高中数学必修二模块综合测试卷(四).
实 用 文 档
１
高中数学必修二模块综合测试卷(四)
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设全集R，}1|{},22|{xxNxxM，则
NMC
R
)(
（ ）
A．}2|{xx B．}12|{xx C．}1|{xx D．}12|{xx
2．给出命题：（设、表示平面，l表示直线，CBA、、表示点）
⑴若llBBAlA则,,,,；
⑵ABBBAA则,,,,；
⑶若AlAl则,,；
⑷若 重合与，则不共线、、，且、、，、、CBACBACBA。
则上述命题中，真命题个数是（ ）．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
3．已知二面角AB的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点
C到棱AB的距离为4，那么tan的值等于
A．34 B．35 C．77 D．377
4．已知圆(x-3)2+(y+4)2=4和直线ykx相交于P,Q两点,则|OP|·|OQ|的值是
( )
A．2121k B．1+k2 C．4 D．21
5．已知0ab,点(,)Mab是圆x2+y2=r2内一点，直线m是以点M为中点的
弦所在的直线，直线l的方程是
2
axbyr
,则下列结论正确的是（ ）
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２
正视图
侧视图
俯视图
a
a
a
a
2a
2a
2a
EA
B
F
D
C
M
N
A.m//l，且l与圆相交 B.l⊥m,且l与圆相切
C.m//l，且l与圆相离 D.l⊥m,且l与圆相离
6．如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED平行 ②CN与BE是异面直线
③CN与BM成60o角 ④DM与BN是异面直线
以上四个命题中，正确命题的序号是 ( )
A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④
7．两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线
0xyc
上，则mc的值为（ ）．
A.0 B.2 C.3 D.－1
8．一几何体的三视图如下，则它的体积是（ ）
A. 333a B. 3712a C. 331612a D.
3
7
3
a
9．过点（1，2）且与原点的距离最大的直线方程是（ ）．
A.2x+y-4=0 B. x+2y-5=0 C.x+3y-7=0
D.3x+y-5=0
10．已知函数()fx＝
2
lg(21)axx
的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
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３
A.1a B.1a C.01a D.01a
11．若实数,xy满足
24,012222x
y
yxyx则
的取值范围为（ ）．
A.
]
3
4,0[ B.),34
[
C.]34,( D.)0,34[
12．若圆
222
)5()3(ryx
上有且只有两个点到直线234yx的距离为1，
则半径r的取值范围是（ ）
A.)6,4（ B.)6,4[ C.]6,4( D.
]6,4[
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答案卷
上．
13．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．
14．空间坐标系中，给定两点A)1,2,1(、B)2,2,2(，满足条件|PA|=|PB|的
动点P的轨迹方程是 ．（即P点的坐标x、y、z间的关系式）
15．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方
体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ．
16．光线从点（―1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光
线所在直线方程的一般式是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．
17．（本小题满分10分）求经过两条直线
0243:
1yxl与022:2
yxl
的交点P，且垂直于直线
012:
3
yxl
的直线l的方程.
高中数学必修二测试卷及答案
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高中数学必修二检测题本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下长度两部分之比为（ ） A ．4∶9 B ．2∶1 C ．2∶3 D ．2∶2 、 如果实数，满足,那么的最大值是（ ）A 、B 、C 、D 、 3 、已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 4 、 如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ） A 。
8：27 B 。
2：3 C.4：9 D 。
2：9 5 、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm)，则该几何体的表面积及体积为（ )俯视图 主视图 侧视图A.24πcm 2，12πcm 3B.15πcm 2，12πcm 3C.24πcm 2，36πcm 3D.以上都不正确6 、棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．不相交7 、直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）5xy 22(2)3x y -+=yx33-3333-(1,2),(3,1)AB AB 524=+y x 524=-y x 52=+y x 52=-y x 13kx y k -+=kA ．B ．C ．D ．8 、 两直线与平行，则它们之间的距离为（ ） A ．BCD9、 直线3x —4y-4=0被圆（x-3）2+y 2=9截得的弦长为（ )(A ） （B)4 (C ） （D ）210、在正方体中,下列几种说法正确的是 A 、 B 、 C 、与成角 D 、与成角11 、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M,则a ∥b ;②若b M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ,b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b 。
