锐角三角函数培优讲义
初三锐角三角函数提高讲义
第1 讲锐角三角函数提高讲义本次课课堂教学内容一、知识点梳理要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，No. 1DateTimeName 数学，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.二、典型例题类型一、锐角三角函数的概念与性质1、如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )(A)1 (B)2 (C) 12(D) 522、在Rt △ABC 中，∠C=90°,若AC=2BC ，则sinA 的值是( )(A) 12 (B)2(C)(D) 3、已知，如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，90BAD ∠=︒，2tan 3B =，求sin DAC ∠．类型二、特殊角三角函数值的计算1、先化简，再求代数式231122x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭的值，其中4sin 452cos60x =-°°．2、tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45°3、已知a ＝3，且2(4tan 45)0b -+=°，以a 、b 、c 为边长组成的三角形面积等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．9类型三、解直角三角形1、如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，3sin 5A =，则下列结论正确的个（ ）．①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD＝cm ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，求sinB ·sinC 的值．BC3、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E 是⊙O上一点，且∠AED＝45°．(1)试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．(2)若⊙O的半径为3 cm，，AE＝5 cm．求∠ADE的正弦值．4、如图，C、D是半圆O上两点，511CDAB=，求cos CEB∠和tan CEB∠．类型四、三角函数与实际问题1、如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)．2、如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．3、如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01）（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：）三、课堂巩固1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）A．B．4C．8D．42．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（ ）A ．60°B ． 90°C ． 120°D ．150° 3．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9第1题图 第3题图 第4题图4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =， tan ∠DBE 的值是( )．A. 12B.2C.D. 5．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( )．A ．34B ．43C ．35D ．45第5题图 第7题图6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B =，则cosA 的值为（ ）．A ．12B ．CD 7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )．A ．5cos α米B ．5cos α米C ．5sin α米D ．5sin α米8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）． A ．30° B ．50° C ．60°或120° D ．30°或150°9．计算：101|245| 1.41)3-⎛⎫--++= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________．11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图 第12题图 12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB ＝_______米．13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________．15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________．16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则的值= ，tan ∠APD 的值= ．17.如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m 的人行道，问离原坡脚A 处7m 的建筑物M 是否需要拆除，请说明理由． （≈1.73）18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB ME，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB，求⊙O的半径及DF的长．。
第九讲--锐角三角函数(二)培优
第九讲：锐角三角函数（二）------------ 解直角三角形一、解直角三角形定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。
解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中。
” 三、有关公式（1）1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1sin 2acB（2）Rt △面积公式：1122S ab ch ==（3）结论：直角三角形斜边上的高abh c=（四、基本图形（组合型）翻折 平移五、解题思路与数学思想方法七、经典例题例1．（解直角三角形）已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，,31sin ,54sin ==B C 求AB ．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝100cm．求AD的长．例2仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．巩固1、如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为m（结果不作近似计算）．2、如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米．3、国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD 为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是米．4、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计）:ihl =hlα5、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，在楼前点C 处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D 处测得楼顶A 点的仰角为31°，再沿DB 方向前进16米到达E 处，测得点A 的仰角为45°．已知点C 到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．例2坡度坡角问题【知识要点】 1．斜坡坡度i =斜坡的垂直高度斜坡的水平距离2．通常我们将坡度i 写成1:m 的形式，坡度i 与坡角α之间的关系为tan i α=。
最新人教版九年级全一册数学培优课件第82课时 锐角三角函数的定义
tanB=
；
__________
（2）sinC=
，cosC=
，
_____nC=
.
__________
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典型例题
知识点2：由两边的数量关系求锐角三角函数值 【例2】如图1-28-82-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC， 求sinB和tanA的值.
__________
tanA=____2______；
（2）sinB=
，cosB=
，tanB=
.
__________
__________
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变式训练
2. 如图1-28-82-4，在Rt△ABC中，∠A=90°.
（1）sinB=
,cosB=
，
__________
__________
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解：如答图28-82-1,过点A作AH⊥BC于点H. ∵S△ABC=27 cm2，
∴ ×9×AH=27.
∴AH=6 cm. 在Rt△ABH中， ∵AB=10 cm， ∴BH=
=8（cm）.
