高考数学高频考点原创与改编试题
2024年高考数学新增高频考点(解析版)
(多拿20分)2024年高考数学新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项2023年高考数学新增高频考点专题突破一．复数的三角表示(共5小题)1已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6，则z 1z 2的代数形式是()A.6cosπ4+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 C.3-3i D.3+3i2若复数z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π33已知复数z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数4复数z =cos -2π5+i sin -2π5 的辐角主值为()A.8π5B.-8π5C.2π5D.-2π55任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8 m (m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，17利用积化和差公式化简sin αsin π2-β 的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)]B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为．10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sin αsin β的取值范围是．三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sin α•cos β=sin (α+β)+sin (α-β)B.2cos α•sin β=sin (α+β)+cos (α-β)C.cos α+cos β=2sin α+β2⋅sin α-β2D.cos α-cos β=2cos α+β2⋅cosα-β212在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a +c =2b ，则tan A2•tan C 2的值为(参考公式：sin A +sin C =2sin A +C 2cos A -C2)()A.2B.12C.3D.1313已知sin α+sin β=2165，cos α+cos β=2765，则sin β-sin αcos β-cos α=．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为．15在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为三角形．四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CAB.-12CAC.32CAD.-32CA19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.22320已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.8023某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.1024某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为11025某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为．六．点、线、面间的距离(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．七．条件概率(共8小题)29已知事件A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥30已知P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )=，P (A|B )=．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )=．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.9533为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.61735人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．36某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．八．全概率公式(共2小题)37某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.3838假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15九．贝叶斯公式(共2小题)39对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5：3：2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为78%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是；若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是．40英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A(A 的对立事件)存在如下关系：P (B )=P (B |A )•P (A )+P (B |A )•P (A)．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为()A.0.01B.0.0099C.0.1089D.0.1十．二项分布中的最大项(共3小题)41若X ~B 100，13 ，则当k =0，1，2，⋯，100时()A.P (X =k )≤P (X =50)B.P (X =k )≤P (X =32)C.P (X =k )≤P (X =33)D.P (X =k )≤P (X =49)42已知随变量从二项分布B 1001，12，则()（多选）A.P (X =k )=C k100112 1001 B.P (X ≤301)=P (X ≥701)C.P (X >E (X ))>12D.P (X =k )最大时k =500或50143经检测有一批产品合格率为75%，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P (ξ=k )取得最大值时k 的值为．(多拿20分)2023年高考新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项参考答案与试题解析一．复数的三角表示(共5小题)已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，则z 1z 2的代数形式是()+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 D.3+3i【解析】：∵z 1=2cosπ12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，∴z 1z 2=6cos π12+i sin π12 cos π6+i sin π6=6cos π12cos π6-sin π12sin π6 +cos π12sin π6+sin π12cos π6 i=6cos π12+π6 +i sin π12+π6=6cos π4+i sin π4 =622+22i=3+3i ，故选：D ．z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π3【解析】：z =32+12i 的模为1，辐角为π6，则复数z =32+12i 的三角形式为cos π6+i sin π6．故选：A ．z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数【解析】：对于A ，|z |=cos 2θ+sin 2θ=1，故A 错误，对于B ，z 2=(cos θ+i sin θ)2=cos 2θ+2sin θcos θi +i 2sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ+2cos θsin θi ，故B 错误，对于C ，z ⋅z=(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=cos 2θ+sin 2θ=1，故C 正确，对于D ，z +1z =cos θ+i sin θ+1cos θ+i sin θ=cos θ+i sin θ+cos θ-i sin θ(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=2cos θ，故D 错误．故选：C ．=cos -2π5 +i sin -2π5的辐角主值为()B.-8π5C.2π5D.-2π5=cos -2π5 +i sin -2π5 ，∴复数z 的辐角为2k π-2π5，k ∈Z ，∴复数z 的辐角主值为2π-2π5=8π5．5任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8m(m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8【解析】：∵复数cosπ8+i sin π8 m =cos m π8+i sin m π8为纯虚数，∴cos m π8=0，sin m π8≠0，∴m π8=k π+π2，k ∈Z ，根据m ∈N *，可得正整数m 的最小值为4，此时，k =0，故选：B ．二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，1【解析】：直角三角形中两锐角为A 和B ，A +B =C =π2，则cos A cos B =12[cos (A -B )+cos (A +B )]=12cos (A -B )，再结合A -B ∈-π2，π2，可得cos (A -B )∈(0，1]，∴12cos (A -B )∈0，12 ，故选：A ．7利用积化和差公式化简sin αsin π2-β的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)] B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]【解析】：sin αsin π2-β =sin αcos β=12[sin (α+β)+sin (α-β)]故选：D ．8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为 14 ．【解析】：∵cos α+cos β=12，∴cos α+β2cos α-β2=12cos α+β2-α-β2 +cos α+β2+α-β2 =12(cos α+cos β)=12×12=14．故答案为：14．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为 m ．【解析】：由已知得：sin (α+β)•sin (β-α)=cos2α-cos2β2=(2cos 2α-1)-(2cos 2β-1)2=cos 2α-cos 2β=m10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是 0，32 ．【解析】：∵α-β=π6∴sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]=-12cos(α+β)-32=-12cos2β+π6-32∵β为锐角，即0<β<π3∴π6<2β+π6<5π6，∴-32<cos2β+π6<32∴0<-12cos2β+π6-32<32故答案为：0，3 2三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sinα•cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)B.2cosα•sinβ=sin(α+β)+cos(α-β)C.cosα+cosβ=2sinα+β2⋅sinα-β2D.cosα-cosβ=2cosα+β2⋅cosα-β2【解析】：sin(α+β)+sin(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ，故选：A．12在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，则tan A2•tan C2的值为(参考公式：sin A+sin C=2sin A+C2cos A-C2)()A.2B.12C.3 D.13【解析】：∵a+c=2b，∴由正弦定理得sin A+sin C=2sin B=2sin(A+C)，即2sin A+C2cos A-C2=4sin A+C2cos A+C2，在三角形中sin A+C2≠0，∴cos A-C2=cos A+C2，即cosαA2cos C2+sin A2sin C2=2cos A2cos C2-2sin A2sin C2，即3sin A2sin C2=cos A2cos C2，即sin A2sin C2cos A2cos C2=13，即tan A2•tan C2=13，故选：D．13已知sinα+sinβ=2165，cosα+cosβ=2765，则sinβ-sinαcosβ-cosα= -97 ．【解析】：sin α+sin β=2165，可得2sin α+β2cos α-β2=2165⋯①cos α+cos β=2765，2cos α+β2cos α-β2=2765⋯②．