高中自主招生考试数学试题(含答案详解)
2023年漳州一中高中自主招生考试数学试卷参考答案
漳州一中高中自主招生考试 数学参照答案及评分意见11. 且 12. （或 ）13.4016 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共有7小题, 共86分）17. （8分）原式 …………………………………………6分1-=………………………………………………………………8分 18. （10分）原式 ………………………………2分x x --=4162)4()4)(4(---+=x x x 4--=x ………………………7分∴当 时, 原式 ……………………10分19. （10分）（1）（4分） ………………………………………4分 （2）①（4分）树状图为:或列表法为:（画出树状图或列出表格得4分） ……………………………………………4分 ②（2分）因此411234==的倍数p …………………………………………2分 20. （12分）解法一：设参与 处公共场所旳义务劳动, 则学校派出 名学生^…………………………………………………………………………………2分依题意得: ………………………6分 由（1）得： , 由（2）得： ∴434433≤<x ………………………………………………………………8分 又 为整数, ∴ ……………………………………………………10分∴当 时, ………………………………………………11分答: 这所学校派出55名学生, 参与4处公共场所旳义务劳动 …………12分解法二：设这所学校派出 名学生, 参与 处公共场所旳义务劳动……1分 依题意得: ……………………………6分解得: …………………………………………………………8分 为整数, ∴ ………………………………………………………10分∴当 时, ………………………………………11分答: 这所学校派出55名学生, 参与4处公共场所旳义务劳动 …………12分 21. （14分）证法一：如图, 分别延长 、 相交于点 ………………1分 设 , ∵ ,∴ ,得 ………3分∴322=-=AM BM AB …………4分∵ , ∴ , 且 ,在 中, ………………………………6分 又∵ 、 ,∴)(ASA ECN MDN ∆≅∆……………………………………………………9分 ∴ 、 , ………………………………………11分 ∴ 、 , ∴ …………13分∴MBC NMB ∠=∠…………………………………………………………14分 证法二: 设 , 同证法一 ………………6分如图, 将 绕点 顺时针旋转 得到 , 连结 , ∵ , ∴ 是平角, 即点 三点共线,………………………………………………………………………………… 7分 ∴BEC BMA ∠=∠……………………………8分1==AM CE 、BM BE = …………………9分∴BEM BME ∠=∠…………………………10分 ∵MN CE CN NE ==+=+=25123 ……11分 ∴NEM NME ∠=∠…………………………12分 ∴NEM BEM NME BME ∠+∠=∠+∠ ∴AMB BEC BMN ∠=∠=∠………………13分 又∵MBC AMB ∠=∠∴MBC BMN ∠=∠…………………………14分 22. （16分）（1）（4分）设抛物线旳解析式为89252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x a y ………………………1分∵抛物线通过 , ∴ , 解得: …………3分∴8925212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y （或225212+-=x x y ） …………………………4分（2）（4分）令 得 , ∴ ……………………………………1分 令 得 , 解得 、 ………………………3分∴)0 , 1(C 、) 0, 4(D …………………………………………………………4分（3）（8分）结论: …………………………………1分理由是: ①当点重叠时, 有………………………………2分②当 , ∵直线 通过点 、 , ∴直线 旳解析式为………3分设直线 与 轴相交于点 , 令 , 得 , ∴ ,则)2,0()2,0(B E 与点-有关x 轴对称………………4分 ∴ , 连结 , 则 ,∴ , …………………5分∵在 中, 有 …………………………………………6分∴BC AC AE PE PA PB PA +=>+=+…………………………………7分 综上所得BC AC BP AP +≥+………………………………………………8分 23. （16分）（1）（6分）解法一: 当点 在⊙ 上时, 设 与⊙交于点 ,∵ , ∴ ………………………1分 ∵ ∥ , ∴ ………………2分∴PD AP =…………………………………………3分又 , …………………4分………………………………………5分∴︒︒=⨯⨯=∠⨯=∠3018031213121AOB APE …6分 解法二: 设点 在⊙ 上时, 由已知有 , ……………………1分 ∴△ △ , ……………………………………………2分 ∴ , …………………………………………3分 在 △ 中, ……5分∴︒=∠30APC ……………………………………………………6分（2）（10分）k 值不随点P 旳移动而变化.理由是:∵ 是⊙ 右半圆上旳任意一点, 且 ∥ ,∴ ……………………………1分∵ 是⊙ 旳切线, ∴ ,⌒ ⌒又∵ , ∴ ,∴ABQ ACP ∠=∠ ……………………………2分 ∴ACP ∆∽OBQ ∆ ……………………………3分 ∴QBPCOB AC =……………………………………4分 又∵ 、 ,∴ACF ∆∽ABQ ∆……………………………………………………………6分 ∴BQCFAB AC = …………………………………………………………………7分 又∵ , ∴ 即 …………………………8分∴CF PC 2= 即CF PF ＝ …………………………………………………9分 ∴ ，即 值不随点 旳移动而变化. ………………………10分。
省级重点高中自主招生数学真题8套(含答案)
省重点高中自主招生数学真题8套（含答案）第1套一、选择题（每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。
）1、已知实数a 、b 、c 满足0254=-+-+++a b c b a ，那么bc ab +的值为（ ） A 、0B 、16C 、－16D 、－32 2、设βα、是方程02322=--x x 的两个实数根，则βααβ+的值是（ ）A 、－1B 、1C 、32-D 、32 3、a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，下列结论成立的是（ ） A 、AB AC 2= B 、AB AC 2< C 、AB AC 2> D 、AC 与AB 2大小关系不确定5、已知关于x 的不等式7<a x 的解也是不等式12572->-aa x 的解，则a 的取值范围 是（ ）A 、910-≥aB 、910->a C 、0910<≤-a D 、0910<<-a 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（ ） A 、32B 、2C 、3D 、4 第6题图二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知质数x 、y 、z 满足5719=-yz x ，则z y x ++= 。
2、已知点A （1，3），B （4，－1），在x 轴上找一点P ，使得AP －BP 最大，那么P 点的坐标是 。
3、已知AB 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，则当△ACD 为等腰三解形时，∠ACD 的度数为 。
高中自主招生数学试题及答案
高中自主招生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -9C. -3D. 13. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求第10项的值。
A. 26B. 27C. 28D. 295. 一个三角形的内角和为多少度？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°二、填空题（每题2分，共10分）6. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是_________三角形。
7. 一个函数的导数f'(x) = 3x^2 - 2x，当x=1时，其导数的值为_________。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值是_________。
9. 一个正方体的体积为27，它的边长是_________。
10. 圆的周长公式为C = 2πr，若半径r=4，则周长为_________。
三、解答题（共75分）11. 解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
（10分）12. 证明：若a，b，c是实数，且a + b + c = 0，则(1/a) + (1/b) + (1/c) ≥ 9。
（15分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数并讨论其在x=1处的单调性。
（20分）14. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
（15分）15. 已知一个圆的圆心在原点，半径为1，求圆上任意一点到直线y = x的距离。
（15分）四、结束语本试题旨在考察学生对高中数学基础知识的掌握情况和解题能力。
希望同学们在解答过程中能够认真思考，仔细作答，展现出自己的数学素养。
2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷(解析版)
2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷一､选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合几何体的三视图的规则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以A 不合题意；对于B 中，由三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，所以B 不合题意；对于C 中，由正方体的三视图都是正方形，所以C 符合题意；对于D 中，由圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，所以D 不合题意.故选：C.2.把抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到抛物线23y x =，则n 的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由函数的平移变化可得20n -+=，即可得出答案.【详解】解：把抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到：23(11)2,y x n =+--+即：232,y x n =-+由题意可知：20n -+=，2n ∴=，故选：B.3.已知点()()()1232,1,,,3,y y y --都在反比例函数21k y x+=的图象上，那么123y y y ､､的大小关系正确的是（）A .123y y y << B.321y y y <<C.213y y y << D.312y y y <<【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的,x y 的变化情况，即可比较大小.【详解】20k ≥Q ，211k ∴+≥，是正数，∴反比例函数21k y x+=的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y 随x 的增大而减小，()()()1232,,1,,3,y y y -- 都在反比例函数图象上，2130,0y y y ∴<<>，213y y y ∴<<.故选：C.4.在直角ABC 中，90,3,2C AB AC ∠=== ，则sin A 的值为（）A.53B.C.23 D.【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形正弦值的表示，即可求解.【详解】如图.在Rt ABC 中，90C = ∠，BC ∴===.5sin 3BC A AB ∴==.故选：A 5.如图，半径为R 的O 的弦AC BD =，且AC BD ⊥于E ，连结,AB AD ，若1AD =，则R 的值为（）A.12 B.22 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】连接OA ，OD ，由弦AC BD =，可得 AC BD =，继而可得 =BC AD ，然后由圆周角定理，证得ABD BAC ∠=∠，即可判定AE BE =，由AE BE =，AC BD 丄，可求得45ABD ∠=︒，继而可得AOD △是直角三角形，则可求得AD =，由此可解决问题．