cos x e |x |
的图像大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知数列{a n },a =114
,a n =1?
1a n?1
(n ≥2)，则a 2020=
A ．4
5 B ．1
4 C ．﹣3 D ．1
5
7．已知f （x ）={1,x ≥0?1,x <0
则不等式x+（x+2）?f （x+2）≤5的解集是
A ．[﹣2，1]
B ．（﹣∞，﹣2]
C ．[?2,3
2
] D ．(?∞,3
2
]
8．已知函数f (x )=13
x 3?1
2
x 2+cx +d 无极值，则实数c 的取值范围为
A ．(?∞,14)
B ．(?∞,14]
C ．[14,+∞)
D ．(1
4,+∞)
9．已知Rt △ABC ，点D 为斜边BC 的中点，|AB ??????|=6√2,|AC ??????|=6,AE ??????=12ED ??????，则AE ???????EB ??????等于 A ．﹣14 B ．﹣9 C ．9 D ．14
10．为得到函数g (x )=cos (3x ?π3)的图象，只需将函数f (x )=sin (2x +π
6)图象上所有的点
A ．横坐标缩短到原来的2
3倍
B ．横坐标伸长到原来的3
2倍
C ．横坐标缩短到原来的2
3
倍，再向右平移π
12个单位
D ．横坐标伸长到原来的3
2倍，再向右平移π
12个单位
11．已知a ?=(1,sinα)，b ??=(2,cosα)，且a ?∥b ??，则cos(π
2
+α)+cosα
2cos(?α)?sinα的值是 A ．1 B ．3
5 C ．1
3 D ．1
5
12．已知非零向量a ?=(t,0),b ??=(?1,√3)，若a ??b ??=?4，则a ?+2b ??与b ??的夹角 A ．π
3 B ．π
2 C ．π
6 D ．2π
3
二、填空题
13．已知幂函数f （x ）=x a 的图象过点(2,1
2)则函数g （x ）=（x ﹣1）f （x ）在区间[1
2,2]上的最
小值是__．
14．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 4?a 7=3，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=__．
此
卷
只
装
订
不
密
封
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15．已知4cos 35πα??+= ???，则13sin 6πα?
?
-
??
?
的值是____________. 16．已知数列{a n }是等差数列，若a 8+3a 10＞0，a 9a 10＜0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n ＞0时n 的最大值为__．
三、解答题
17．已知正项数列满足4S n =a n 2+2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =1
a
n a n+1
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
18．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ），x ∈R （其中A ＞0，ω＞0，0＜φ<π2
）的周期为π，且图象上的一个最低点为M （
2π3
,?2 ）．
（1）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （2）当x ∈[0，π
3]时，求f （x ）的值域．
19．已知等比数列{a n }的各项均为正数，2a 2﹣5a 1=3，a 3a 7=9a 42； （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =a n ?log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，已知2sin ,3a b A c b ==. （1）求B 的值；
（2）若ABC 的面积为23，求,a b 的值. 21．设函数f(x)=lnx ?px +1 (1)研究函数f(x)的极值点;
(2)当p ＞0时,若对任意的x ＞0,恒有f(x)≤0,求p 的取值范围;
22．已知直线l 的参数方程为{
x =?3?√6
3t
y =√
33t (t 为参数)，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为ρ=4√2cos(θ+π
4)+4sinθ．
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)点P 、Q 分别为直线l 与曲线C 上的动点，求|PQ |的取值范围． 23．设函数f (x )=|x ?a |．
(1)当a =2时，解不等式f (x )≥7?|x ?1|；
(2)若f (x )≤2的解集为[?1,3]，1m +1
2n =a (m >0,n >0)，求证:m +4n ≥2√2+3．
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2019届甘肃省会宁县第一中学 高三上学期第三次月考数学（文）试题
数学 答 案
参考答案 1．A
【解析】因为(){}()(){}()431301,3A x x x x x x =->=--<=， {}
B x x a =≥，且
A B A ?=，即A B ?，所以1a ≤.故选A.
