高中数学原创试题(9)

2011年数学原创试题（9）

在复数运算中，1起到微妙的作用，下面列举几例。

例1、计算i i i 1

21

31

++ 分析：从i i 12+入手，将分子1用2i -代替，即i

i 12+i i i 22-+=，以此类推，将原式中的1均用2

i -代替，很容易得出结果。 解：原式i

i i i i i 22223-+-+-=i i i i 22

3-+-=.222i i i -=-= 例2、计算ai

b bi a -+ 分析：本题中没有明显的“1”，但实数a=a ·1=a ·（2i -），分子则为

a ·（2

i -）+bi=i （b-ai ），即可解出。 解：ai

b bi a -+.)()(2i ai b ai b i ai b bi i a =--=-+-= 例3、计算1212)2

3()23(i i --+ 分析：根据括号内复数的特征，可将

23i +变形为)231)(1(2)3(i i i i i +-=⋅+； 同理可得=-23i ).231)(1(i i --- 又3是12的因数，利用1)2

31(3=±-i 即可得出计算结果。

解：原式

1212]2)3()()([]2)3([i i i i i i -⋅---⋅+4312])231[(1i i +-⋅=4312])2

31[()(1i i --⋅--=1-1=0. 点评：总之，复数运算中“1”的代换有两种方式，其一为“代入”，如例1、例2，将1用2

i -代替；其二为“凑”，如例3，分子乘i 后，凑出了1的立方根。

例4、计算2008)12(32132i i

i -+++- 解：原式10042])12[(321)321(i i i i -+++=

1004)22(i i -+=1004i i +=.12514i i i +=+=⨯ 点评：代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过表达式的结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质，1的立方虚根ω的性质，可有效地简化运算，提高速度。

例5、计算812)3122()2123(i

i i -++--的值。 解：812)3122()2123(i i i -++--=881212)2

321()1()2321(i i i i +-+++- 94)2

321()2321()2(11i i i +-+-+⨯=)2321(161i +-+=.387i += 点评：若i 2

321+-=ω，则13=ω，这是一个比较重要的结论，通过观察，不难得到i 2123--

)2321(i i +-=，i 31-)2321(2i +--=，从而利用13=ω，化简计算。