人教版高中数学选择性必修第二册 全册模块综合检测2(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0B．eC．2e D．e22．在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为() A．27B．30C．33D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋1b＋b＋1a的最小值为()A．3B．4 C．5D．424．函数y＝x－12x＋1在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝() A．－3B．3C．13D．－135．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．307aC．5a D．407a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为() A．1B．2C．3D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1<0，则下列结论正确的是()a7－1A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝12，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值12D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式a n＝________.a1a9，则a n＝________，数列14.已知正项等比数列{a n}满足a1＝1，a2a6a7＝116{log2a n}的前n项和为________．15.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝ln x＋mx，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.18.(12分)已知函数f(x)＝12x2－3ln x.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋3＋1a2＋3＋1a3＋3＋…＋1a100＋3>13.20.(12分)设函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{a n}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{a n}的前n项和公式S n；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝e x－ax－b x2＋1.(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋5b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝()A ．0B ．e C ．2e D ．e 2C解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为()A ．27B ．30C ．33D ．36B解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．42C解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab＝(a ＋b ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝()A ．－3B ．3C ．13D ．－13A解析：∵y ′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝()A ．4aB ．307a C ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是()A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1.所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1，过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，－x0，3x20－1，化简可得x20(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，所以S n－S n－1＝a n＝2a n－2－(2a n－1－2)＝2a n－2a n－1，所以a na n－1＝2，数列{a n}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，a n＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a2n}是以a21＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a21＋a22＋…＋a2n＝a21(1－q n1)1－q1＝4×(1－4n)1－4＝4n＋1－43，故选项C 错误；a m a n＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·2－x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·3－x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝e x f(x)＝e x·x3，g′(x)＝e x·x3＋3e x·x2＝e x(x3＋3x2)＝e x·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝e x f(x)＝e x(x2＋2)，g′(x)＝e x(x2＋2)＋2x e x＝e x(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1a7－1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n 的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是()A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，4＝a 1＋3d ＝8，8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1，∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________．2－n ＋1－n (n －1)2解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝1161a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n －1＝2－n＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1]解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．1e，＋∞解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －mx2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值；当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1.依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是1e ，＋∞四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n .