∴tanB=
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cosB= tanA= tanB=
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解直角三角形的应用的一般过程：
解直角 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构
三角形 造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）；
的应用
（2）根据题目已知条件，选用适当的锐角三角函数或 边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转
化得到实际问题的答案
（3）cos30°=
；
__________
（4）tan30°=
.
__________
数学培优竞赛新方法-第14讲 锐角三角函数
第14讲锐角三角函数知识纵横古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。
正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的cot tan cos sin 、、、的通用形式。
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质：1.单调性2.互余三角函数间的关系3.同角三角函数之间的关系。
平方关系1cos sin 22=+a a 商数关系aa a a a sin cos cot ,cos sin tan ==倒数关系1cot tan =a a 例题求解【例1】（1）如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠,则ABM ∠tan 的值为.(2)已知在ABC ∆中，B A ∠∠、是锐角，且135sin =A ，则ABC S ∆=.【例2】如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠15ABC ，1=BC 则AC =A.32+ B.32- C.3.0 D.23-【例3】如图，在直角坐标系中，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,点C A 、的坐标分别为43tan ),01()0,3(=∠-BAC C A ，、（1）求过点B A 、直线的函数表达式.（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB ∆与ABC ∆相似（不包括全等），并求点D 的坐标.（3）在（2）的条件下，如果Q P 、分别是AB 和AD 的动点，连接PQ ，设m DQ AP ==，问是否存在这样的m 使得APQ ∆与ADB ∆相似，如存在，求出m 的值，如不存在，请说明理由。
【例4】已知⊙O 过点3),D(4，点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交y 轴于点A （如图1）．（1）求⊙O 半径；（2）HAO ∠sin 的值；（3）如图2，设⊙O 与y 轴正半轴交点P ，点F E 、是线段OP 上的动点（与P 点不重合），连接并延长DF DE ,交⊙O 于点C B ,，直线BC 交y 轴于点G ，若DEF ∆是以EF 为底的等腰三角形，试探索CGO ∠sin 的大小怎样变化？请说明理由．【例5】已知：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，B A sin ,sin 是方程02=++q px x 的两个根．（1）求实数q p 、应满足的条件；（2）若q p 、满足（1）的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于ABC Rt ∆中两锐角A、B 的正弦？正弦、余弦的有界性【例6】设c b a 、、是直角三角形的三边，c 为斜边，整数3≥n ，求证：nn n c b a =+学历训练基础夯实1.如图，已知AB 是的直径，弦AB CD ⊥,22=AC ,1=BC ,那么ABD ∠sin 的值是2.如图2，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则AOB ∠cos 的值是。
锐角三角函数讲义
锐⾓三⾓函数讲义锐⾓三⾓函数讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1锐⾓三⾓函数第⼀课时:三⾓函数定义与特殊三⾓函数值知识点⼀：锐⾓三⾓函数的定义：⼀、锐⾓三⾓函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表⽰为：sinA= ，∠A 的余弦可表⽰为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐⾓三⾓函数例1．如图所⽰，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______，斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=______．例2. 锐⾓三⾓函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sin A＝______，cos A＝______，tan A＝______，sin B＝______，cos B＝______，tan B＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．对应练习:1、在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．2、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．25247C BA3、已知α是锐⾓，且cos α=34，求sin α、tan α的值．4、在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ．5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA 的值等于（）.A ．35B. 45C. 34D. 436、在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA4，c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上⼀点，且P 点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．知识点⼆：特殊⾓的三⾓函数值当时，正弦和正切值随着⾓度的增⼤⽽余弦值随着⾓度的增⼤⽽例1．求下列各式的值．（1）.计算：?-?+?60tan 45sin 230cos 2．（2）计算：?-?+?30cos 245sin 60tan 2.例2．求适合下列条件的锐⾓．(1)21cos =α(2)33tan =α（3）已知为锐⾓，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值例3.三⾓函数的增减性1．已知∠A为锐⾓，且sin A <21，那么∠A的取值范围是A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°2.已知A为锐⾓，且030sincos<A，则（）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型⼀特殊三⾓函数值与计算1、（1）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°（2）计算：30tan2345sin60cos221-++．（3）计算： tan 45sin 301cos 60?+?-?；(4)222sin =α (5)33)16cos(6=- α（）在ABC ?