合肥一中自主招生数学试卷(含答案[1]
2009年安徽省合肥市一中高一自主招生考试数学试卷
2009年安徽省合肥市一中高一自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的）1．（8分）由完全一样的小正方体堆成一件物体，其正视图、俯视图如图所示，则这件物体最多用小正方体的个数为（）A．10个B．11个C．12个D．14个2．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）A．2 B．2+C．4 D．4+23．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．πD．4．（8分）以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（）A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：75．（8分）如图，点A是5×5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（）A．10个B．12个C．14个D．16个二、填空题（本大题共5小题，每小题9分，共45分）6．（9分）如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为．7．（9分）如图，点A、C在反比例函数的图象上，B、D在x轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，求点C的坐标？8．（9分）如图所示的方格纸中，有△ABC和半径为2的⊙P，点A、B、C、P均在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．每个小方格都是边长为1的正方形，将△ABC沿水平方向向左平移单位时，⊙P与直线AC相切．9．（9分）如图，在直线l上摆放着三个等边三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积一依次是S1，S2，S3，若S1+S3=10，则S2=．10．（9分）将正整数按以下规律排列，则2008所在的位置是第行第列第一列第二列第三列第四列…第一行 1 2 9 10 …第二行 4 3 8 11 …第三行 5 6 7 12 …第四行16 15 14 13 …第五行17 ……三、解答题（本大题共3小题，共65分）11．（20分）一个长40cm，宽25cm，高50cm的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为acm（a＞0）的水．现把一个棱长为10cm的正方体铁板（铁块的底面落在容器的底面上）放入容器内，请求出放入铁块后的水深．12．（20分）如图，平面直角坐标系中的方格阵表示一个纵横交错的街道模型的一部分，以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，x轴，y轴的正方向分别表示正东、正北方向，出租车只能沿街道（网格线）行驶，且从一个路口（格点）到另一个路口，必须选择最短路线，称最短路线的长度为两个街区之间的“出租车距离”．设图中每个小正方形方格的边长为1个单位．可以发现：从原点O到（2，﹣1）的“出租车距离”为3，最短路线有3条；从原点O到（2，2）的“出租车距离”为4，最短路线有6条．（1）①从原点O到（6，1）的“出租车距离”为．最短路线有条；②与原点O的“出租车距离”等于30的路口共有个．（2）①解释应用：从原点O到坐标（n，2）（n为大于2的整数）的路口A，有多少条最短路线？（请给出适当的说理或过程）②解决问题：从坐标为（1，﹣2）的路口到坐标为（3，36）的路口，最短路线有条．13．（25分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y 轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB 与△PMN重叠部分的面积为S．（1）求点P的坐标．（2）若点P关于x轴的对称点为P′，试求经过M、N、P′三点的抛物线的解析式．（3）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．（4）若在直线上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b 的取值范围．2009年安徽省合肥市一中高一自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的）1．（8分）（2008•眉山）由完全一样的小正方体堆成一件物体，其正视图、俯视图如图所示，则这件物体最多用小正方体的个数为（）A．10个B．11个C．12个D．14个【分析】根据题意，利用三视图的知识可得该几何体的底面最多有5个小正方体，第二层最多有4个小正方体，第三层最多有2个小正方体．【解答】解：综合正视图和俯视图，这个物体的底面最多用小正方体3+2=5个，第二层最多用小正方体4个，第三层最多用小正方体2个，因此这件物体最多用小正方体5+4+2=11个，故选B．【点评】根据本题中是求最多的方案，那么我们就可以知道左视图的样子了，根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”，就能求出这种条件下要几个小正方体了．2．（8分）（2008•黄石）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）A．2 B．2+C．4 D．4+2【分析】本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．【解答】解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC，∴，∴PM′=PN，即：当PM+PN最小时P在AC的中点，∴MN=AC∴PM=PN=1，MN=∴AC=2，AB=BC=2PM=2PN=2∴△ABC的周长为：2+2+2=4+2 ．故选D．【点评】本题考查等腰三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用．正确确定P点的位置是解题的关键．3．（8分）（2008•鄂州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．πD．【分析】整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为以点B为圆心，OB，BH为半径的两个扇形组成的一个环形．【解答】解：连接BH，BH1，∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，∴△OBH≌△O1BH1，利用勾股定理可求得BH==，所以利用扇形面积公式可得==π．故选C．【点评】本题的关键是求出半径BH的长，然后利用扇形面积公式就可求．4．（8分）（2008•杭州）以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（）A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：7【分析】设EF=x，DF=y，在△ADE中根据勾股定理可得列方程，从而得到三角形ADE的周长和直角梯形EBCD周长，从而可求得两者周长之比．【解答】解：根据切线长定理得，BE=EF，DF=DC=AD=AB=BC．设EF=x，DF=y，则在直角△AED中，AE=y﹣x，AD=CD=y，DE=x+y．根据勾股定理可得：（y﹣x）2+y2=（x+y）2，∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，∴两者周长之比为12x：14x=6：7．故选D．【点评】此题考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出EB=EF，DF=DC，从而求解．5．（8分）（2007•湖州）如图，点A是5×5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（）A．10个B．12个C．14个D．16个【分析】本题的关键是分析清楚面积等于，那么直角边就应该是．然后以此为半径画圆．【解答】解：面积等于的格点，而且是等腰直角三角形，所以就要求直角边为，正好是一个一格和二格的矩形的对角线，所以以点A为圆心，为半径画圆，与格点的交点就是三角形的另一点，（1）当A位于直角顶点时，存在8种情况，（2）当A位于斜边的顶点时，同样存在8种情况，所以一共16个．【点评】利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．二、填空题（本大题共5小题，每小题9分，共45分）6．（9分）（2016•黄冈校级自主招生）如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为．