【考研数学】2001年一数一真题、标准答案及解析
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1
理工数学一试题详解及评析
x
sin
cos
x )（c ,c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的
1
2
(1)设
2
详解】 方法一 看出所给解对应的特征根为λ =1± i ，从而特征方程为 λ ? 1+ i ,
( ( )) 1,2 ( ( ))
?
2
? 2λ + 2 = 0,于是所求方程为y ' 2y '
方法二 将已知解代入y ' + by + cy = 0，得
' ( ( ) ) ( ( ) )
x
x
sin x ? b c ? c + cc ? 2c +
e x
cos x ? b c + c + cc + 2c . 由 于 e sin x 与
x 1 2 1 2 1 2
2 1
= ?2,c = 2
cc 1 2c ,b c c 2c ，解得b 2 1
2 1 x
sin x + c 2
((c ? c )sin x + (c + c )cos x 1
2
1
2
)
y y ' = e '
= e (?2c sin x + 2c cos x )
2 1 从这三个式子消去c 与c ，得 y ' ? 2y ' + 2y = 0 1 2
r = x 2 + y 2 + z 2 , 则div gradr ( =
3
?r ?r ?y ?r ?z x y z
gradr = i + j + k = i + j + k ?x r r r ? ? ?x ? r ? x ? y ? ? r ?
?y ? z ? ? r ? ?z ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 r ? x r ? y r ? z 2 2 ( ) = + + = + + = = div gradr r 3 r 3 r 3 r 3 r
2 =
=
2
1 2 + (?2) + 2
2
1?y
∫
( )f x , y dx =
?1
2
2 1?x
∫
( )
f x , y dy .
1
∫
?
1 2
∫
?1
0 1?y
2
( )
D = {(x , y )| ?1≤ y ≤ 0,1? y ≤ x ≤ 2},
又可将 D 改写为
{( ) } D = x , y |1≤ x ≤ 2,1? x ≤ y ≤ 2 ,
0 2 2 0
( )
f x , y dy 1
2
?1
1?y
1
dx
∫
1?x
2
( )
=
1
( ? )?1
+ A ? 4E = O ,其中 E 为单位矩阵，则 A E
(4)设矩阵 A 满足 A
2
1
2
A 2 + A ? 4E = O ，
A 2 + A ? 2E = 2E ，
( ? )( +
) =
A E A 2E 2E ,
1
( ? )? ( + ) =
A E A 2E E , 2 1
( ? )?1 ( + A 2E
)
A E 2 { ( ) } 5）设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P X ? E X ≥ 2 ≤
.
1
2
( ) D X 1
2
{ ( ) } P X ? E X ≥ 2 ≤
= 2 2
( ) = ( )
= ' ( )
1）设函数 f x 在定义域内可导， y f x 的图形如右图所示，则导函数 y f x 的【 】
( )是严格单调增加的，因此当 x < 0 详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y f x
= y = f (x )图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A ），（C ）； ' ( )的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f (x )图
' = 形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B ）. 故正确答案为（D ）.
( ) '
(
0, 0) =
'
2）设函数 f x , y 在点 0,0 附近有定义，且 f
x
= 3dx + dy .
(0,0)
（ （ = ( )在点(0, 0, f (0, 0))的法向量为{3, 1, 1}
B ）曲面 z f x , y ? z = ( f x , y )
( ( ))
{ }
C ）曲线 ?
在点 0, 0, f 0,0 的切向量为 1, 0,3 y = 0
?