半导体中的载流子统计分布

简并（统计简并）：服从费米统计率的
电子系统称为简并性系统。
0.0
0.5
1.0
19
E
状态密度：
g(E)
=
dZ dE
=
V
2π 2
(2mn* ) 3 2 =3
(E
−
1
Ec ) 2
Ec Ev
电子/空穴分布：
费米分布
f (E) =
1
Ec
1+
exp⎜⎜⎝⎛
E − EF k0T
⎟⎟⎠⎞
EF
玻尔兹曼分布
f
(E)
h3
3/ 2
exp⎜⎜⎝⎛
−
EC − EF kBT
⎟⎟⎠⎞
∫∞ x1/2 exp(− x)dx = π / 2 0
NC
∴ n0
=
NC
exp⎜⎛ − ⎝
EC − EF kBT
⎟⎞ ⎠
NC ⎯⎯ 导带有效状态密度
n0
=
gEc
exp⎜⎜⎝⎛ −
EC − EF kBT
⎟⎟⎠⎞
23
价带有效状态密度
同理
( ) p0
dZ = (k空间体积元）×（k空间的量子态密度） 5
K空间中量子态的分布
⎧ ⎪ Δk x ⎪ ⎪⎨Δk y ⎪
= =
2π
Lx
2π
Ly
⎪ ⎪⎩
Δk
z
=
2π
Lz
每个量子态在 k 空间所占的体积 =
2π ⋅ 2π ⋅ 2π = (2π )3
Lx Ly Lz
V
∴ k 空间的量子态密度 =
1
(2π )3
V
E
=
Ec
+百度文库
=2 2
⎛ ⎜⎜⎝
k
2 x
+
k
2 y
mt
+
k
2 z
ml
⎞ ⎟⎟⎠
k
2 x
a2
+
k
2 y
b2
+
k
2 z
c2
=1
其中
a2
=
b2
=
2mt (E − =2
Ec )
,
c2
=
2ml (E − =2
Ec )
椭球体积
V
=
4π abc
3
=
4π
3
1
⋅
2mt
(
E− =2
Ec
)
⋅
⎛ ⎜⎝
2ml
(
E− =2
Ec
)
⎞ ⎟⎠
=
V
(2π )3
在K空间中，电子的允许能量状态密度是V/8π3，如果计入自旋，电子的允许量 子态密度是2V/8π3 。每个量子态最多只能容纳一个电子。
6
各向同性
各向同性（等能面为球面）：导带底极值在k=0处
G E(k )
−
G E(k0 )
=
GG =2 (k − k0 )2
2 m n*
G
E
=
Ec
1− f (E) =
1
1
+
exp⎜⎜⎝⎛
EF − k0T
E
⎟⎟⎠⎞
当 EF - E>> kBT
1 − f (E) ≈ exp⎜⎛ E − EF ⎟⎞ 玻氏分布 ⎝ kBT ⎠
电子和空穴的多少依赖于费 米能级的位置。
费米能级越靠近导带－n型 半导体；
费米能级越靠近价带，－p 型半导体
18
Fermi-Dirac 统计律和Boltzmann统计律的差别
26
§ 3.3 本征半导体中的载流子统计
本征半导体 ⎯⎯ 没有杂质和缺陷的半导体
T = 0 K，价带全满，导带全空
T ≠ 0 K，热激发，电子从价带激发到导带（本征激发）
n0 = p0 ⎯⎯ 电中性条件
NC
exp⎜⎛ − ⎝
EC − EF kBT
⎞⎟ ⎠
=
NV
exp⎜⎛ ⎝
−
EF − EV kBT
h3
3/2
说明， 导带中电子浓度和价带中空穴浓度随着温度T 和费米能级 EF的不同 而不同。
温度的影响有两方面： 1. Nc 和 Nv的影响 2. 玻尔兹曼分布的影响
费米能级也受到温度和杂质情况的影响
载流子浓度乘积n0p0
( ) n0
p0
=
NC
NV
exp⎜⎛ ⎝
−
EC − EV kBT
⎟⎞ ⎠
=
NC NV
≈
exp⎜⎜⎝⎛ −
E − EF k0T
⎟⎟⎠⎞
Ev
1− f (E) ≈ exp⎜⎛ E − EF ⎟⎞
⎝ kBT ⎠
0.0
0.5
gc(E) gv(E)
1.0
载流子浓度
电子： 空穴：
dN = f (E)gC (E)dE
dN = [1− f (E)]gV (E)dE
∫ 电子浓度＝ N = dN VV
+
=2k 2
2
m
* n
kz
k
dZ
=
2V
(2π )3
⋅ dV
=
2V
(2π )3
⋅ 4 π k 2 dk
E0
ky
kx K+dK
k
=
(
2
m
* n
(
E =2
−
Ec ) )1/ 2
dE dk
=
=2k
m
* n
=>
kdk
=
m
* n
=2
dE
dZ
=V
2π 2
⋅
(2
m
* n
)
=3
3/2
⋅(E
−
Ec
) 1 / 2 dE
dZ
exp
−
Eg
kBT
n0
p0
=
4⎜⎛ ⎝
k0
2π= 2
⎟⎞3 ⎠
(mn*m*p
3
)2T
3
exp⎜⎜⎝⎛ −