中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐⾓，求C ∠类型⼆：利⽤⽹格构造直⾓三⾓形1、如图所⽰，△ABC 的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinACBA2、如图，△ABC 的顶点都在⽅格纸的格点上，则sin A =_______.3、如图，A 、B 、C 三点在正⽅形⽹络线的交点处，若将ABC ?绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ?，则'tan B 的值为A.41 B. 31 C.21D. 14、正⽅形⽹格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（）A ． 5 5B. 2 5 5C.12 D. 2类型三：直⾓三⾓形求值1、已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2、如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．ABO3、已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦⼼距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4、已知A ∠是锐⾓，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值类型四. 利⽤⾓度转化求值：1、已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上⼀点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2、如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上⼀点，则cos ∠OBC 的值为（） A ．12B．32C ．35D ．45D C B A Oy x第8题图3、如图，⾓α的顶点为O ，它的⼀边在x 轴的正半轴上，另⼀边OA 上有⼀点P （3，4），则 sin α= ．4、如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的⾯积= cm 2．5、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．23B ．32C ．34D ．436、如图，沿AE 折叠矩形纸⽚ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECBF7、如图，在等腰直⾓三⾓形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上⼀点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．228、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABC类型五. 化斜三⾓形为直⾓三⾓形1、如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC ＝5．求：sin∠ABC的值．3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）4、已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的⾯积等于9，求sin B．5、ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的⾯积是A.23 cm 2 .43 cm 2 C.63 cm 2 cm 2第⼆课时：解直⾓三⾓形知识点三：解直⾓三⾓形1．在解直⾓三⾓形的过程中，⼀般要⽤的主要关系如下：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐⾓之间的关系：__________________________________．③边与⾓之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直⾓三⾓形中成⽐例的线段．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型⼀例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． (1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的⾯积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．知识点四：三⾓函数应⽤类型⼀：三⾓函数在⼏何中的应⽤1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，?=1312sin A求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．DCBA5.如图，△ABC 中，∠A=30°，tan 2B =，AC =AB 的长.ACB第三课时，解直⾓三⾓形应⽤类型⼆：解直⾓三⾓形的实际应⽤。
三角函数培优讲义
三角函数培优讲义（一）【知识梳理】：1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说该角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
①第I 象限角的集合： ；②第II 角限角的集合： ； ③第III 象限角的集合： ； ④第IV 象限角的集合： ； ⑤终边在x 轴正半轴的角的集合： ；终边在x 轴负半轴的角的集合： ；终边在x 轴上的角的集合： ；⑥终边在y 轴正半轴的角的集合： ：终边在y 轴负半轴的角的集合： ；终边在y 轴上的角的集合： ； ⑦终边在坐标轴上的角的集合： ：⑧终边在直线x y =的角的集合： ：⑨终边在直线x y -=的角的集合： ：3. 终边相同的角的表示：①α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔ ； ②α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上)⇔ ； ③α终边与θ终边关于x 轴对称⇔ ； ④α终边与θ终边关于y 轴对称⇔ ；⑤α终边与θ终边关于原点对称⇔ ； ⑥ α终边与θ终边关于直线x y =对称⇔ ；注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 4.弧长公式：①扇形的弧长为l ,半径为R ,圆心角为α,则: ， ②扇形面积公式： ；1弧度(1rad)57.3≈.5．任意角的三角函数的定义：①设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么正弦sin ,cos y x r rαα==余弦sin ,cos y x r r αα==，正切()tan ,0y x x α=≠；②了解：余切cot x y α=(0)y ≠，正割sec r x α=()0x ≠，余割()csc 0r y yα=≠。
高中数学培优讲义 第五讲 三角函数(上)
2.同角的三角函数关系
3.诱导公式
三角恒等变形
恒等变形的题目可难可易。无论式子复杂与否，最终解决都是从几个基本的公式出发的，因此课内基础的公式和变形方法大家必须掌握：和角公式，二倍角公式，辅助角公式。此外为了解决更多的变形问题，积化和差，和差化积以及万能公式都是有必要掌握的。灵活运用这些公式我们可以解决很多恒等化简，求值的问题。
例四 求 的值
提示：这个题是比较常见的问题，不过它很有代表性。我们可以转换基本角来解题。把α和α-β当做基本角。这时条件会变成更好的形式。
例五求值。
化简求值类的问题没有什么通法，但是我们可以多试探，多联想，还是不难发现线索的。
(1)
(2)