①②可得sin α+β2cosα+β2=2127=79．sin β-sin αcos β-cos α=-2cos α+β2sin α-β22sin α+β2sin α-β2=-cos α+β2sinα+β2=-97．故答案为：-97．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为 247 ．【解析】：由sin α+sin β=14，得2sinα+β2cos α-β2=14，由cos α+cos β=13，得2cos α+β2cos α-β2=13，两式相除，得tanα+β2=34，则tan (α+β)=2tan α+β21-tan 2α+β2=2×341-34 2=247故答案为：24715在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为直角三角形．【解析】：由cos B +cos C =sin B +sin C 得到2cosB +C 2cos B -C 2=2sin B +C 2cos B -C2两边同除以2cos B -C 2得sin B +C 2=cos B +C 2即tan B +C2=1，由0<B <π，0<C <π，得到B +C 2∈(0，π)，所以B +C 2=π4即B +C =π2，所以A =π2，则△ABC 为直角三角形．故答案为：直角四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b【解析】：因为两个单位向量a 和b的夹角为120°，所以a ⋅b =|a |⋅|b |cos120°=1×1×-12=-12，所以(a -b )⋅b =a ⋅b -b 2=-12-1=-32，故所求投影向量为(a-b )⋅b |b |⋅b =-32b．故选：D ．17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)【解析】：已知a =(-2，λ)，b =(1，1)，由于a ⊥b ，所以a ⋅b=(-2)×1+λ×1=0，解得λ=2，所以a =(-2，2)，b =(1，1)，得a -b=(-3，1)，则(a -b )⋅b=(-3)×1+1×1=-2，|b |=12+12=2，故a -b 在b 方向上的投影为(a -b )⋅b|b |=-22=-2，得a -b 在b方向上的投影向量为-2⋅b 2=(-1，-1)．故选：D ．18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CA B.-12CA C.32CA D.-32CA【解析】：AB 与CA 的夹角为2π3，则cos ‹AB ，CA ›=-12，根据投影向量的定义有：AB 在CA 上的投影向量为|AB |⋅cos ‹AB ，CA ›⋅CA|CA |=-12CA ．故选：B ．19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.223【解析】：∵a +b 在b 上的投影向量为23b，∴(a+b )⋅b |b |⋅b |b |=23b ，∴a ⋅b =-13，∵|a|=|b |=1，∴由向量的夹角公式可知，cos ‹a ，b ›=a ⋅b |a ||b |=-13．故选：A ．20已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a【解析】：∵|a|=2|b |，a 与b 的夹角为120°，∴(2b -a )⋅a =2a ⋅b -a 2=2|a |⋅12|a | ⋅cos120°-a 2=-32a 2，∴2b -a 在a 上的投影向量为：(2b -a )⋅a |a |⋅a|a |=-32a ．故选：B ．五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是90分．【解析】：8名学生的成绩从小到大排列为：63，68，76，77，82，88，92，93，因为8×75%=6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即12×(88+92)=90(分)．故答案为：90分．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.80【解析】：记构成的等差数列为{a n }，则a n =70+2(n -1)=2n +68，∵10×40%=4，∴这10个班级的平均成绩的第40百分位数为a 4+a 52=76+782=77，故选：B ．23某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.10【解析】；抽取的工人总数为20，20×75%=15，那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9，10，所以第75百分位数是9+102=9.5．故选：C ．24某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为110【解析】：由频率分布直方图可得，(a +0.01+0.03+0.035+0.01)×10=1，解得a =0.015，故A 错误，设第60百分位数为x ，则0.1+0.015+(x -70)×0.035=0.6，解得x =80，故B 正确，估计这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误，估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为1000×0.01×10=100，故D 错误．故选：B ．25某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为10.8．【解析】：数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以12×80%=9.6，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8．故答案为：10.8．六．点、线、面间的距离计算(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明：取DE 中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别为AE ，DE 中点，∴FG ∥AD ，FG =12AD ，又AD ∥BC ，BC =12AD ，∴BC ∥FG ，BC =FG ，∴四边形BCGF 为平行四边形，∴BF ∥CG ，又BF ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，∴BF ∥平面CDE ．(2)∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABE ，又∠BAE =π2，则以A 为坐标原点，AB ，AE ，AD正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则F (0，1，0)，C (2，0，1)，D (0，0，2)，E (0，2，0)，∴CD =(-2，0，1)，DE =(0，2，-2)，FE =(0，1，0)，设平面CDE 的法向量n=(x ，y ，z )，则CD ⋅n=-2x +z =0DE ⋅n =2y -2z =0，令x =1，解得：y =2，z =2，∴n=(1，2，2)，∴点F 到平面CDE 的距离d =|FE ⋅n||n |=23．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．【答案】(1)证明：取AE 的中点G ，连接GD ，GF ，因为BF ∥EA ，且BF =12AE ，所以AG ∥BF 且AG =BF ，所以四边形AGFB 是平行四边形，所以GF ∥AB ，又因为ABCD 是菱形，所以AB ∥DC ，且AB =DC ，所以GF ∥DC 且GF =DC ，所以四边形CFGD 是平行四边形，CF ∥DG ，又CF ⊄平面ADE ，DG ⊂平面ADE ，所以CF ∥平面ADE ；解：(2)连接BD 交AC 于N ，取CE 中点P ，∵PN ∥AE ，EA ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥平面ABCD ，且CN ⊥BN ，∴以N 为原点，NC ，NB ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设在棱EC 上存在点M 使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，E (-1，0，2)，B (0，3，0)，C (1，0，0)，F (0，3，1)，A (-1，0，0)，D (0，-3，0)则设CM =λCE=λ(-2，0，2)(0<λ<1)，∴M (1-2λ，0，2λ)，所以DM =(1-2λ，3，2λ)，DB =(0，23，0)，BC =(1，-3，0)，FB=(0，0，-1)设平面DBM 的一个法向量为n=(x ，y ，z )，则n ⋅DM=0n ⋅DB =0，即(1-2λ)x +3y +2λz =023y =0 ，令y =0，x =-2λ，z =1-2λ，得n=(-2λ，0，1-2λ)，设平面FBC 的一个法向量为m=(a ，b ，c )，则m ⋅BC =0m ⋅FB =0，即a -3b =0-c =0 ，取b =1，得m=(3，1，0)，∴|cos ‹n ，m ›|=|m ⋅n ||m |⋅|n |=|-23λ|2(-2λ)2+(1-2i )2=155，解得λ=13或λ=1，又∵0<λ<1，∴λ=13，此时M 13，0，23 ，∴CM =-23，0，23 ，∴点M 到平面BCF 的距离d =|CM ⋅m||m |=2332=33．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．【解析】：(1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ．因为ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，又因为PA ∩AB =A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥BC ．因为PA =AB ，E 为线段PB 的中点，所以AE ⊥PB ，又因为PB ∩BC =B ，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ．又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ．(2)因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)，E (1，0，1)，易知u=(0，1，0)是平面PAB 的法向量，设BF =t (t ∈[0，2])，则F (2，t ，0)，所以AE=(1，0，1)，AF =(2，t ，0)，所以|cos ‹AF ，u ›|=|AF ⋅u||AF ||u |=1-255 2，即t t 2+4=55，得t =1，所以AF =(2，1，0)，设n=(x 1，y 1，z 1)为平面AEF 的法向量，则n ⋅AE=0，n ⋅AF =0，，所以平面AEF 的法向量n=(-1，2，1)，又因为AP=(0，0，2)，所以点P 到平面AEF 的距离为d =|AP ⋅n ||n |=26=63，所以点P 到平面AEF 的距离为63，由(1)可知，∠BAF 是直线AF 与平面PAB 所成的角，所以cos ∠BAF =AB AF =AB AB 2+BF 2=255，解得BF =12AB =12BC ，故F 是BC 的中点，所以AF =AB 2+BF 2=5，AE =12PB =2，EF =AF 2-AE 2=3，所以△AEF 的面积为S △AEF =12AE ⋅EF =62，因为PA =AB =2，△PAE 的面积为S △PAE =12S △PAB =14PA ⋅AB =1，设点P 到平面AEF 的距离为h ，则有V P -AEF =13S △AEF ⋅h =66h =V F -PAE =13S △PAE ⋅BF =13，解得h =63，所以点P 到平面AEF 的距离为63．七．条件概率(共8小题)A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥【解析】：根据题意，设P (B )=x ，由于P (A |B )=0.7，则P (AB )=P (B )P (A |B )=0.7x ，P (A )=1-P (A)=0.7，则P (A )P (B )=0.7x ，则有P (AB )=P (A )P (B )，事件A ，B 相互独立．不确定x 的值，P (A ∩B )=P (AB )=0.7x ，A 错误；P (B |A )=P (AB )P (A )=x ，B 错误；由于A 、B 相互独立，事件A 、B 可能同时发生，则事件A 、B 一定不互斥，D 错误．故选：C ．P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )= 1936 ，P (A |B )= 319 ．【解析】：P (A )=13，则P (A )=1-P (A )=23，故P (B )=P (AB )+P (A B )=P (A )P (B |A )+P (A )P B |A )=23×23+13×14=1936，P (A |B )=P (AB )P (B )=13×141936=319．故答案为：1936，319．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )= 38 ．【解析】：由题意可知P (C )=P (A ∩B )=710，则P (A ∪B )=1-P (A ∩B )=1-710=310．又P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )，所以P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ∪B )=415+215-310=110，则P (B |A )=P (AB )P (A )=110415=38．