所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间；当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增．又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4.(2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2，函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2.(2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (ln a )<f (0)＝0，不成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，由S 3＝21，S 6＝24，a 1＋3×22d ＝21，a 1＋6×52d ＝24，1＝9，＝－2.∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11，由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T nn 2＋10n (n ≤5)，2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x－ax －bx 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f 0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e 4<1，故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f 0，故f (x )在0f (x )min ＝0.综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。
高中数学 模块质量评估 必修4 试题
卜人入州八九几市潮王学校练习 模块质量评估(A) (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订) 一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的) 1．假设α是第三象限的角，那么α－是() A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 答案：B 2．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于() A．－ B. C．－ D. 解析：sin163°sin223°＋sin253°sin313° ＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°) ＝cos73°(－cos47°)－sin73°(－sin47°) ＝－(cos73°cos47°－sin73°sin47°) ＝－cos(73°＋47°) ＝－cos120°＝. 答案：B 3．M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，那么P点的坐标为() A．(－8,1) B. C. D．(8，－1) 解析：设P(x，y)，那么2＝， ∴2(x－3，y＋2)＝(－8,1)，∴x＝－1，y＝－. 答案：B 4．向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，假设向量a＋xb与－b垂直，那么x的值是() A．－ B. C. D．2 解析：a＋xb＝(3＋2x,4－x)，－b＝(－2,1)， 由a＋xb与－b垂直得－2×(3＋2x)＋(4－x)＝0， ∴x＝－. 答案：A 5．sinα＝，那么cos(π－2α)＝() A．－ B．－ C. D. 解析：由诱导公式，得cos(π－2α)＝－cos2α. ∵cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，∴cos(π－2α)＝－. 答案：B 6．(2021·高考)函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R，假设f(x)≥1，那么x的取值范围为() A. B. C. D. 解析：f(x)＝2sin，由f(x)＝2sin≥1，得2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，应选A. 答案：A 7．a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)且a≠±b，那么a＋b与a－b的夹角为() A. B. C. D．π 解析：|a|＝|b|＝1，∴(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0， ∴夹角为. 答案：C 8．以下函数中，周期为π，且在上单调递增的是() A．y＝tan|x| B．y＝|tanx| C．y＝sin|x| D．y＝|cosx| 解析：A，C不是周期函数，D在上单调递减，应选B. 答案：B 9．a，b均为单位向量，且它们的夹角为45°，那么|a＋b|的值是() A. B. C. D．4 解析：∵|a＋b|＝＝ ＝＝. 答案：A 10．△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝0，假设实数λ满足：＋＝λ，那么λ的值是() A．2 B. C．3 D．6 解析：由＋P＋＝0知P为△ABC的重心，设BC中点为D，那么＋＝2，＝，即2＝λ，∴λ＝3. 答案：C 11．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为() A．－3,1 B．－2,2 C．－3， D．－2， 解析：f(x)＝1－2sin2x＋2sinx ＝－22＋， ∴sinx＝时，f(x)取最大值；sinx＝－1时，f(x)取最小值－3. 答案：C 12．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点() A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 解析：由图象可知A＝1，T＝－＝π，∴ω＝＝2. ∵图象过点，∴sin＝0，∴＋φ＝π. ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. ∴y＝sin＝sin. 故将函数y＝sinx先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图象． 答案：A 二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．把答案填在题中横线上) 13．点P(tanα，cosα)在第三象限，那么角α的终边在第________象限． 解析：因为P点在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，故α为第二象限角． 答案：二 14．1弧度的圆心角所对的弧长为6，那么这个圆心角所夹的扇形面积是________． 解析：扇形半径R＝＝6，∴S扇形＝lR＝18. 答案：18 15．A＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，C＝2e1－e2，假设A、B、D三点一共线，那么k＝________. 解析：假设A、B、D三点一共线，那么A∥B，设A＝λ. ∵B＝C－C＝e1－4e2， ∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2. ∴∴k＝－8. 答案：－8 16．A、B是△ABC的两个内角，m＝cosi＋sinj，其中i，j为互相垂直的单位向量，假设|m|＝，那么tanAtanB的值是________． 解析：|m|2＝cos2＋sin2＝＋·＝2，所以4cos(A－B)＝5cos(A＋B)，所以cosAcosB＝9sinAsinB，所以tanAtanB＝. 答案： 三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤) 17．(12分)假设点(－4,3)是角α终边上一点，求的值． 解析：原式＝＝＝. 又∵点(－4,3)是角α终边上一点，∴cosα＝－， ∴原式＝＝－. 18．(12分)|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ. (1)假设a∥b，求a·b； (2)假设a－b与a垂直，求θ. 解析：(1)∵a∥b，∴θ＝0°或者180°， ∴a·b＝|a||b|cosθ＝±. (2)∵a－b与a垂直， ∴(a－b)·a＝0， 即|a|2＝a·b＝cosθ＝1， ∴cosθ＝，又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. 19．(12分)A、B、C为△ABC的三个内角，a＝(sinB＋cosB，cosC)，b＝(sinC，sinB－cosB)． (1)假设a·b＝0，求角A； (2)假设a·b＝－，求sin2A. 解析：(1)由a·b＝0，得 (sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝0， 化简得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0， 即sinA＋cosA＝0，tanA＝－1， 而A∈(0，π)，∴A＝π. (2)a·b＝－，即sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－， ∴sinA＋cosA＝－① 平方得2sinAcosA＝－，∴sin2A＝－. 20．(12分)函数f(x)＝2cos2x＋sin2x，x∈R. (1)求f的值； (2)求f(x)的最大值和最小值． 解析：(1)f＝2cos＋sin2＝－1＋＝－. (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x) ＝3cos2x－1，x∈R 因为cosx∈[－1,1]，所以，当cosx＝±1时f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1. 21．(12分)f(x)＝2sincos＋2cos2－. (1)化简f(x)； (2)假设θ∈[0，π]，求θ，使f(x)成为偶函数； (3)在(2)成立的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的集合． 解析：(1)f(x)＝sin(2x＋θ)＋ ＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ) ＝2cos.或者f(x)＝2sin (2)要使f(x)为偶函数，须θ－＝kπ(k∈Z) ∴θ＝kπ＋，∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (3)在(2)条件下，f(x)＝2cos2x， ∴由f(x)＝1，得2cos2x＝1，∴cos2x＝. ∵x∈[－π，π]，∴x＝±π或者x＝±. ∴所求x的集合是. 22．(14分)向量m＝(sinωx，－cosωx)，n＝(ω>0)，函数f(x)＝m·n的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递减区间． 解析：(1)由题意得 f(x)＝m·n＝sin2ωx－cosωxcos
高中数学 模块综合检测2(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题
模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。
(完整word版)高中数学必修一和必修二综合测试及参考答案A
高中数学必修一和必修二综合测试A考号班级姓名 一、选择题 （每题5 分，共 10 小题，共 50 分）、设会合 A ( x, y ) y ax 1 ， B( x, y) y x b ，且 A I B(2,5) ，则：（）1A ． a3,b 2 B ． a 2,b 3 C ． a 3,b 2D ． a 2, b 32、关于一个底边在 x 轴上的三角形，采纳斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的：（ ）A.2 倍B.2 倍 C.2 倍 D. 1 倍4223. 已知函数 f (x)log 2 x ( x 0)1）3x ( x 0) ，则 f [ f ()] 的值是（4A.8 B.1C. 918D.94. 设 xy 1, 0 a1,则以下关系正确的选项是：（）A.x a y aB. axayC. a xa yD. log a xlog a y5. 函数 f ( x) 2 x 3 的零点所在区间为： （）A ． （ 1，0） B. （ 0， 1） C. （1， 2）D. （ 2， 3）6. 函数 f ( x) 的定义域为 ( a,b) ，且对其内随意实数 x 1 ,x 2 均有： ( x 1 x 2 )[ f ( x 1 ) f ( x 2 )]0 ，则f (x) 在 (a,b) 上是：（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数 x7. 在 x 轴上的截距为 2 且倾斜角为 135°的直线方程为： （ ）Ａ . ｙ＝－ｘ＋２ Ｂ . ｙ＝－ｘ－２ Ｃ. ｙ＝ｘ＋２ Ｄ . ｙ＝ｘ－２8. 设点 M 是 Z 轴上一点，且点M 到 A （ 1， 0， 2）与点 B （ 1，－ 3，1）的距离相等，则点M 的坐标是：（ ）A ．（－ 3，－ 3， 0）B ．（ 0，0，－ 3）C ．（0，－ 3，－ 3）D ．（ 0，0， 3）9. 如下图，暗影部分的面积S 是 h (0 hH ) 的函数 . 则该函数的图象是： （ ）10. 将直线 l : x 2 y 1 0 向左平移 3 个单位，再向上平移2 个单位获得直线 l ，则直线 l 与l之间的距离为：（）A ．7 55 1 7B ．C ．D ．5555二、填空题 （每题 6 分，共 5 个小题，共 30 分）11、如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为3 的正方形， EF ∥ AB ，EF=3， EF 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积是 _______21)f (x) 0则 y f ( x) 的函数分析式为.14、已知 l⊥α， mβ，则下边四个命题：①α∥β则l⊥ m②α⊥β则l ∥ m③ l∥ m则α⊥β④ l⊥ m则α∥β此中正确的选项是________15、在圆x2y24上，与直线4x+3y－ 12=0 的距离最小的点的坐标.题次12345678910答案三、解答题16 （ 14 分）． (1) 、求经过直线l1：7x 8y 1 0 和 l2：2x 17 y 90 的交点，且垂直于直线222 x y 7 0 的直线方程.(2)、直线l经过点 P(5,5) ，且和圆C：x y25 订交，截得弦长为17（ 14 分）．某飞体制造企业一年中最多可生产某种型号的飞机100 架。
