初高中数学衔接内容精品总结版(非常实用)

因式分解（和变成积，立方和差，提、公式、十字相乘）、分式（合比性质） 1. 分解因式4424-+-x x x2. 求256441110722322+++÷+++⋅+-++a a a a a a a a a a 的值 3. 已知a+b=1，求a 3+b 3+3ab 的值4. 已知a c zc b y b a x -=-=-，求证x +y= -z 5. 若k=ac bc b a b a c +=+=+,则k 的值是 6. 已知x -2y=2，则=---+8463y x y x7. 分解因式: (1)25122--x x (2)22865y xy x -+ 8. 化简xx x x x11--+二次根式（分子、分母有理化）a a =2）（， a a =21.有理化分子（1）x x xx -+++11 （2）111122++--+-x x x x2.已知a a x 1-=，把xx x x x x 424222+-++++化简为只含a 的代数式.3.已知253-=x ，求1242++x x x 的值.4.适合()a a -=-332的正整数a 有 个.5.化简=+++xy yxy x 2446.计算154154-++=7.已知a x x =++21，则=+-21x x (用a 表示) 8.已知)0(1>+=a a a x ，化简2222--+-++x x x x分式方程（换元） 1.解方程)4(4114522+-++=++-x x x x x x x2.解方程)4(72721)4(18+-+-+=x x x x x x3.解方程：(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)=48 (x -2)(x +1)(x +4)(x +7)=19二元二次方程组（代入消元）1.解方程组(1)⎩⎨⎧=+-+-=-0422322y x x y x (2) ⎩⎨⎧=----=+--0)2(2)2)(3(03322x y y y x x y x x2.方程组⎩⎨⎧--=+=3222x x y kx y 有两组不同的实数解，则k 的取值范围是 3.解方程组 (1)⎩⎨⎧=-+=-634322y x y y x ⎩⎨⎧=-+=+-06441602322x y y x ⎩⎨⎧=--=--0100205010222y x y x10.当k 是什么值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=012422y x y kx y 有两组不同的实数解。

