高二数学空间异面直线知识点总结
高二数学异面直线距离
高二数学异面直线距离
高一数学必修2异面直线
高一数学必修2异面直线异面直线是指两条直线在空间中既不相交又不平行的情况。
在高中数学必修2中，学生将学习如何判断两条直线是否异面以及如何求解异面直线的性质。
首先，我们可以通过两条直线的方向向量来判断它们是否平行。
如果两条直线的方向向量不平行，则它们一定不平行。
然而，两条直线的方向向量平行并不意味着它们一定平行，因为两条直线可以在空间中任意平移。
为了判断两条直线是否相交，我们可以使用方程组的方法。
假设已知两条直线的参数方程分别为：直线1：x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1t直线2：x = x2 + a2t, y = y2 + b2t, z = z2 + c2t其中(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别是直线1和直线2上的一点，而(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)则是直线1和直线2的方向向量。
我们可以通过解方程组来判断两条直线是否相交。
如果方程组有解，则两条直线相交；如果方程组无解，则两条直线不相交。
如果两条直线相交，则我们可以进一步求解它们的交点。
将直线1和直线2的参数方程对应的x、y、z分量相等，可以得到一个关于t的方程组。
通过解这个方程组，我们可以求得两条直线的交点坐标。
在求解异面直线的性质时，我们通常会考虑两条直线的夹角。
两条异面直线的夹角是指它们的方向向量之间的夹角。
可以使用向量的内积公式来计算夹角，即cosθ = (a1a2 + b1b2 + c1c2) /(|a1b1c1||a2b2c2|)，其中θ表示夹角。
另外，异面直线还有一个重要的性质是它们的距离。
两条异面直线的距离是指两条直线上任意一点的距离的最小值。
要计算两条异面直线的距离，我们可以选择其中一条直线上的一点，然后计算该点到另一条直线的距离。
综上所述，高一数学必修2中的异面直线是一个重要的概念。
通过学习如何判断两条直线是否异面以及如何求解异面直线的性质，学生将能够更好地理解空间中的直线和它们之间的关系，为后续学习提供基础。
高二必修二数学知识点笔记
高二必修二数学知识点笔记1.高二必修二数学知识点笔记篇一空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直。
(2)垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
2.高二必修二数学知识点笔记篇二两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(线面平行→面面平行)，(2)如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
(线线平行→面面平行)，(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理(1)如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
(面面平行→线面平行)(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
(面面平行→线线平行)3.高二必修二数学知识点笔记篇三1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
2.规定若线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。
具有方向和长度的线段叫做有向线段。
3.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。
向量a的模记作|a|。
注：向量的模是非负实数，是可以比较大小的。
(高二)高二数学知识点及公式总结5篇
高二数学知识点及公式总结5篇相信有很多同学到了高中会认为数学是理科，所以没必要死记硬背。
其实这是错误的想法，高中数学知识点众多，光靠一个脑袋是记不全的，好记性不如烂笔头，要想学好数学，同学们还是要多做知识点的总结。
以下是我精心收集整理的高二数学知识点及公式总结，下面我就和大家分享，来欣赏一下吧。
高二数学知识点及公式总结11、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(1)标准方程，圆心(a,b)，半径为r;(2)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出a，b，r;假设利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，那么有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，那么过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2练习题：2.假设圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点，那么()A.a2-b2=0B.a2+b2=r2C.a2+b2+r2=0D.a=0，b=0【解析】选B.因为圆过原点，所以(0，0)满足方程，即(0-a)2+(0-b)2=r2，所以a2+b2=r2.高二数学知识点及公式总结2空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