故答案为：38．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.95【解析】：设买到的产品是甲厂产品为事件A ，买到的产品是乙厂产品为事件B ，则P (A )=0.8，P (B )=0.2，记事件C ：从该地市场上买到一个合格产品，则P (C |A )=0.75，P (C |B )=0.8，所以P (C )=P (AC )+P (BC )=P (A )P (C |A )+P (B )P (C |B )=0.8×0.75+0.2×0.8=0.76．故选：C ．33为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M 对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M 在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M 上场的概率．【解析】：(Ⅰ)事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件A j =“甲队第j 局获胜”，其中j =1，2，3，4，A j 相互独立．又甲队明星队员M 前四局不出场，故P (A j )=12，j =1，2，3，4，B =A 1 A 2A 3A 4+A 1A 2 A 3A 4+A 1A 2A 3 A 4，所以P (B )=C 13×124=316．(Ⅱ)设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛，由全概率公式知，P (C )=P (C |D )P (D )+P (C |D )P (D)，因为每名队员上场顺序随机，故P (D )=C 24A 33A 35=35，P (D )=1-35=25，P (C |D )=122×34=316，P C |D )=123=18， 所以P (C )=316×35+18×25=1380．(Ⅲ)由(2)，P (D |C )=P (CD )P (C )=P (C |D )P (D )P (C )=316×351380=913．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.617【解析】：需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，设事件A 表示“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”，B 表示“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”，P (A )=C 23C 24+C 33C 14+C 23C 14C 34C 25=1720，P (AB )=C 23C 14C 34C 25=310，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：P (B |A )=P (AB )P (A )=3101720=617．故选：D ．35人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．【解析】：设试验一次，“取到甲袋”为事件A 1，“取到乙袋”为事件A 2，“试验结果为红球”为事件B 1，“试验结果为白球”为事件B 2，(1)P (B 1)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 1|A 2)=12×910+12×210=1120；所以试验一次结果为红球的概率为1120．(2)①因为B 1，B 2是对立事件，P (B 2)=1-P (B 1)=920，所以P A 1|B 2)=P (A 1B 2)P (B 2)=P (B 2|A 1)P (A 1)P (B 2)=110×12920=19，所以选到的袋子为甲袋的概率为19；②由①得P (A 2|B 2)=1-P A 1|B 2)=1-19=89，中取到红球的概率为：P 1=P (A 1|B2)P (B1|A1)+P (A2|B2)910+89×210=518，方案二中取到红球的概率为：P 2=P (A 2|B 2)P (B 1|A 1)+P (A 1|B 2)P B 1|A 2)=89×910+19×210=3745， 所以方案二中取到红球的概率更大．该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．【解析】：(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-1-110 ×1-19 ×1-18=310．(2)设该批次智能自动检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ，则P (A )=910，P (AB )=1-310=710，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )=P (AB )P (A )=710910=79．八．全概率公式(共2小题)乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.38【解析】：甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍，则从这种铅笔中任取一件抽到甲生产线的概率为0.6，抽到乙生产线的概率为0.4，从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为0.6×10%+0.4×5%=0.08，所以取到合格产品的概率为1-0.08=0.92．故选：A ．第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15【解析】：设事件A i 表示从第i (i =1，2)箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P (B )=P (A 1。
高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练10---函数的图象(附解析答案)
高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练专题10：函数的图象1. 设函数 f (x )=e x (2x −1)−ax +a ，其中 a <1，若存在唯一的整数 x 0 使得 f (x 0)<0，则 a 的取值范围是 ( )A. [−32e ,1)B. [−32e ,34)C. [32e ,34)D. [32e ,1)2. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 对任意的 x 都满足 f (x +2)=f (x )，当 −1≤x <1 时，f (x )=x 3，若函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣（a >0，且 a ≠1）至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 ( )A. (0,15]∪(5,+∞)B. (0,15)∪(5,+∞)C. (17,15]∪(5,7]D. (17,15)∪[5,7)3. 如图，长方形 ABCD 的边 AB =2，BC =1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记 ∠BOP =x ．将动点 P 到 A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x )，则 y =f (x ) 的图象大致为 ( )A. B. C. D.4. 将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为( )A. πB. π2C. π3D. π45. 如图，正三角形ABC的中心位于点G(0,1)，A(0,2)，动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x(0≤x≤2π)，向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在a= (1,0)方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f(x)的图象是( )A. B.C. D.6. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，则需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是( )A. B.C. D.7. 设 f (x )=∣lnx∣，若函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (0,1e )B. (ln33,e)C. (0,ln33]D. [ln33,1e )8. 已知函数 f (x )=x −4+9x+1,x ∈(0,4)．当 x =a 时，f (x ) 取得最小值 b ，则函数 g (x )=(1a )∣x+b∣ 的图象为 ( )A. B.C. D.9. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足：①对任意 x ，都有 f (x +3)=f (x ) 成立；②当 x ∈[0,32] 时，f (x )=32−∣∣32−2x ∣∣，则方程 f (x )=1∣x∣在区间 [−4,4] 上根的个数是 ( ) A. 4B. 5C. 6D. 710. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2)．若 ∀x ∈R ，f (x −1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. [−16,16]B. [−√66,√66]C. [−13,13]D. [−√33,√33]11. 如图可能是下列哪个函数的图象 ( )A. y=2x−x2−1B. y=2x sinx4x+1C. y=(x2−2x)e xD. y=xlnx12. 如图，圆C:(x−1)2+(y−1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形（阴影部分）的面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为( )．A. B.C. D.13. 已知函数 f (x )=x −[x ]，其中 [x ] 表示不超过实数 x 的最大整数．若关于 x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 ( )A. (−1,−12]∪[14,13)B. [−1,−12)∪(14,13]C. [−13,−14)∪(12,1]D. (−13,−14]∪[12,1)14. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2,sin (π4x),2≤x ≤10, 若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4，满足 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则(x 3−2)⋅(x 4−2)x 1⋅x 2 的取值范围是( )A. (4,16)B. (0,12)C. (9,21)D. (15,25)15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f (x )={1,x ∈Q,0,x ∈∁R Q.被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数 f (x ) 有如下四个命题：①f(f (x ))=1；②函数 f (x ) 是偶函数；③任取一个不为零的有理数 T ，f (x +T )=f (x ) 对任意的 x ∈R 恒成立；④存在三个点 A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))，C(x 3,f (x 3))，使得 △ABC 为等边三角形．其中真命题的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知函数 f (x )=∣log 2∣x −1∣∣，且关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+2b =0 有 6 个不同的实数根，若最小的实数根为 −3，则 a +b 的值为 ( )A. −2B. 4C. 6D. 817. 定义在 R 上的函数 f (x )=xsin2xx 2+a 的图象如图所示，则实数 a 的可能值为 ( )A. 16B. 14C. 12D. 118. 下列四个函数①f (x )=x +1，②f (x )=2x 3，③f (x )=xsinx ，④f (x )=x cosx 的图象能等分圆 O:x 2+y 2=1 的面积的是 ( )A. ②③B. ②④C. ②③④D. ①②③④19. 某市2015年前n个月空气质量优良的总天数S n与n之间的关系如图所示．若前m月的月平均空气质量优良天数最大，则m值为( )A. 7B. 9C. 10D. 1220. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O沿l1以1m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t=0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.21. 一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N∗)，则该函数的图象是( )A. B.C. D.22. 