的秩和一个极大无关组，并问向量组的所有极大无关组有几组？.4．求行列式10121103111010203040---的第四行元素的代数余子式之和.5．设矩阵011221103A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且2AX A X -=,求矩阵X . 6．求向量组(1,0,1,0)a =，(1,1,0,1)b =-，(1,2,1,2)c =--，(1,1,0,1)d =--的秩和一个极大无关组7.设矩阵201020103A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121212B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且X AX B =+,求矩阵X四、计算、讨论题1．设矩阵12010215A t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，向量314b t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪+⎝⎭，若非齐次线性方程组AX b =对应的齐次方程组有无穷多解，求t 的值和非齐次线性方程组的全部解.2．已知矩阵74147144A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的全部特征值为1233,11λλλ===,求：(1)a 的值；(2) 311λ=对应的一个特征向量；（3）判别矩阵A 可否相似对角化？3．写出三元二次型22212312132344224f x x x ax x x x x x =+++-+的矩阵．求a 的取值范围，使得f 是正定二次型.4．设矩阵121201101A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，向量12b k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组AX b =对应的齐次方程组的基础解系含有两个解向量，且AX b =有解，求,a k 的值和非齐次线性方程组的全部解.5．已知矩阵00111100A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，（1）求A 的全部特征值；（2）若A 相似于某个对角矩阵，求a 的值；（3）在（2）的情况下，求出A 的小于零的特征值所对应的一个特征向量．6．用矩阵形式表示三元二次型222123233222f x x x x x =+++，并判别f 是否为正定二次型？7.讨论k 为何值时，线性方程组12312312312202x x x x kx x kx x x k+-=-⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ （1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷多解？并求通解.五、证明题1.设12,αα是矩阵A 的对应于两个不同特征值12,λλ的特征向量，求证: 12,αα线性无关.2.设*X 是非齐次线性方程组AX b =的一个解，12,X X 是对应的齐次方程组的一个基础解系，求证:向量组*X ，1X ，2X 线性无关.答案：一、填空题 1.负. 2.1034⎛⎫⎪⎝⎭；10212n n⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 3.24. 4.(1,1,0),(1,0,1)T T--. 5.1. 6.0. 7.负. 8.1304⎛⎫ ⎪⎝⎭；12102n n⎛⎫- ⎪⎝⎭. 9.3n. 10.1-. 11.1-. 12.1 13.2； 14.n ； 15.14； 16.1； 17.0； 18.3； 19．1或1-. 二、选择题1.C .2.A .3.B .4.D .5.A .6.D .7.B .8.B .9.C . 10.A11.C 12.B 13.D 14.A 15.A 16.C ；17.A ；18.B ；19.A ； 20.D 三、计算题1．4x . 2．133320037⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭.3．2r =；,a b 为一个极大无关组；极大无关组有6组．4．1-． 5．122210025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭. 6．3r =；,,a b c71()X E A B -=-201121201012121011200---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、计算、讨论题1．3t =；全部解为123122x C x C x C =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩或122101X C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．（1）3a =；（2）110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（3）不可相似对角化．3．1142124a A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；21a -<<．4．1a =，1k =-；11212314232x C x C C x C x C =-+⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩或12310211010001X C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5．（1）121λλ==-，31λ=；（2）故1a =；（3）101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．6．记300021012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，T f X AX =；f 是正定二次型．7（1）当2k =时，因为()2()r A r A =≠，所以方程组无解； （2）当2k ≠且1k ≠-时，因为()()3r A r A ==，所以方程组有唯一解； （3）当1k =-时，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，且此时11111011/303020102/300000000A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即方程组的同解于 1321323x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所求通解1/312/3001X C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (12)五、证明题提示：设有常数12,x x 使得1122x x O αα+=，然后推出10x =，20x =.。
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武汉理工大学
考试试题纸
（ A 卷）
课程名称 线性代数 专业班级 全校本科
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
题分 15 50 15 15 5 100
备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题
一. 填空题（每小题3分，共15分）
1. 已知三阶方阵
123
A，其中i（1,2,3i）是3维列向量，且1A
，
1323
22B
，则B
2. 设1111,11tAtt()2RA, 则t
3. 设向量
T
1,1,11
，21,2,3T，31,3,Tt，3可由1，2
线性表示，则t
4. 已知
1
，2是非齐次线性方程组mnAXb的两个不同的解，且()1mnRAn，
则
mnAXb
的通解为
5. 已知三阶方阵A的特征值为1，2，3，则
2
AAE
二. 解答题 （每题10分，共50分）
1. 计算行列式（每小题5分）
（1）111123137 （2）()000000000000nxyxyxyyx
2. 设矩阵A,B满足关系式ABAB，且200220322A，求矩阵B.