高中数学 必修4模块 综合测试卷
高中数学 必修4模块 综合测试卷一．选择题（每小题5分，共60分）1、下列各角中与3π-终边相同的是（ ）A ．35π-B ．32πC ．34πD ．35π2、=-)611cos(π（ ） A ．21 B ．21- C ．23- D ．23 3、已知),0(,53cos παα∈-=，则=αtan （ ）A ．34B ．34-C ．34±D ．43±4、函数x y sin =的图象（ ） A ．关于点)1,2(π对称 B ．关于直线π=x 对称C ．关于点)0,(π对称D ．关于y 轴对称 5、函数x y 2cos 21=的周期为（ ） A ．π B ．π2 C ． π4 D ．4π 6、函数)4tan(π+=x y 的单调增区间为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-4,43ππππk k B ．)4,43(ππππ+-k k C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2,2ππππk k D ．)2,2(ππππ+-k k7、在△ABC 中，a＝，b＝B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ． 30°或150°8、9、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①::=4:5:6a b c②::a b c ③=2,=2.5,=3a cm b cm c cm ④::=4:5:6A B C 其中成立的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个9、化简θθ44sin cos - 的结果为（ ）A ．θ4sinB ．θ4cosC ．θ2sinD ．θ2cos 10、在ABC ∆中，若B A B A cos cos sin sin <，则ABC ∆一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形 二、填空题（每小题5分，共20分）11、=+167cos 43sin 77cos 43cos _______________. 12、在△ABC中，=2,=a c B 150°，则b ＝13、在△ABC 中，若SinA ：SinB ：SinC=5:7:8，则B 大小为______________.14、把函数)62s i n (π-=x y 的图象向左平移3π个单位，所得图象的函数解析式为_____________________________. 三、解答题15．已知，在△ABC 中，A=45°，C=30°，c=10cm ，求a 、b 和B 。
高中数学必修一必修二综合测试题(含答案)
Q PC'B'A'C BA高中数学必修一必修二综合测试题（时间90分钟，满分150分）姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( )A ．12B ．32 C ．1 D ．34．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)-1.5，则( )A ．y3>y1>y2B ．y2>y1>y3C ．y1>y2>y3D ．y1>y3>y26．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68 7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（ ）A ．15B ．13 C ．12D 39. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．9010．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V（10题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥12x ，x <1的值域为________．12．两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切， 则实数a 的值为13．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________.14.过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.（17题）16．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．17．(本小题满分12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（1）证明：PQ∥平面ACD；（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值（17题）18．(本小题满分15分)已知圆C1：x2+y2－2x－4y+m=0，（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y－4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值。
高中数学选择性必修二 第4章数列 综合测试新章节复习
【分析】
设等差数列{an}的公差为 ，利用等比中项求出 和 的关系，代入 求值即为该等比数列的公比．
【详解】
设等差数列{an}的公差为
则 ，即 ，解得
则该等比数列的公比为
故答案为：
14．1
【分析】
利用等差、等比的通项公式结合已知求出公差d、公比q，进而求 .
【详解】
若令 公差、 公比分别为 ，
11．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2022积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为（）
A．1009B．1010C．1011D．2020
12．已知数列 的前 项和为 ， ， 且 ，满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列说法中错误的是（）
人教A版选择性必修第二册第四章数列综合测试2
一、单选题
1．设数列 满足 ，则 （）
A．2B．4C．8D．16
2．在等差数列 中， ，则 等于（）.
A．6B．12C．24D．32
3．等比数列 中， ， ，则 等于（）
A．16B．32C．64D．128
4．设数列 的通项公式为 ，要使它的前 项的乘积大于36，则 的最小值为（）
【分析】
由等差数列的性质可得 ，结合分组求和法即可得解。
【详解】
因为 ， ，
所以数列 是以 为首项，公差为3的等差
所以
.
故选：C.
10．D
【分析】
设该女子第 尺布，前 天工织布 尺，则数列 为等差数列，设其公差为 ，根据 ， 可求得 的值.