已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8，设H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}（max{p,q}表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值）．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A−B=( )A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−1623. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.24. 给出幂函数（1） f (x )=x ，（2） f (x )=x 2，（3） f (x )=x 3，（4） f (x )=√x ，（5） f (x )=1x ，其中满足条件 f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2(x 1>x 2>0) 的函数的个数是 ( ) 个．A. 1B. 2C. 3D. 425. 已知函数 f (x )={x 2+5x,x ≥0,−e x +1,x <0.若 f (x )≥kx ，则 k 的取值范围是 ( ) A. (−∞,0]B. (−∞,5]C. (0,5]D. [0,5]26. 若函数 y =a x +b 的图象如图所示，则函数 y =1x+a +b +1 的图象为 ( )A. B.C. D.27. 设函数 f (x )=∣2x −1∣，c <b <a ，且 f (c )>f (a )>f (b )，则 2a +2c 与 2 的大小关系式 ( )A. 2a +2c >2B. 2a +2c ≥2C. 2a +2c ≤2D. 2a +2c <228. 函数 f (x )=e x +e −xe x −e −x (x ≠0) 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.29. 若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对"友好点对"（点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对"友好点对"）．已知函数f(x)={log2x(x>0)−x2−4x(x≤0)，则此函数的"友好点对"有( )A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对30. 若函数f(x)=a2x−4，g(x)=log a∣x∣(a>0且a≠1)，且f(2)⋅g(−2)<0，则函数f(x)、g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )A. B.C. D.31. 定义域为R的函数f(x)={1∣x−1∣,x≠11,x=1，若关于x的函数ℎ(x)=f2(x)+bf(x)+12有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5，则x12+x22+x32+x42+x52等于( )A. 2b 2+2b2B. 16C. 5D. 1532. 关于x的方程(x2−1)2−∣x2−1∣+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．其中假命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 333. 已知a>0且a≠1，函数f(x)={(a−1)x+3a−4(x≤0),a x(x>0)满足对任意实数x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0成立，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,+∞)C. (1,53]D. [53,2)34. 已知函 f (x )={∣lgx ∣,0<x ≤10−12x +6,x >10，若 a ，b ，c 互不相等，且 f (a )=f (b )=f (c )，则 abc 的取值范围是 ( )A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)35. 已知函数 f (x )=x 2+2x +a (a >0)，f (m )<0，则 ( )A. f (m +x +1x )<0B. f (m +x +1x )≤0C. f (m +x +1x )>0D. f (m +x +1x ) 符号不确定36. 已知函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0,)x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),其中 a ∈R ，若对任意的非零实数 x 1，存在唯一的非零实数 x 2(x 2≠x 1)，使得 f (x 2)=f (x 1) 成立，则 k 的最小值为 ( )A. −115B. 5C. 6D. 837. 若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x,y)=0的"自公切线"．下列方程：①x2−y2=1，②y=x2−∣x∣，③y=3sinx+4cosx，④∣x∣+1=√4−y2，对应的曲线中存在"自公切线"的有( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④38. 已知函数f(x)的定义域为R．若∃常数c>0，对∀x∈R，有f(x+c)>f(x−c)，则称函数f(x)具有性质P．给定下列三个函数：①f(x)=∣x∣；②f(x)=sinx；③f(x)=x3−x．其中，具有性质P的函数的序号是( )A. ①B. ③C. ①②D. ②③39. f(x)=(x−a)(x−b)−2（其中a<b），且α，β是方程f(x)=0的两根，α<β，则实数a，b，α，β的大小关系为( )A. α<a<b<βB. α<a<β<bC. a<α<b<βD. a<α<β<b40. 已知函数f(x)=ln(x+1)，x∈(0,+∞)，下列结论错误的是( )A. ∀x1,x2∈(0,+∞)，(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]≥0B. ∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈(0,+∞)，f (x 1)−f (x 2)<x 2−x 1C. ∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈(0,+∞)，x 2f (x 1)>x 1f (x 2)D. ∃x 1,x 2∈(0,+∞)，f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)41. 设定义域为 R 的函数 f (x )={|lg|x −1||,x ≠1,0,x =1,则关于 x 的方程 [f (x )]2+bf (x )+c =0 有 7 个不同实数解的充要条件是 ( )A. b <0 且 c >0B. b >0 且 c <0C. b <0 且 c =0D. b ≥0 且 c =042. 已知函数 f (x )=x 1+∣x∣(x ∈R ) 时，则下列结论不正确的是 ( )A. ∀x ∈R ，等式 f (−x )+f (x )=0 恒成立B. ∃m ∈(0,1) ，使得方程 ∣f (x )∣=m 有两个不等实数根C. ∀x 1,x 2∈R ，若 x 1≠x 2 ，则一定有 f (x 1)≠f (x 2)D. ∃k ∈(1,+∞) ，使得函数 g (x )=f (x )−kx 在 R 上有三个零点43. 定义：区间 [x 1,x 2](x 1<x 2) 的长度等于 x 2−x 1．函数 y =∣log a x ∣(a >1) 的定义域为 [m,n ](m <n )，值域为 [0,1]．若区间 [m,n ] 的长度的最小值为 34，则实数 a 的值为 ( )A. 54B. 2C. 154D. 444. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f(x) 的图象恰好通过 k(k ∈N ∗) 个格点，则称函数 f(x) 为 k 阶格点函数．下列函数：①f(x)=sinx ；②f(x)=π(x −1)2+3 ；③f(x)=(13)x ；④f(x)=log 0.6x ．其中是一阶格点函数的有 ( )A. ①②B. ①④C. ①②④D. ①②③④45. 已知函数 f (x )=4∣x∣+2−1 的定义域为 [a,b ]，其中 a 、b ∈Z ，且 a <b ．若函数 f (x )的值域为 [0,1]，则满足条件的整数对 (a,b ) 共有 ( )A. 2 个B. 5 个C. 6 个D. 8 个46. 已知函数 f (x )={−x x+1,−1<x ≤0,x,0<x ≤1与函数 g (x )=a (x +1) 在 (−1,1] 上有 2 个交点，若方程 x −1x =5a 的解为正整数，则满足条件的实数 a 有 ( )A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个47. 已知函数 f (x )={2x+2+a,x ≤0,f (x −1)+1,x >0,若对任意的 a ∈(−3,+∞)，关于 x 的方程 f (x )=kx 都有 3 个不同的根，则 k 等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 448. 已知函数 y =f (−∣x∣) 的图象如图所示，则函数 y =f (x ) 的图象不可能是 ( )A. B.C. D.49. 设函数的集合 P ={f (x )=log 2(x +a )+b∣∣a =−12,0,12,1;b =−1,0,1}，平面上点的集合 Q ={(x,y )∣x =−12,0,12,1;y =−1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数 f (x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 ( )A. 4B. 6C. 8D. 1050. 已知函数 f (x )=∣x 2+3x ∣，x ∈R ．若方程 f (x )−a∣x −1∣=0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 ．51. 已知函数 f (x )=x (lnx −ax ) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 ．52. 已知函数 f (x )={(12)x +34,x ≥2,log 2x,0<x <2. 若函数 g (x )=f (x )−k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是 ．53. 对于函数 f (x )={sinπx,x ∈[0,2],12f (x −2),x ∈(2,+∞), 有下列 5 个结论： ①任取 x 1,x 2∈(0,+∞)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2；②函数 y =f (x ) 在区间 (4,5) 上单调递增；③f (x )=2kf (x +2k )(k ∈N +)，对一切 x ∈(0,+∞) 恒成立；④函数 y =f (x )−ln (x −1) 有 3 个零点；⑤若关于 x 的方程 f (x )=m (m <0) 有且只有两个不同实根 x 1,x 2，则 x 1+x 2=3． 则其中所有正确结论的序号是 ．（请写出全部正确结论的序号）54. 关于函数 f (x )=b ∣x∣−a (a >0,b >0) 有下列命题：①函数 f (x ) 的值域为 (−∞,0)∪(0,+∞)；②直线 x =k 与函数 f (x ) 的图象有唯一交点；③函数 y =f (x )+1 有两个零点；④函数定义域为 D ，则任意的 x ∈D ，f (x )=f (−x )．其中所有叙述正确的命题序号是 ．55. 如果是函数y=sinπxx2−bx+c 的图象的一部分，若图象的最高点的坐标为(12,43)，则b+c=．56. 设a∈R，若x>0时均有[(a−1)x−1](x2−ax−1)≥0，则a=．57. 对于函数y=f(x)(x∈R)，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于直线x=0对称；（2）若f(1−x)=f(x−1)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称；（3）若f(1+x)=f(x−1)，则函数y=f(x)是周期函数；（4）若f(1−x)=−f(x−1)，则函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称．其中所有正确命题的序号是 .58. 已知函数 f (x )={|log 3x|,0<x <313x 2−103x +8,x ≥3，若存在实数 a ，b ，c ，d ，满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d )，其中 d >c >b >a >0，则 abcd 的取值范围是 ．59. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 y =√3+2x −x 2−√3(x ∈[0,2]) 的图象绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转角 θ，若 ∀θ∈[0,α]，旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则 α 的最大值为 ．60. 已知函数 f (x )={∣log 3x ∣,0<x <3,sin π3x,3≤x ≤9,若存在实数 a ，b ，c ，d 满足 a <b <c <d ，且 f (a )=f (b )=f (c )=f (d )，则 (c−3)(d−3)ab 的取值范围是 ．61. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣−1,x ≤1x 2−3x+3x−1,x >1，下列关于函数 g (x )=[f (x )]2+af (x )−1（其中 a 为常数）的叙述中：①对 ∀a ∈R ，函数 g (x ) 至少有一个零点；②当a=0时，函数g(x)有两个不同零点；③∃a∈R，使得函数g(x)有三个不同零点；④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a＜0．其中真命题有．（把你认为真命题的序号都填上）62. 已知函数y=x(x−1)(x+1)的图象如图所示．令f(x)=x(x−1)(x+1)+0.01，则下列关于f(x)=0的解的叙述正确的是（填写序号）．①有三个实根；②当x>1时，恰有一个实根；③当0<x<1时，恰有一个实根；④当−1<x<0时，恰有一个实根；⑤当x<−1时，恰有一个实根（有且只有一个实根）．63. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系t={64,x≤0,2kx+6,x>0.且该食品在4∘C的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：①.该食品在6∘C的保鲜时间是8小时；②.当x∈[−6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④.到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是．64. [x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x−[x]．则下列结论中正确的有．①函数f(x)的值域为[0,1]；②方程 f (x )=12 有无数个解；③函数 f (x ) 的图象是一条直线；④函数 f (x ) 是 [k,k +1](k ∈Z ) 上的增函数．65. 已知函数 f (x )=∣∣log a ∣x −1∣∣∣（a >0，a ≠1），若 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 1x 1+1x 2+1x 3+1x 4= ．66. 将函数 y =∣∣12x −1∣∣+∣∣12x −2∣∣+1 的图象绕原点顺时针方向旋转角 θ(0≤θ≤π2) 得到曲线 C ．若对于每一个旋转角 θ，曲线 C 都是一个函数的图象，则 θ 的取值范围是 ．67. 设函数 f (x )={x 2−4x +1(x ≥0),3x +2(x <0), 若互不相等的实数 x 1，x 2，x 3 满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，则 x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ．68. 已知函数f(x)=∣lg(x−1)∣．若a≠b，f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是．69. 已知函数y=f(x)和y=g(x)在[−2,2]的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根；②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根；③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根；④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根，其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）70. 对于实数 a 和 b ，定义运算" ∗ "：a ∗b ={a 2−ab,a ≤b,b 2−ab,a >b.设 f (x )=(2x −1)∗(x −1)，且关于 x 的方程 f (x )=m (m ∈R ) 恰有三个互不相等的实数根 x 1，x 2，x 3，则 x 1x 2x 3 的取值范围是 ．71. 设函数 f 0(x )=(12)∣x∣，f 1(x )=∣∣f 0(x )−12∣∣，f n (x )=∣∣∣f n−1(x )−(12)n ∣∣∣，n ≥1，n ∈N ，则方程 f n (x )=(1n+2)n有 个实数根．72. 已知 f (x )=m (x −2m )(x +m +3)，g (x )=2x −2．若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0 或g (x )<0；②∃x ∈(−∞,−4),f (x )g (x )<0，则 m 的取值范围是 ．73. 已知 f (x ) 是定义在 [1,+∞) 上的函数，且 f (x )={1−∣2x −3∣,1≤x <212f (12x),x ≥2，则函数 y =2xf (x )−3 在区间 (1,2015) 上的零点的个数为 ．74. 如图所示，函数 y =f (x ) 的图象由两条射线和三条线段组成．若 ∀x ∈R ，f (x )>f (x −1)，则正实数 a 的取值范围为 ．75. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为 ．76. 已知定义在 [−1,1] 上的函数 f (x )=−2∣x∣+1，设 f 1(x )=f (x )，f n+1(x )=f [f n (x )]，n ∈N +，若关于 x 的方程 f 3(x )−mx +m =0 有 5 个实数解，则实数 m 的取值范围是 ．77. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在非零实数 l 使得对于任意 x ∈M (M ⊆D )，有 x +l ∈D ，且 f (x +l )≥f (x )，则称 f (x ) 为 M 上的 l 高调函数．（1）如果定义域为 [−1,+∞) 的函数 f (x )=x 2 为 [−1,+∞) 上的 m 高调函数，那么实数 m 的取值范围是 ．（2）如果定义域为 R 的函数 f (x ) 是奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=∣x −a 2∣−a 2，且f (x ) 为 R 上的 4 高调函数，那么实数 a 的取值范围是 ．参考答案，仅供参考1. D 【解析】法一：考虑函数 g (x )=e x (2x −1)，以及函数 ℎ(x )=a (x −1)，则题意要求存在唯一的整数 x 0 使得 g (x 0)<ℎ(x 0)．注意到 gʹ(x )=e x (2x +1)，尤其注意到 y =x −1 为 y =g (x ) 在 (0,−1) 处的切线，如图．于是可以确定符合题意的唯一整数 x 0=0，则 {f (0)<0f (1)≥0f (−1)≥0，解得 32e ≤a <1．法二：首先 f (0)=−1+a <0，所以唯一的整数为 0．而 f (−1)=−3e+2a ≥0，解得 a ≥32e ．又 a <1，对 f (x ) 求导得 fʹ(x )=e x (2x +1)−a ， 当 x <−12 时，fʹ(x )<0；当 x >0 时，fʹ(x )>0．从而 f (x ) 在 (−∞,−12) 上单调递减，在 (0,+∞) 上单调递增． 而当 a ≥32e 时，有 f (−1)≥0，f (0)<0，f (1)>0， 故在 (−∞,−1]∪[1,+∞) 上 f (x )≥0，f (0)<0，满足题意．所以满足条件的 a 的取值范围为 [32e ,1)．2. A 【解析】由题意得，函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣ 的零点个数即为 y =f (x ) 与 y =log a ∣x∣ 的图象的交点个数． 因为 f (x +2)=f (x )，所以函数 f (x ) 是周期为 2 的周期函数， 又因为 f (x )=x 3(−1≤x <1)， 所以函数 f (x ) 的图象如图所示．在同一坐标系中作出函数 y =log a ∣x∣={log a x,x >0log a (−x ),x <0 的图象（a >1 时，如图（1）；0<a <1 时，如图（2））．由图象得，要使y=f(x)与y=log a∣x∣的图象至少有6个交点，则当a>1时log a5<1；当0<a<1时，log a5≥−1，解得a>5或0<a≤15．3. B【解析】当点P在BC上时，x∈[0,π4]，y=PA+PB=√4+tan2x+tanx，y随x增大而增大，且y与x不为线性关系．由对称性可知，当P在DA上时，y单调递减，且y与x不为线性关系，当x=π4时，y=√5+1；当P在CD上运动时，x∈(π4,3π4]，当x=π2时，PA+PB=2√2<√5+1，结合选项，故选B．4. D5. C【解析】设BC与y轴交于点M，则AGGM =21，又G(0,1)，A(0,2)，所以M(0,12)，正三角形边长为√3．当点P运动到点B时，∠AGP=2π3，此时射影y取到最小值−√32，所以排除A，B．当点P从点B向点M运动时，2π3≤x≤π，∠PGM=π−x，所以−y12=tan(π−x)，得y=12tanx，结合图象应该选C．6. D7. D【解析】函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点即函数f(x)=∣lnx∣与y= ax在区间(0,3]上有三个交点．画图如下．当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，由图知，当x∈(0,1]时，存在一个交点，当x＞1时，f(x)=lnx，可得g(x)=lnx−ax(x∈(1,3])，gʹ(x)=1x −a=1−axx，若gʹ(x)＜0，可得x＞1a ，g(x)为减函数，若gʹ(x)＞0，可得x＜1a，g(x)为增函数，此时y=f(x)与y=ax必须在[1,3]上有两个交点，即y=g(x)在[1,3]上有两个零点，所以{g(1a)＞0,g(3)≤0,g(1)≤0,解得ln33≤a＜1e，故函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点时，ln33≤a＜1e．8. B 【解析】f (x )=x −4+9x+1=(x +1)+9x+1−5≥2√(x +1)×9(x+1)−5=1， 当且仅当 (x +1)2=9，即 x =2（x =−4 舍去）时等号成立，故 a =2,b =1，所以函数 g (x )=(12)∣x+1∣，其图象是把函数 y =(12)∣x∣的图象向左平移一个单位得到．9. B 【解析】因为 f (x +3)=f (x )，所以 f (x ) 周期为 3，当 x ∈[0,32] 时，f (x )={2x,0<x ≤34,3−2x,34<x ≤32.画出 y =f (x ) 和 y =1∣x∣的图象如下．由图象知方程 f (x )=1∣x∣ 在区间 [−4,4] 上根的个数是 5 个． 10. B【解析】函数 f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2)．在 x ≥0 时的解析式等价于 f (x )={−x,0≤x ≤a 2,−a 2,a 2<x <2a 2,x −3a 2,x ≥2a 2. 因此根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x ) 在 R 上的大致图象如下，由∀x∈R，f(x−1)≤f(x)，可得2a2−(−4a2)≤1，解得a∈[−√66,√66]．11. C【解析】A 中，因为y=2x−x2−1，当x趋向于−∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，所以函数y=2x−x2−1的值小于0，所以 A 中的函数不满足条件；B 中，因为y=sinx是周期函数，所以函数y=2x sinx4x+1的图象是以x轴为中心的波浪线，所以 B 中的函数不满足条件；C 中，因为函数y=x2−2x=(x−1)2−1，当x<0或x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；且y=e x>0恒成立，所以y=(x2−2x)e x的图象在x趋向于−∞时，y>0，0<x<1时，y<0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；所以 C 中的函数满足条件；D 中，y=xlnx 的定义域是(0,1)∪(1,+∞)，且在x∈(0,1)时，lnx<0，所以y=xlnx<0，所以 D 中函数不满足条件．12. C【解析】由图1知当t≤−√2时，S=0．由图2知当t≥√2时，S=π．，且阴影部分的面积以t=0为分界点，离t=0越近增长得越快，对照当t=0时，S=π2图象知 C 符合题意．13. A【解析】如下图所示：y=kx+k表示恒过点A(−1,0)斜率为k的直线．若方程f(x)=kx+k有3个相异的实根，则函数f(x)=x−[x]与函数g(x)=kx+k的图象有且仅有3个交点．由图可得：当直线y=kx+k过(2,1)点时，k=13；当直线y=kx+k过(3,1)点时，k=14；当直线y=kx+k过(−2,1)点时，k=−1；当直线y=kx+k过(−3,1)点时，k=−12．则实数k的取值范围是14≤k<13或−1<k≤−12．14. B【解析】画出f（x）的图象如图所示，由图中可以看出：x1<1<x2<2<x3<4<8<x4<10，因为f(x1)=f(x2)=f(x3)= f(x4)，所以−log2x1=log2x2，x3+x4=12，从而有x1⋅x2=1，又(x3−2)⋅(x4−2)= (x3−2)⋅(12−x3−2)=−(x3−6)2+16，所以(x3−2)⋅(x4−2)x1⋅x2的取值范围是(0,12) .15. D【解析】由狄利克雷函数的定义：若x∈Q，则f(f(x))=f(1)=1，若x∈∁R Q，则f(f(x))=f(0)=1；若x∈Q，则−x∈Q，则f(−x)=f(x)=1；若x∈∁R Q，则−x∈∁R Q，则f(−x)=f(x)=0；所以函数f(x)是偶函数；若x∈Q，因为T是非零的有理数，所以x+T∈Q，所以有f(x+T)=f(x)=1；若x∈∁R Q，则x+T∈∁R Q，所以f(x+T)=f(x)，所以对任意的x∈R，有f(x+T)=f(x)恒成立；取A(−√33,0)，B(√33,0)，C(0,1)，则△ABC为等边三角形，所以存在三个点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，使得△ABC为等边三角形．