2．C
【解析】∵z =2?i i
=
(2?i)×i ?1
=?1?2i
∴复数z =2?i i
（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第三象限故选C.
3．C
【解析】对于A ，当a ?≠0??，b ??=0??时，不存在实数λ，使a ?=λb
??，故错误；对于B ，命题的否命题是将命题中的条件与结论同否定，故错误；对于C ，命题“?x 0∈R ，使得x 02
+x 0+1<0”的否定
是“?x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”，故正确；对于D ，当a =5且b =?5时，a +b =0，故充分性成立；当a +b =0时，可以a =4且b =?4等等，故必要性不成立，故错误.故选C.
4．B
【解析】分析：分别判断出a ，b ，c 的大致范围，即可比较出它们的大小. 详解：a =log 0.32<0，b =20.1>1，c =sin789°=sin69°?0c >a .故选：B.
点睛：(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
5．D 【解析】 【分析】
根据函数为偶函数去掉A,B ，再根据函数值去掉C. 【详解】 令f (x )=
cos x e |x |
，则f (?x )=f (x )，函数为偶函数，排除AB 选项；
当x →+∞时， 1e |x |=1e x →0，而cos x ∈[?1,1]，则f (x )=cos x e |x |
→0，
排除选项C .本题选择D 选项. 【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．B 【解析】
【分析】
根据题干所给的递推关系得到数列的周期为3，进而得到a 2020=a 1=1
4. 【详解】
数列{a n }，满足a n =1?
1a n?1(n ≥2)，因为a =114
故得到a 2=1?
1a 1
=-3，
再代入得到a 3=1?1
a 2
==4
3，a 4=1?1
a 3
=1
4，a 5=1?1
a 4
=?3，进而可以发现数列是有周期
的，周期为3，2020=673×3+1，故a 2020=a 1=1
4.故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了数列通项公式的求法，即通过数列的递推关系找到数列的通项，或者通过配凑新数列进而求出通项，或者通过找规律找到数列的周期性，进而求出特定项的值.
7．D 【解析】 【分析】
先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入不等式x+（x+2）?f （x+2）≤5求解即可． 【详解】
当x+2≥0，即x≥-2时．
则x+（x+2）f （x+2）≤5转化为：2x+2≤5 解得：x≤3
2
∴-2≤x≤32
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当x+2＜0即x ＜-2时，x+（x+2）f （x+2）≤5转化为：x+（x+2）?（-1）≤5 ∴-2≤5，∴x ＜-2．综上x≤3
2故选D ．
【点睛】
本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．
8．C 【解析】 【分析】
由已知中函数解析式f （x ），我们易求出导函数f′（x ）的解析式，然后根据函数f （x ）有极值，方程f′（x ）=x 2﹣x+c=0没有实数解，构造关于c 的不等式，解不等式即可得到c 的取值范围．
【详解】
∵f′（x ）=x 2﹣x+c ，要使f （x ）无极值， 则方程f′（x ）=x 2﹣x+c=0没有变号的实数解， 从而△=1﹣4c≤0，∴c≥1
4，故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．
9．C 【解析】 【分析】
可分别以直线AC ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出点A ，B ，C ，D 的坐标，进而求出点E 的坐标，从而得出向量AE ??????，EB ??????的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出AE
???????EB ??????的值． 【详解】
如图，分别以边AC ，AB 所在直线为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则：
A (0,0)B(0,6√2)C (6,0)D(3,3√2) 因为AE ??????=12
ED ??????，所以AE ??????=13
AD ??????
∴AE ??????=(1，√2)，E(1,√2),EB ??????=(?1,5√2) ∴AE ???????EB ??????=?1+10=9.故选：C ． 【点睛】
考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算．
10．A 【解析】
分析：先将三角函数化为同名函数f(x)=sin (2x +π6)=sin(2x +π2?π3)=cos(2x ?π
3)然后根据三角函数伸缩规则即可.