空间两异面直线的公垂线方程的求法
解题方法与技巧空间两异面直线的公垂线方程的求法＊许孟（南京理工大学应用数学系 南京 210094）摘要介绍了求空间中两异面直线公垂线方程的四种解法关键词异面直线；公垂线；直线方程；平面 中图分类号 0182.2大多数《解析几何》教材中在研究空间中两直线的相关位置时，首先是给出两直线相关位置判别的充分必要条件，然后研究各自相关位置的特征性质.对异面直线来说，所具有的特征性质就是公垂线和两异面直线间的距离.若已知两直线l 1和l 2的方程为l 11x -x 1X 1=y -y 1Y 1=z -z 1Z 1，l 21x -x 2X 2=y -y 2Y 2=z -z 2Z 2，则两直线l 1与l 2异面的充要条件是A =x 2-x 1 y 2-y 1 z 2-z 1X 1 Y 1 Z 1X 2 Y 2 Z 2一0.我们知道与两条异面直线l 1和l 2都垂直相交的直线l 叫做两异面直线的公垂线.那么如何求出这条公垂线l 的方程呢？比较通行的教材都是给出下面的解法四，而其他的解法则不再介绍.其实，另外三种解法更基本，也容易入手，只是求解的表述烦琐些.我们不妨举例说明.例［1］求两异面直线：l 11x 1=y -1=z +10与l 21x -11=y -11=z -10的公垂线方程.解法一（定义法） 设所求公垂线l 的方程为x -x 0X =y -y 0Y =z -z 0Z ，即它过其上任意点M （x 0，y 0，z 0），且以U 、=｛X ，Y ，Z ｝作方向矢量.因为直线l 1过点M 1（0，0，-1），以U 1、=｛1，-1，0｝为方向矢量，直线l 2过点M 2（1，1，1），以U 2、=｛1，1，0｝为方向矢量，所以，由公垂线定义有：1）U 、·U 1、=0，即X -Y =0；2）（MM 、一1，U 、，U 1、）=0，即-x 0-y 0-1-z 0XYZ 1-10=0；3）U 、·U 2、=0，即X +Y =0；4）（MM 、一2，U 、，U 2、）=0，即1-x 01-y 01-z 0X Y Z 110=0.由1）、3）知X 1Y 1Z =-10101010111-111=01012， ｛X ，Y ，Z ｝）｛0，0，1｝，这也即U 、可以取为U 1、U 2、.于是，不妨取X =Y =0；Z =2.代入2）知：x 0+y 0=0；代入4）知：x 0-y 0=0.从而x 01y 01z 0=10-10101011111-1=0101（-2）.故，我们不妨取x 0=y 0=0；z 0=-6高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVOI.10，NO.2Mar.，2007＊收稿日期：2005-12-312.因此，所求公垂线l 的方程为x O =y O =z +2l .它实际上就是z 轴x =Oy ={O .解法二（定义法） 设所求公垂线l 的方程为x -x O X =y -y O Y=z-z OZ，即它过其上某一点M （x O ，y O ，z O ），且以1、=｛X ，Y ，Z ｝作方向矢量.我们不妨假设点M 是直线l l 与直线l 的交点，于是有x O l =y O -l =z O +lO ，即l ）x O +y O =O ；z O =-l .因为直线l l 过点M l （O ，O ，-l ），以1l 、=｛l ，-l ，O ｝为方向矢量，直线l 2过点M 2（l ，l ，l ），以12、=｛l ，l ，O ｝为方向矢量，所以，由公垂线定义知，2）1、·1l 、=O ；3）1、·12、=O .即X -Y =O 与X +Y =O .如上，求出X =Y =Z =-l Ol O =O l O l =l -l l l=O =O =2；不妨取X =Y =O ；Z =l .又因为点M 在直线l 上，也在由直线l 2和直线l 所构成的平面!2=x -l y -l z -l l l O X Y Z =O 上，所以x O -l y O -l z O -l l l O X Y Z =O （也可以看作三矢量M 2M 、，12、，1、共面），即4）x O -y O =O .结合l ），有x O =y O =O ；z O =-l ，即点M （O ，O ，-l ）.故，所求公垂线l 的方程为x O =y O =z +l2.它实际上就是z 轴x =O y ={O.解法三（两点式） 设点P l （x l ，y l ，z l ）、点P 2（x 2，y 2，z 2）分别是直线l l 与直线l 、直线l 2与直线l 的交点，于是有l ）x l l =y l -l =z l +l O ；2）x 2-ll =y 2-l l =z 2-l O.如解法二，求出x l =y l =O ；z l =-l ，即点P l 的坐标为（O ，O ，-l ）.同理，类似地求出点P 2的坐标为（O ，O ，l ）.故由直线的两点式方程表示式，所求公垂线l 的方程为x -O O -O =y -O O -O =z -（-l ）l -（-l ），即x O =y O =z +ll，它实际上就是z 轴x =Oy ={O .解法四（一般方程） 因为公垂线l 既垂直相交于直线l l ，又垂直相交于直线l 2，所以公垂线l可以看作由过直线l l 上点M l （O ，O ，-l ），以1l 、=｛l ，-l ，O ｝，1l 、>12、为方位矢量的平面!l 与过直线l 2上点M 2（l ，l ，l ），以12、=｛l ，l ，O ｝，1l 、>12、为方位矢量的平面!2的交线.于是，由解法一知，1l 、>12、=-l Ol O ，O l O l ，l -l {}l l=｛O ，O ，2｝）｛O ，O ，l ｝.