【分析】首先分析出所有满足条件的涂法，然后找出恰好A涂蓝色的涂法，它们的比值即为所求的概率．【解答】解：要使有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色，则当A涂红时，可有A红、B蓝、C黄、D红；A红、B蓝、C黄、D蓝；A红、B黄、C蓝、D红；A红、B黄、C蓝、D黄共4种情况，；当A涂蓝时，同理也有4种情况；当A涂黄时也有4种情况．∴恰好A涂蓝色的概率为=．故答案为．【点评】本题考查的是几何概率，关键是不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．（9分）（2011•合肥校级自主招生）如图，点A、C在反比例函数的图象上，B、D在x轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，求点C的坐标？【分析】根据正三角形的性质得出OE=EB=1，设BF=m，进而表示出C点的坐标，代入解析式即可得出m的值，进而得出C点的坐标．【解答】解：作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，∵△OAB，△BCD均为正三角形，A在反比例函数y=，设A的横坐标是﹣1，则A的纵坐标是﹣，∴OE=1，OA=2OE=2，AE=，∴易求OE=EB=1，设BF=m，则，代入得：m2+2m﹣1=0，解得：m=﹣1±，∵m＞0，∴m=﹣1+，∴点C的坐标为：．【点评】此题主要考查了反比例函数的综合题运用正三角形的性质以及点的坐标特点，同学们应注重灵活应用综合处理函数问题这是中考中重点题型．8．（9分）（2009•庐阳区校级自主招生）如图所示的方格纸中，有△ABC和半径为2的⊙P，点A、B、C、P均在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．每个小方格都是边长为1的正方形，将△ABC沿水平方向向左平移5﹣或5+单位时，⊙P与直线AC相切．【分析】平移后利用切线的性质作PD⊥A′C′于点D求得PD，再求得PA′的长，进而得出PA﹣PA′和AA″的长，即可求得平移的距离．【解答】解：∵A′C′与⊙P相切，作PD⊥A′C′于点D，∵半径为2，∴PD=2，∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB=5，AC=2，∴cosA==，∴PA′=PD÷cosA=2÷=，∴AA′=5﹣，AA″=5+，故答案为5﹣或5+．【点评】本题考查了切线的性质及勾股定理的相关知识，考查的知识点比较多，题目难度不太大．9．（9分）（2009•庐阳区校级自主招生）如图，在直线l上摆放着三个等边三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积一依次是S1，S2，S3，若S1+S3=10，则S2=4．【分析】根据题意，可以证明S2与S1两个平行四边形的高相等，长是S1的2倍，S3与S2的长相等，高是S3的一半，这样就可以把S1和S3用S2来表示，从而计算出S的值．【解答】解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，∴AB∥HF∥DC∥GN，设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，∵F、G分别是BC、CE的中点，∴MF=AC=BC，PF=AB=BC，又∵BC=CE=CG=GE，∴CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB，∴S1=S2，S3=2S2，∵S1+S3=10，∴S2+2S2=10∴S2=4．故答案为4．【点评】此题主要考查了面积及等积变换、等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．10．（9分）（2009•庐阳区校级自主招生）将正整数按以下规律排列，则2008所在的位置是第18行第45列第一列第二列第三列第四列…第一行 1 2 9 10 …第二行 4 3 8 11 …第三行 5 6 7 12 …第四行16 15 14 13 …第五行17 ……【分析】通过观察图中数字的排列，可知偶数行的第一列为4、16…相邻偶数的平方，而且后面的数则依次加1，第n列就加（n﹣1）个1，再拐弯加1；奇数列的第一行数为1、9…相邻奇数的平方，而且向下依次减1，第n行就减（n﹣1）个1，再拐弯减1．【解答】解：∵2008=442+72，442=1936，则从1937开始从第45行开始数，到第45列1980开始拐弯，到第18行就是2008，则2008所在的位置是第18行第45列．故答案为：18，45．【点评】考查了规律型：数字的变化，本题还可以这样解答，横着看，偶数行的第一个数刚好是行数的平方，从列看是奇数列的第一个数刚好是列数的平方．452=2025，2025是第45列第一个数，奇数列从上往下前几个数（几个，刚好是列数）是顺序减少的，所以2025可以往下减少45个数，而2008仅仅比2025少17，所以他是在45列第18行．三、解答题（本大题共3小题，共65分）11．（20分）（2009•庐阳区校级自主招生）一个长40cm，宽25cm，高50cm的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为acm（a＞0）的水．现把一个棱长为10cm的正方体铁板（铁块的底面落在容器的底面上）放入容器内，请求出放入铁块后的水深．【分析】此题要分情况进行讨论，若放入铁块时水溢出容器，此时先计算水恰好上升至至容器口时这种临界情况，根据容器的体积等于原来水的体积加上铁块的体积，列出等式计算此种情况下原来的水深，则当原水深介于此值到50之间时，放入铁块后水深为50厘米；若原来容器中的水较，放入铁块后还未溢出，此时先计算水恰好与铁块同高这种临界情况，根据放入铁块前容器中水的体积加上铁块的体积等于容器的底面积乘以此时水面的高度，列出等式计算此情况下原来的水深，当原来的水深介于此值与第一种情况的临界值时，计算放入铁块后的水深；最后一种情况是当容器中的水非常少时，放入铁块后仍未淹没铁块，同理列出等量关系求解．【解答】解：由题设，知水箱底面积S=40×25=1000（cm2）．水箱体积V=1000×50=50000（cm3），水箱铁块体积V=10×10×10=1000（cm3）．铁（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm时，1000a+1000=50000，得a=49（cm）．所以，当49≤a≤50时，水深为50cm（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm时，1000a+1000=10000，得a=9（cm）．所以，当9≤a＜49时，水深为=（a+1）cm．（3）由（2）知，当0＜a＜9时，设水深为xcm，则1000x=1000a+100x．得x=（cm）．答：当0＜a＜9时，水深为cm；当9≤a＜49时，水深为（a+1）cm；当49≤a≤50时，水深为50cm．【点评】此题主要考查同学分类的思想和一元一次方程的实际运用，考虑放入铁块后水溢出的情况，放入铁块后水仍未淹没铁块的情况，按照一定的顺序，不重复不遗漏．12．（20分）（2009•庐阳区校级自主招生）如图，平面直角坐标系中的方格阵表示一个纵横交错的街道模型的一部分，以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，x轴，y轴的正方向分别表示正东、正北方向，出租车只能沿街道（网格线）行驶，且从一个路口（格点）到另一个路口，必须选择最短路线，称最短路线的长度为两个街区之间的“出租车距离”．设图中每个小正方形方格的边长为1个单位．可以发现：从原点O到（2，﹣1）的“出租车距离”为3，最短路线有3条；从原点O到（2，2）的“出租车距离”为4，最短路线有6条．（1）①从原点O到（6，1）的“出租车距离”为7．最短路线有7条；②与原点O的“出租车距离”等于30的路口共有120个．（2）①解释应用：从原点O到坐标（n，2）（n为大于2的整数）的路口A，有多少条最短路线？（请给出适当的说理或过程）②解决问题：从坐标为（1，﹣2）的路口到坐标为（3，36）的路口，最短路线有780条．【分析】（1）①根据题目信息，“出租车距离”等于点的横坐标与纵坐标绝对值的和，进行计算即可求解；②平面被坐标系分4个区域，在每一个区域内与原点0的“出租车距离”等于30的街区（m，n）满足m，n都是正整数，|m|+|n|=30，对于m的任意取值，n 都有唯一的正整数和它对应，所以m可取30个值，n有30个值和它对应，然后即可求解；（2）①出租车从原点O到坐标（n，2）（n为大于2的整数）的街区，需走（n+2）路程，不论横坐标与纵坐标，没确定一个单位的走法，则还剩下（n+2﹣1）种走法，依此类推，进行计算即可；②把原点坐标平移到（1，﹣2），则点（3，36）的坐标变为（2，38），然后根据①中的结论进行计算即可．