Eg kBT
⎟⎟⎠⎞
Mass Action Law
m03*2.33*10 31
电子和空穴乘积和费米能级无关，对于一定的半导体材料，乘积只决 定于温度，而所含杂质无关。后面n型半导体载流子分布要用到。 禁带宽度不同,n0p0乘积也不同。 对于相同半导体，n越大，p越小
12
费米(Fermi)分布函数
在热平衡条件下，电子在不同能量的量子态上统计分 布几率一定。服从Pauli不相容原理的电子遵循费米统 计分布。
费米分布函数：能量为E的一个量子态被一个电子占据 的几率f(E)
f (E) =
1
1+
exp⎜⎜⎝⎛
E − EF k0T
⎟⎟⎠⎞
EF ⎯⎯ 费米能级（化学势）
15
玻耳兹曼(Boltzmann)分布函数
当 E-EF >> k0T （实际只要> 几个k0T）
f
(E)
=
1+
1
exp⎜⎜⎝⎛
E − EF k0T
⎟⎟⎠⎞
≈
exp⎜⎜⎝⎛ −
E − EF k0T
⎟⎟⎠⎞
f0 玻耳兹曼分布函数
f(E) ⎯⎯ 能量为 E 的量子态被电子占据的 几率
一般半导体材料的禁带宽度远大于k0T
4
§3.1 状态密度
Density of States(DOS)
状态密度 g(E)
定义： E → E+dE 范围内有dZ 个量子态
g(E) = dZ dE
g(E):在能带中能量E附近每单位能量间隔内的量子态数。
Tip: 要想求出 E → E+dE 范围内的量子态个数 dZ (kx只+d要kx求, k出y+Ed→ky,Ek+z+ddEk范z) k围空内间的的(k体x,积ky元, k。z) →
2
( ) dV
=
2π
=3
8ml mt2
1 2
(E
−
Ec
1
)2
dE
假设共有s个旋转椭球，则k空间中量子态密度为： s *2V/8π3个电子状态, 则
dZ = s ⋅ 2V dV = s ⋅ V
8π 3
2π 2
( )1
⋅
8ml mt2 =3
2 1
(E − Ec ) 2 dE
球状
dZ
=
V
2π 2
(2mn* ) 3 2 =3
价带
载流子的复 合 导带
价带
载流子的 跃迁 导带
施主能级
载流子的复 合 导带 复合中心 价带
3
载流子的跃迁：价带→导带，低能量→高能量 载流子的复合：高能量→低能量
动态平衡
跃迁
复合
热平衡载流子：热平衡状态下的导电电子和空穴。 温度变化，载流子热平衡下浓度也相应变化 本章所解决的中心问题： 1.一定温度下半导体中平衡载流子浓度。 2. 半导体载流子随温度变化的规律
ln⎜⎜⎝⎛
m*p me*
⎟⎟⎠⎞
m*p 和 me* 同数量级
∴ ∴
实际上，当 E-EF > 5kBT 时，f < 0.007 当 E-EF < -5kBT 时，f > 0.993 室温kBT~26meV
f(EF)=1/2
在EF以下kbT量级范围内的电子被热激发到EF以上，出现由f≈1到f ≈ 0的过渡区 域。
14
温度不高时：
f (E) =
1
1+
exp⎜⎜⎝⎛
( ) = 1
∫ 2π 2
2me* =3
3/ 2
(kBT )3/ 2
exp⎜⎜⎝⎛ −
Ec − EF kBT
⎟⎟⎠⎞
( EC max −EC ) / kBT 0
⎜⎜⎝⎛
E − EC kBT
⎟⎟⎠⎞1/ 2
exp⎜⎜⎝⎛ −
E − Ec kBT
⎟⎟⎠⎞d (
E − EC kBT
)
( ) = 2
2πme*kBT
E − EF k0T
⎟⎟⎠⎞
能量大于费米能级的量子态基本没有 被电子占据；
能量小于费米能级的量子态基本上为 电子占据。
各种温度下，电子占据费米能级的几 率为1/2
温度越高，越多的电子从费米面下激 发到费米面以上
费米能级的物理意义 ⎯⎯ 标志了电子填充水平
1. 费米能级较高，说明由较多的量子态上有电子； 2. 随着温度升高，电子占据能量大于费米能级的量子态的几率增大。
3
3
gv(E) =
V
2π 2
(2mdp ) =3
2
(Ev
1
− E) 2
mph 和mpl分别是重空穴和轻空穴的有效质量。由于mph>>mpl, 重空穴带的态 密度显著大于轻空穴带的态密度。所以空穴主要分布在重空穴带中。
§ 3.2 费米能级和载流子的统计分布
费米分布函数 玻尔兹曼分布函数 导体中的电子浓度和价带中的空穴浓度
∑ f (Ei) = N
i
13
f(E) 的性质
1o T = 0 K
⎧1
f
(E)
=
⎪ ⎨
⎪⎩0
E < EF E > EF
f (E) =
1
1+
exp⎜⎜⎝⎛