详解：由题可得：f(x)=sin (2x +π6)=sin(2x +π2?π3)=cos(2x ?π
3)，故只需横坐标缩短到原来的23倍即可得cos(3x ?π
3)，故选A.
点睛：考查三角函数的诱导公式，伸缩变换，对公式的正确运用是解题关键，属于中档题. 11．C
【解析】分析：首先根据两向量平行，求得tanα，再根据诱导公式化简，最后分子和分母同时除以cosα，表示为tanα，最后代入即可求得结果.
详解：因为a ?//b ??，cosα=2sinα，解得tanα=12，原式=?sinα+cosα2cosα?sinα，然后分子和分母同时除以cosα化简为?tanα+1
2?tanα=
?12
+1
2?1
2=1
3，故选C.
点睛：本题考查向量平行的坐标表示，以及同角三角函数的关系等知识，意在考查学生分析问题的能力，属于基础题型.
12．A 【解析】 【分析】
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根据条件容易求出t=4，从而得出a ?=(4,0)，从而得出a ?+2b ??=(2,2√3)可设a ?+2b ??与b ??的夹角为θ，这样根据cosθ=
(a ?+2b
??)·b ??|a ?+2b
??||b ??| 即可求出cosθ，进而得出θ的值．
【详解】 因a ??b ??=?4=?t ∴t=4；
∴a ?=(4,0)，b ??=(?1,√3)，a ?+2b ??=(2,2√3) 设a ?+2b ??与b ??的夹角为θ，则：cosθ=(a ?+2b
??)·b ??|a ?+2b
??||b ??|=-2+64×2=12， ∴θ=π
3故答案为：A ． 【点睛】
本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是a ??b ??=|a ?||b ??|cosθ，二是a ??b ??=x 1x 2+y 1y 2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cosθ=a
??·b ??|
a
??|·|b ??| （此时a ?·b ??往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a ? 在b
?? 上的投影是a
???b ??|b ??|
；（3）a ?,b ??向量垂直则a ??b ??=0;(4)求向量ma ?+nb ?? 的模（平方后需求a ??b
??）. 13．﹣1． 【解析】 【分析】
由代入法可得α=﹣1，求出g （x ）=1﹣1
x
在区间[1
2
，2]上单调递增，即可得到最小值．
【详解】 由幂函数
f （x ）=x a 的图象过点（2，1
2
），
可得2α=1
2，解得α=﹣1， 即有f （x ）=1
x ，
函数g （x ）=（x ﹣1）f （x ）=1﹣1
x
在区间[1
2
，2]上单调递增，
则g （x ）的最小值为g （1
2
）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查函数的最值求法，注意运用函数单调性，同时考查幂函数解析式求法：待定系数法，考查运算能力，属于中档题．
14．5 【解析】
【分析】
log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1×a 2×…×a 10）=log 3(a 4?a 7)5，由此能求出结果． 【详解】
∵等比数列{a n }的各项均为正数，且a 4?a 7=3， ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10 =log 3（a 1×a 2×…×a 10） =log 3(a 4?a 7)5 =log 335 =5． 故答案为5． 【点睛】
本题考查对数式求值，考查等比数列的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．4
5
-
【解析】根据两角和的余弦公式可得1
34
cos cos 3225
sin πααα??+
=-= ?
?
?，所以由诱导公式可得13sin 6πα?
?-
= ??
? 31cos 622sin sin πααα?
?-=- ??? 134cos 225sin αα??=--=- ? ???
，故答案为45
-
. 16．18 【解析】 【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得a 9＞0，a 10＜0，又可得S 18=18a 9＞0，而S 19=10（a 1+a 19）
=10（a 9+a 10）＜0，进而可得S n 取得最小正值时n 等于18．
【详解】
∵a 8+3a 10＞0，∴由等差数列的性质可得 a 8+3a 10=a 8+a 10+2a 10=2a 9+2a 10=2（a 9+a 10）>0， 又a 9?a 10＜0，∴a 9和a 10异号， 又∵数列{a n }的前n 项和S n 有最大值， ∴数列{a n }是递减的等差数列， ∴a 9＞0，a 10＜0，
∴S18=18a9＞0
∴S19=10（a1+a19）=20a10＜0
∴S n取得最小正值时n等于18．
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义和性质．等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．
17．（1）a n=2n?1；（2）n
2n+1
.