【解答】解：（1）①6+1=7，7；②与原点0的“出租车距离”等于30的街区（m，n）满足m，n都是正整数，|m|+|n|=30，由对称性，考虑m＞0，n＞，m依次取1，2，…30，对应的n为29，28，…，0，共30个，∴与原点0的“出租车距离”等于30的街区共30×4=120个；（2）①从原点O到坐标（n，2）的“出租车距离”为n+2，则最短路线的条数是（n+2﹣1）+（n+2﹣2）+（n+2﹣3）+ (1)=；②把原点坐标平移到（1，﹣2），则点（3，36）的坐标变为（2，38），∴“出租车距离”为2+38=40，∴=780．故答案为：（1）①7，7；②120；（2）①；②780．【点评】本题考查理解题意能力以及看图能力，关键是明白怎样是“出租车距离”和路线的走法．13．（25分）（2009•庐阳区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．（1）求点P的坐标．（2）若点P关于x轴的对称点为P′，试求经过M、N、P′三点的抛物线的解析式．（3）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．（4）若在直线上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b 的取值范围．【分析】（1）作出作PK⊥MN于K，利用等腰三角形的性质得出KO的长，即可出P点的坐标；（2）利用关于x轴对称的性质得出P′点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式即可；（3）分别利用当0＜b≤2时，当2＜b≤3时以及当3＜b＜4时和当b≥4时结合图象求出即可；（4）以OM为直径作圆，当直线与此圆相切时，得出即可．【解答】解：（1）作PK⊥MN于K，则．∴KO=6，∴P（6，2）；（2）∵点P关于x轴的对称点为P′，∴P′点的坐标为：（6，﹣2），∵M（4，0），N（8，0），∴代入二次函数解析式得出：y=a（x﹣4）（x﹣8），∴﹣2=a（6﹣4）（6﹣8），∴a=，∴经过M、N、P′三点的抛物线的解析式为：y=（x﹣4）（x﹣8）；（3）当0＜b≤2时，如图，S=0．当2＜b≤3时，如图，设AC交PM于H．AM=HA=2b﹣4．∴．即S=2（b﹣2）2或S=2b2﹣8b+8．当3＜b＜4时，如图，设AC交PN于H．NA=HA=8﹣2b．∴S=﹣2（4﹣b）2+4或S=﹣2b2+16b﹣28．当b≥4时，如图，S=4．（4）．（提示：以OM为直径作圆，当直线与此圆相切时，．）【点评】此题主要考查了利用交点式求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，结合图形利用自变量的取值范围进行分类讨论是解决问题的关键，注意不要漏解．参与本试卷答题和审题的老师有：csiya；MMCH；zcx；lanchong；开心；ln_86；Linaliu；117173；算术；jpz；sd2011；sjzx；caicl；HJJ；cair。
安徽省合肥XX中学自主招生数学试卷（含答案解析）
安徽省合肥XX中学自主招生数学试卷一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．92．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或205．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c37．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．28．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为．10．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．安徽省合肥168中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵a＝＝（﹣）2＝4﹣，b＝＝＝4+，∴ab＝（4+）（4﹣）＝1，∴＝＝＝＝＝＝9．故选：D．2．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：把A（1，3）代入y＝kx+b中，得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴一次函数的解析式为：y＝kx+3﹣k，∴一次函数图象与坐标轴的交点为（0，3﹣k），（，0），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与坐标轴围成三角形的面积为6，∴，解得，k＝﹣3，或k＝9，∴k的值有3个，∴满足条件的函数有3个．故选：B．4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c3【解答】解：A、由三角形三边关系可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，可得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，故选项正确；B、由三角形三边关系不一定得出a+b＞c，＜，可得＜，＞，选项错误；C、由三角形三边关系不一定得出a＞b＞c，由，可得：a＞b＞c，选项错误；D、由三角形三边关系不一定得出a3+b3＜c3，选项错误；故选：A．7．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．2【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．8．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为1或﹣1．【解答】解：去分母得：x﹣a＝ax+a，即（a﹣1）x＝﹣2a，显然a＝1时，方程无解；由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：﹣a+1＝﹣2a，解得：a＝﹣1，综上，a的值为1或﹣1，故答案为：1或﹣110．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．【解答】解：a1＝，a2＝，＝2，a3＝＝﹣1，a4＝＝，…，依此类推，发现每3个数为一组一个循环，前3个数的乘积为：2×（﹣1）＝﹣1，所以÷3＝672…1，则a1，a2，…，a，这个数的积为（﹣1）672×＝．故答案为：．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为7．【解答】解：设原计划每天加工x个零件．由题意得：+2+1＝，整理得：x2+27x﹣2268＝0．解得：x1＝36，x2＝﹣63（不合题意舍去）．经检验：x＝36是原方程的解．当x＝36时，＝7，即原计划7天完成，故答案为：7．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是2＜m＜．【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×4＞0，解得：m＞2或m＜﹣2①，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝m，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，1＜（x1+x2）＜，而x＝﹣＝﹣＝m＝（x1+x2），即1＜m＜②，联立①②并解得：2＜m＜，故答案为：2＜m＜．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于﹣6．【解答】解：过点C作CE⊥y轴，垂足为E，∵A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），∴OA＝OB＝1，∠OAB＝∠OBA＝45°，∵ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠BCE，∴△AOB∽△BEC，∴＝＝，又∵BC＝2AB，∴BE＝CE＝2，OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴点C（﹣2，3），代入反比例函数关系式得，k＝﹣2×3＝﹣6，故答案为：﹣6．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．【解答】解：如图：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得矩形PDCE，有PD＝EC，PE＝CD，∵PC＝PB，PD⊥BC，∴DC＝DB＝BC＝AC＝a，∴PE＝CD＝a，Rt△AEP中，AP＝AC＝a，PE＝a，∴AE＝a，∴EC＝AC﹣AE＝a﹣a＝a．