【详解】解： 弦AC BD =， AC BD∴=， BC AD ∴=，ABD BAC ∴∠=∠，;AE BE ∴=如图，连接,OA OD ，,AC BD AE BE ⊥= ，45ABE BAE ∠∠∴== ，290AOD ABE ∠∠∴== ，OA OD = ，AD ∴=，1AD = ，22R ∴=，故选：B.6.已知点()()111222,,,P x y P x y 为抛物线()240y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是（）A.若124x x +<，则12y y <B.若124x x +>，则12y y <C.若()1240a x x +->，则12y y >D.若()1240a x x +-<，则12y y >【答案】C【解析】【分析】分a<0和0a >，结合图象对选项一一判断即可得出答案.【详解】解：24y ax ax c =-++ ，∴抛物线对称轴为直线422a x a=-=-，当点()()111222,,,P x y P x y 恰好关于2x =对称时，有1222x x +=，124x x ∴+=，即1240x x +-=，12x x < ，122;x x ∴<< 抛物线的开口方向没有确定，则需要对a 进行讨论，故排除A ，B ；当0a >时，抛物线24y ax ax c =-++的开口向下，此时距离直线2x =越远，y 值越小；()1240a x x +-> ，1240x x ∴+->，∴点()222,P x y 距离直线2x =较远，12y y ∴>当0a <时，抛物线24y ax ax c =-++的开口向上，此时距离直线2x =越远，y 值越大；()1240a x x +-> ，1240x x ∴+-<，∴点()111,P x y 距离直线2x =较远，12y y ∴>故C 符合题意，D 不符合题意.7.如图，点,,A B C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）A.3B.105 C.510 D.【答案】D【解析】【分析】求出CD ，AD 和AC ，由勾股定理可证明ACD 是直角三角形，再由sin sin CDBAC CAD AC ∠=∠=，代入即可得出答案.【详解】解：连接CD ，点D 在格点上，如图所示：设每个小正方形的边长为a ，则CD ==，AC ==，AD ==，222222)))CD AD AC ∴+=+==，ACD ∴是直角三角形，5sin sin5CD BAC CAD AC ∠∠∴===，8.如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠= ，则BOD ∠的度数是（）A.70B.120C.140D.160o【答案】C【解析】【分析】利用圆周角和圆心角关系求解.【详解】 四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠= ，18070A BCD ∠∠∴=-= ，由圆周角定理得，2140BOD A ∠∠== ，故选：C.9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点,A D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象上，若正方形ADEF 的面积为4，且BF AF =，则k 的值为（）A.12B.8C.6D.3【答案】B【解析】【分析】先由正方形的面积得出边长，据此可设B (),4t ，则E ()2,2t +，根据点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象上，得()422k t t ==+，求解即可.【详解】解： 正方形ADEF 的面积为4，∴正方形ADEF 的边长为2，2,224BF AF AB AF BF ∴===+=+=.设B 点坐标为(),4t ，则E 点坐标()2,2t +，点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象上，()422k t t ∴==+，解得2,8t k ==.故选：B.10.如图，在等边三角形ABC 中，4AB =，点D 是边AB 上一点，且1BD =，点P 是边BC 上一动点（D P ､两点均不与端点重合），作60,DPE PE ∠= 交边AC 于点E .若CE a =，当满足条件的点P 有且只有一个时，则a 的值为（）A.2B.2.5C.3D.4【答案】D【解析】【分析】依题意得BDP CPE ，即240BP BP a -+=，根据一元二次方程有一个解Δ0=求解即可.【详解】解：ABC 是等边三角形，60B C ∴∠=∠= ，180120BDP BPD B ∠∠∠∴+=-= ，60DPE ∠= ，120BPD CPE ∠∠∴+= ，BDP CPE ∴∠=∠，60B C ∠=∠= ，BDP CPE ∴ ；BD BP CP CE∴=，14BP BP a∴=-，240BP BP a ∴-+=，满足条件的点P 有且只有一个，∴方程240BP BP a -+=有两个相等的实数根，2Δ440a ∴=-⨯=，4a ∴=.故选：D.二､填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分.11.点()3,2m +和点3,3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是同一个反比例函数图象上的点，则m 的值为__________.【答案】6-【解析】【分析】根据两点在同一反比例函数图象上，可构造方程求得结果.【详解】 点()3,2m +和点3,3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是同一个反比例函数图象上的点，()2333m m ∴+=⨯，解得：6m =-.故答案为：6-.12.已知二次函数222(0)y x kx k k k =-+->，当1x <时，y 随x 的增大而减小，则k 的最小整数值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的图象、单调性即可求解.【详解】二次函数2222()y x kx k k x k k =-+-=--的对称轴为x k =，开口向上,所以当x k ≤时，y 随x 的增大而减小，又当1x <时，y 随x 的增大而减小，所以1k ≥，即k 的最小整数值为1.故答案为：1.13.如图，线段9,AB AC AB =⊥于点,A BD AB ⊥于点,2,4B AC BD ==，点P 为线段AB 上一动点，且以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似，则AP 的长为__________.【答案】1或3或8.【解析】【分析】由三角形相似，对应边成比例，列方程求AP 的长.【详解】设AP x =，以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似，①当AC AP BD PB =时，249x x=-，解得3x =.②当AC AP BP BD=时，294x x =-，解得1x =或8x =，所以当以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似时，AP 的长为1或3或8，故答案为：1或3或8.14.已知二次函数22y x x n =++，当自变量x 的取值在21x -≤≤的范围内时，函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，则n 的取值范围是__________.【答案】1n =或30n -≤<【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴为直线=1x -，利用函数图象，可得120n ++≥且440n -+<，解不等式组即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线2121x =-=-⨯，且开口向上，若抛物线与x 轴有且仅有一个交点，则有1,0x y =-=；当1,0x y =≥时，在21x -≤≤的范围内，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，根据对称性，公共点不可能在20x -≤≤范围内，而在01x <≤范围内，则120n ++≥且440n -+<，解得30n -≤<；所以，n 的取值范围是1n =或30n -≤<.故答案为：1n =或30n -≤<.15.若关于x 的方程()221210mx mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是__________.【答案】{}12m m m =>或【解析】【分析】对m 分类讨论，求出方程的根，根据方程的根满足条件求m 的范围.【详解】解：当210-=m 时，1m =±.当1m =时，可得1210,2x x -==，符合题意；当1m =-时，可得1210,2x x --==-，不符合题意；当210m -≠时，()221210m x mx -+-=，即()()11110m x m x ⎡⎤⎡⎤+--+=⎣⎦⎣⎦，1211,11x x m m-∴==+-. 关于x 的方程()221210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，10111011m m⎧<<⎪⎪+∴⎨-⎪<<⎪-⎩，解得02m m >⎧⎨>⎩，即2m >.综上可得，实数m 的取值范围是{}12m m m =>或.故答案为：{}12m m m =>或.16.对,x y 定义一种新运算T ，规定：(),2ax by T x y x y +=+（其中,a b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201a b T b ⨯+⨯==⨯+，已知()()1,12,4,21-=-=T T ，若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m P ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩恰好有3个整数解，则实数P 的取值范围是________.【答案】123P -≤<-【解析】【分析】根据已知得出关于,a b 的方程组，求出,a b ，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围.【详解】因为()()1,12,4,21-=-=T T ，所以422,212124a b a b -+=-+=-⨯，解得1,3a b ==，所以()()235412,5444542m m T m m m m m +⨯--=≤⇒≥-+-，()()33293,322325m m P T m m P m m m +⨯---=>⇒<+-，因为不等式组恰有3个整数解，所以93123253P P -<≤⇒-≤<-，故答案为：123P -≤<-.17.如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点,B D 都在函数(0)y xx =>的图像上，BE x ⊥轴于点E .若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为时，EF OE的值为___________；点F 的坐标为___________.【答案】①.12##0.5；②.33(,0)2【解析】【分析】连接OD ，作DG x ⊥轴，设点6262(,),(,)B b D a b a，根据矩形的面积得出三角形BOD 的面积，将三角形BOD 的面积转化为梯形BEGD 的面积，从而得出, a b 的等式，将其分解因式，从而得出, a b 的关系，进而在直角三角形BOD 中，根据勾股定理列出方程，进而求得 B D 、的坐标，进一步可求得结果.【详解】如图，作DG x ⊥轴于G ，连接OD ，设BC 和OD 交于I ,设点6262(,(,)B b D a b a，由对称性可得:,BOD BOA OBC ≌≌ ,OBC BOD BC OD OI BI ∴∠=∠=∴=，，DI CI ∴=，,DI CI OI BI∴=,CID BIO ∠=∠ ,,CDI BOI CDI BOI ∴∴∠=∠ //,CD OB ∴1,22BOD AOB EAOCB S S S ∴=== 矩形1||2BOE DOG S S k === ,BOD DOG BOE BEGD S BOGD S S S BEGD S =+=+ 四边形梯形92,2BOD BEGD S S == 梯形1()22a b a b ∴+-=222320,a ab b ∴--=(2)(2)0,a b a b ∴-⋅+=2,2b a b a ∴==-（舍去），62(2,),2D b b ∴即32(2,),D b b在Rt BOD 中，由勾股定理得222,OD BD OB +=22222232623262(2)()(2)()(),b b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤∴++-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦b ∴=B D ∴因为直线OB 的解析式为：,y =所以直线DF 的解析式为：y =-当0y =时，0,2x -=∴=3333(,0),22F OE OF ∴== 31,,22EF EF OF OE OE ∴=-=∴=故答案为：133,(,0).22【点睛】关键点点睛：本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k ”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图像性质，分解因式等知识，解决问题的关键是等式变形，进行分解因式.18.