【解析】
【分析】
（1）由4S n＝a n2+2a n+1，可知当n≥2时，4S n?1＝a n?12+2a n?1+1，两式作差可得a n-a n-1=2（n≥2），再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列{a n}的通项公式；
（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=1
a n a n+1
，再由裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．【详解】
（1）由4S n＝a n2+2a n+1，可知当n≥2时，4S n?1＝a n?12+2a n?1+1，
两式作差得a n-a n-1=2（n≥2），
又4S1＝4a1＝a12+2a1+1，得a1=1，
∴a n=2n-1；
（2）由（1）知，b n=1
a n a n+1＝1
(2n?1)(2n+1)
=1
2
(1
2n?1
?1
2n+1
)
∴T n=b1+b2+…+b n=1
2[(1?1
3
)+(1
3
?1
5
)+?+(1
2n?1
?1
2n+1
)]=1
2
(1?1
2n+1
)=n
2n+1
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
18．（1）[kπ?π
3,kπ+π
6
]，k∈Z；；（2）[1，2].
【解析】
【分析】
（1）由f（x）的图象与性质求出T、ω和A、φ的值，写出f（x）的解析式，再求f（x）的单调增区间；
（2）求出0≤x≤π
3
时f（x）的最大、最小值，即可得出函数的值域．
【详解】
（1）由f（x）=Asin（ωx+φ），且T=2π
ω
=π，可得ω=2；
又f（x）的最低点为M（2π
3,?2）∴A=2，且sin（4π
3
+φ）=-1；
∵0＜φ<π
2
，∴4π
3
<4π
3
+φ<11π
6
∴4π
3
+φ=3π
2
∴φ=
π
6
∴f（x）=2sin（2x+π
6
）；
令2kπ-π
2
≤2x+π
6
≤2kπ+π
2
，k∈Z，
解得kπ-π
3
≤x≤kπ+π
6
，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-π
3
,kπ+π
6
]，k∈Z；
（2）0≤x≤π
3
，
π
6
≤2x+π
6
≤5π
6
∴当2x+π
6
=π
6
或5π
6
，即x=0或π
3
时，f min（x）=2×1
2
=1，
当2x+π
6
=π
2
，即x=π
6
时，f max（x）=2×1=2；
∴函数f（x）在x∈[0，π
3
]上的值域是[1，2]．
【点睛】
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
19．（1）a n=3n；（2）2n?1
4
?3n+1+3
4
．
【解析】
【分析】
（1）设数列{a n}的公比q，由题意可得{
2a1q?5a1=3
q2=9，求出首项和公比，即可求出通项公
式，（2）根据对数的运算性质可得b n=a n?log3a n=n×3n，再利用错位相减法求和．
【详解】
（1）设数列{a n}的公比q（q＞0），由2a2-5a1=3，a3a7=9a42，得{
2a1q?5a1=3
q2=9
∴a1=q=3，∴a n=3n，n∈N*，（2）b n=a n?log3a n=n×3n，
∴S n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，
∴3S n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，
相减得-2S n=3+32+33+34+…+3n-n×3n+1=3(1?3n)
1?3
?n?3n+1
∴S n =2n?1
4
?3n+1+3
4
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【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（1）30；（2）4{
2
a b ==或22{
22
a b ==
【解析】试题分析：（1）利用正弦定理对已知条件化简可求sin B ，利用三角形的大边对大角可求B ；（2）利用余弦定理可求a ， b 之间的关系，进而结合三角形的面积可ac ，再把a ， b 的关系代入可求a ， b 的值.