一元一次型不等式1.结合一次函数y=a x +b 的图像上、下部分2.当a=0时，若b>0，则不等式a x >b 解集为φ，不等式a x <b 解集为R 若b=0，则不等式a x >b 解集为φ，不等式a x <b 解集为φ若b<0，则不等式a x >b 解集为R ，不等式a x <b 解集为φ一元二次不等式1.结合二次函数y=a x 2+b x +c 的图像x 轴上、下部分，在a>0的前提下：小于在中间，大于在两边2.假设a>0，一元二次不等式a x 2+b x +c>0（或<0）的解集（1）当042>-=∆ac b 时，方程a x 2+b x +c=0有两个不相等的实数根x 1，x 2（x 1<x 2）, 不等式a x 2+b x +c>0的解集是),(),(21+∞-∞x x 不等式a x 2+b x +c<0的解集是（x 1，x 2）（2）当042=-=∆ac b 时，方程a x 2+b x +c=0有两个相等的实数根x 1=x 2=ab 2- 不等式a x 2+b x +c>0的解集是),2()2,(+∞---∞ab a b 不等式a x 2+b x +c<0的解集是φ（3）当042<-=∆ac b 时，方程a x 2+b x +c=0没有实数根， 不等式a x 2+b x +c>0的解集是),(+∞-∞ (即是R) 不等式a x 2+b x +c<0的解集是φ 二次函数 △情况一元二次方程一元二次不等式y=a x 2+b x +c(a ＞0)△=b 2-4ac a x 2+b x +c=0(a ＞0) a x 2+b x +c ＞0(a ＞0) a x 2+b x +c ＜0(a ＞0) 图 像 与 解△＞0x 1=x 2=不等式解集为｛x ｜x ＜x 1或x ＞x 2｝ 不等式解集为｛x ｜x 1＜x ＜x 2｝△=0x 1=x 2=x 0=不等式解集为 ｛x ｜x ≠x 0,x ∈R ｝解集为φ△＜0方程无解不等式解集为R解集为 φ1. 解不等式 x 2-x -6>0 x 2+x -6≤0 x 2+2x >1 -3x 2+6x ≥24x 2-4x +1>0 x 2-2x < -3 -x 2+6x ≥92.已知关于x 的不等式a x 2+b x +2>0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121x x ，求实数a ，b 的值.3.解不等式 x 2< 2 (5-x )(x +4)<0 x 2-2x +1>0 2x 2-3x -2≥0 -2x 2+5x ≥3 4.关于x 的不等式x 2-x +m≤4有且只有一个解，则m=5.关于x 的方程m x 2-x +(m+1)=0 有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是6.解关于x 的不等式a x 2+1>0 (a≠0)7.已知关于x 的不等式a x 2+x +c<0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>3121x x x 或,求a 和c ，并求解不等式 -c x 2+x -a<0. 8.已知关于x 的方程x 2+(k-3)x +k 2=0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k 的取值范围.一元分式不等式0)()()()(0)()(>⋅⇔⇔>x g x f x g x f x g x f 同号与 0)()()()(0)()(<⋅⇔⇔<x g x f x g x f x g x f 异号与 ⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 1.解下列不等式 053>+-x x0321≥--y y 01121<--x 112≤+x x2312312-+>-+x x x x 01232<---x x 11<x112+>-x x x 213<<-x112>x 0612<-+x x x x≤102111<---x x 221>-+x x01122≥++--x x x x112>+-x a x2.若关于x 的不等式11>-x ax的解集为{}21<<x x ，求实数a 的值.3.满足不等式11326≥>--x x x 与的x 的整数解是绝对值不等式1. ⎩⎨⎧≤-≥=0,0,a a a a a 22a a = 22b a b a <⇔<2. （1）当a=0时，a x <的解集为φ，a x >的解集为R（2）当a=0时，a x <的解集为φ，a x >的解集为),0()0,(+∞-∞（3）当a>0时，a x <的解集为),(a a -，a x >的解集为),(),(+∞--∞a a 即a x a a a x <<-⇒><）（0 a x a x a a x -<>⇒>>或）（0 3. b x a a x b b x a <<-<<-⇒<<<或0 4. 不等式组⎩⎨⎧<<⇒<<)()()()()()()(x h x g x g x f x h x g x f ，最后取交集1. 解不等式 421>x 53≤+x 732≥-x 3261453≤+-x1234+>-x x2.解不等式311≤-++x x 321<--x3.解不等式 2≤x x x ≤ 11<+x 0)2(<-x x 3212->-x xxx 2134≥-- 423>--+x x 3122≤+<x解不等式组1. ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-121432x x ⎩⎨⎧≥->-+2212043xx x x⎪⎩⎪⎨⎧-+>-+<<-231231221y y y y y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<111xx⎪⎩⎪⎨⎧<<11xx x x⎪⎩⎪⎨⎧-<-≥-121132xx ⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-1102xx x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<+-+2100)3(2)1(2m m m m2. 关于x 的方程x 2+(m-1)x +1=0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围。

3. 使429--x x有意义的x 的取值范围是4. 若a>0，b>0，关于x 的不等式a xb <<-1的解集是 5. 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧<≤-+ax x x 022的解集是 -2≤x <a ，则实数a 的范围是一元二次方程(根与系数关系)1.已知关于x 的一元二次方程8x 2+(m+1)x +m-7有两个负数根，求实数m 的取值范围.2.已知关于x 的方程8x 2-(m-1)x +(m-7)=0有两根，且两根都小于2，求实数m 的取值范围.3.对一切实数x ，不等式k x 2-(k-2)x +k>0恒成立，求实数k 的值.4.设x 1、x 2是方程2x 2-4m x +2m 2+3m-2=0的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值？并求出这个最小值。

5.设x 1、x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个实数根，那么(x 1+1)(x 2+1)的值是 6.方程4x 2-7x -3=0的两根为x 1、x 2，112112+++x x x x = 7.若x 1、x 2是方程x 2+2x -13=0的两个实数根，求下列各式的值： 2221x x + 2111x x + (x 1-2)(x 2-2) 21x x - 一元二次方程的实根分布1.根的正负问题(根的判别式结合根与系数的关系)，与二次函数f(x )=a x 2+b x +c 的关系（1）两正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-≥-⇔⎪⎩⎪⎨⎧>⋅>+≥∆⇔000400022121a c a b ac b x x x x （2）两负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-⇔⎪⎩⎪⎨⎧>⋅<+≥∆⇔000400022121ac a b ac b x x x x（3）两同号根⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇔⎩⎨⎧>⋅≥∆⇔00400221a c ac b x x （4）两异号根⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⇔⎩⎨⎧<⋅≥∆⇔00400221acac b x x二次方程根的分布 1、一元二次方程02=++c bx ax根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。