如图，面积为4的平行四边形ABCD 中，4AB =，过点B 作CD 边的垂线，垂足为点E ，点E 正好是CD 的中点，点M ､点N 分别是AB AC ､.上的动点，MN 的延长线交线段DE 于点P ，若点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，则线段BM 长x 的取值范围是__________.【答案】24x -≤≤【解析】【分析】根据点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，可看成弦MB 所对的圆周角45MPB ∠= ，设MBP 外接圆的圆心为O ，由CD 与AB 之间的距离为1，12122x x +≥，又4MB ≤，即可得出答案.【详解】解： 平行四边形ABCD 的面积为4,4,AB BE CD =⊥，1BE ∴=， 点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，则可看成弦MB 所对的圆周角45MPB ∠= ，设MBP 外接圆的圆心为O ，则90MOB ∠= ，22OB x ∴=，CD 与AB 之间的距离为1，12122x x ∴+≥，2x ∴≥，又4MB ≤ ，24x ∴≤≤.故答案为：24x -≤≤.19.如图，平行四边形,,4,60ABCD AB AD AD ADB ∠>== ，点E F ､为对角线BD 上的动点，2DE BF =，连接AE CF ､，则2AE CF +的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】在直线DB 的上方作60BDT ∠= ，且使得2DT BC =.过点T 作TH AD ⊥交AD 的延长线于，将2AE CF +的最小值问题转化为AT 的最小值问题，利用平面几何知识求解即可.【详解】如图，在直线DB 的上方作60BDT ∠= ，且使得2DT BC =.过点T 作TH AD ⊥交AD 的延长线于H .四边形ABCD 是平行四边形，BC ∴ ,4AD AD BC ==，60ADB DBC ∠∠∴== ，CBF TDE ∠∠∴=，12BC BF DT DE == ，CBF TDE ∴~ ，12CF BC ET DT ∴==，2ET CF ∴=，180606060,90,28TDH H DT BC ∠∠=--==== ，cos604,DH DT HT ∴=⋅===，8AH AD DH ∴=+=，AT ∴===，2,AE CF AE ET AE ET AT +=++≥ ，2AE CF ∴+≥2AE CF ∴+的最小值为.故答案为：三､计算题：本大题共1小题，共12分.20.（1）计算：0(1π)2cos451++-+- .（2）解不等式组：()5231131722x x x x ⎧->+⎪⎨-≤-⎪⎩①②【答案】(1)2；（2）542x <≤【解析】【分析】（1）分别进行算术平方根、零次幂、三角、绝对值运算，再由加减运算法则计算求值；（2）分别求解两个一次不等式的解集，再利用数轴求它们的公共部分即可.【详解】（1）原式21212=+-⨯+-211=+-+-2=；（2）由①得：52x >，由②得：4x ≤，则不等式组的解集为542x <≤.四､解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中3=a .【答案】13a +，3【解析】【分析】对式子变形结合因式分解及完全平方和化简式子，代入3=-a 即可计算.【详解】原式212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++13a =+，当3=-a时，原式33==.22.河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A 、B 、C 、D ，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）请把图2的条形统计图补充完整.（3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.【答案】（1）15件；（2）答案见解析（3）35【解析】【分析】（1）根据B 班有5件作品，且对应的圆心角为120 求解；（2）结合（1）根据总件数和A ，B ，D 班的件数求解；（3）利用古典概型的概率求解.【小问1详解】解：120515360︒÷=︒（件），即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件；【小问2详解】C 班级的作品数为：153543---=（件），把图2的条形统计图补充完整如下：【小问3详解】恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率.不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为123205=.23.东西走向海岸线上有一个码头（图中线段AB ），已知AB 的长为132米，小明在A 处测得海上一艘货船M 在A 的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点C ，在C 测得M 在C 处的北偏东15 方向（参考数据：2 1.41,3 1.73,6 2.45)≈≈≈（1）求AM 的长；（结果精确到1米）（2）如图，货船从M 出发，沿着南偏东30 方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB 上？请说明理由.【答案】（1）116米（2）该货船能行驶到码头所在的线段AB 上，理由见解析【解析】【分析】（1）过点C 作CD AM ⊥，垂足为D ，45MAC ∠= ，30∠= AMC ，60AC =米，利用三角函数求出,AD DM ，得AM 的长；（2）设货船行驶路线交线段AB 所在的直线于点G ，构造直角三角形，利用三角函数求AG 的长度，与AB 比较即可.【小问1详解】过点C 作CD AM ⊥，垂足为D ，由题意得：904545,9015105MAC ACM ∠∠=-==+= ，18030AMC MAC ACM ∠∠∠∴=--= ，在Rt ADC 中，60AC =米，2cos456022AD AC ∴=⋅=⨯= （米），2sin456022CD AC =⋅=⨯= （米），在Rt CDM △中，26tan3033CD DM == （米），302306116AM AD DM ∴=+=+≈（米），AM ∴的长约为116米；【小问2详解】该货船能行驶到码头所在的线段AB 上，理由：过点M 作MF AB ⊥，垂足为F ，设货船从M 出发，沿着南偏东30 方向行驶，交线段AB 所在的直线于点G ，由题意得：30FMG ∠= ，在Rt AMF 中，(26AM =米，45MAF ∠= ，((cos45302AF AM ∴=⋅=⨯=+ 米，((2sin45302FM AM =⋅=⨯=+ 米，在Rt MGF 中，(()3tan3030303FG MF =⋅=+⨯=+ 米，303060129.2(AG AF FG ∴=+=+=+米)，132AB = 米，132∴米>129.2米，∴该货船能行驶到码头所在的线段AB 上.24.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x b =+经过点()1,0A -，与y 轴正半轴交于B 点，与反比例函数(0)k y x x =>交于点C ，且3,//AC AB BD x =轴交反比例函数(0)k y x x=>于点D .（1）求b k ､的值；（2）如图1，若点E 为线段BC 上一点，设E 的横坐标为m ，过点E 作//EF BD ，交反比例函数(0)k y x x =>于点F .若13EF BD =，求m 的值.（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD 并延长，交x 轴于点G ，连接OD ，在直线OD 上方是否存在点H ，使得ODH 与ODG 相似（不含全等）？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3b =，18k =（2）1（3）存在，()3,4或()1,3或927,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1515,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，理由如下【解析】【分析】（1）作CM x ⊥轴于M ，证明BOA CMA ，再根据直线3y x b =+经过点A ，即可求得b ，进而可求得B 点的坐标，即可求出C 点的坐标，进而可求得k ；（2）根据BD //x 轴可求出D 点的坐标，再根据EF //BD 可求得F 点的坐标，再根据13EF BD =即可得解；（3）过点D 作DQ x ⊥轴于点Q ，先求出,OD DG ，再分HOD DOG ∠=∠，HOD DGO ∠=∠和HOD ODG ∠=∠三种情况讨论即可得解.【小问1详解】作CM x ⊥轴于M ，如图1：,BOA CMA BAO CAM ∠∠∠∠== ，BOA CMA ∴ ，直线3y x b =+经过点()1,0A -，30b ∴-+=，解得3b =，∴直线解析式为：33y x =+，()0,3B ∴，3AC AB = ，39,33CM BO AM OA ∴====，C ∴点坐标为()2,9，∴将C 点坐标代入k y x=，得18k =；【小问2详解】BD Q //x 轴，D ∴点的纵坐标为3，代入18y x=，得6x =，D ∴点坐标为()6,3，将E 点横坐标代入33y x =+，得33y m =+，EF //BD ，F ∴点纵坐标为33m +，代入18y x =，得61x m =+，F ∴点坐标为6,331m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，13EF BD = ，61613m m ∴-=⨯+，解方程得1m =或4-（舍），1m ∴=；【小问3详解】存在，理由如下：如图2，过点D 作DQ x ⊥轴于点Q ，由（2）知()()3,6,6,3D F ，∴直线FD 的解析式为：9,6,3y x OQ DQ =-+==，9OG ∴=，:3DQ GQ ∴=，45QGD QDG ∠∠∴== ，OD DG ∴==，当HOD DOG ∠=∠时，如图2所示，设BD 与OH 交于点P ，由（2）知，BD //x 轴，BDO DOG ∴∠=∠，BDO HOD ∴∠=∠，OP PD ∴=，设OP m =，则6BP m =-，在Rt OBP △中，由勾股定理可得，2223(6)m m +=-，解得154m =，94BP ∴=，9,34P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，∴直线OP 的解析式为：43y x =；①若ODG ODH ，则::1OD OD OG OH ==，不符合题意，舍去；②若ODG OHD ，::OD OH OG OD ∴=，即9OH =，解得5OH =，设()3,4H t t ，222(3)(4)5t t ∴+=，解得1t =，负值舍去，()3,4H ∴；当HOD DGO ∠=∠时，①若ODG DHO ，如图4，,::DOG ODH DG OH OG DO ∠∠∴==，DH ∴//OG，即点H 在BD 上，:9OH =，OH ∴=，1BH ∴=，()1,3H ∴，直线OH 的解析式为：3y x =；②若ODG HDO ~ ，::DG OD OG OH ∴=，即9:OH =，解得OH =设(),3H t t ，222910(3)2t t ⎛∴+= ⎝⎭，解得92t =，负值舍去，927,22H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；当HOD ODG ∠=∠时，OH //EG ，∴直线OH 的解析式为：y x =-；①若ODG DOH ，则::1OD OD OG DH ==，不符合题意，舍去；②若ODG HOD ，如图5，::OD OH DG OD ∴=，即OH =，解得2OH =，设(),H t t -，222152()2t t ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得152t =-，正值舍去，1515,22H ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；综上，符合题意的点H 的坐标为：()3,4或()1,3或927,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1515,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角形相似的判定和性质是解决本题的关键.25.在O 中»»AB AC =，顺次连接A B C ､､.（1）如图1，若点M 是 AC 的中点，且//MN AC 交BC 延长线于点N ，求证：MN 为O 的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC ，过点A 作AP BM ⊥于点P ，若,,BP a MP b CM c ===，则a b c ､､有何数量关系？