试题解析：（1）2sin a b A =， 1
sin 2sin sin sin 2
A B A B =?=
， 30B =或150， c b >，所以30B =
（2）由2
2
2
2cos30b a c ac =+-，解得2
2
230b ab a a b -+=?=或2a b =①，又
1
sin3023832ABC
S
ac ac ==?=②，3c b =③，由①②③4{
2a b ==或22{ 22
a b == 21．（1）当p >0 时,f(x)有唯一的极大值点x =1
p ； （2）[1,+∞). 【解析】 【分析】
（1）先求函数的定义域，对函数求导，分别解f′（x ）＞0，f′（x ）＜0，求出函数的极值点即可；
（2）结合（I ）p ＞0时函数f （x ）的单调性，求函数f （x ）的最大值，对任意的x ＞0，恒有f （x ）≤0?f （x ）max ≤0，代入求解p 的取值范围.
【详解】
(I)∵f(x)=lnx ?px +1,∴f(x)的定义域为(0,+∞),
f ′(x)=1x ?p =1?px
x
当p ≤0时,f ′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上无极值点 当p >0时,令f ′(x)=0,∴x =
1p
∈(0,+∞),f ′(x)、f(x)随x 的变化情况如下表:
x (0,1p ) 1p (1
p
,+∞) f ′(
x ) + 0 - f (x )
↗
极大值
↘
从上表可以看出:当p >0 时,f(x)有唯一的极大值点x =1
p
(Ⅱ)当p >0时在x =1p 处取得极大值f(1p )=ln 1
p ,
此极大值也是最大值,要使f (x )≤0恒成立,只需f(1
p
)=ln 1
p
≤0,
∴p ≥1,即p 的取值范围为[1,+∞) 【点睛】
本题考查了导数的应用：求函数的单调区间，求函数的极值，在求解中不能忽略了对函数定义域的判定，当函数中含有参数时，要注意对参数的分类讨论，本题又考查了函数的恒成立问题，这
也是高考在导数部分的重点考查的知识点．
22．（1）(x ?2)2+y 2=4； （2）[5√3
3
?2,+∞).
【解析】
【分析】
（1）化简曲线方程C ，可得ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，结合ρsinθ=y ，ρcosθ=x ，即可得曲线C 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线的距离，结合图形，即可得出|PQ|的最小值，即可得出|PQ|的取值范围．
【详解】
(1)∵ρ=4cosθ?4sinθ+4sinθ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ； 又ρsinθ=y,ρcosθ=x ，∴x 2+y 2=4x ， ∴C 的直角坐标方程为(x ?2)2+y 2=4． (2)l 的普通方程为x +√2y +3=0， ∴圆C 的圆心到l 的距离为d =√3
=
5√3
3
，∴|PQ |的最小值为d ?r =
5√3
3
?2，
∴|PQ |的取值范围为[5√3
3
?2,+∞)
【点睛】
本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
23．（1）(?∞,?2]∪[5,+∞)（2）m +4n ≥2√2+3(当且仅当m =√2+1,n =2+2√2
4
时取等号)
【解析】 【分析】
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（1）由零点分区间的方法，去掉绝对值，分情况解不等式即可；（2）原不等式转化为a ?x ≤x ≤a +2，即{a ?2=?1a +2=3
解得a 值即可，再由1的妙用，结合均值不等式得到结果.
【详解】
(1)当a =2时，不等式为|x ?2|+|x ?1|≥7，
∴{
x <12?x +1?x ≥7 或{1≤x ≤22?x +x ?1≥7 或{x >2x ?2+x ?1≥7 ， ∴x ≤?2或x ≥5．
∴∴不等式的解集为(?∞,?2]∪[5,+∞)．
(2)f (x )≤2即|x ?a |≤2，解得a ?2≤x ≤a +2，而f (x )≤2解集是[?1,3]，
∴{a ?2=?1a +2=3
,解得a =1，所以1m +12n =a (m >0,n >0)，
∴m +4n =(m +4n )(1m +12n )=3+4n m
+m
2n ≥2√2+3．(当且仅当m =√2+1,n =
2+2√2
4
时取等号)
【点睛】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