【详解】
设该女子第 尺布，前 天工织布 尺，则数列 为等差数列，设其公差为 ，
北京西城区学习探究诊断高中数学必修二模块自我检测题
测试十八 数学必修2模块自我检测题一、选择题1．下列条件中哪一个能够推出直线a ∥b ( ) (A )a 、b 都平行于同一个平面 (B )a 、b 都垂直于同一个平面 (C )a 、b 分别在两个平行平面内(D )a 平行于b 所在的平面2．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) (A )4x ＋2y －5＝0 (B )4x －2y －5＝0 (C )x ＋2y －5＝0(D )x －2y －5＝03．若正方体的一条对角线的长度为2，则正方体的表面积为( ) (A )4(B )22(C )43(D )124．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) (A )a ＋b ＝1(B )a －b ＝1(C )a ＋b ＝0(D )a －b ＝05．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )(A )若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥n (B )若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β (C )若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m(D )若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β6．若过点(3，1)总可作两条直线和圆(x －2k )2＋(y －k )2＝k (k ＞0)相切，则k 的取值范围是( ) (A )(0，2)(B )(1，2) (C )(0，1)∪(2，＋∞)(D )(2，＋∞)7．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是( ) (A )x y 3=(B )x y 3-=(C )x y 33=(D )x y 33-= 8．在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影一定在( ) (A )直线AB 上 (B )直线BC 上 (C )直线AC 上(D )△ABC 内部二、填空题9．直线y ＝x ＋a 与连接两点A (0，1)，B (1，0)的线段相交，则a 的取值范围是______．10．过点(1，3)且与原点距离为1的直线方程为______． 11．一个正方体的顶点都在一个球的球面上，若这个球的体积为π29，则这个正方体的表面积为______．12．已知直线l 1：x ＋2y ＋5＝0和直线l 2：x ＋ny ＋p ＝0，且l 1,l 2关于y 轴对称，则n ＝______；p ＝______．13．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是______．14*．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1，h 2，h ，则h 1∶h 2∶h ＝______． 三、解答题15．已知圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0，求过圆内一点P (3，0)的最长弦和最短弦所在的直线方程．16．如图，直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，E 为BC 的中点．(1)求证：平面AB 1E ⊥平面BCC 1B 1；(2)若侧面ABB 1A 1为正方形，求证：BC 1⊥平面AB 1E ．17．如图，已知三个平面两两垂直，求证：它们的三条交线也两两垂直．18．如图，A ，B ，C ，D 为空间四点．在△ABC 中，AB ＝2，2==BC AC ．等边三角形ADB 以AB 为轴转动．(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；(2)当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论．19．设圆上的点A (2，3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在这个圆上，且圆截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为22，求圆的方程．20．关于x ，y 的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0．(1)若上述关于x ，y 的方程表示圆C ，求m 的取值范围；(2)*若圆C 与直线x ＋2y －4＝0的两个交点为M 、N ，且满足⋅＝0(其中O 为坐标原点)，求此时m 的值．测试十八 数学必修2模块自我检测题参考答案一、选择题1．B 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 提示：6．圆心到点(3，1)的距离大于半径时，可做两条切线． 圆心(2k ，k )，(2k －3)2＋(k －1)2＞k ． 4k 2－12k ＋9＋k 2－2k ＋1＞k ． 5k 2－15k ＋10＞0，k 2－3k ＋2＞0． ∴k ＜1或k ＞2．又k ＞0，得C ．8．由已知，AC ⊥BC 1，AC ⊥AB ，所以AC ⊥平面ABC 1，所以平面ABC ⊥平面ABC 1，所以，C 1在底面ABC 上的射影一定在直线AB 上． 二、填空题9．－1≤a ≤1； 10．4x －3y ＋5＝0，x ＝1； 11．18； 12．n ＝－2或p ＝－5； 13．3或7； 14．.2:2:3 提示：14．易知，棱柱与三棱锥是等高的，即h 2＝h ，设所有棱长均为1，可求得三棱锥的高36=h ，四棱锥的高为221=h ，所以，2:3:1=h h ，所以，.2:2:3::21=h h h 三、解答题15．提示：最长弦为过圆心的弦，即直径．最短弦为过点P 且与过点P 的直径垂直的弦．已知圆圆心为(4，1)，所以，最长弦所在的直线方程为x －y －3＝0． 最短弦所在的直线方程为x ＋y －3＝0． 16．证明：(1)直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，所以，BB 1⊥AE ，由已知，△ABC 是等腰直角三角形，又E 为BC 的中点， 所以，AE ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ， 所以，AE ⊥平面BCC 1B 1， 所以平面AB 1E ⊥平面BCC 1B 1． (2)设B 1E ∩BC 1＝O ，因为△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝4，所以24=BC ， 侧面ABB 1A 1为正方形，所以，四边形BCC 1B 1是边长为4，24的矩形，所以，2424,22241111====BB C B BE BB ，即1111BBC B BE BB =， 所以Rt △B 1BE ～Rt △C 1B 1B ，所以∠B 1EB ＝∠C 1BB 1， 所以∠BB 1E ＋∠B 1BC 1＝∠BB 1E ＋∠B 1EB ＝90°， 所以∠B 1OB ＝90°，BC 1⊥B 1E ，又由AE ⊥平面BCC 1B 1， 可得AE ⊥BC 1，AE ∩B 1E ＝E ，所以BC 1⊥平面AB 1E .17．