（3）如图3，当60BAC ∠= 时，E 是BC 延长线上一点，D 是线段AB 上一点，且BD CE =，若5,BE AEF = 的周长为9，请求出AEF S 的值？【答案】（1）证明见解析（2）a b c=+（3）15316【解析】【分析】（1）利用切线定义，证明OM MN ⊥即可；（2）连接OM 交AC 于K ，通过勾股定理和ABP MCK 对应边成比例，得a b c ､､的数量关系；（3）构造平行四边形，求利用三角形全等和平行线的性质求相应的边长，由AEF ADE ADF S S S =- 计算面积.【小问1详解】如图1，连接OM ，M 是 AC 的中点，OM AC ∴⊥，//MN AC ，OM MN ∴⊥，OM Q 为O 的半径，MN ∴为O 的切线；【小问2详解】如图2，连接OM 交AC 于K ，连结AM ，M 是 AC 的中点， AM CM∴=，AM CM c ∴==，AP BM ⊥ ，90APM APB ∠∠∴== ，22222AP AM PM c b ∴=-=-，222222AB AP BP c b a ∴=+=-+，AC AB ∴==，M 是 AC 的中点，OM AC ∴⊥，12AK CK AC ∴===90,APB CKM ABP MCK ∠∠∠∠=== ，ABP MCK ∴ ，BP CK AB CM ∴=，BP CM CK AB ∴⋅=⋅，ac ∴=，2222ac c b a ∴=-+，22()0a c b ∴--=，()()0a b c a b c ∴+---=，0a b c +-> ，0a b c ∴--=，a b c ∴=+；【小问3详解】过点B 作//BH AC ，过点D 作//DH BC ，BH 与DH 交于点H ，连接CH ，当60BAC ∠= 时，BAC 为等边三角形，则60,60BDH ABC DBH BAC ∠∠∠∠==== ，BDH ∴ 是等边三角形，,60BH BD DHB ∠∴== ，BH CE ∴=，6060120CBH ABC DBH ∠∠∠=+=+= ，180120,ACE ACB CBH AC BC ∠∠∠=-=== ，()ACE CBH SAS ∴≅ ，,CAE BCH AE CH ∠∠∴==，//DH BC Q ，DH CE =，∴四边形CEDH 是平行四边形，//D CH E ∴，CH ED =，BCH BED ∠∠∴=，CH AE =，AE ED ∴=，,BED CAE ∠∠=过点E 作ET AB ⊥于点T ，交AC 于点L ，连接DL ，则12AT TD AD ==，AL DL =，60BAC ∠= ，ADL ∴ 是等边三角形，60ALD ACB ∠∠∴== ，//DL BC ∴，即HD 与DL 在同一直线上，∴四边形BCLH 是平行四边形，CL BH BD CE ∴===，LH BC =，设CE x =，则52,5,52,2x CL x BC AC x AD DL AL AC CL x AT -===-===-=-=，//DF CH ，LF LD CL LH ∴=，即525LF x x x -=-，()525x x LF x-∴=-，()()525525255x xx AF AL LF x x x --∴=+=-+=--，在Rt BET 中，53sin602ET BE =⋅= ，222AE AT ET =+ ，22225252522x AE x x ⎛-⎛⎫∴=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，延长,BH ED 交于点R ，则,,RHD FCE R CFE DH CE ∠∠∠∠===，()HDR CEF AAS ∴≅ ，DR EF ∴=，()552209955x x ER ED DR AE EF AF x x-+∴=+=+=-=-=--，//CH ED ，CH BC ER BE ∴=，52020555BC x x x CH ER BE x -++∴=⋅=⨯=-，205x AE +∴=，22205255x x x +⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，解得：15=x （舍去），2158x =，()5521552552,1021584558x AD AF x -∴=-⨯===-=--，作DM AL ⊥于点M ，则5353sin60428DM AD =⋅=⨯= ，1115531531532222422816AEF ADE ADF S S S AD ET AF DM ∴=-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯= .26.甲､乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是__________元；当每个公司租出的汽车为__________辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元(0)a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围.【答案】（1）48000；37（2）33150（3）50150a <<【解析】【分析】（1）直接根据条件列式计算即可；（2）分甲公司的利润大于乙公司和乙公司的利润大于甲公司两种情况分别计算，算出最大利润差；（3）根据利润差最大，利用二次函数的性质列不等式求解.【小问1详解】()5010503000102001048000⎦-⨯+⨯-⎡⎤⎣⨯=元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x 辆，由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，解得：37x =或=1x -（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；【小问2详解】设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，则y 甲()50503000200,x x x ⎡⎤=-⨯+-⎣⎦35001850y x =-乙，当甲公司的利润大于乙公司时，037,x <<()()5050300020035001850y y y x x x x ⎡⎤=-=-⨯+---⎣⎦甲乙25018001850x x =-++，当180018502x =-=-⨯时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，3750,x <≤()3500185050503000200y y y x x x x⎡⎤=-=---⨯++⎣⎦乙甲25018001850x x =--，对称轴为直线180018502x -=-=⨯，当50x =时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；【小问3详解】捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为()2250180018505018001850y x x ax x a x =-++-=-+-+，对称轴为直线1800100a x -=，x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，180016.517.5100a -∴<<，解得：50150a <<.27.在ABC 中，90,CAB AC AB ∠== .若点D 为AC 上一点，连接BD ，将BD 绕点B 顺时针旋转90 得到BE ，连接CE ，交AB 于点F .（1）如图1，若75,4ABE BD ∠== ，求AC 的长；（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H .若30ABD ∠= ，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若4,AB D =为AC 的中点，将ABD △绕点B 旋转得A BD '' ，连接A C A D ''､，当22A D A C ''+最小时，求A BC S '△.【答案】（1（2）34HG CD =，证明见解析（3）4-【解析】【分析】（1）过D 作DG BC ⊥，垂足是G ，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；（2）延长CA ，过E 作EN 垂直于CA 的延长线，垂足是N ，连接,BN ED ，过G 作GM AB ⊥于M ，构造全等三角形，设AC a =，利用中位线定理，解直角三角形，用a 的代数式表示CD 和HG ，即可得CD 和HG 的数量关系；（3）取BC 的中点N ，连接A N '，连接DN ，构造相似三角形，利用两点之间线段最短，确定A '的位置，继而求得相关三角形的面积．【小问1详解】过D 作DG BC ⊥，垂足是G ，如图1：将BD 绕点B 顺时针旋转90 得到BE ，90EBD ∠∴= ，75ABE ∠= ，15ABD ∠∴= ，45ABC ∠= ，30DBC ∴∠= ，∴在直角BDG 中有12,332DG BD BG DG ====，45ACB ∠= ，∴在直角DCG △中，2CG DG ==，23BC BG CG ∴=+=+226;2AC BC ∴==【小问2详解】线段DC 与线段HG 的数量关系为：34HG CD =，证明：延长CA ，过E 作EN 垂直于CA 的延长线，垂足是N ，连接,BN ED ，过G 作GM AB ⊥于M ，如图：90END ∠∴= ，由旋转可知90EBD ∠= ，45EDB ∴∠=90END EBD ∠∠∴== ，,,,E B D N ∴四点共圆，45,180BNE EDB NEB BDN ∠∠∠∠∴==+=180,45BDC BDN BCD ∠∠∠+== ，BEN BDC ∠∠∴=，45BNE BCD ∠∠∴== ，在BEN 和BDC 中，BNE BCD BEN BDC BE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEN BDC AAS ∴≅ ，BN BC ∴=，90BAC ∠= ，在等腰BNC 中，由三线合一可知BA 是CN 的中线，90BAC END ∠∠== ，EN ∴//AB ，A 是CN 的中点，F ∴是EC 的中点，G 是BC 的中点，FG ∴是BEC 的中位线，FG ∴//1,2BE FG BE =，BE BD ⊥ ，FG BD ∴⊥，30ABD ∠= ，60BFG ∠∴= ，45ABC ∠= ，75BGF ∠∴= ，设AC a =，则AB a =，在Rt ABD △中，,33AD a BD BE ===，12FG BE ∴=，3FG a ∴=，GM AB ⊥ ，BGM ∴是等腰三角形，221211222222MG MB BG BC a ∴====⨯⨯=，在Rt MFG 中，60MFG ∠=，MG =，36MF a ∴=，336BF BM MF ∴=+=，在Rt BFH △中，60BFG ∠=，13212FH BF a +∴==，)3113124HG FG FH a a a +∴=-=-=-，又)33133CD a a a =-=- ，CD HG ∴=，4HG CD ∴=.【小问3详解】设AB a =，则BC =，取BC 的中点N ，连接,,A D A C A N '''，连接DN ，如图3，由旋转可知A B AB a '==，22A B BC BN A B a===''=，A B BC BN A B∴'=='，又A BN CBA ∠∠''=，A BN CBA ∴'' ∽，22A N A B A C BC ''=='∴，22A N A C =''∴，根据旋转和两点之间线段最短可知，22A D A C ''+最小，即是A D A N '+'最小，此时D A N '､､共线，即A '在线段DN 上，设此时A '落在A ''处，过A ''作A F AB ''⊥于F ，连接AA ''，如图4，,D N 分别是,AC BC 的中点，DN ∴是ABC 的中位线，DN ∴//AB ，AB AC ⊥ ，DN AC ∴⊥，90A A FA A DA ∠∠∠=='''=' ，∴四边形A FAD ''是矩形，,2AF A D A F AD '''='∴==， 又4A B AB ='='，设AF x =，在直角三角形A FB ''中，222A B A F BF ''=+''，22242(4)x ∴=+-，解得4x =-∴此时111222A BC ABC AA B A AC S S S S AB AC AB A F AC A D ''''''=--=⋅-'-''⋅'⋅(1114442444222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-=-.28.如图，抛物线222y x mx m =-+++与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，3OB OA =.（1）求抛物线的解析式；（2）设D 是第四象限内抛物线上的点，连接,:12:5COD AOD AD OD CD S S = ､､.①求点D 的坐标；②连接BD ，若点,P Q 是抛物线上不重合的两个动点，在直线(0)x a a =>上是否存在点,M N （点,,A P M 按顺时针方向排列，点,,A Q N 按顺时针排列），使得APM AQN ≅ 且APM ABD ∽？