∴PD＝EC＝a，Rt△CDP中，PD2+CD2＝CP2，∴（a）2+（）2＝b2，∴a2+a2＝b2，∴a2＝b2，∴（2﹣）a2＝b2．∴＝2﹣，∴＝＝＝．故答案是：．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是①②④（写出所有正确的序号）【解答】解：①作△ABC的外接圆圆O，过C作圆O的切线，由圆的切线性质可得，当△ABC等腰三角形的时候，∠ACB最大，所以正确；②当△DBC∽△DAC时，∠ACB最大，此时，CD2＝BD•AD＝b（2a+b）＝2ab+b2，CD＝，所以正确；③④过点C作l的垂线，交AB垂直平分线于M，当M恰好是△ABC的外心时，∠ACB最大，所以③错误，④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．【解答】解：∵＝﹣，∴x＝a+﹣2，∵x≥0，∴≥，∴a≥1，≤1，原式＝，＝，＝，＝，当a≥时，原式＝＝a2；当a＜时与a≥1，≤1相矛盾．综上所述，原二次根式的值为：a2．故答案为：a2．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．【解答】解：（1）设购进x条长跳绳，则购进2x条中跳绳，（200﹣x﹣2x）条短跳绳，依题意，得：，解得：22≤x≤26．∵x为正整数，∴x＝23，24，25，26，∴学校共有4种购买方案可供选择．（2）设可以购买a条长跳绳，则购进2a条中跳绳，（n﹣a﹣2a）条短跳绳，依题意，得：，化简，得：，∴13a＝4（375﹣n），∴a为4的倍数，设a＝4k，则n＝375﹣13k，∴375﹣13k≤36k，∴k≥7，∴k的最小值为8，n的最大值为271．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠P AD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，×（）2﹣﹣＝﹣，P（，﹣）；（3）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2＝MB2或DM2+MB2＝BD2．①DM2+BD2＝MB2时有：m2+1+9m2+9＝16m2+4，解得m＝﹣1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；②DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．综上，m＝﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ．又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴．∴m＝（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，∵PC′＝PC＝11﹣t，PE＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6﹣m，∴AC′＝＝，∴，∴，∴3（6﹣m）2＝（3﹣m）（11﹣t）2，∵m＝，∴3（﹣t2+t）2＝（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，∴t2（11﹣t）2＝（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，∴t2＝﹣t2+t﹣3，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝，点P的坐标为（，6）或（，6）．法二：∵∠BPO＝∠OPC′＝∠POC′，∴OC′＝PC′＝PC＝11﹣t，过点P作PE⊥OA于点E，则PE＝BO＝6，OE＝BP＝t，∴EC′＝11﹣2t，在Rt△PEC′中，PE2+EC′2＝PC′2，即（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，解得：t1＝，t2＝．点P的坐标为（，6）或（，6）．。
安徽省院校自主招生试题及答案(全)
省内院校自主招生试题及答案合肥一中2010物理合肥一中2010数学蚌埠二中2010数学一、选择题（每小题5分，共30分。
每小题均给出了A、B、C、D的四个选项，其中有且只有[来源:学科网] 一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的ODCBA结果如图所示。
如果记6的对面的数字为a ，2的对面的数字为b ，那么b a +的值为A ．3B ．7C ．8D ．112、右图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像（收支差额=车票收入-支出费用） 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车 票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。
下面A ．①反映了建议（2），③反映了建议（1） B ．①反映了建议（1），③反映了建议（2） C ．②反映了建议（1），④反映了建议（2） D ．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3、已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则 实数b a n m ,,,的大小关系可能是A ．n b a m <<<B ．b n a m <<<C ．n b m a <<<D ．b n m a <<< 4、记n S =n a a a +++ 21，令12nn S S S T n+++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。
已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为A ．200４B ．2006C ．2008D ．20105、以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后 与直径AB 交于点D ，若32=DBAD ，且10=AB ，则CB 的长为A ． 54B ．34C ． 24D ．46、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。
2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷含解析
2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<2．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 3．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C ．22D ．249．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．612．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A ．17B ．4C ．2D ．117+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。
安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期第二次教学检测数学试卷(含解析)
合肥一中2024~2025学年度高三第二次教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．2．命题“，使”的否定是（ ）A ．，使B ．不存在，使C ．，使D ．，使3．函数的部分图象大致为（ ）A ．B．{}2,1,0,1,2M =--(){}22log 1N y y x ==+{}2,1--{}2,1,0--{}0,1,2{}1,0-x ∃∈R 210x x +-≠x ∃∈R 210x x +-=x ∈R 210x x +-≠x ∀∉R 210x x +-=x ∀∈R 210x x +-=()3sin 1x x f x x =+C ．D ．4．“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．5．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ）（参考数据：，）A ．0.2B ．0.18C ．0.15D ．0.146．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）A ．B ．4C ．D ．8．