16. A【解析】画出函数f(x)=∣log2∣x−1∣∣的图象，如图所示．设f(x)=t，则t2+at+2b=0．若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+2b=0有6个不同的实数根，则关于t的方程t2+at+2b=0一定有一根为0，另一根为正，从而b=0，a<0，且两根分别为t1=0、t2=−a．（i）方程f(x)=−a(a<0)有4个实根，由最小的根为−3，得f(−3)=−a，解得a=−2；（ii）方程f(x)=0有x=0和x=2两个实根．综上，a+b=−2．17. A18. B19. C20. B【解析】解法一如图，设∠MON=α，由弧长公式知x=α，在Rt△AOM中，∣AO∣=1−t，cos x2=∣OA∣∣OM∣=1−t，所以y=cosx=2cos2x2−1=2(t−1)2−1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为 B．解法二由题意可知，当t=1时，圆O在直线l2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1=π，所以cosπ=−1，排除 A，D；当t=12时如图所示，易知∠BOC=2π3，所以cos2π3=−12<0，排除 C．21. A【解析】由已知得f(a n)>a n，即y=f(x)的图象在y=x的图象的上方．22. B【解析】由f(x)=g(x)，得(x−a)2=4．所以，当x=a−2和x=a+2时，两函数值相等，又f(x)的图象为开口向上的抛物线，g(x)的图象为开口向下的抛物线，则H1(x)={f(x),x≤a−2,g(x),a−2<x<a+2,f(x),x≥a+2, H2(x)={g(x),x≤a−2,f(x),a−2<x<a+2,g(x),x≥a+2.所以A=H1(x)min=f(a+2)=−4a−4，B=H2(x)max=g(a−2)=−4a+12，所以A−B=−16．23. B【解析】通过圆心角α将弧长x与时间t联系起来，圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为α，则α=x，如图所示，cosα2=1−t，即cos x2=1−t,则y=cosx=2cos2x2−1=2(1−t)2−1=2(t−1)2−1(0≤t≤1).其图象为开口向上，在[0,1]上的一段抛物线．24. A【解析】①不满足，函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2；②不满足，在第一象限，函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；③不满足，在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；④满足，函数f(x)=√x的图象是凸形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2；⑤不满足，当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2．25. D【解析】f(x)的图象如下图所示：令g(x)=kx，则使得f(x)的图象在g(x)图象的上方即可．g(x)的两个临界状态分别是k=0和与y=x2+5x(x≥0)相切的时候．当g(x)与y=x2+5x(x≥0)相切时，k=yʹx=0=5．所以0≤k≤5．26. C【解析】由图可知0<a<1,−2<b<−1．又函数y=1x+a+b+1的图象是由y=1x向左平移a个单位，向下平移∣b+1∣单位而得到的．结合四个选项可知C正确．27. D28. A【解析】提示：因为函数f(x)是奇函数，又f(x)=1+2e2x−1在x∈(−∞,0)∪(0,+∞)上单调递减．29. C【解析】函数f(x)={log2x(x>0)−x2−4x(x≤0)的图象（实线部分）及函数f(x)=−x2−4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象（虚线部分）如图所示：则 A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数 f (x )=−x 2−4x (x ≤0) 的图象上，故函数 f (x ) 的"友好点对"有 2 对． 30. B【解析】f (2)⋅g (−2)=a 0log a 2<0，得 0<a <1，所以 f (x )=a 2x−4 在 R 上为减函数，g (x )=log a ∣x ∣ 在 (0,+∞) 上为减函数，在 (−∞,0) 上为增函数．31. D 【解析】令 ℎ(x )=0，即 f 2(x )+bf (x )+12=0，由其有 5 个不同零点，结合函数 f (x ) 图象，可知，f (x )=1 应满足上述方程，再结合，两根之积为 12，则 f (x )=12 也满足方程； 因此，解上述 f (x )=1 和 f (x )=12，可得方程的 5 个不同的零点为 x 1=0 、 x 2=1 、 x 3=2 、 x 4=−1 、 x 5=3．32. A【解析】根据题意可令∣x2−1∣=t(t≥0)，则原方程化为t2−t+k=0，设方程t2−t+k=0的两根为t1，t2（不妨设t1≤t2），则Δ=1−4k≥0，得k≤14．则{t1+t2=1,t1⋅t2=k,结合t=∣x2−1∣的图象可知：①当k<0时，t1<0<1<t2，所以原方程有2个不同的实根．②当k=0时，t1=0，t2=1，所以原方程有5个不同的实根．③当k=14时，t1=t2=12，所以原方程有4个不同的实根．④当0<k<14时，0<t1<t2<1，所以原方程有8个不同的实根．33. C【解析】由题意知f(x)在R上为增函数，画出函数图象的草图如图所示：所以 {a −1>0,a >1,3a −4≤1, 解得 1<a ≤53．34. C 【解析】作出函数 f (x ) 的图象如图， 不妨设 a <b <c ，则 −lga =lgb =−12c +6∈(0,1) ab =1，0<−12c +6<1 则 abc =c ∈(10,12)．35. C【解析】设 f (x ) 的两个根分别为 x 1，x 2，且 x 1<x 2，则 (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4−4a ，因为 a >0，所以 x 2−x 1<2． 由 f (m )<0 可知 x 1<m <x 2，利用均值不等式可知 m +x +1x ≥m +2 或 m +x +1x ≤m −2，结合二次函数图象知 m +x +1x >x 2 或 m +x +1x <x 1，所以 f (m +x +1x )>0． 36. D 【解析】因为函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0),x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),，其中 a ∈R ，所以x=0时，f(x)=k(1−a2)．又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得f(x2)=f(x1)成立，所以函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，易知k≤0时，结合图象可知，不符合题意．所以k＞0，且(3−a)2=k(1−a2)，即(k+1)a2−6a+9−k=0有实数解，所以△=62−4(k+1)(9−k)≥0，解得k＜0或k≥8．又因为k＞0，所以k的取值范围为[8,+∞)．37. C【解析】①中x2−y2=1是一个等轴双曲线，它不存在"自公切线"；②如图所示，曲线在点(−12,−14)和点(12,−14)处的切线重合；③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)(tanφ=43)．如图，在所有的最高点处的切线重合，所以③存在"自公切线"；④中曲线如图所示，不存在"自公切线"．38. B【解析】对于①：因为f(x)=∣x∣是偶函数，所以当x=0时，对于∀c∈R，都有f(x+c)=f(x−c)成立，所以该函数不具有性质P；对于②：对于∀常数c>0，当x+c=−π2时，有f(x+c)≤f(x−c)成立，故该函数也不具有性质P；对于③：因为 f (x )=x 3−x 在 (−∞,−√33)，(√33,+∞) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，所以 ∃ 常数 c >√33>0，对 ∀x ∈R ，有 f (x +c )>f (x −c ) 成立，所以该函数具有性质 P ．39. A 【解析】f (x )=(x −a )(x −b )−2 的图象是由 f (x )=(x −a )(x −b ) 的图象向下平移 2 个单位得到的，如图：由图可得 α<a <b <β． 40. D【解析】函数图象可由 y =lnx 向左平移一个单位得到：当 x ∈(0,+∞) 时，函数 f (x )=ln (x +1) 为上凸的增函数，∣EF ∣=f (x 1)+f (x 2)2，∣EG ∣=f (x 1+x 22)，∣EF ∣<∣EG ∣．41. C【解析】函数f(x)的图象如图所示，再由题关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，所以，关于f(x)的方程有两个不同解，且[f(x)]1=0，[f(x)]2>0，因此，c=0且b<0．42. D【解析】因为f(−x)=−x1+∣x∣=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；方程∣f(x)∣=m根的个数，就是函数y=∣f(x)∣与函数y=m的图象交点的个数，由图2可得B对；当x≥0时fʹ(x)=1(1+x)2>0，则f(x)在(0,+∞)为增函数，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(−∞,0)上也为增函数，可得C对；对于D中，当x>0时，f(x)−kx=0，解得x=0或x=1k −1，由x=1k−1>0，得0<k<1，故D错．43. D【解析】作出函数y=∣log a x∣(a>1)的图象（如图），。
如何进行原创或改编试题(数学)
如何进行原创或改编试题(数学)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：如何进行数学试题的改编和原创试题改编的一般方法试题改编是对原有试题进行改造，使之从形式上、考查功能上发生改变而成为新题。
改编试题的具体方法有：设置新的问题情境、不同题型之间的转换、重新整合、转变考查目标等。
1、设置新的问题情境一道常规的纯粹数学问题，当把它放置在一个新的问题情境中时，由于知识载体发生了改变，这道试题就变为一道新题，这可以反映出数学知识应用的灵活性。
2、不同题型之间的转换在高考数学试卷中，出现了较多的通过改造题型来获取新试题的形式。
例如：许多压轴解答题的命题材料很好，从考查内容和考查功能上来看往往是很经典的试题，但由于第二、三问的难度过大，所以常常会使考生因感到畏惧而放弃解答该题。
其实，第一问可能非常简单，也很容易上手，此时，就将第一问压缩、升华或从其它角度设问，再辅以选项的巧妙设计，从而将第一问变为一道新颖的选择题或填空题。
当然，也可通过深入发掘内涵或扩充运用范围的方式，把经典的选择题、填空题改造成解答题的形式。
①解答题改编为选择题或填空题改编模式：保持原型的考查内容不变，将问题的设问形式加以改造，同时添加适当的问题情境，省去对具体解题过程的考查，而构造出的新问题。
②解答题各种呈现方式的转变改编模式：保持原型的考查内容不变，对问题的结构、问题的设问形式、问题的表述方式等加以改造，可以构造出一系列的新问题。
3、不同内容、不同素材之间的重组整合单纯考查代数内容（或者几何内容、或者概率统计）单一知识点的试题，往往只占高考试卷的较小部分的分值，高考试题命制教师更多地考虑的是，如何在同一学习领域（如代数、几何或概率统计）知识点的交汇处命制试题，或者在不同学习领域知识点的融合处设计问题，或者把各种题型组合起来命制试题。
重组整合的常见方法是根据考查目标、考查内容确定命题材料的重组方式，然后设问。
高考数学原创题命题说题比赛
1 3x
AM
1 3y
AN
三.例谈命题
（3）M、N、G 三点共线
A
M
G N
【论题】M、N、G 三点共线，A 为平面内一点，若 AG xAN y AM, 则 x y 1
【论证】M、N、G 三点共线，存在实数 ，使得 MG MN(0 1)
即 AG AM (AN AM) ， 所 以 AG AN (1 )AM xAN y AM, 而
人教 A 版八年级数学上册：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 【论题】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1，
（如图，D、E 分别是 ABC的边 BC,AB 的中点，AD 与 CE 交于点 G，求证：AG: GD 2 :1 ）
A
【论证】
E
F
G
B
C
D
过 D 作 DF // CE 交 AB 于 F，因为 D 为 BC 中点，所以 F 为 BE 中点，（平行线分线段
选择题 12
填空题 15
解答题 21
改编：
原创
试题来源：模拟试题 试题来源：联考测试题，
难度 0.3，区分度 0.29 难度 0.45，区分 0.41
原创，试题来源：
1、教材 P32B 组 1（4 2、 2017 年（全国 II 卷（理）
难度 0.25，区分 0.4
创新性：由形到数
创新性，指数运算，整 化归与转化，类比思想、运
.