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）223y x x =-++（2）①()4,5-，②存在，214a =【解析】【分析】（1）将点带入抛物线方程，利用韦达定理求得m ，即可得到抛物线方程.（2）①利用三角形面积之比、点D 抛物线上并根据象限即可求得点D 坐标;②假设存在利用三角形全等、相似知识确定P Q 、的位关系，再根据相似比得到a 的值.【小问1详解】由题设A 坐标()0,0x -，则B 为()003,0,0x x ≠且00x >，则有()2002002209620x m x m x mx m ⎧-+⋅-++=⎨-+++=⎩，两式作差得200880x mx -=，则0m x =，又0032-⋅=-- x x m ，则解得1m =或23-（舍去），即1m =，所以抛物线解析式为223y x x =-++.【小问2详解】①如图1，设()00,D x y ，易知3CO =，1AO =，则001322COD S CO x x =⨯⋅= ，()001122AOD S AO y y =⨯⨯-=- ，又:12:5COD AOD S S = ，003122152x y ∴=-，则0054y x =-，又 点D 在抛物线上，200023y x x ∴=-++，解得04x =或034x =-（舍去)，则004,5x y ==-，即点D 的坐标为()4,5-.②由（1）得()3,0B ，如图2，APM AQN ≅ ，AM AN ∴=，又P Q ､不重合，则M N ､不重合，且MN 都在x a =上，M N ∴､关于x 轴对称，假设存在这样的P Q ､，APM ABD ∽，AQN ABD ∴ ∽，且相似比相同，APQ AMN ∴ ∽，且45NAQ DAB ∠∠== ，AMN ∴ 的中线与APQ △中线夹角也为45 ，而AMN 的中线在x 轴上，APQ ∴△的中线在1y x =+上，P Q ∴､关于1y x =+对称，从而PQ 与直线1y x =+垂直.设PQ 解析式为：,y x b PQ =-+中点为(),R m n ，联立223y x b y x x =-+⎧⎨=-++⎩，得2330x x b -+-=，123x x ∴+=，32m ∴=，将3,2R n ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入1y x =+得52n =，35,22R ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，AR ∴=设x a =与x 轴交于H ，则由APQ AMN ∽可得，AR AP AB AH AM AD ===，254AH ∴=，214a ∴=.【点睛】方法点睛：在求解解析式时，可以考虑代入曲线上的点，并根据数量关系求得系数，进而得到解析式；在解决解析几何问题时，要充分利用初中所学的三角形相关的全等、相似知识，对于直线和圆锥曲线交点的问题，可以联立方程结合韦达定理得到相关数值.。
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 42. 若\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)，求\( \theta \)的值。
A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{2} \)C. \( \frac{3\pi}{4} \)D. \( \pi \)3. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为______。
6. 已知\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。
7. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是\( a \)、\( b \)、\( c \)，求长方体的体积。
三、解答题（每题30分，共60分）9. 已知函数\( g(x) = \ln(x) + 2x - 6 \)，求\( g(x) \)的导数。
10. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本为\( C(x) = 50 + 20x \)，销售价格为\( P(x) = 120 - 0.5x \)，其中\( x \)表示生产数量。
求工厂的盈亏平衡点。
答案：一、选择题1. B. 1（因为\( f(x) = (x-2)^2 \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) \)取得最小值1）2. A. \( \frac{\pi}{4} \)（根据二倍角公式）3. A. 23（第10项为\( a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 23 \)）4. B. 50π（圆的面积公式为\( A = \pi r^2 \)）二、填空题5. -4（根据韦达定理）6. \( \frac{4}{5} \)（根据勾股定理）7. 162（第5项为\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)）8. \( abc \)（长方体体积公式）三、解答题9. \( g'(x) = \frac{1}{x} + 2 \)（对\( g(x) \)求导）10. 盈亏平衡点为\( x = 40 \)。
重点高中自主招生数学(含答案)
重点高中自主招生数学试题答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1、已知实数a 满足，则等于 （B ）|2|2a a -+=a （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）32、名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳人和人的两种帐篷，则有效搭建方案5032共有A ）（A ）8种 （B ）9种 （C ）种3、反比例函数与一次函数 1k y x -=y =B ）．是的平分线，∆70,=︒120,BPC ∠=︒BD ABP ∠CE( C )BFC =（ （D ） 95︒100︒5、如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部ABCD A 30︒AB C D '''分的面积为 （ A ）（A ）（B1（C ）（D ）112D C (A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)6、四条直线围成正方形。
现掷一个均匀且各面上6,6,6,6+=-=+-=--=x y x y x y x y ABCD 标有1、2、3、4、5、6的立方体，每个面朝上的机会是均等的。
连掷两次，以面朝上的数为点P 的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点落在正方形面上（含边界）P 的概率是（ D ）（A ） （B ） （C ）（D ）214397125二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）7、若，则的值为 0 .1,x =-43221x x x ++- 10、如图，双曲线与矩形OABC 的边CB ，BA 分别交于点E ，F 且AF ＝BF ，连2(0)y x x=>接EF ，则△OEF 的面积为 .2311、如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点 P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是_____14/3_______cm .12、对于正数x ，规定，例如。
重点高中自主招生考试数学试卷精选全文
可编辑修改精选全文完整版重点高中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．D．随C点移动而移动等分分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．故选B．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，故当x=1或5时，y 取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选D．5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c ＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m 时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），正确．③④⑤正确．故选B ． 8．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．解答： 解：如图，过P 点作正△ABC 的三边的平行线，则△MPN ，△OPQ ，△RSP 都是正三角形，四边形ASPM ，四边形NCOP ，四边形PQBR 是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，又知S △AFP +S △PCD +S △BPE =，故知S △ABC =3，S △ABC =AB 2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC 的高h=3，△ABC 的内切圆半径r=h=1．故选A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=．解答：解：∵与|3﹣a ﹣|互为相反数，∴+|3﹣a ﹣|=0，∴3﹣a ﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a ＞0，∴（+）2=5，∴+=．答案为：．10．（3分）若[x ]表示不超过x 的最大整数，，则[A ]=﹣2 ．分析： 先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x ]表示不超过x的最大整数得到，[A ]=﹣2． 解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A ]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点本题考查了取整计算：[x ]表示不超过x 的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．评：11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．分析：连接MN，设△MON的面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，易知MN是△ABC的中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON的面积是2s，进而可知△BMN的面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM的面积等于6s，同理可求△ABC的面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON的面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON的面积=2s，∴△BMN的面积=3s，∵N是BC的中点，∴△BCM的面积=6s，同理可知△ABC的面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题的关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：探究型．分析：先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出R的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′的度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．分析：首先列举出所有数据的和，进而利用已知求出a，b的值，再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2的倍数的个数为a=5，是3的倍数的个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据的中位数是：=5.5，故答案为：5.5．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．分析：首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴的交点是A（，0），与y轴的交点是B （0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴的交点是C（，0），与y轴的交点是D （0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC的面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识其最值问题．