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知平面向量，，且，则（ ）ln y x =y x b =+1b >-1e b -<<-10b -<<0b <0e KD D I I -=K D D I 0I D 40%K ln 20.7≈ln 5 1.6≈ABC △A B C a bc a =()(()sin sin sin sin A B b c B C -+=+ABC △π3π4π5π()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π6x =()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ω3292152O ABC △0OA OB OC ++= M OBC △AM xAB y AC =+ 2x y +1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,251,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,a m = ()1,1b =- 22a b a b +=-A ．B ．C ．D ．10．已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ）A ．B ．C ．的最小值为32D ．的最小值为11．已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的一个对称中心为B ．C ．函数为周期函数，且一个周期为4D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则______．13．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______．14．定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，求的面积；2m =π,3a b = a b ⊥ a =1b >()1,x ∈+∞32440ax x abx b +--≤0a <216a b =216a b +24a ab a b +++8-()f x R ()()()11F x f x x =+-+()()231G x f x =+-()f x ()2,1()01f =-()f x ()()()()()012345f f f f f ++++=π4tan 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos 2α=()22log ,012,04x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<()2312432x x x x x +-{}max ,x y x y a b c 123max ,max ,max ,a b c b c a ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ABC △A B C a b c ()2222cos 02a b c c b A b+--+=4a =8b c +=ABC △（2）若角为钝角，求的取值范围．16．（15分）已知函数．（Ⅰ）当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．17．（15分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m ）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m ）．参考公式：．参考数据：，．18．（17分）已知函数．（1）当时，，求实数的取值范围；（2）若，求证：；（3）若，，为正实数，且，求证：．19．（17分）已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合C c b()()()ln 1f x x x a x a R =+-∈0a =x ()f x m =1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()f x 1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦min t m H H t h t sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=πsin 0.207915≈πsin 0.065448≈()sin f x x =0x ≥()f x ax ≤a π02αβ<<<()()()cos f f βαβαα-<-*n ∈N 00a =12,,,n a a a 121n a a a +++= 1π12n i =≤<{}12,,,n X x x x = {},i j i j X X x x x x X ⊗=∈i x j x X中的元素个数．（1）若，请直接给出和；（2）若均为正数，且，求的最小值；（3）若，求证：．合肥一中2024~2025学年度高三第二次教学质量检测数学参考试卷1．A【详解】，所以阴影部分．故选：A ．2．D【详解】命题“，使”的否定是，使．故选：D ．3．A【详解】易知函数的定义域为，故可排除C ，D ；又，，所以可排除B ，故选：A ．4．C【详解】由曲线恒在直线下方，可得，恒成立，即所以“曲线恒在直线的下方”的充要条件是，故选：C ．5．C 【详解】依题意得，，化成对数式，，解得，．故选：C ．6．C【详解】因为，且，所以，由正弦定理，可得，即，X {}1,2,3,6X =X X ⊗X X ⊗12,,,n x x x 300X X ⊗=X 11X =17X X ⊗≥{}0N y y =≥(){}2,1M N =--R ðx ∃∈R 210x x +-≠x ∀∈R 210x x +-=()3sin 1x x f x x =+{}1x x ≠-π14->-3ππsin π4404ππ1144f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭-==> ⎪⎝⎭⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln y x =y x b =+ln x x b <+ln b x x >-1b >-ln y x =y x b =+1b >-6040%e K D I I -==26ln ln 2ln 50.95K -==-≈-0.15K ≈a =()(()sin sin sin sin A B b c B C -+=+()()()sin sin sin sin A B a b c B C -+=+()()()a b a b c b c -+=+222a b c bc =++所以，又因，所以，所以外接圆的半径为．．故选：C ．7．A【详解】由的图象关于直线对称可得，，解得或，，由于在上没有最小值，所以，所以，故选：A ．8．C【详解】因为内一点，，所以为的重心，又在内（不含边界），且当与重合时，最小，此时所以，即，当与重合时，最大，此时，所以，，即，因为在内且不含边界，所以取开区间，即，故选：C ．二．多选题9．ACD【详解】由，，可得，，2221cos 22b c a A bc +-==-()0,πA ∈2π3A =ABC △22sin a A ==2π24πS =⋅=()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π6x =ππππ642k ω+=±+k ∈Z 362k ω=+962k ω=-+k ∈Z ()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭π5π0544ωω≤⇒<≤32ω=ABC △0OA OB OC ++= O ABC △M OBC △M O 2x y +()21113233AM AB AC AB AC AB AC λμ⎡⎤=+=⨯+=+⎢⎥⎣⎦ 13x y ==21x y +=M C 2x y +AM AC = 0x =1y =22x y +=M OBC △()21,2x y +∈()2,a m = ()1,1b =- ()24,2a b m +=- ()20,2a b m -=+由，可得，解得，故A 正确；由，可得，故D 正确；又，则，，故B 错误，C 正确．故选：ACD ．10．ABD【详解】因为，即恒成立，又因为，，所以当，当时，，因为对任意的，不等式恒成立，所以当时，，当时，，所以对于函数，必有，单调递减，且零点为，所以，所以，所以A 正确，B 正确；对于C ，因为，所以所以，当且仅当，即时取等号，与条件不符，所以C 错误；对于D ，，令，当且仅当时，等号成立．