(3)
(4)
例六证明：
提示：待证明的式子本身就透露了证明方法。我为什么这样说？
例一求值或者化简
例二设 试求 的最大值。
提示：这个题的情形是非常典型的适合运用和差化积和积化和差公式的。
万能公式
万能公式的想法就是用一个变量统一表示正弦sina，余弦cosa和正切tana。这个变量就是半角的正切 。
万能公式可以把一些三角式子通过换元成为整式分式。
例三若
提示：如果通过解方程组的方式把sinx，siny等都求出是可以的，但无疑比较繁。注意到条件的形式，可以利用和差化积，然后两式相除得到 的值，进而由万能公式得到最后的结果。
第五讲 三角函数（上）
三角函数这块知识公式多，变形复杂。要学习好三角函数首先是掌握好它的定义和相关公式的推导过程，其次是通过足够多的练习掌握常见的变形方法。公式记得熟是灵活运用它们的前提。
三角函数的定义
初中三角函数定义在直角三角形中，因此角被限定为锐角。引入单位圆和弧度制以后，三角函数有了更广的定义。因此学习三角函数的第一步就是掌握好单位圆。从单位圆出发，我们可以得到：
中考数学复习锐角三角函数专项复习讲义
中考数学复习锐角三角函数专项复习讲义第一课时:三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ，∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①＝______，＝对对)(sin =A 对对)(sin =B ______；②＝______，＝对对)(cos =A 对对)(cos =B ______；③＝______，＝对对对A A ∠=)(tan )(tan 对对对B B ∠=______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sin A＝______，cos A＝______，tan A＝______，sin B＝______，cos B＝______，tan B＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．对应练习:1、在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．2、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．25247C BA3、 已知α是锐角，且cosα=，求sinα、tanα的值．344、在Rt ABC △中，90C ∠= ，5AC =，4BC =，则tan A =．5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，那么tanA 的值等于53（）.A ． B.C.D. 354534436、 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝，c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．知识点二：特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）.计算：．︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2（2）计算：.︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2例2．求适合下列条件的锐角α ．锐角α30°45°60°sin αcos αtan α(1)(2)21cos =α33tan =α（3）已知α 为锐角，且，求的值3)30tan(0=+ααtan 例3. 三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 21，那么∠A 的取值范围是A. 0°< A < 30°B. 30°< A ＜60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°2. 已知A 为锐角，且，则 （ ）030sin cos <A A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型一 特殊三角函数值与计算1、（1）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°（2）计算：．30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+（3）计算：；tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒(4)(5)222sin =α33)16cos(6=- α（图）在中，若，都是锐ABC ∆022(sin 21cos 2=-+-B A B A ∠∠，角，求.C ∠类型二：利用网格构造直角三角形CBA 2、如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3、如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将绕着点A 逆时针旋转得到，则的值为ABC ∆''B AC ∆'tan B A.B.C.D. 41312114、正方形网格中，如图放置，则tan 的值是AOB ∠AOB ∠（） A ．B. C. D. 252512ABO类型三：直角三角形求值1、已知Rt △ABC 中，求AC 、AB 和,12,43tan ,90==︒=∠BC A C cos B ．2、如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，求AB 及OC 的长．⋅=∠43sin AOC3、已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ；(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4、已知是锐角，，求，的值A ∠178sin =A A cos A tan 类型四. 利用角度转化求值：1、已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cos B、tan B．2、如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴(05)C对(00)O对的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC的值为（）A．BC．D．1 23545图8图图3、如图，角 的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．4、如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A=，则这个菱形的面积= cm2．5、如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．436、如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点AE ABCD D BC F 处．已知，，AB=8,则的值为( )8AB=10BC=tan EFC∠Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．34433545A DECB F8图7、如图，在等腰直角三角形中，，，ABC ∆90C ∠=︒6AC =D 为上一点，若 ，则的长为( )AC 1tan 5DBA ∠=AD AB ．C ．D ．218、 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线图AD =求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.3316ABC类型五. 化斜三角形为直角三角形2、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC ＝5．