2014年广东卷数学试题及答案(理)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学理

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ?=

A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}

2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=

A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+

3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤??+≤=+??≥-?

且的最大值和最小值分别为M 和m ，则

M-m=

A ．8 B.7 C.6 D.5

4.若实数k 满足09,k <<则曲线22

1259x y k -=-与曲线22

1259

x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等

5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60?夹角的是

A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）

6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为

A 、200,20

B 、100,20

C 、200,10

D 、100,10

7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是

A ．14l l ⊥

B ．14//l l

C ．14,l l 既不垂直也不平行

D ．14,l l 的位置关系不确定

8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为

A ．60 B90 C.120 D.130

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

10．曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 。

11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。

12．在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=b

a 。 13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，

则=+++n a a a 221ln ln ln ΛΛ 。

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿

15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ??的面积的面积

＝＿＿＿

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+

=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值；

（2）若23)()(=

-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)4

3(θπ-f 。

17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：

根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率。

18、（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30，AF ⊥式PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E 。

（1）证明：CF ⊥平面ADF ；

（2）求二面角D －AF －E 的余弦值。

19. （14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足22*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =。

(1)求123,,a a a 的值;

(2)求数列{}n a 的通项公式;

20. （14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为53， （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程。

21.（本题14分）设函数222()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-，其中2k <-，

（1）求函数()f x 的定义域D ；（用区间表示）

（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；

（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合。

2014年广东高考理科数学参考答案与解析

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的元素及并集运算问题，要注意正确运用集合的基本运算，认清集合中的元素，避免遗漏元素而出错.

【解析】∵{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，∴{1,0,1,2}M N =-U ，故选B .

2.D 【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，关键是正确掌握复数的运算法则与性质.

【解析】∵(34)25i z -=，∴2534z i =-=25(34)(34)(34)

i i i +-+=34i +，故选D . 3．C 【命题意图】本题主要考查线两直线交点的解法、二元不等式组的解法及性规划问题，关键是作出如图所示的可行域，并正确判断目标函数2z x y =+经过两直线1x y +=与1y =-交点(2,1)B -时，值最大；经过两直线y x =与1y =-交点(1,1)A --时，值最小.

【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线2z x y =+经过点(2,1)B -时， max 2213z =?-=，当直线2z x y =+经过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =?--=-，所

219y k +=-与22

1259

x y k +=-.故选D.

5．B 【命题意图】本题主要考查了空间向量坐标运算和夹角求解，关键是正确掌握空间向量坐标运算的法则.

【解析】∵(1,0,1)=-a ，设所求向量为(,y,z)x =b ，由题意得：||||cos 60?=o a b a b ，∴(1,1,0)=-b .故选B .

6. A 【命题意图】本题主要考查了统计图表中的扇形统计图和条形统计图以及分层抽样的理解.

【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200?=，应抽取高中生人数为：420040794

?=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20?=人.故选A.

7. D 【命题意图】本题主要考查了立体几何空间中直线位置关系的判定.

【解析】如图所示的正方体ABCD A B C D ''''-中，令1l 为AA '，2l 为BC ，当3l 为CC '时， 1334l l l l ???⊥?

∥14l l ⊥，则选项A 成立，当3l 为CD 时，则4l 可以为对角线BC '或BB '或B C ''，1l 与4l 是异面直线或平行或垂直，所以1l 与4l 位置关系不确定.故选D.

8. D 【命题意图】本题主要考查了集合中的新定义、计数原理、排列组合及绝对值不等式的性质，旨在考查创新意识和创新能力.

【解析】由新定义知：12345,,,,x x x x x 中至少有两个0，至多有4个0，只含2个0时有2352C

个，只含3个0时有3252C 个，只含4个0时有452C 个，共130个，故选D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．{|32}x x x ≤-≥或 【命题意图】本题主要考查了含两个绝对值的不等式的解法.

【解析】当2x <-时，125x x -+--≥，解得3x ≤-，又2x <-，∴3x ≤-；当21x -≤<时，125x x -+++≥，原不等式无解；当1x ≥时，125x x -++≥，解得2x ≥，又1x ≥，∴2x ≥；

10.530x y +-=【命题意图】本题主要考查了导数的几何意义、曲线切线方程的求解及点斜式直线方程的应用.

【解析】由题知：55x y e -'=-，∴(0)5k f '==-，由点斜式直线方程的曲线切线方程为：35y x -=-，即530x y +-=.

11．16

【命题意图】本题主要考查了利用排列组合知识处理古典概型概率的计算以及中位数概念的理解.