则原式，22a b a b +=- ()()221622m m +-=+2m =()2,2a = a == cos ,0a b a b a b ⋅=== π,2a b = a b ⊥ 32440ax x abx b +--≤()()240ax x b +-≤1b >1x >1x <<20x b -<x >20x b ->()1,x ∈+∞32440ax x abx b +--≤0x <<40ax +≥x >40ax +≤4y ax =+0a <x =40+=216a b =40=a =216161632a b b b +=+≥=1616b b=1b =216164a ab a b b b b b ⎛⎛⎫+++=-=+- ⎪ ⎝⎭⎝216448b b ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭m =4m ≥4b =()2484m m m =--≥由二次函数的性质可得的最小值为，此时，，所以D 正确，故选：ABD ．11．ABD【详解】对于A ，因为为奇函数，所以，即，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，所以A 正确，对于B ，在中，令，得，得，因为函数为偶函数，所以，所以，所以，令，则，所以，得，所以B 正确，对于C ，因为函数的图象关于点对称，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C 错误，对于D ，在中令，则，令，则，因为，所以，因为，所以，所以D 正确，故选：ABD ．三．填空题（共1小题）12．．【详解】因为，所以，可得，则．故答案为：．()2484y m m m =--≥8-4b =2a =-()()231G x f x =+-()()G x G x -=-()()231231f x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦()()23232f x f x -++=()()222f x f x -++=()f x ()2,1()()222f x f x -++=0x =()222f =()21f =()()()11F x f x x =+-+()()F x F x -=()()()()1111f x x f x x ---=+-+()()112f x f x x +--=1x =()()202f f -=()102f -=()01f =-()f x ()2,1()01f =-()43f =()()04f f ≠()f x ()()222f x f x -++=1x =()()132f f +=2x =()()042f f +=()01f =-()43f =()21f =()()()()()012345f f f f f ++++=2425-π4tan 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭tan 141tan 3αα+=--tan 7α=22222222cos sin 1tan 1724cos 2cos sin 1tan 1725ααααααα---====-+++2425-13．．【详解】作出函数图像可得，从而得，且，从而得，原式，令，，，令，则，，在单调递增，，最大值为．14．【详解】按和分类：记，当时，当且仅当，，时，等号成立；当时，，12981222x x +=-2324log log x x -=341x x =(]23log 1,2x -∈(]312,4x ∈∴()23122322331122x x x x x x +=-=+ 232312y x x =+(]312,4x ∈ (]2314,16x ∴∈231t x =()2f t t t=+(]4,16t ∈()f t )+∞()9129,28f t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦∴12983c a ≤3c a ≥123max ,max ,max ,M a b c b c a ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭3c a ≤23235333a a M a a c a a a ≥++≥++=+≥=a =b =c =3c a ≥2325M a c c c c c c c ≥++≥++=+≥=当且仅当，，时，等号成立．综上所述，的最小值是四．解答题15．（13分）【详解】（1）由和正弦定理得，，因，则有，因，，则，又，故．由余弦定理，，代入得，，因，则有，即得，故的面积（2）由正弦定理，可得，因，代入化简得：．因为钝角，故由可得，则，即，故的取值范围是．16．（15分）【详解】（Ⅰ）当时，，，由，，故可列表：a =b =c =M ()2cos cos 0c b A a C -+=()sin 2sin cos sin cos 0C B A A C -+=()()sin cos sin cos sin sin πsin C A A C A C B B +=+=-=()sin 12cos 0B A -=0πB <<sin 0B >1cos 2A =0πA <<π3A =2222cos a b c bc A =+-2216b c bc +-=8b c +=()2316b c bc +-=16bc =ABC △11sin 1622S bc A ==⨯=sin sin b c B C =sin sin c C b B =2π3C B =-2πsin sin 13sin sin 2B cC b B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭====C π022ππ32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩π06B <<0tan B <<32>2c b >c b ()2,+∞0a =()ln f x x x x =-()ln 11ln f x x x =+-='∴()0132f x x ⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩'ln 013132x x x >⎧⎪⇔⇔<≤⎨≤≤⎪⎩()0111232f x x x ⎧'<⎪⇔≤<⎨≤≤⎪⎩13，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根时；（Ⅱ），由得．①当，即时，，在上为增函数，；②当，即时，在上，为减函数，在上，为增函数，；③当，即时，，在上为减函数，．综上所述，．17．【详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．x121,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,3y '-+y11ln222--]1-Z3ln33-11ln 203ln 3322--<<- ∴x ()f x m =1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦111ln 222m -<≤--()()ln 0f x x a x =+>'()0f x '=ax e -=1aee -<1a >()0f x '>()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min 12a f x f e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a e e e -≤≤11a -≤≤1,a e e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦()0f x '<()f x ,a e e -⎡⎤⎣⎦()0f x '>()f x ()()mina af x f e e --==-aee ->1a <-()0f x '<()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()min e f x f ea ==()min2,1,11,1a a a e f x e a ea a --⎧>⎪⎪=--≤≤⎨⎪<-⎪⎩P O x（1）设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约，由题意可得，．（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则．经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为．则甲、乙距离地面的高度差，利用，可得，．当（或），即（或22.8）时，的最大值为．所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m ．18．（17分）【详解】（1）首先，，故，设，则，，由，可知当时，，在区间上单调递增，故，满足；当时，由在区间上单调递增，且，，故存在，使得，且时，，单调递减，此时，，与题设矛盾．综上所述，实数的取值范围．