一.试题呈现
【解答题】
21.已知函数f
(x)
ln
x,
f
(x
1)
ax在其定义域内恒成立, 数列an 满足a1
如何进行原创或改编试题(数学)
如何进行原创或改编试题(数学)如何进行原创或改编试题（数学）试题是教育教学过程中起到关键作用的一种教学工具。
合理设计试题不仅能够有效评估学生的学习情况，还能激发学生的学习兴趣和创造力。
本文将就如何进行原创或改编数学试题进行探讨。
一、确定试题类型在进行试题设计之前，首先需要明确试题的类型。
数学试题主要包括选择题、填空题、计算题和解答题等。
根据教学目标和学生的学习需求，选择合适的试题类型。
二、把握试题难度试题难度的确定与学生的能力水平息息相关。
设计试题时，要综合考虑学生的认知水平、解题能力和学科的知识体系。
试题的难度应该适当挑战学生，但也不能过于超出他们的能力范围。
三、运用创意设计试题1. 创新思维题鼓励学生运用创新思维方式进行问题解决。
可以设计一些开放性问题，鼓励学生自由发挥，充分展示他们的思维能力和创造力。
2. 情境问题设计一些与现实生活相关的情境问题，让学生将数学知识应用于实际生活中。
这样的题目能够增强学生的兴趣，并培养他们将数学知识与实际问题结合的能力。
3. 多元化题型除了传统的选择题、填空题、计算题等，还可以设计一些多元化的题型，如拼图题、实物拼装题、证明题等。
这样的题目不仅能锻炼学生的动手操作能力，还能激发他们的思考和创造力。
四、合理安排试题顺序试题的顺序安排也很重要。
通常可以从易到难、由浅入深的方式进行。
这样能够逐步引导学生掌握知识，在解题过程中逐步提高难度，有助于学生的思维发展。
五、充分利用资源在进行试题设计时，可以充分利用各种教学资源。
可以参考教材、习题集以及相关的学术论文，借鉴已有的试题和解题思路，结合自身的教学实践进行新的改编和创新。
六、反思和修改完成试题设计后，需要进行反思和修改。
在教学过程中应不断重视学生对试题的反馈。
根据学生的理解情况和解题过程中可能出现的困惑，及时对试题进行修正和调整，确保试题的质量和有效性。
七、尊重知识产权在进行试题设计时，应尊重知识产权。
使用他人的试题或参考资料时，应注明出处，并征得相关权利人的许可。
高考考前押题密卷(全国甲卷) 数学文试题
数学（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．该公司2022年营收总额约为30800万元B．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多C．该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多D．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%A ．14B ．7 5．（改编）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（ ） A ．B ．132321x x x -+⎛⎫． ．C ．7．数列中，{}n a n a 做期盼数，则区间[1,A ．20238．（改编）在平面直角坐标系存在一点，使过点PA ．若，，则1BC =12AA =C ．平面//MN 1C DE 11．已知抛物线2:2C y px =两点，是线段的中点，过M AB 是（ ）A ．若过点，则的准线方程为l F C 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分．的棱长为分别为的中点.2,,E F 1,AD CC 四点共面；(2)求点到平面的距离.,G F 1C BEF是其左、右顶点，M 是椭圆上(2)若P 为直线上一点，4x =过椭圆右焦点；②椭圆的左焦2F 的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：.01a <<m n ()()14f m f n a +=-2m n +>（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]的解集；(2)若的最小值为()f x2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）数学（文科）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C BD C D A D B B B D D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．因为是平行四边形，所以ABFH在中，为中位线，故AHDEG分）（2）①证明：设，则(4,)(0)P t t ≠PA k =，（6分） 2:2PB l x y t=+联立方程，得，62x y t ⎧=-⎪⎪18t y =（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【详解】（1）当时，，0x ≤()2342f x x x x =--=-+解，即，解得；()10f x ≥4210x -+≥2x ≤-当时，，02x <≤()2322f x x x x =-+=+解，即，解得，无解；()10f x ≥2210x +≥4x ≥当时，，2x >()2342f x x x x =-+=-解，即，解得.（4分）()10f x ≥4210x -≥3x ≥综上所述，不等式的解集为. （5分） ()10f x ≥(][),23,-∞-+∞ （2）由（1）可知，.()24,022,0242,2x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩当时，；当时，；0x ≤()422f x x =-+≥02x <≤()222f x x =+>当时，，（7分）2x >()426f x x =->所以函数的最小值为2，所以，所以.（8分）()f x 2m =2a b c ++=由柯西不等式可得，，（9分） ()()()()222222231114a b c a b c a b c ++=++++≥++=当且仅当时，等号成立.所以，所以。
湖北省部分重点中学2021届高三高考冲刺联合押题(一)数学试题及答案
湖北省部分重点中学2021年高考冲刺联合押题（一）数学试卷一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
） 1.（原创，易）已知复数34iz i-=，则复数z 在复平面内对应的点位于（） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限.D 第四象限答案：.C解：因为i ii i i i z 34434322--=-=-=，所以复数i i z 43-=在复平面内对应的点位于第三象限。
故选：.C2.（原创，易）已知平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，则直线a 与直线b 的位置关系不可能是.A 相交.B 垂直 .C 平行.D 异面答案：.A解：画出大致图形或结合教室的天花板和地板不难得到答案.A3.（原创，易）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的。
在他的集合理论中，用()card M 表示有限集合M 中元素的个数，如{}1,2,3,4M=，则有()4card M =。
若对于任意两个有限集合,M N ，有()()()()card M N card M card N card M N =+-。
某校举办秋季运动会，{}()=11card 高三（20）班参加田赛的学生，{}()=10card 高三（20）班参加径赛的学生，{}()=4card 高三（20）班参加田赛与径赛的学生，那么 {}()card 高三（20）班参加运动会的学生（）.A 25人.B 14人.C 15人.D 17人答案：.D解：关键是读懂题意，按照题意定义的要求很快得到答案.D4.（原创，易）某椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点(，则关于该图形判断正确的是.A 焦点在x 轴上的双曲线.B 焦点在y 轴上的双曲线 .C 焦点在x 轴上的椭圆.D 焦点在y 轴上的椭圆答案：.B解：依题意设方程为221,(0)mx ny mn +=≠则有23121m n n +=⎧⎨=⎩可得0,0m n <>，故选：.B5.（原创，易）已知2tan =α，则αααααcos sin cos cos 2sin 3+-的值为.A 37-.B 37.C 15-.D 15答案：.D解：依题意323222sin 2cos cos 2sin cos cos sin cos (sin cos )(sin cos )2tan 11(tan 1)(tan 1)5ααααααααααααααα--=+++-==++6.（原创，中）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递减。
如何进行原创或改编试题(数学)(1)
如何进行历史试题的改编和原创试题改编的一般方法试题改编是对原有试题进行改造，使之从形式上、考查功能上发生改变而成为新题。
改编试题的具体方法有：设置新的问题情境、不同题型之间的转换、重新整合、转变考查目标等。
1、设置新的问题情境一道常规的纯粹历史问题，当把它放置在一个新的问题情境中时，由于知识载体发生了改变，这道试题就变为一道新题，这可以反映出历史知识应用的灵活性。
例如原题：1. 恩格斯说：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大的.进步的变革，是一个需要巨人而产生巨人——在思维能力，热情和性格方面............方面的巨人的时代”材料描述的时代最早出现在（)A.英国B.法国C.意大利D.美国可以改编成1. 恩格斯说：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大的.进步的变革，是一个需要巨人而产生巨人——在思维能力，热情和性格方面............方面的巨人的时代”材料描述的事件是（)A.文艺复兴B.启蒙运动C.工业革命D.第一次世界大战还可以改编成：1. 恩格斯说：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大的.进步的变革，是一个需要巨人而产生巨人——在思维能力，热情和性格方面............方面的巨人的时代”下列人物中属于材料描述的“巨人”有（)A但丁 B.哥伦布 C.克伦威尔 D.华盛顿2、不同题型之间的转换在中考历史试卷中，出现了较多的通过改造题型来获取新试题的形式。
可以将文字陈述性试题改为图片阅读类试题或者例如原题：（2011年连云港市中考历史试题第20题）“（江南）一岁或稔（丰收），则数郡忘饥。
”这一现象开始出现于A．秦朝B．西汉C．东晋南朝D．宋朝后改编：（2013年连云港市中考历史试题）29.右图（魏晋时期民族流动示意图）中历史现象导致的直接后果是A.江南经济发展B.北方文化繁荣C.专制统治加强D.国家统一完成许多命题材料很好，从考查内容和考查功能上来看往往是很经典的试题，但由于第二、三问的难度过大，所以常常会使考生因感到畏惧而放弃解答该题。
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2016年高考数学高频考点原创与改编试题一、选择题与填空题创新题原创题或改编题1：已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，都有2016)()2(-=⋅+x f x f ，且当(]2,0∈x 时，12)(+=x x f ，则=+-)2016()2015(f f （ ）A51344B 51344- C 672 D 672-解：0>x Θ时，.2016)()2(-=+x f x f)(2016)2(x f x f -=+∴ )()2(2016)4(x f x f x f =+-=+∴52016122016)2(2016)4()2016(2-=+-=-==∴f f f ()()()()672122016120163201520151=+==-=-=-f f f f ()()5134420162015=+-∴f f 原创题或改编题2：已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且02160=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则211e e 取最大值时，21,e e 的值分别是（ ）A26,22 B 25,21 C6,33 D 3,42解法一：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。