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形的性质，用含x的式子表示Rt△EGQ的三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．分析：易得扇形的弧长，除以2π也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可．解答：解：扇形的弧长=4πcm，∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=2cm，设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱的侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱的侧面积有最大值．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为关于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一个交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意的点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心的位置G，与CD相切时圆心的位置P，与CD相切时圆心的位置I，分别求得各段的路径的长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G的位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G的路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P的位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心的位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心的位置），移动的路径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动的距离是：6﹣1=5m，则圆心移动的距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．分析：（1）利用正方形的性质得到AD∥BC，DC∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再利用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF的垂心．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形的面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2的切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1的切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2的切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x 轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x ﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整理得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．。
自主招生数学试卷(含解析)
实验高中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处）1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（）A．1B．2C．3D．﹣22．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝03．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（）A．﹣＝4B．﹣＝4C．﹣＝4D．﹣＝45．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）A．B．C．D．6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（）A．6米B．6米C．5米D．12米7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB 于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π9．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A．5或6B．5或7C．4或5或6D．5或6或710．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣1，1）、B（0，﹣2）、C（1.0），点P（0，2）绕点A旋转180得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2018的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（0，4）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填到二卷答题纸的指定位置处）11．若实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则2a3﹣7a2+4a﹣2018＝12．学校“百变魔方”社团准备购买A、B两种魔方．已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同，则购买一套魔方（A、B两种魔方各1个）需元．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A、点C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，函数y ＝2x 的图象与CB 交于点D ，函数y ＝（k 为常数，k ≠0）的图象经过点D ，与AB 交于点E ，与函数y ＝2x 的图象在第三象限内交于点F ，连接AF 、EF ，则△AEF 的面积为 ．14．如图，已平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆于点F ，连接CF ，若半圆O 的半径为12，则阴影部分的周长为 ．15．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1＝+++…++…．图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将利△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n ﹣2C n ﹣1∁n 、…．假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 ．三、解答题（共7道题，合计65分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，并把答案写在二卷答题纸的指定位置处）16．（7分）先简化，再求值：（），其中x＝2，y＝．17．（8分）从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者．根据国家信息中心发布的《中国分享经济发展报告2017》显示，2016年我国共享经济市场交易额约为34520亿元，比上年增长103%；超6亿人参与共享经济活动，比上年增加约1亿人．如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图：（1）请根据统计图解答下列问题：①图中涉及的七个重点领域中，2016年交易额的中位数是亿元．②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从2015年到2016年交易额的增长率（精确到1%），并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和增长率两个方面，谈谈你的认识．（2）小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）18．（9分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？19．（9分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB＝90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．20．（10分）服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？21．（10分）（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．22．（12分）如图，抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO＝∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处）1．【分析】根据数轴上A点的位置得出a表示的数，利用绝对值的意义计算．【解答】解：根据数轴得：a＝﹣2，∴|a﹣1|＝|﹣2﹣1|＝|﹣3|＝3，故选：C．【点评】此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键．2．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n＝11时的芍药的数量．【解答】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，∴当n＝11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4＝4+（22﹣1）×4＝4+21×4＝4+84＝88，故选：B．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律．4．【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，根据题意得：﹣＝4．故选：D．【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．5．【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：因为该做水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．故选：D．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．6．【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝6m，∴AC＝＝5（m）；在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴AD＝＝10（m）；在Rt△DEA中，∠EAD＝60°，DE＝AD•sin60°＝5，答：树DE的高为5米．故选：C．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．7．【分析】A、将人数进行相加，即可得出结论A正确；B、由种植4棵的人数最多，可得出结论B 正确；C、由4+10＝14，可得出每人植树量数列中第15、16个数为5，即结论C正确；D、利用加权平均数的计算公式，即可求出每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D错误．此题得解．【解答】解：A、∵4+10+8+6+2＝30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；C、∵共有30个数，第15、16个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．故选：D．【点评】本题考查了条形统计图、中位数、众数以及加权平均数，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．8．【分析】用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：∵矩形ABCD，∴AD＝CB＝2，∴S阴影＝S矩形﹣S半圆＝2×4﹣π×22＝8﹣2π，故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键，难度不大．9．