0min t =()0,55P -OP π2-πrad min 15ππ55sin 65152H t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭030t ≤≤A B 2ππ4824AOB ∠==min t 1ππ55sin 65152H t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭B A πrad 242π13π55sin 651524H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12πππ13πππ13ππ55sin sin 55sin sin 15215241522415h H H t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=πππ110sinsin 481548h t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭030t ≤≤πππ15482t -=3π27.8t ≈h π110sin 7.248≈ππ122f a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭2πa ≥()sin g x ax x =-0x ∀≥()0g x ≥()cos g x a x =-'1a ≥()0g x '≥()g x []0,+∞()()00g x g ≥=21πa ≤<()g x 'π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()010g a =-<'π02g a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00g x '=()00,x x ∈()0g x '<()g x ()()00g x g <=a [)1,+∞（2）由，可知，即故只要证设，，则，在区间上单调递增，即，，故原不等式成立．（3）一方面，由于，故可令，其中，，结合第（2）问的结论，，另一方面，()()()()()cos cos cos f f f f βαβααββαααα-<-⇔-<-π02αβ<<<cos cos βαββ>()()cos cos f f ββαβββ-<-()()cos cos f f βββααα-<-()()cos g x f x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()cos cos sin sin 0g x x x x x x x =--=>'()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()()g g αβ<()()cos cos f f βββααα-<-01121201n a a a a a a a =<<+<<+++= 012π02n θθθθ=<<<<= 12sin i i a a a θ=+++ 1,2,,i n =1ni =1ni ==111sin sin cos ni i i i θθθ-=--=∑()()1110111cos πcos 2nni i i i i n i i i θθθθθθθθ---==--<=-=-=∑∑1ni =()()1011112nii i i i n a a a a a a a =-+≥++++++++∑1011121nii i i i na a a a a a a =-+=++++++++∑，综上可得，．19．（17分）【详解】（1），；（2）一方面，积有个，另一方面，积有个，故，当中所有元素互素时，等号成立．要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，解得：，故的最小值为24；（3）考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变，不妨设中正数个数不少于负数个数．①当中元素均为非负数时，设，于是，，此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素，即；②当中元素至少有一个为负数时，设是中全体元素，且，于是，．由是中的个元素，且非正数；又是中的7个元素，且为正数，故中元素不少于17个，即；另外，当时，满足，11ni i a ===∑1π12i n=≤<{}1,2,3,4,6,9,12,18,36X X ⊗=9X X ⊗=i i x x ⋅n ()i j i j x x x x ⋅≠()21C 2nn n -=()()1122n n n n X X n -+⊗≤+=X 300X X ⊗=X X ()13002n n +=24n =X X X X ⊗X X 12110x x x ≤<<< 1223242113111011x x x x x x x x x x x x <<<<<<< X X ⊗12x x 23x x 24x x 211x x 311x x 411x x 1011x x 18X X ⊗≥X 11120l l k z z z y y y -<<<<<<< …X ()11k l k l +=≥6k ≥1112123k k k l k z y z y z y z y z y z y >>>>>>> X X ⊗110k l +-=23242526364656y y y y y y y y y y y y y y <<<<<<X X ⊗X X ⊗17X X ⊗≥{}2340,1,2,2,2,2X =±±±±±{}23456780,1,2,2,2,2,2,2,2,2X X ⊗=-±±±±±±±-17X X ⊗=故．17X X ⊗≥。
2009年合肥一中自主招生数学试题
一道关于直角坐标的题目。
几个定义，出租车只能在街道（网格线）内行驶，且从一个路口（格点）到另一个路口，必须是最短距离，2个街区之间的最短距离称为“出租车距离”，图中每个小正方形的边长为1个单位。
可以发现从原点O
到（2，-1）的出租车距离为3，最短距离有3条。
从原点O到（2，2）的出租车距离为4，最短路线有6条。
求从坐标（1，-2）到坐标（3，36）的最短路线有多少条。
求从原点O到坐标（n,n)有多少条最短路线
不会的别乱插嘴谢谢
问题补充：
麻烦你们看清楚题目，我问的是最短路线有多少条不是最短距离最短距离我早就会了谢谢
答案：从（0，0）到（2，38）所有最短路的条数为780种;
从（0，0）到（n，n）所有最短路的条数见图片
解：首先，根据图示可以看出从（1，-2）到坐标（3，36）的最短路线的条数与从O到坐标（2, 38)的最短路线的条数的条数是相等的。
下面看从（0，0）到（2，38），很显然最短距离为2+38=40，即向右至少要走2个单位长度，向上至少要走38个单位长度，两个方向是独立的，从（0，0）到（2，38）所有最短路的条数相当于在2+38步中，先选出2步向右，共有40*39*1/2=780种不同选法，则余下的全部向上。
即从（0，0）到（2，38）所有最短路的条数为780种。
安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第二次素质拓展数学试题
安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第二次素质拓展数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足2i z z +=，则z 的虚部为（ ） A ．1-B ．1C ．iD ．i -2．命题“(),1x ∃∈-∞，3210x x +-<”的否定是（ ） A ．[1,]x ∃∈+∞，3210x x +-≥ B ．(),1x ∃∈-∞，3210x x +-≥ C ．[1,]x ∀∈+∞，3210x x +-≥D ．(),1x ∀∈-∞，3210x x +-≥3．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-，若[]0,1x ∈，()2x f x =，则(2024)f =（ ）A ．4B ．2C ．1D ．04．已知随机变量X 服从二项分布(4,)B p ，且(41)12D X +=，1(1)4P X =>，则(21)E X +=（ ） A ．7B ．3C ．6D ．25．若函数()()0.66log 8f x ax =-在区间()2,4上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．(]0,4C ．(]0,2D ．(]2,46．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（ ） A ．125125122T T -+= B ．125125122T T += C ．22125125122log log T T -+= D ．22125125122log log T T += 7．已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(]),4-∞-+∞U B ．[]1,1- C．(-D．⎡-⎣8．已知定义在 0,+∞ 上且无零点的函数()f x 满足()()()1xf x x f x ='-，且()10f >，则（ ） A ．()()1122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭二、多选题9．