E − EF k0T
⎟⎟⎠⎞
2o T ≠ 0 K
⎧1/ 2 < f < 1
f
(E)
=
⎪ ⎨
1/ 2
⎪⎩0 < f < 1/ 2
E < EF E = EF E > EF
⎟⎞ ⎠
EF
=
EC
+ EV 2
+
kBT 2
ln⎜⎛ NV ⎝ NC
⎟⎞ ⎠
=
EC
+ EV 2
+ 3kBT 4
ln⎜⎜⎝⎛
m*p me*
⎟⎟⎠⎞
= Ei （本征费米能级）
( ) NV
=2
2πm*p k BT h3
3/ 2
( ) Nc = 2
2πme*kBT h3
3/2
27
EF
=
EC
+ EV 2
+ 3kBT 4
(E
1
− Ec ) 2 ⋅ dE
( ) ( ) 1
3
取 s 8ml mt2 2 = 2md*n 2
( ) md*n
=
2
s3
ml mt2
1 3
gc(E) =
dZ dE
=
V
2π 2
(
2
m
* dn
)
3
2
=3
1
(E − Ec ) 2
相同的方法可以得到价带顶附近电子的态密度
gv(E) =
V
2π 2
(
2
m
=V
2π 2
⋅
(2
m
* n
)
=3
3/
2
⋅(E
−
Ec
) 1 / 2 dE
g(E)
=
dZ dE
=
V
2π 2
(
2
m
* n
)
3
2
=3
(E
1
− Ec ) 2
由此可知，状态密度与能量成抛物线关系，能量越大，状态密度越大。和有效质
量也有关。
E
Ec
gc(E)
Ev
gv(E)
实际情况
对实际材料，如Si, Ge的导带底附近等能面不是球面，而 是旋转椭球面，即
=
dN V
=
1 2π 2
2me* =3
3/2
(E
−
EC
)1/ 2
exp⎜⎜⎝⎛ −
E − EF kBT
⎟⎟⎠⎞dE
∫ ∫ ( ) ( ) n0=
dn =
1 EC max
EC 2π 2
2me* 3/ 2 =3
E − EC
1/2 exp⎜⎜⎝⎛ −
E − EF kBT
⎟⎟⎠⎞dE
热平衡
将 ECmax 换成 ∞ 不影响结果
电子浓度：单位体积内导带中的电子数(单位：1/cm3)
21
导带中电子都聚集在 导带底 价带中空穴都聚集在 价带顶
22
计算电子：
单位体积中
dN = f (E)gc (E)dE
( ) = V 2π 2
2me* =3
3/ 2
(E
−
EC
)1/ 2
exp⎜⎜⎝⎛ −
E − EF kBT
⎟⎟⎠⎞dE
( ) dn
16
(E-EF)
0 kT 2kT 4kT 8kT
1
(E−EF )
1+ e
k0T
−(E−EF )
e
k0T Error
0.5 0.269 0.119
1 0.368 0.135
100% 37 14
0.018
0.0183 1.8
0.00034 0.00034 0.034
17
1-f(E) ⎯⎯ 能量为 E 的量子态被空穴占据的几率
第三章 半导体中的载流子统计分布
半导体的电子状态，能带 半导体的杂质能级 半导体的电子分布
1
§3.1 状态密度 §3.2 费米能级和载流子的统计分布 §3.3本征半导体的载流子分布 §3.4杂质半导体的载流子浓度 §3.5 一般情况下的载流子统计分布 §3.6 简并半导体
电子能量
载流子的 跃迁
导带
* p
)
3
2
=3
(Ev
1
− E) 2
实际情况：在价带顶有两种空穴
gv (E ) = gvl (E ) + gvh (E )
3
3
=
V
2π 2
⋅
(2m pl =3
)
2
1
(Ev − E) 2 +
V
2π 2
⋅
(2m ph =3
)
2
(Ev
1
− E) 2
2
取
mdp
=
⎡ ⎢⎣
m
3 2
pl
+
3
m
2 ph
⎤ ⎥⎦
=
NV
exp⎜⎛ − ⎝
EF − EV kBT
⎟⎞ ⎠
其中
NV
=2
2πm*p k BT
h3
3/2
n0
=
NC
exp⎜⎛ − ⎝
EC − EF kBT
⎟⎞ ⎠
其中
p0
=
NV
exp⎜⎛ ⎝
−
EF − EV kBT
⎟⎞ ⎠
( ) Nc = 2
2πme*kBT
h3
3/ 2
( ) NV
=2
2πm*p k BT
Fermi统计律受到泡利不相容原理的限
制。
Ec
在E-Ef>>k0T的条件下，量子态被电子 所占据的几率很小，泡利原理失去作
用，Bolzman统计律和费米统计律相同。 EF
在半导体中，EF位于禁带内，而且于 导带底和价带顶底距离远大于k0T，所 Ev 以，对于导带中的电子分布可以用电子 的boltzmann统计律来描写。