【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个小立方体．10．【分析】画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．【解答】解：如图所示，P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2），P5（2，﹣2），P6（0，2），发现6次一个循环，∵2018÷6＝336…2，∴点P2018的坐标与P2的坐标相同，即P2018（2，﹣4），故选：A．【点评】本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填到二卷答题纸的指定位置处）11．【分析】由题意可得a2＝2a+1，代入代数式可求值．【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0∴a2＝2a+1∴2a3﹣7a2+4a﹣2018＝2a（2a+1）﹣7（2a+1）+4a﹣2018＝4a2+2a﹣14a﹣7+4a﹣2018＝4（2a+1）﹣8a﹣2025＝﹣2021故答案为：﹣2021【点评】本题考查了代数式求值，个体代入是本题的关键．12．【分析】设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据题意得：，解得：．答：购买一套魔方（A、B两种魔方各1个）需35元．故答案为：35．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组．13．【分析】根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点D的坐标为（1，2），根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到E、F两点的坐标，过点F作FG⊥AB，与AB的延长线交于点G，根据两点间的距离公式可求AE＝1，FG＝3，再根据三角形面积公式可求△AEF的面积．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y＝2，将y＝2代入y＝2x，得x＝1，∴点D的坐标为（1，2），∵函数y＝的图象经过点D，∴2＝，解得k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝，∴E（2，1），F（﹣1，﹣2）；过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G，∵E（2，1），F（﹣1，﹣2），∴AE＝1，FG＝2﹣（﹣1）＝3，∴△AEF的面积为：AE•FG＝×1×3＝，故答案为．【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及正方形的性质，解题的关键是求得D、E、F点的坐标．14．【分析】根据菱形的判定定理得到四边形OABC为菱形，得到∴△COF为等边三角形，求出∠OCF＝60°，根据弧长公式求出的长，根据直角三角形的性质求出EF、CE，得到答案．【解答】解：∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC，∴四边形OABC为菱形，∴BA＝BC，∴∠CFA＝∠COA，∵BC∥AF，∴∠A＝∠CFA，∴∠A＝∠COA，又∠A+∠COA＝180°，∴∠A＝60°，∴∠COF＝60°，∴△COF为等边三角形，∴∠OCF＝60°，∴的长＝＝4π，∵CD⊥AB，∠BDC＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ECO＝90°，又∠COE＝60°，∴∠E＝30°，∴OE＝2OC＝24，∴EF＝12，EC＝＝12，∴阴影部分的周长＝12+12+4π，故答案为：12+12+4π．【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l＝是解题的关键．15．【分析】先根据AC＝2，∠B＝30°，CC1⊥AB，求得S＝；进而得到＝△ACC1×，＝×（）2，＝×（）3，根据规律可知＝×（）n﹣1，再根据S＝AC×BC＝×2×2＝2，即可得到等式．△ABC【解答】解：如图2，∵AC＝2，∠B＝30°，CC1⊥AB，∴Rt△ACC1中，∠ACC1＝30°，且BC＝2，∴AC1＝AC＝1，CC1＝AC1＝，＝•AC1•CC1＝×1×＝；∴S△ACC1∵C1C2⊥BC，∴∠CC1C2＝∠ACC1＝30°，∴CC2＝CC1＝，C1C2＝CC2＝，∴＝•CC2•C1C2＝××＝×，同理可得，＝×（）2，＝×（）3，…∴＝×（）n﹣1，又∵S＝AC×BC＝×2×2＝2，△ABC∴2＝+×+×（）2+×（）3+…+×（）n﹣1+…∴2＝．故答案为：2＝．【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、解答题（共7道题，合计65分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，并把答案写在二卷答题纸的指定位置处）16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝（﹣）•＝[﹣]•＝•＝﹣，当x＝2，y＝时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【点评】本题主要考查分式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17．【分析】（1）根据图表将2016年七个重点领域的交易额从小到大罗列出来，根据中位数的定义即可得；（2）将（2016年的资金﹣2015年的资金）÷2015年的资金可分别求得两领域的增长率，结合增长率提出合理的认识即可；（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）由图可知，2016年七个重点领域的交易额分别为70、245、610、2038、3300、7233、20863，2016年交易额的中位数是2038亿元，故答案为：2038；（2）“知识技能”的增长率为：×100%＝205%，“资金”的增长率为：≈109%，由此可知，“知识技能”领域交易额较小，其增长率最高，达到200%以上，其发展速度惊人．（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，所以抽到“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．【点评】本题主要考查条形统计图、折线统计图和列表法与树状图法求概率，根据条形图得出解题所需数据及画树状图列出所有等可能结果是解题的关键．18．【分析】（1）根据题意，由售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个，可得销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）根据题意结合每周获得的利润W＝销量×每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案；（3）根据题意，由利润不低于5200元列出不等式，进一步得到销售量的取值范围，从而求出答案．【解答】解：（1）依题意有：y＝10x+160；（2）依题意有：W＝（80﹣50﹣x）（10x+160）＝﹣10（x﹣7）2+5290，因为x为偶数，所以当销售单价定为80﹣6＝74元或80﹣8＝72时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50＝10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识，正确利用销量×每个的利润＝W得出函数关系式是解题关键．19．【分析】（1）结论：AC＝AD+AB，只要证明AD＝AC，AB＝AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；（3）结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；【解答】解：（1）AC＝AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B＝180°，∠B＝90°，∴∠D＝90°，∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∵∠B＝90°，∴，同理．∴AC＝AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∵∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，∴∠DCB＝60°，∴∠DCA＝∠BCE，∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，∴∠D＝∠CBE，∵CA＝CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD＝BE，∴AC＝AD+AB．（3）结论：．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B＝180°，∠DAB＝90°，∴DCB＝90°，∵∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝45°，∴∠E＝45°．∴AC＝CE．又∵∠D+∠ABC＝180°，∠D＝∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD＝BE，∴AD+AB＝AE．在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，∴，∴．【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100﹣x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出不等式解答即可；（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．【解答】解：（1）设购进甲种服装x件，由题意可知：80x+60（100﹣x）≤7500 解得：x≤75答：甲种服装最多购进75件．（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75，W＝（40﹣a）x+30（100﹣x）＝（10﹣a）x+3000方案1：当0＜a＜10时，10﹣a＞0，w随x的增大而增大，所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：10＜a＜20时，10﹣a＜0，w随x的增大而减小，所以当x＝65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确利用x 表示出利润是关键．21．【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，证出∠NBC＝∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，证出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出结论．【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为：2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE+∠FCD＝70°，∴∠ECN＝70°＝∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN＝EF，∵BE+BN＝EN，∴BE+DF＝EF．【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．22．【分析】（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；（2）如何证明∠AEO＝∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF＝90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD＝90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2＝EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．利用二次函数性质求出EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．【解答】方法一：（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y＝0，得（x﹣3）2﹣1＝0，解得：x1＝3+，x2＝3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD＝3．令x＝0，得y＝，∴C（0，）．∴CG＝OC+OG＝+1＝，∴tan∠DCG＝．设对称轴交x轴于点M，则OM＝3，DM＝1，AM＝3﹣（3﹣）＝．