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x b b =++为常数），则下列说法正确的是（ ） A ．()3f b =-B ．()313f -=C ．()f x 在()0∞－，上是单调减函数 D ．函数()f x 仅有一个零点10．已知函数()1,0?e1e ,0?xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩，R x ∀∈，()||f x a x ≥，则实数a 的值可能为（）A ．2B ．3C ．4D ．e11．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x 的图象关于y x =对称，且()1f x +为奇函数，则（ ）A ．()()f f x x =B ．()()2f x f x +-=C ．()()24f x f x -+=D ．()20242023f =-三、填空题12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若82212a a +=，则11S =.13．若直线2y x =是曲线()()2e xf x x a =-的切线，则a =．14．已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()ln 3f 的值为．四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213,1n n a S a n ==+-. (1)求{}n a 的通项公式； (2)若122311,n n n n nb T b b b b b b a +==+++L ，求n T . 16．在ABC V中，cos cos cos a C c A B +=. (1)求B ∠；(2)若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值.17．已知函数()()4log 41xf x kx =++与()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，其中()f x 是偶函数．（1）求实数k 的值；（2）若函数()()()F x f x g x =-只有一个零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数()()2ln ,f x x ax bx a b R =--∈．(1)当0a =时，若()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围； (2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：()12122ex x f x x ++<-． 19．给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm mm a a x a x R x b x b x +++=+++L L ，且满足：()()00f R =，()()00f R ''=，()()()()()()0000m n m n f R f R ++'='=''L ．已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似()1a bx R x cx+=+．注：()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦，()()f x f x ''''''=⎡⎤⎣⎦，()()()4f x f x '=⎡''⎤⎣⎦'，()()()()54,f x f x '⎡⎤=⎣⎦L (1)求a ，b ，c 的值；(2)比较()1x c f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1的大小，并说明理由；(3)求不等式12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集，其中e 2.71828=L ．。
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2021年合肥一中自主招生?科学素养?测试数学试题
〔总分值：150分〕
一、选择题：〔本大题共4小题，每题8分，共32分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项正确的．〕
1.如图一张圆桌旁有四个座位，A,B,C,D 四人随机坐在四个座位上，A 那么D 与相邻的概率是〔 〕
2.3A B. 12 C. 14 D. 29
2. 小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的外表〔不考虑接缝〕，如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为〔 〕
A ．40
B ．30+22
C ．202
D ．10+102
3.在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD 的位置如下图，点A 的坐标为〔1,0〕, 点D 的坐标为〔1,0〕,延长CB 交x 轴与A 1，作作第二个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第二个正方形 A 2B 2C 2C 1•••，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为〔 〕
A. 20093
5()2 B. 20089
5()4 C. 40183
5()2 D. 20109
5()4
4.如图，在△ABC 中，AB=10，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA,CB 分别相交于点P,Q ，那么线段PQ 长度为〔 〕
A.4.75
B.4.8
C.5
D.42
二、填空题〔本大题共有5小题，每题10分，共50分〕
5.某县为了了解“五·一〞期间该县常住居民的出游情况，有关部门随机调查了1600名居民，并根据调查结果绘制了如下统计图：
假设该县常住居民共24万人，那么估计该县常住居民中，利用“五·一〞期间出游采集开展信息的人数约为 万人。
6.点P(x,y)位于第二象限，并且y ≤x+4,x,y 为整数，符合上述条件的点P 共有 个。
7. 如图，菱形OABC,点C 在直线y=x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2，假设反比例函数的图象经过点B,那么此反比例函数表达式为 。
〔第7题〕 〔第8题〕
8.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC,，AD ＝2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转
90°至DE ，连结AE ，假设△ADE 的面积是3，那么BC 的长为_ ________．
9.如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，那么矩形ABCD 的周长为 。
〔第9题〕
A B
C D
E
三、解答题〔本大题共有2小题，共68分〕
10.(30分)甲车从A 地驶往 C地，在C 停留一段时间后，返回A地，乙车从B地经C地A驶往，两车同时出发，相向而行，同时到达C地，设乙车行驶的时间为x〔h〕，两车之间的距离为y〔km〕,图中的折线表示y与x之间的函数关系。
〔1〕A、B两地之间的距离为〔km〕；
甲车的速度 km/h; 乙车的速度 km/h;
〔2〕点D的坐标为；请解释图中点D的实际意义：
〔3〕在图中补全函数图象；
〔4〕求出所补的函数图象的关系式。
11.〔38分〕如图，射线AM平行于射线BN，AB⊥BN且AB=3,C是射线BN上的一个动点，连接AC，
作CD⊥AC且CD=1
2
AC,过C作CE⊥BN于点E,
设BC长为t。
〔1〕AC长为，△ACD的面积是(用含有t的代数式表示)；
〔2〕求点D到射线BN的距离(用含有t的代数式表示)；
(3)是否存在点C ，使△ACE等腰三角形？假设存在，请求出此时BC的长度；假设不存在，请说明理由。
2021年合肥一中自主招生?科学素养?测试数学参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.1.89
6.点P 为〔-1,1〕，〔-1,2〕，〔-1,3〕，〔-1,4〕，〔-2,1〕，〔-2,2〕，共6个点
7. 12y +=
8.5
9.10 10. 85 12.〔1〕960km ；100,60；乙行驶11小时后被甲追上。
〔2〕y=40(x —11)=40x —440.
•••
11.〔1〕AC 长为292
t CD +=，△ACD 的面积是29.4t + 〔2〕2
t 〔3〕存在，此时BC 的长度为
32和635+ACE 为等腰三角形。