设.||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。
2211212,2a r r a r r =-=+∴ 212211,a a r a a r -=+=在21PF F ∆中：()()()()()02121221221260cos 22a a a a a a a a c -+--++=2221234a a c +=∴()21221222122211323211114e e e e e e a c a c =≥+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ （当且仅当2131e e =时，取=）由,3321,32112==e e e e 得26,2221==e e 。
∴选A解法二：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。
设.||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。
2211212,2a r r a r r =-=+∴222212212141cr r c a a e e -==∴ 在21PF F ∆中，,60,60,60012021021αα-=∠+=∠∴=∠P F F P F F PF F()00600<<α由正弦定理：()()020160sin 260sin 60sin cr r =-=+αα，()()αα-=+=∴020160sin 34,60sin 34c r c r()()()ααα2sin 33260sin 60sin 341020221=--+=∴e e ∴当045=α时，332|1max 21=e e 此时,326426341c c r +=+⨯= c r 3262-=，22211=∴=∴e c a ，262=e 。
∴选A 原创题或改编题3：已知ABC ∆的重心为G ，内C B A ,,角的对边分别为c b a ,,，若03322=++GC b GB a GA c ，则ABC ∆为（ ） A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形答案：C原创题或改编题4：.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的所有棱的长度之和是（ ） （A ）8+22（B ）12（C ）6+32 （D ）4+42答案：A原创题或改编题5：有一个棱锥的三视图及其尺寸如图所示，则该棱锥侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）（A ）45（B ）23417（C ）23（D 317答案：B原创题或改编题6：已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则它的外接球的表面积为_____.答案：12π（二）15题原创题及详解。
原创题或改编题7：若函数()f x 在其图象上存在不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122||x x y y x y x y +-++的最大值为0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：①1()(0)f x x x x=+> ；② ()ln (03)f x x x =<<；③()f x④()f x =.其中为“柯西函数”的有______(填出所有正确答案的番号)1212||||||||,()x x y y OA OB OA OB O A B y kx y f x +⇔⋅≤⋅⇔⇔==u u u r u u u r u u u r 解：0且能取等号、、三点共线存在过原点的直线与的图象 有两个不同交点①1()(0)f x x x x=+>思考1：用图象 y x y kx ==它以为渐近线，与最多一个交点.1()(0)y kx f x x x x==+>思考2：将代入 ，21)1,k x -=得((1)1(2)1k k ≤>时无解；时,有一个解不合题意.② 00()ln ,y kx f x x x y ==设与的图象的切点为()000001,1,(01(),3)y x x e x x f x x '==∴==∴∈Q 得ln 结合图象得，是,“柯西函数”③221(0)84y x y y =-=≥ 22184y x y kx -==图象是双曲线的上支，给合其渐近线，与它的图象只有一个交点，不合题意。
220,k x y y y y k >=>=±若解方程组，易得时，原因是否还没解，就忽略了的隐含条件：从而（点拔：解方程组必须解所有未知数哟！）④221(0)48x y y y =⇔-=≥ 22184x y x x x -=图象是双曲线在轴上或轴上方的部分在轴上有两个交点，合题意。
原创题或改编题8：若函数()f x 在其定义域的一个子集[,]a b 上存在实数()m a m b <<，使()f x 在m 处的导数()f m '满足()()()()f b f a f m b a '-=-，则称m 是函数()f x 在[,]a b 上的一个“中值点”。
则下列命题： ①函数2()3ln f x x x x =-+在1[,3]4上恰有两个“中值点”；②函数321()ln 23x f x x =-在[5,5]-上恰有两个“中值点”； ③函数321()3f x x x =-在[0,]b 上恰有两个“中值点”，则实数b 的取值范围是3(,3)2； ④函数321()3f x x x b =-+在[0,]b 上恰有一个“中值点”，则实数b 的取值范围是3(0,][3,)2+∞U 其中正确的有________(填出所有正确答案的番号)． 2解： 设(,(),(,())A a f a B b f b ，则()()()()f b f a f m b a '-=-()()()f b f a f m b a-'⇔=-()AB f m k '⇔=①求导，结合图象，正确。
②2()2x f x x '=-=0，有三个解（教材结论），图象有三个极值点，由图象得②错③22()(0)1()2,,03f b f f x x x b b b -'=-=--设2212222221,20(0,),31(0)032()013()2,,3332144403x x x x b b b g b b g b b b g x x x b b b b b b --+=⎧=-+>⎪⎪⎪=->⎪=--+<<⎨⎪>⎪⎪∆=+->⎪⎩由已知得为方程在上两个不同根令则 ④321()3f x x x b =-+可由3213y x x =-上下平移得，不影响“中值点”的个数；由③的解答过程知，它不可能有三个及其以上的“中值点”， 由图象得，连续函数至少有1个“中值点”，④实际就是③的否定. ④正确.综上，填①③④原创题或改编题9：.已知点P 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上除点A 外的任意一点，作以A 为圆心，P 到A 的距离r 为半径的球面与正方体的表面相交，设交线为m ，定义函数()c r 为m 的长度，则下列命题：① 当r ∈时，m 在侧面11BCC B 上的部分在以B 为圆心的圆上； ②(1)2c π=；③ (36c =；④函数()c r 在上是增函数，()c r 在上是减函数. 其中正确的有________(填出所有正确答案的番号)．3解：① 当r ∈时，P 可在侧面11BCC B 上，这时AB ⊥Q侧面11BCC B AB BP BP ∴⊥∴=，，②当1r =时，P 点的轨迹是以A 为圆心以1 为半径在三个面1111,,ABB A ABCD ADD A 上圆心角为2π的圆弧，3(1)3122f ππ=⋅⋅=，所以②错③当3r =时，在面11B C CB 内点B 到圆弧的距离为3，此圆弧的长为32π=6同样在面1111A B C D , 11DCC D .又当P 在侧棱1BB 上时，,63PAB AP π∠==； 同理P 在侧棱11A B 上时1,6PAA π∠=在面11ABB A 内P 点的轨迹均是以A 为圆心，以3为半径的中心角为16π的圆弧，弧长为1639π⋅=，同理，在平面ABCD ,11ADD A 内的弧长也为9所以(3()3696c =+=，所以③正确.④当r =P 在面11B C CB 内的轨迹是以B 为圆心，1为半径的圆弧，长为2π，同理在面1111A B C D ,11DCC D 内的弧长也为2π，所以32c π=由②知3(1)3122c c ππ=⋅⋅==，所以④错误。
综上，填① ③二、 三角函数1.原创题或改编题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22sin sin()sin()cos()sin 12A BA B A B A B C -+--+-=, (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若6c =，b =点D 在BC 边上，2BD DC =，求AD 的长.原创题或改编题解析：【答案】(Ⅰ)34A π= (Ⅱ)2AD = 【解析】略2.原创题或改编题：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2sin 2)2cos(12CB A +=++π （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2b =，ABC ∆的面积S =a 的值。
原创题或改编题解析：答案：（Ⅰ） 3π=A （Ⅱ）3. 原创题或改编题：三、数列1.原创题或改编题：1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已2.原创题或改编题： 已知正项数列{n a }的前项和为n S ，且对任意n N ∈，都有1n S +，1n a +，4成等比数列. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和n T ，并证明16n T <.原创题或改编题解析：（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+四、概率 （理科）1.原创题或改编题：某市进行中学生排球比赛，以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中学甲球队每一局赢中学乙球队的概率为35.已知比赛中，第一局中学乙球队先胜一局，在这个条件下，（Ⅰ）求中学甲取胜的概率；（Ⅱ）设决赛中比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及ξE .（两问均用分数作答） 【解】（Ⅰ）解：中学甲取胜的情况有两种：中学甲连胜三局;②中学甲在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢.……………………2分故中学甲取胜的概率为32233332()C ()5555p =+⨯⨯ …………………………………………………4分27162297.125625625=+=故所求概率为297.625………………………………………………………………5分（Ⅱ）比赛局数,ξ则224(3)();525P ξ===132335122(4)();5555125P C ξ==⨯⨯⨯+=12223333327054222(5)()().555555625125P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯==………………8分的分布列为:……………………10分1255341255451255142543=⨯+⨯+⨯=ξE .……………………………………………12分 2.原创题或改编题：据有关调查统计，2015年某大城市私家车平均每天增加36辆，公交车也增长过快，造成交通拥堵现象日益严重，现有A 、B 、C 三辆车从同一地点出发，开往甲、乙、丙三地，已知A 、B 、C 这三辆车在驶往目的地的过程中，出现堵车的概率依次为51，51，31，且每辆车是否被堵互不影响。