由OE⊥CD，易知∠EOM＝∠DCG．∴tan∠EOM＝tan∠DCG＝＝，解得EM＝2，∴DE＝EM+DM＝3．在Rt△AEM中，AM＝，EM＝2，由勾股定理得：AE＝；在Rt△ADM中，AM＝，DM＝1，由勾股定理得：AD＝．∵AE2+AD2＝6+3＝9＝DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD＝90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH＝90°，∠ADC+∠AFD＝90°，∠EFH＝∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO＝∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2＝EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2．∵y＝（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2＝2y+2．∴EP2＝2y+2+（y﹣2）2＝（y﹣1）2+5当y＝1时，EP2有最小值，最小值为5．将y＝1代入y＝（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1＝1，解得：x1＝1，x2＝5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1＝1舍去．∴P（5，1）．∵△EQ2P为直角三角形，∴过点Q2作x轴的平行线，再分别过点E，P向其作垂线，垂足分别为M点和N点．由切割线定理得到Q2P＝Q1P＝2，EQ2＝1设点Q2的坐标为（m，n）则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2＝1①，（5﹣m）2+（n ﹣1）2＝4②①﹣②得n＝2m﹣5③将③代入到①得到m1＝3（舍，为Q1）m2＝再将m＝代入③得n＝，∴Q2（，）此时点Q坐标为（3，1）或（，）．方法二：（1）略．（2）∵C（0，），D（3，﹣1），∴KCD＝，∵OE⊥CD，∴K CD×K OE＝﹣1，∴K OE＝，∴l OE：y＝x，把x＝3代入，得y＝2，∴E（3，2），∵A（3﹣，0），D（3，﹣1），∴K EA＝＝，∵K AD＝，∴K EA×K AD＝﹣1，∴EA⊥AD，∠EHD＝∠EAD，∵∠EFH＝∠AFD，∴∠AEO＝∠ADC．（3）由⊙E的半径为1，得PQ2＝EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小，设点P坐标为（x，y），EP2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2，∵y＝（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2＝2y+2，∴EP2＝2y+2+（y﹣2）2＝（y﹣1）2+5，∴当y＝1时，EP2有最小值，将y＝1代入y＝（x﹣3）2﹣1得：x1＝1，x2＝5，又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1＝1舍去，∴P（5，1），显然Q1（3，1），∵Q1Q2被EP垂直平分，垂足为H，∴K Q1Q2×K EP＝﹣1，∴K EP＝＝﹣，K Q1Q2＝2，∵Q1（3，1），∴l Q1Q2：y＝2x﹣5，∵l EP：y＝﹣x+，∴x＝，y＝，∴H（，），∵H为Q1Q2的中点，∴H x＝，H Y＝，∴Q2（x）＝2×﹣3＝，Q2（Y）＝2×﹣1＝，∴Q2（，）．【点评】本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大．第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题，注意解答中求EP2最小值的具体方法．。
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一中自主招生考试数学试题一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2B．C．D．2．（4分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（）A．8分钟B．7分钟C．6分钟D．5分钟3．（4分）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（）A．B．﹣6C．D．64．（4分）（2008•青岛）如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b﹣3）B．（a﹣3，b﹣2）C．（a+3，b+2）D．（a+2，b+3）5．（4分）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：，则线段DE的长是（）A．B．7C．4+3D．3+46．（4分）如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1⇒A2⇒A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（）A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）7．（4分）若x+=3，则x2+=_________．8．（4分）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为_________cm2．9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________cm．10．（4分）对于正数x，规定f（x）=，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=_________．11．（4分）甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每﹣局的输方去当下﹣局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方一定是_________．12．（4分）（2002•广州）如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知S△AIJ=1，则正方形ABCD的面积为_________．三．解答题（共6小题，满分52分）13．（6分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．14．（8分）（2007•丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次．（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由．15．（8分）某中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？16．（10分）如图，⊙O的直径EF=cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=cm．E、F、A、B 四点共线．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点B与点F重合．（1）当t为何值时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切？（2）当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）．17．（10分）（2008•广东）（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．18．（10分）（2008•益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．答案与评分标准一．C ，C ，A ，C ，D ，D甲，256，二．7，40，3，，三．解：（1）集合{1，2}不是好的集合，这是因为8﹣1=7，而7不是{1，2}中的数，所以{1，2}不是好的集合，{1，4，7}是好的集合，这是因为8﹣1=7，7是{1，4，7}中的数，8﹣4=4，4也是{1，4，7}中的数，8﹣7=1，1又是{1，4，7}中的数．所以{1，4，7}是好的集合；（2）答案不唯一．集合{4}、{3，4，5}、{2，6}、{1，2，4，6，7}、{0，8}等都是好的集合．解：（1）踺子踢到小华处的概率是．树状图如下：列表法如下：小丽小王小华小王（小丽，小王）（小王，小华）小华（小华，小丽）（小华，小王）（2）小王．树状图如下：理由：若从小王开始踢，三次踢踺后，踺子踢到小王处的概率是，踢到其它两人处的概率都是，因此，踺子踢到小王处的可能性是最小．解：（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则答：原计划拆建各4500平方米．（2）计划资金y1=4500×80+4500×800=3960000元实用资金y2=1.1×4500×80+0.9×4500×800=4950×80+4050×800=396000+3240000=3636000∴节余资金：3960000﹣3636000=324000∴可建绿化面积=平方米答：可绿化面积1620平方米．解：（1）∵∠BAC=30°，AB=，∴BC=又∵⊙O的直径EF=，即半径为，∠ACB=90°，∴当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切．（如图1所示）（1分）此时运动距离为FO=，∴t=s．（2分）当BC边与⊙O相切时（如图2所示），设切点为G．连接OG，则OG⊥BC．（3分）由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG=，∴BO=2．（4分）又FO=，∴BF=．（此步亦可利用相似求解，请参照给分）∴此时s．（5分）由上所述，当秒时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切．（6分）（2）由图1，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF．（7分）由已知，∠COF=60°，∴．（8分）由图2，设AC与⊙O交于点M，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM．（9分）过点M作MN⊥OG于N，则MN=GC．由（1）可知BG=1则MN=GC=．（10分）∴，∴∠MON=25°，即∠MOE=55°．（11分）∴．（12分）又∵OM=，∴点M到AB的距离h=OM•sin∠MOE≈1.419，（13分）∴S△AOM =•OA•h≈1.229cm2此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为S扇形OMEF+S△AOM≈2.67cm2．（14分）解：（1）如图3，∵△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∴∠4=∠5．又∵∠4+∠5=∠2=60°，∴∠4=30°．同理∠6=30°．∵∠AEB=∠4+∠6，∴∠AEB=60°．（2）如图4，∵△DOC和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．又∵OD=OA，∴OD=OB，OA=OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7．∵∠DOB=∠1+∠3，∠AOC=∠2+∠3，∴∠DOB=∠AOC．∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，∴2∠5=2∠6，∴∠5=∠6．又∵∠AEB=∠8﹣∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2，∴∠AEB=60°．解：（1）根据题意可得：A（﹣1，0），B（3，0）；则设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），又∵点D（0，﹣3）在抛物线上，∴a（0+1）（0﹣3）=﹣3，解之得：a=1∴y=x2﹣2x﹣3（3分）自变量范围：﹣1≤x≤3（4分）（2）设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连接CM，在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°，OC=在Rt△MCE中，∵MC=2，∠CMO=60°，∴ME=4∴点C、E的坐标分别为（0，），（﹣3，0）（6分）∴切线CE 的解析式为（8分）（3）设过点D（0，﹣3），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx ﹣3（k≠0）（9分）由题意可知方程组只有一组解即kx﹣3=x2﹣2x﹣3有两个相等实根，∴k=﹣2（11分）∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣2x﹣3．（12分）。