【解析】由题意得：所有的基本事件有731010120C C ==个，其中中位数是6的事件有3620C =个，所求概率为20120P ==16

12．2【命题意图】本题主要考查了

【解析】∵b B c C b 2cos cos =+，由余弦定理化角为边得：

222222222a b c a c b b c b ab ac +-+-?+?=，即2a b =，故2a b

=. 13．50【命题意图】本题主要考查了等比数列的性质与自然对数的运算性质.

【解析】由题意得，51011912120a a a a a a e ===，又∵0n a >，

∴1220ln ln ln a a a +++L =1220ln()a a a L =10120ln()a a =510ln e ?=50.

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14. (1,1)【命题意图】本题主要考查了极坐方程与直角坐标方程相互转化及曲线交点直角坐标的求解.

【解析】 由2sin cos ρθθ=得sin sin 1cos θρθθ?

=，将sin y ρθ=，tan y x θ=代入上式，得2y x =，由sin 1ρθ=得1y =，解方程组21

y x y ?=?=?得曲线1C 和2C 交点的直角坐标为

(1,1).

15.9【命题意图】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的运用.

【解析】∵2EB AE =，∴1133

AE AB CD ==，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CDF AEF ??:，∴2()9CDF CD AEF AE

?==?的面的面积积.积 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. 【命题意图】本题主要考查了三角函数的相关知识，即给角求值、诱导公式、两角和差公式及平方关系，重点考查知识的应用与计算能力以及传化思想.

【解析】（1）∵()sin()3f x A x π

=+，x R ∈，5()122

f π=.

∴5sin()=1232A ππ+,即3sin =42

A π，∴3A =；

（2）由（1）知()3sin()3f x x π=+，又∵()()f f θθ--=，(0,)2π

θ∈，

∴3sin()3sin()33

ππθθ+--+=sin()3sin()33ππθθ++-=

∴11sin sin 22θθθθ++=所以sin θ=又∵(0,)2

πθ∈，

∴cos θ=

∴()6f πθ-=3sin()63ππ

θ-+=3cos θ. 【点评】本题综合了三角函数的相关知识，涉及了振幅的求解，特殊三角函数值，诱导公式，两角和差公式以及同角三角函数关系，特别要注意三角函数值的符号是由角所在象限来决定的.

17. 【命题意图】本题主要考查了概率统计中的相关知识，即频率分布表和频率分布直方图，以及互斥事件和对立事件概率的求解，重点考查概率统计知识的应用能力和统计学的基本思想，即分析样本数据和处理样本数据的能力，从而估计总体数据特征的思想.

【解析】

【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率统计问题来考查,本题是概率统计知识的交汇题，涉及样本数据的收集，处理和分析的整个过程，如频率分布表和频率分布直方图，互斥事件和对立事件概率的求解.

18. 【命题意图】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与空间角，即空间几何体中二面角的体积计算，旨在考查逻辑推理能力、空间想象能力和化归思想.

【解析】

【点评】本题通过矩形ABCD 与三角形PCD 为载体，以折叠为手段，把立体几何的相关知识交汇在一起，折叠问题是立几常考知识，特别注意折叠前后变化量和未变化量是解题的关键，利用空间向量为工具求解二面角是理数区别文数的一个重要特征.

19. 【命题意图】本题主要考查了数列的通项n a 及其前n 项和n S 的关系，因式分解的应用、解方程组，重点考查逻辑思维、运算和化归能力.

【解析】

【点评】数列高考六大主考知识点之一，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查的热点为利用11(1)(2)

n n n S n a S S n -=?=?-≥?求数列的通项公式，但要注意验证首项是否成立，否则出

错.

20. 【命题意图】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量垂直平行的性质、点的轨迹以及数形结合思想和化归思想，重在考查逻辑推理能力和计算能力.

【解析】

【点评】解析几何是必考题型,重点考查求圆锥曲线的方程、点的轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系以及含参问题，其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求,并借助根的判别式及韦达定理进行转化.

21. 【命题意图】本题主要考查了函数的定义域求解，恒成立问题，导数的运算、利用导数法研究函数的单调性与最值，分类讨论思想和根式不等式的解法，重点考查知识的综合应用能力和换元、化归思想.

【解析】

【点评】（1）求()f x 的定义域等价于222

(2)2(2)30x x k x x k +++++->的解集，注意要把2(2)x x k ++看成一个整体，即换元思想；（2）求()f x 的单调性应转化为求222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-的单调性；（3）解不等式()(1)f x f >应利用函数的单调性穿脱函数符号，可以起到事半功倍的效果.切忌直接求解.