3. 已知abAba，
（1）a，b满足什么条件时A可逆；（3分）
（2）a，b满足什么条件时A是正交矩阵；（3分）
（3）当A可逆时，求1A.（4分）
4. 求向量组
T1,0,11，21,1,0T，T1,1,03，T
1,1,14
的一个极大无关组，并将不是极大无关组中的向量由极大无关组线性表示出来.
5. 设
1,1,1
T
是方阵2121312Axy的一个特征向量，求相应的特征值
和 x，y.
三. 已知线性方程组 123123123(1)32(2)233(3)9xxxxxxxxx
（1）取何值时，方程组有唯一解、无穷多解、无解？（9分）
（2）在方程组有无穷多解的情况下求通解.（6分）
四. 已知二次型
222
12312323
(,,)2332fxxxxxxaxx
（0a）通过正交变换
XUY
化为标准形22212325fbyyy
(1) 求a、b的值；（6分）
(2) 判别二次型
123
(,,)fxxx
是否正定；（2分）
(3) 求正交矩阵U.（7分）
五. 设是非齐次线性方程组AXb的一个解，1，2，…，nr是对应的齐次线性方
程组的一个基础解系，证明：，
1，2，…，nr
线性无关.（5分）
武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称： 线性代数 （ A 卷）
一. 填空题（每小题3分，共15分）
（1）2； （2）2； （3）5； （4）
112
()k
；（2）21.
二. 解答题 （每题10分，共50分）
1. （1）
111
1232137
…………………………………………….（5分）；
（2）1000000(1)000000nnnxyxyxyxyyx……………………（5分）
2.
ABAB
1()BAEA
……………………………………（3分）
11100100()210210321721AE
…………………………..（4分）
200
2320722B
…………………………………………………（3分）
3.
（1）
22
0ab
..............................................................…..（3分）
(2) 221ab ....…………………………….（3分）
(3) 1221abAbaab ……………………………………..（4分）
4.
1
100
2
1101
1
01110102101110012
…………………………………….（6分）
故{1，2，3}为极大无关组。 .......................................…….（2分）
4123
111
222
………………………………………………（2分）
（答案为{1，2，4}或{1，3，4}或{2，3，4}均正确）
5. 由 A可知()0EA，即
102010xy
……………………………………………（6分）
解得1，3,x 0y. ………………………………………（4分）
三. （1）2111222(6)333 .............................………………（6分）
当0且6时，方程组有唯一解；
当0时，方程组有无解；
当6时，方程组有无穷多解； .................................…………….（3分）
（2）123112203xxkx， k为任意常数。 ....................………………（6分）
四. （1） 200000302003005baa
故有2a，1b; …………………………………………………….（6分）
（2）正定 ………………………………………………………. …（2分）
（3）
010
11
02211022U
………………………………………………. （7分）
五. 证明：假设存在
012,,,nrkkkk
使得：
01122()()()0nrnrkkkk
（1） ..............（1分）
对（1）两边同左乘A得：
01()0nrkkkb
由于0b，故010nrkkk ............................……………….（2分）
将010nrkkk代入（1）式得：
11220nrnrkkk
由12,,nr线性无关知10k，02k，…，0nrk
同时由010nrkkk，知00k...............…………….…………………（2分）
从而，1，2，…，nr线性无关。