所以，平面!l 的方程为x y z -l l -l O O O l =O ；平面!2的方程为x -l y -l z -ll l OO O l=O ，也即!l =x +y =O 与!2=x -y =O .因此，所求公垂线l 的方程为x +y =O x -y ={O .它实际上就是z 轴x =Oy ={O.比较上述几种解法，均是充分利用题设条件，通过分析综合法开拓解题思路.解法一从定义出发，很自然想到.解法二从解法一外延得到，也较容易想到.解法三是转换思维角度，让学生从不同角度来考虑解决问题的途径，从而培养学生思维的灵活性.解法四建立在更深刻理解概念基础上，阐述几何图形的其他表述方式，学生可进一步体会解析几何的思想.参考文献［l ］吕林根、许子道等.解析几何（第三版）［M ］.北京：高等教育出版社，l987，l3l -l32.［2］俞南雁、韩瑞珠等.线性代数与空间解析几何［M ］.北京：科学出版社，l999，33-34.7第lO 卷第2期 许孟：空间两异面直线的公垂线方程的求法空间两异面直线的公垂线方程的求法作者：许孟作者单位：南京理工大学应用数学系,南京,210094刊名：高等数学研究英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)：2007,10(2)参考文献(2条)1.吕林根;许子道解析几何 19872.俞南雁;韩瑞珠线性代数与空间解析几何 1999本文读者也读过(10条)1.刘程熙.彭家寅.LIU Cheng-xi.PENG Jia-yin异面直线公垂线方程的求法[期刊论文]-内江师范学院学报2009,24(8)2.陈晓春.CHEN Xiao-chun空间二异面直线间距离的一个公式[期刊论文]-重庆三峡学院学报2006,22(3)3.马广韬.徐厚生.王莹君.MA Guang-tao.XU Hou-sheng.WANG Ying-jun求解空间两异面直线公垂距离的计算方法[期刊论文]-山东理工大学学报（自然科学版）2007,21(4)4.马金江.张凤然.MA Jin-jing.ZHANG Feng-ran求解两异面直线间的距离与公垂线方程的方法[期刊论文]-高师理科学刊2007,27(5)5.王翔.王怀学空间两直线的位置关系学习中的易错点剖析[期刊论文]-高中数理化（高二）2007(12)6.华志远"空间两条直线"复习教学设计[期刊论文]-数学教学研究2002(7)7.皇甫雪团异面直线距离的一种求法[期刊论文]-山西师范大学学报（自然科学版）2009,23(z1)8.魏东东.孙新.WEI Dong-dong.SUN Xin空间两异面直线间距离求法及其CAI[期刊论文]-郑州航空工业管理学院学报（社会科学版）2001,20(1)9.赵理对"空间中直线与直线之间的位置关系"一课的反思[期刊论文]-中学数学2008(10)10.张唯春.ZHANG Wei-chun巧用法向量与方向量解决空间平面及直线问题[期刊论文]-长春师范学院学报（自然科学版）2006,25(3)本文链接：/Periodical_gdsxyj200702002.aspx。
高二数学人教版上册知识点
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高二数学教案：9.2空间的平行直线与异面直线(3)
【课题】空间的平行直线与异面直线(3)【教学目标】1、掌握两异面直线所成的角的概念；2、会用平移转换法求异面直线所成的角.3、理解并掌握空间两直线互相垂直的概念。
4、初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想.【教学重点】异面直线所成角的定义、范围、计算.【教学难点】一、复习引入（1）复习平行公理；（2）异面直线的概念；二、讲解新课（一）异面直线所成的角异面直线所成角的定义：过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；C②两条异面直线所成的角θ∈（0,2π］; ③因为点O 可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上；④找两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；（二）两直线互相垂直当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b 互相垂直，也记作a ⊥b ;【注】以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形。
三、 例题讲解【例1】 设图中正方体的棱长为a . （1）求直线BA ′和CC ′所成角的大小； （2）求直线BA ′和B ′D ′所成角的大小； 解：（1）∵CC ′∥BB ′ ∴BB ′和BA ′所成的锐角，即∠A ′BB ′就是异面直线BA ′和CC ′所成的角（解题过程中，这句表述不能少）.∵∠A ′BB ′=45°,∴BA ′与CC ′所成的角是45°. （2）60°【例2】 在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC上的点，且12AE BF ED FC ==，AB=CD=3，AB 与CD 所成角 的大小.解：取BD 中点G ，则BG ∥AB ，EG=12AB=32. GF ∥CD ，GF=12CD=32. ∴EG 与GF 的夹角即为所求.cos ∠EGF=2222EG GF EF EG GF +-∙=997544339222+-=-⨯⨯∴所成角的余弦为59，所成角为arccos 59.【例3】 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2a ，AA 1=a ,E 和F 分别是A 1B 1和BB 1的中点。