求：sin∠ABC的值．3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）4、已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．5、ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是A.2 cm 2 .4 cm 2 C.6 cm 2333D.12 cm 2第二课时：解直角三角形知识点三： 解直角三角形1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：______；_______；==B A cos sin ==B A sin cos _____；______．==BA tan 1tan ==B A tan tan 1 ④直角三角形中成比例的线段．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________；BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，，求∠A 、∠B ，b ；235=c (2)已知：，，求∠A 、∠B ，c ；32=a 2=b (3)已知：，，求a 、b ；32sin =A 6=c (4)已知：求a 、c ；,9,23tan ==b B(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠S12,3B．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm ．求AB 及BC 的长．知识点四：三角函数应用类型一： 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，，作3==BC AC ∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．31tan =∠B 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．D CB A5.如图，△ABC 中，∠A=30°，，ABtan B =AC =的长.ACB第三课时，解直角三角形应用类型二：解直角三角形的实际应用一、仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
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. 1 / 13 讲义编号： 组长签字： 签字日期： 学员编号： 年 级：初三 课时数：3 学员__ 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 锐角三角函数 授课日期与时段 教学目标 锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值 重点、难点 特殊角三角函数值 教 学 内 容
一、 疑难讲解
二、知识点梳理 1．锐角三角函数定义 在直角三角形ABC中,∠C=900,设BC=a,CA=b,AB=c,锐角A的四个三角函数是： <1> 正弦定义：在直角三角形中ABC,锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即 sin A = ca, 〔2〕余弦的定义：在直角三角行ABC,锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦,记作cosA,即 cos A = cb, 〔3〕正切的定义：在直角三角形ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切,记作tanA,即 tan A =ba , 这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件： 〔1〕锐角∠A必须在直角三角形中,且∠C=900； 〔2〕在直角三角形 ABC 中,每条边均用所对角的相应的小写字母表示. 否则,不存在上述关系 注意：〔1〕sin,cos,tan都是一个完整的符号,单独的 "sin〞没有意义,其中前面的"∠〞一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时,"∠〞的符号就不能省略. 〔2〕正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的,实际上是两条边的比,它们是正实数,没单. 2 / 13 位,其大小只与角的大小有关,而与所在直角三角形无关. 2、坡角与坡度 坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度〔或坡比〕,即坡度等于坡角的正切. 3、锐角三角函数关系： 〔1〕平方关系： sin2A + cos2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系 若∠A+∠B=∠90,则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数： 00 300 450 600
sinα 0 2
1
22 23
cosα 1 2
3 22
2
1
tanα 0 33 1 〔1〕锐角的正弦值随角度的增加而增加； 〔2〕锐角的余弦值随角度的增加而减小； 〔3〕锐角的正切值随角度的增加而增加.
三、典型例题 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,cosB=54,则AC：BC：AB=〔 〕 A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：4 2、已知锐角α,cosα=35,sinα=_______,tanα=_______. 3、在△ABC中,∠C=90°,若4a=3c,则cosB=______.tanA = ______. 4、在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=13,则BC等于_______. 5、在△ABC中,∠C=90°,若把AB、BC都扩大n倍,则cosB的值为〔 〕 . 3 / 13 A、ncosB B、1ncosB C、cosnB D、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 1、如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AEBC,DFAE,垂足为F,连接DE. 〔1〕求证：ABE△DFA≌△； 〔2〕如果10ADAB，=6,求sinEDF的值.
2、如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,AB=8,求△ABC面积〔结果可保留根号〕. 3、如图〔1〕,∠的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一个点P〔3,4〕,则sin=______
4、如图〔2〕所示,在正方形网格中,sin∠AOB等于〔 〕 A、55 B、255 C、12 D、2
5、如图〔3〕,在ABC△中,90ACB,CDAB于D,若23AC,32AB,则tanBCD的值为〔 〕
A、2 B、22 C、63 D、33 . 4 / 13 6、如图〔5〕,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’,则tanB’的值为〔 〕
A、12 B、13 C、14 D、24 7、如图〔6〕,菱形ABCD的边长为10cm,DE⊥AB,3sin5A,则这个菱形的面积=cm2.
8、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=35,点D在BC边上,且∠ADC=45°,DC=6,求∠BAD的正切值.
9、如图,在正方形ABCD中,M为AD的中点,E为AB上一点,且BE=3AE,求sin∠ECM.
