离心率的五种求法

离心率的五种求法

椭圆的离心率10<e ，抛物线的离心率1=e ．

一、直接求出a 、c ，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a

c e =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y a

x （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62

-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）

2323263

32解：抛物线x y 62

-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则

02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，3

3

2=

=a c e ，故选D 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（） 4332214

1

解：由()0,11F 、()0,32F 知132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，

1=c ，所以离心率2

1

==a c e .故选C.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）

2326232解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2

3

==a c e ，因此选C

变式练习3：点P （-3，1）在椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向

为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）

A

33B 31C 22D 2

1

解：由题意知，入射光线为()32

51+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为

0525=+-y x ，则⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=0

553

2

c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A

二、构造a 、c 的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若

边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.324+

B.13-

C.

2

1

3+ D.13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2

c

-，由焦半径公式a ex PF p --=1，

即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222

=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==a

c

e （31-舍去），故选D

变式练习1：设双曲线122

22=-b

y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.

已知原点到直线的距离为

c 4

3

，则双曲线的离心率为() 232

3

3

2解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4

3

2

2=

+， 又222b a c +=,∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ，

得42

=e 或3

42

=e ，又b a <<0，∴21222

22222

>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A

变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（）

A 3B

26C 3

6

D 33

解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则

2221b c MF MF +==，又c F F 221=，

在21MF F ∆中，由余弦定理，得

2

12

2

12

22

1212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=

∠,

即(

)(

)

(

)

2

22

22222421b

c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，

∵2

2

2

a c

b -=，∴212222-=--a

c a ，∴2223c a =，∴2

3

2=e ，∴26=e ，故选B

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若2

1PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解：121

21222222221-=+=+=+===

c

c c

PF PF c a c a c e

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

例4：设椭圆122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线

为1l ，离心

若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率是 .

解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的

距离，根据椭圆的第二定义，2

121

1===AD AB AD AF e 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率

为（） A 2B

22C 21D 4

2 解：2

2

1222==

=

AD

AF e 五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围

例5：设⎪⎭

⎫

⎝⎛∈4,

0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围为（） 2

1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,22()+∞,2另：由1tan cot 22=-θθy x ，⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈4,0πθ，得θtan 2=a ，θcot 2=b ,

∴θθcot tan 2

2

2

+=+=b a c ,∴θθθ

θ2222

cot 1tan cot tan +=+=

=a

c e ∵⎪⎭

⎫ ⎝

⎛∈4,0πθ，∴1cot 2>θ,∴22

>e ，∴2>e ，故选D