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高二数学空间异面直线知识点总结
学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。
下面是店铺为大家整理的高二数学知识点，希望对大家有所帮助!
一、空间异面直线知识点总结
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有反且
有一个公共点;平行直线共面没有公共点;异面直线不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.()(可
能两条直线平行，也可能是点和直线等)②直线在平面外，指的位置关
系：平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相
交、平行、在平面内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直
线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.()(射
影不一定只有直线，也可以是其他图形)⑥在同一平面内的射影长相等，
则斜线长相等.()(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线
段)⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或
异面.
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面
内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线)
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且
方向相同，那么这两个角相等(如下图).(二面角的取值范围)(直线与直
线所成角)(斜线与平面成角)(直线与平面所成角)(向量与向量所成角推
论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线
所成锐角(或直角)相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：
相交(共面)垂直和异面垂直.是异面直线，则过外一点P，过点P且与都
平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. (或在这个
做出的平面内不能叫与平行的平面)
二、立体几何学习中的图形观知识点总结
一、作图
作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意
义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系.所以作图是解决立体
几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决.
例1 已知正方体
中，点P、E、F分别是棱AB、BC、
的中点(如图1).作出过点P、E、F三点的正方体的截面.
分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图
中的难点.学生看到这样的题目不知所云.有的学生连结P、E、F得三角
形以为就是所求的截面.其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线
只要找到交线上的两点即可.观察所给的条件(如图2)，发现PE就是一
条交线.又因为平面ABCD//平面
，由面面平行的性质可得，截面和面
的交线一定和PE平行.而F是
的中点，故取
的中点Q，则FQ也是一条交线.再延长FQ和
的延长线交于一点M，由公理3，点M在平面
和平面
的交线上，连PM交
于点K，则QK和KP又是两条交线.同理可以找到FR和RE两条
交线(如图2).因此，六边形PERFQK就是所求的截面.
二、读图
图形中往往包含着深刻的意义，对图形理解的程度影响着我们的
正确解题，所以读懂图形是解决问题的重要一环.
例2 如图3，在棱长为a的正方体
中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=b
上的定点，P在
上滑动，则四面体PQEF的体积( ).
(A)是变量且有最大值(B)是变量且有最小值(C)是变量无最大最小
值(D)是常量
分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点.这个图形有很多
不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化
中是否可以发现其中的稳定因素?求四面体的体积要具备哪些条件?
仔细观察图形，应该以哪个面为底面?观察
，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P
到EF的距离也是定值，故它的面积是定值.再发现点Q到面PEF的距
离也是定值.因此，四面体PQEF的体积是定值.我们没有一点计算，对
图形的分析帮助我们解决了问题.
三、用图
在立体几何的学习中，我们会遇到许多似是而非的结论.要证明它
我们一时无法完成，这时我们可考虑通过构造一个特殊的图形来推翻
结论，这样的图形就是反例图形.若我们的心中有这样的反例图形，那
就可以帮助我们迅速作出判断.