10、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠BCD=90°,AB=1,BC=2,tan∠ADC=2. 〔1〕求证：DC=BC 〔2〕E是梯形ABCD内一点,F是梯形ABCD外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,是判断△ECF的形状,并证明你的结论； . 5 / 13 〔3〕在〔2〕的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值.
考点三：利用特殊角的三角函数值进行计算 1、计算：
〔1〕019(π4)sin302 〔2〕201()(32)2sin3032
〔3〕10182sin45(2)3 〔4〕2sin45°＋3cos30°－23 2、∠B是Rt△ABC中的一个内角,且sinB=23,则cos2B=〔 〕 A、21 B、23 C、22 D、21 3、在△ABC中,a=3,b=4,∠C=60°,则△ABC的面积为________. 4、Rt△ABC中,∠C=90°,c=12,tanB=33,则△ABC的面积为〔 〕 A、363 B、183 C、16 D、18 5、如图所示,在直角坐标系中,OP=4,OP与x轴正半轴的夹角为30°,则点P的坐标为〔 〕 . 6 / 13 A、〔2、23〕 B、〔23,2〕 C、〔2,23〕 D、〔23,－2〕
6、在菱形ABCD中,已知其周长为16 cm,较短对角线长为4 cm,求菱形较小角的正弦值 和余弦值.
7、如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限内,点B的坐标为〔3,0〕,OA=2,∠AOB=60°. 〔1〕求点A坐标； 〔2〕若直线AB交y轴于点C,求△AOC的面积.
考点四：已知一个特殊角的正、余弦值或正切值,求相应的锐角 1、cosA=22,A为锐角,则A=________；2cos=1,则锐角α=________. 2、若tanA的值是方程03)31(2xx的一个根,则锐角A=〔 〕 A、30°或45° B、30°或60° C、45°或60° D、60°或90° 3、若2cosA－3=0,则锐角A=________. 4、在Rt△ABC,∠C=90°,BC=5,AC=15,则∠A等于〔 〕 A、90° B、60° C、45° D、30° . 7 / 13 5、在△ABC中,锐角A,B满足〔sinA-32〕2+│cosB-32│=0,则△ABC是〔 〕 A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形 6、若∠B是Rt△ABC的一个内角,sinB=32,则cos2B的值是〔 〕
A、12 B、22 C、33 D、32 考点五：锐角三角函数的增减性 1、当0°＜＜90°时,sin和tan随的增大而增大,cos随的增大而减小. 2、锐角三角函数的取值X围：0＜sin＜1,0＜cos＜1,tan＞0. 1、当锐角∠A＞45°时,sinA的值为〔 〕
A、大于22 B、小于22 C、小于32 D、大于32
2、当锐角A的cosA＞22时,∠A的值为〔 〕 A、小于45° B、小于30° C、大于45° D、大于30° 3、当锐角∠A＜60°时,tanA的值为〔 〕
A、小于33 B、小于3 C、大于33 D、大于3 4、已知sin≤21,则的取值X围是〔 〕 A、＞30° B、30°＜＜90° C、0°＜＜30° D、0°≤≤30° 5、比较大小： 〔1〕cos18°________cos18.3° 〔2〕tan31°_________tan32°
〔3〕sin30°________sin89° 6、比较大小：sin20°________sin25°；cos50°________cos70°. .
8 / 13 1、当sinA=cosA时,∠A=_______°. 2、已知为锐角,且sin54,则cos=________. 3、cos〔60°－〕=sin〔________〕.〔0°＜＜90°〕 4、若sin10°=cosA,则锐角A=〔 〕 A、10° B、80° C、10°或20° D、不确定 5、已知sincos36°,则锐角=________.
四、课堂练习 1、 已知在△ABC中,∠A、∠B是锐角,且sinA＝135,tanB=2,AB=29cm, 则S△ABC =． 思路点拨 过C作CD⊥AB于D,这样由三角函数定义得到线段的比,sinA=135ACCD,tanB=2BDCD,设CD=5m,AC＝13m,CD＝2n,BD＝n,解题的关键是求出m、n的值．
2、 在△ABC中．∠ACB＝90°,∠ABC＝15°,BC=1,则AC=< > A．32 B．32 C．0.3 D．23 思路点拨 由15°构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化．
考点六：锐角三角函数间的转换 1、22sincos1AA
2、若∠A与∠B互余,sincosAB
3、sincos=tanAAA