第3讲 行程问题之比例行程教学提纲

第3讲行程问题之

比例行程

第3讲行程问题之比例行程

例1．一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的比依次是1 : 2 : 3，小明走各段路所用的时间的比依次为4 : 5 : 6，已知他上坡时的速度为每小时3千米，路程全长为10千米，问小明走完全程用小时。

解：已知他上坡时的速度为每小时3千米，路程全长为10千米，上坡的路程是5

3

千米，

t=s

t

，∴上坡的时间是

5

9

小时。

所以平路的路程是10

3

千米，下坡的路程是

15

3

千米，

时间的比依次为4 : 5 : 6，上坡的时间是5

9

小时，

所以走完全程的时间是5

9

×

4+5+6

4

=

15

12

=

5

4

（小时）。

例2．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？

D B

解：设AB两地的距离是7x千米，则AC=4x，BC=3x，CD=30，从C点相遇后到第二次相遇于点D，甲走了2×BC+CD，乙走了2×AC–CD，

所以(2×3x+30) : (2×4x–30)=4 : 3，解得x=15，

所以AB之间的距离是15×7=105（千米）。

例3．小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路，并且小芳上学走这两条路所用时间一样多，已知下坡速度为平路的1.6倍，那么上坡速度为平路的倍。

解：设路长为2S，且小芳在平路上的速度为v，则所用的时间是2s

v

，

下坡的速度为1.6v，路程为S，所用的时间是5

8

s

v

，

于是上坡的时间是2s

v

–

5

8

s

v

=

11

8

s

v

，上坡的速度为

8

11

v，上坡速度是平路的

8

11

倍。

例4．甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以4千米/时的速度走了路程的一半，又以6千米/时的速度走完了另一半；乙班的比赛过程中，一半时间以4千米/时的速度行进，另一半时间以6千米/时的速度行进，问甲、乙两班哪个班将获胜？

解：设行军的路程为2S ，则甲班用的时间是46S S +=512

S ， 设乙班的平均速度为5千米/时，所用乙班用的时间是25

S ， 512S >25

S ，所以乙班用的时间少，乙班将获胜。

例5．王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了19

，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶了280千米后，将车速提高16

，于是提前1小时40分钟到达北京。北京、上海两市间的距离是 千米。

解：设北京到上海的距离为S 千米，原计划用的速度是v ， 原计划所用的时间是S v

（小时）， S v –910S v =1.5， S v

=15（小时）， 返程时先走了280千米，后来车速提高了16，车速为76

v ， S v –[280v +6(280)7S v -]=53，所以15–[280v +907–16807v ]=53， 解得v =84，所以S =1260（千米）。

例6．有甲、乙、丙三辆车，各以一定的速度从某地出发同向而行，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙，请问：甲出发多少分钟才能追上乙？

解：乙和丙比较，乙走40分钟时，丙走了50分钟，他们的速度比是5 : 4，

乙的速度是丙的速度的54

， 甲和丙比较，甲走了100分钟，丙走了130分钟，他们的速度比是13 :

10， 甲的速度是丙的速度的1310

， 所以甲和乙的速度比是26 : 25，时间比为25 : 26，

即甲用25分钟的时间走的路等于乙用26分钟时间走的路。

甲比乙晚出发20分钟，

所以甲追上乙时用的时间是25×20=500（分钟）=8小时20分钟。

例7．甲从A 地出发前往B 地，乙、丙两人从B 地出发前往A 地，甲行了50千米后，乙和丙才同时从B 地出发，结果甲和乙相遇在C 地，甲和丙相遇在D

地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，C 、D 两地之间的距离是12千米，那么A 、B 两地之间的距离是 千米。

解：设甲走了50千米之后到达E 地，

已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，

所以ED =3DB ，DB =14EB ；EC =1.5CB ，BC =25EB ，25EB –14

EB =12， 所以320

EB =12，EB =80（千米）。 所以AB =50+80=130（千米）。

例8．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千

米，乙车每小时行60千米，两车分别到达B 地和A 地后，立即返回。返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变，已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A 、B 两地的距离是 千米。

E D C B A 解：设AB 两地之间的距离为a ，两车第一次相遇的地点是C ， 甲、乙的速度比是2 : 3，所以AC =25a ，BC =35

a ， 甲到达B 点之时，乙已经又从A 点出发到了D 点，

此时甲走了a 千米，所以乙走了32

a 千米，所以D 点是AB 的中点， 甲的速度增加二分之一，提高到每小时60千米，与乙一样快， 而他们现在一个人在B 点，另一个人在D 点，第二次相遇的地点是DB 的中点E ，

EB =14a ，所以CE =720a ，720a =50，a =10007

（千米）。

随 堂 测 试

1．一条小船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度是每小时9千米，平时顺行与逆行所用时间的比是1 : 2，一天因为下暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用10小时，甲、乙两港之间相距 千米。

解：设水流速度为v ，顺水速度为9+v ，逆水速度为9–v ，9+v =2(9–v )，解得v =3，

下暴雨后水速为每小时6千米，此时顺水速度为9+6=15，逆水速度为9–

6=3，

顺水速度 : 逆水速度=5 : 1，所以顺水用的时间为逆水用的时间之比为1 :

5，

往返共用了10小时，所以顺水用的时间是53小时，逆水用的时间是253

小时，

所以甲、乙两港之间相距15×53

=25（千米）。