证明：如图，设α∩β＝α，β∩γ＝b ，γ∩α＝c .在平面γ内任取一点O (O ∉b ，O ∉c )，过点O 作OM ⊥b ，点M 是垂足，ON ⊥c ，点N 是垂足． ∵β⊥γ，β∩γ＝b ，γ⊥α，γ∩α＝c ， ∴OM ⊥β，ON ⊥α．∵a ⊂α，a ⊂β，∴a ⊥ON ，a ⊥OM ． ∵OM ∩ON ＝O ，OM ⊂γ，ON ⊂γ，∴a ⊥γ． ∵b ⊂γ，c ⊂γ，∴a ⊥b ，a ⊥c ．同理可证b ⊥a ，b ⊥c ．∴a ，b ，c 三条直线两两垂直18．解：(1)取AB 的中点E ，连结DE ，CE ，因为ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB ．当平面ADB ⊥平面ABC 时， 因为平面ADB ∩平面ABC ＝AB ， 所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE ⊥CE由已知可得1,3==EC DE ，在Rt △DEC 中，.222=+=EC DE CD(2)证明：①当D 在平面ABC 内时，因为AC ＝BC ，AD ＝BD ，所以C ，D 都在线段AB 的垂直平分线上，即AB ⊥CD ．②当D 不在平面ABC 内时，由(2)知AB ⊥DE .又因AC ＝BC ，所以AB ⊥CE ． 又DE ，CE 为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB ⊥CD ．综上所述，总有AB ⊥CD ．19．解：设圆心为(a ，b )，半径为r ．因为点A (2，3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在这个圆上，所以圆心在直线x ＋2y ＝0上，所以，a ＋2b ＝0，r 2＝(a －2)2＋(b －3)2， 圆截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为22，所以，22|1|2-=+-r b a ， 解⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+-==+-=+-2222)3()2(0222|1|b a r b a r b a 消去a 得⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=132556922222b b r b b r ， 解得，b ＝－3或b ＝－7，所以，a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或a ＝14，b ＝－7，r 2＝244，圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244． 20．解：(1)由x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0配方得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ．该方程表示圆C ，所以m ＜5．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)． 由ON OM ⋅＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0． 由⎩⎨⎧=+--+=-+04204222m y x y x y x 消x ，得(4－2y )2＋y 2－2(4－2y )－4y ＋m ＝0．整理得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，① 根据韦达定理⋅+==+∴58,5162121m y y y y 由x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，⋅++-=++-=∴5)8(45484)(816212121m y y y y x x由x 1x 2＋y 1y 2＝0，得0585)8(4548=++++-m m ．解得58=m ．由①知，当Δ＝162－20(8＋m )＞0时，524<m ，故58=m 满足题意， 因此58=m 为所求．。
2024-2025学年高中数学选择性必修第二册《第四章 数列》测试卷附答案解析
第1页（共14页）2024-2025学年高中数学选择性必修第二册《第四章数列》测试卷（本卷共19道题；总分：150分；考试时间：120分钟）姓名：成绩:一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列﹣1，2，−3，2，−5，⋯，则该数列的第100项为（）A ．10B ．﹣10C ．﹣11D ．112．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，若2a 3＝a 1+a 2，则q ＝（）A ．1B ．−12C ．1或−12D ．1或123．已知在等比数列{a n }中，a 4•a 8＝16，则a 6的值是（）A ．4B ．﹣4C ．±4D ．164．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ≠n ，当1+=22时，有1+=22，则S m +n ＝（）A ．（m +n ）2B ．﹣（m +n ）2C ．m 2﹣n 2D ．n 2﹣m 25．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝30，a 8＝4，则S 9＝（）A ．54B ．63C ．72D ．1356．数列{a n }中，若a n =a n 与a n +1的大小关系为（）A ．a n ＞a n +1B ．a n ＜a n +1C ．a n ＝a n +1D ．无法确定7．公差不为0的等差数列{a n }满足+=25(，，∈∗)，则1r2+4的最小值为（）A ．1B ．23C ．34D ．548．已知a n =n ∈N *），则数列{a n }的最大项是（）A ．第1项B ．第8项C ．第9项D ．第10项二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=92，等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，{b n }的前n 项和为T n ．则下列命题错误的是（）A ．{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣4B ．等差数列{a n }的前n 项和为S n =2+34C ．等比数列{b n }的公比为12D ．T n ＝2n ﹣1（多选）10．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 8＝36．记b n ＝[lga n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，。