1.5.1_曲边梯形的面积-1.5.2_汽车行驶的路程
1.5.1曲边梯形的面积
y y x2
2近似代替 记fx x2.
如图1.5 3 ,当n很大 ,即
Δx很小时,
在区间i 1, nFra biblioteki n
o
i1 i
nn
1x
上,可以认为函数f x x2
图1.5 3
y
的值变化很小,近似等于一
个常数,不妨认为它近似地
y x2
等于左端点i 1处的函数
2. 有 理 由 相 信 ， 分 点 越 来 越密时，即分割越来越细 时，矩形面积和的极限即 为曲边形的面积。
o
x
B.可以是该区间内任一点的函数值 f (i )(i xi , xi1)
C.只能是右端点的函数值 f (xi1)
D.以上答案均不正确
小结:
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割 (2)求面积的和 (3)取极限 n
y
1.把这些矩形面积相加作为
整个曲边形面积S的近似值。
图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向
于0时,Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
趋向于S,
从而有S
lim Sn
n
lim
n
n i1
1 f i n
1 n
lim
n
1 1 3
1 1 n
1 2n
探 究 在 "近 似 代 替" 中,如 果 认 为 函 数fx x2 在
区
间i
1, n
i n
i
1,2,
,n上
的
1.5.1和1.5.2 曲边梯形的面积
1.5.1,1.5.2曲边梯形的面积和汽车行驶的路程班级_________________姓名________________________【学习目标】1.理解连续函数的概念,会根据函数图象观察函数在区间I 上是否连续.2.会用分割,近似替代,求和,取极限的方法求曲边为二次函数曲线段的曲边梯形的面积和汽车作变速运动时在某一段时间内行驶的路程.3.通过求曲边梯形的面积和对变速直线运动在某一段时间内行驶路程的求法,体会“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法.【复习回顾】 1.)12)(1(613212222++=++++n n n n , 2222)1(321-++++n =_____________.2.在“割圆术”中, 是如何利用正多边形的面积得到圆的面积的?具体步骤如何?【知识点实例探究】例1: 已知由直线0,3,0===y x x 和曲线22)(x x f =所围成的曲边梯形.将区间[0,3]n 等分,取第i 个小区间的右端点处的函数值为第i 个小矩形的高.(1)当10=n 时,求曲边梯形面积S 的近似值;(2) 当20=n 时,求曲边梯形面积S 的近似值;(3)当40=n 时,求曲边梯形面积S 的近似值;(4) 当100=n 时,求曲边梯形面积S 的近似值;(5)求曲边梯形的面积S .例2:一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻t 的速度为2)(2+-=t t v (单位)/h km ,求它在10≤≤t (单位:h )这段时间内行使的路程S (单位:km ).【作业】1.下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )A.2x y =B.||x y =C.x y =D.xy 1= 2.把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为( ) A.n 1 B.n 2 C.n 3 D.n21 3.把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是( ) A.],1[n i n i - B. )](),(1[a b ni a b n i --- C.],1[n i a n i a +-+ D. )](),(1[a b n i a a b n i a -+--+4.在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）A.只能是左端点的函数值)(i x fB.只能是右端点的函数值)(1+i x fC.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）D.以上答案均正确5.汽车以)(t v v =(函数)(t v v =在),0(+∞上为连续函数)在笔直的公路上行使,在]2,0[内经过的路程为S ,下列说法中正确的是____________.(1)将]2,0[n 等分,若以每个小区间左端点的速度近似替代时,求得的n S 是S 的不足近似值(S S n <);(2)将]2,0[n 等分,若以每个小区间右端点的速度近似替代时,求得的n S 是S 的过剩近似值(S S n >);(3)将]2,0[n 等分,当n 很大时,求出的n S 就是S 的准确值;(4)S 的准确值就是由直线0,2,0===v t t 和曲线)(t v v =所围成的图形的面积.6.一质点在作直线运动时,其速度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<<≤≤=)137(393)73(18)30(2)(2t t t t t t v (单位:s m /),则此质点在区间_________内作加速度越来越____的变加速运动; 在区间___________内作速度为____匀速运动;在区间___________内作加速度大小为________的匀_______速运动;这一质点在这13s 内的运动路程为_______________.7.一辆汽车在司机猛踩刹车后5s 内停下.在这一刹车过程中,下面各速度值被记录了下来:求刹车踩下后汽车滑过的距离的不足近似值(每个i ξ均取小区间的右端点)与过剩近似值(每个i ξ均取小区间的左端点).8. 求由直线0,3,1===y x x 和抛物线23x y =所围成的图形的面积.9.一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻t 的速度为5)(2+-=t t v (单位)/h km ,求它在20≤≤t (单位:h )这段时间内行使的路程S (单位:km ).。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.1 曲边梯形的面积明目标、知重点1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．1．曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．2．求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．3．求曲边梯形面积的步骤：①分割，②以直代曲，③作和，④逼近．4．求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、以直代曲、作和、逼近的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.[情境导学]任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？为此，我们需要学习新的数学知识——定积分．探究点一求曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．问题 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S? 思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答 已知图形是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答 (如下图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n(i －1n)2·Δx ＝∑i ＝1n(i －1n )2·1n(i ＝1,2，…，n ) ＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n＝1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＝13(1－1n )(1－12n)． 所以，当n →＋∞时，13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n →13.求曲边梯形的面积可以通过分割、以直代曲、作和、逼近四个步骤完成． 思考4 在“以直代曲”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点in 处的函数值f (i n)，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，in ]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？ 答 都能求出S ＝13.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝12x 2所围成的图形的面积．解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，[2n ，3n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n，1]，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各区间端点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)以直代曲 在区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 的函数值12⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作为高，小区间的长度Δx ＝1n作为底边，小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12(i －1n )2·1n .(3)作和曲边梯形的面积近似值为 S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n12(i －1n )2·1n＝0·1n ＋12(1n )2·1n ＋12(2n )2·1n ＋…＋12(n －1n )2·1n＝12n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ＝16(1－1n )(1－12n )． (4)逼近当n →＋∞时，16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n →16，所以，曲边梯形的面积为16.反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→以直代曲→作和→逼近；(3)关键：以直代曲；(4)结果：分割越细，面积越精确． 跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解 ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ≥0，y ＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积． (1)分割将区间[0,2] n 等分， 则Δx ＝2n， 取ξi ＝2i －1n. (2)以直代曲、作和S ＝∑i ＝1n[2i －1n ]2·2n＝8n3[02＋12＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83(1－1n )(1－12n )． (3)逼近当n →＋∞时，83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n →83.∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积为323.探究点二 求曲边梯形面积方法的实际应用思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 答 物体以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt .如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t 分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．例 2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间行驶的路程是多少？ 解 (1)分割将时间区间[0,1]分成n 个小区间，[0，1n ]，[1n ，2n ]，[2n ，3n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n，1]，则第i 个小区间为[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )． (2)以直代曲第i 个小矩形的高为v [－(i －1n)]， ∴ΔS i ≈v [－(i －1n )]·1n ＝[－(i －1n )2＋2]·1n. (3)作和S ＝1n ∑i ＝1n [－(i －1n)2＋2]＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋2＝－n －12n －16n2＋2＝－13(1－1n )(1－12n)＋2.(4)逼近当n →＋∞时，－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋2→53.∴这段时间行驶的路程为53km.反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、以直代曲、作和、逼近四步解决．(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v (t )＝－t 2＋2在t ＝0，t ＝1，v (t )＝0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现．跟踪训练2 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即F (x )＝kx (k 为常数，x 为伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．解 将物体用常力F 沿着x 的方向移动距离x ，则所做的功为W ＝Fx .本题F 是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x 的函数F (x )＝kx .将[0，b ]区间n 等分，记Δx＝b n，分点依次为x 0＝0，x 1＝b n，x 2＝2b n，…，x n －1＝n －1b n，x n ＝b . 当n 很大时，在分段[x i ，x i ＋1]所用的力约为kx i ，所做的功为ΔW ＝kx i ·Δx ＝kx i ·bn，则从0到b 所做的总功W 近似地等于∑n －1i ＝0ΔW i ≈∑n －1i ＝0kx i ·Δx ＝∑n －1i ＝0k ·ib n ·b n ＝kb 2n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝kb 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . 当n →＋∞时，W →12kb 2.答 弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为12kb 2.1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为________． 答案 2n解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时，克服弹力所做的功为________． 答案 0.36 J3．在“以直代曲”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值可以是________． 答案 该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于 110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02. [呈重点、现规律]1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)以直代曲：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)作和： i ＝1nf (ξi )·b －an；(4)逼近：“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．2．变速运动的路程，变力做功问题等可转化为曲边梯形面积问题．一、基础过关1.∑ni ＝1 in＝________. 答案n ＋12解析 ∑ni ＝1i n ＝1n(1＋2＋…＋n )＝1n·nn ＋12＝n ＋12.2．在区间[0,8]上插入9个等分点之后，则所分的小区间长度Δx ＝________，第5个小区间是____________． 答案 0.8 [3.2,4]3．求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t >0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －2n t ，i －1n t 4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为________． 答案 12解析 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．5．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________． 答案2564解析 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：[0，14]，[14，12]，[12，34]，[34，1]，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S ＝(14)3×14＋(12)3×14＋(34)3×14＋13×14＝2564.6．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为________． 答案 3解析 将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为[a i －1n ，ain](i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积(ai n )2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑ni ＝1 (ai n )2·a n ＝a 3n3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33(1＋1n )(1＋12n)近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得当n →＋∞时，a 33(1＋1n )(1＋12n )→9，∴a33＝9，解得a ＝3.7．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积． 解 令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2n －1n，x n ＝2. 第i 个区间为[2i －2n，2i n](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n－2i －2n＝2n. (2)以直代曲、作和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S ＝∑ni ＝1f (2in)·Δx ＝∑ni ＝1 (2i n )2·2n ＝8n3∑n i ＝1i 2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＝8n3·n n ＋12n ＋16＝43(2＋3n ＋1n 2)． (3)逼近当n →＋∞，43(2＋3n ＋1n 2)→83，即所求曲边梯形的面积为83.二、能力提升8．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________. 答案 3.92 5.52解析 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92； S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.9．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________． 答案 [n ＋i －1n ，n ＋in] 10．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.11．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t ]内物体下落的距离． 解 (1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份． 把时间[0，t ]分成n 个小区间，则第i 个小区间为[i －1n t ，itn](i ＝1,2，…，n )， 每个小区间所表示的时间段 Δt ＝it n －i －1n t ＝tn，在各个小区间物体下落的距离记作ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)以直代曲：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在[i －1n t ，itn]上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )， 可取ξi 使v (ξi )＝g ·i －1nt 近似代替第i 个小区间上的速度， 因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n内所经过的距离可近似表示为 ΔS i ≈g ·i －1n t ·tn(i ＝1,2，…，n )． (3)作和：S ＝∑ni ＝1ΔS i ＝∑ni ＝1g ·i －1n t ·tn＝gt 2n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2(1－1n)． (4)逼近：当n →＋∞时，S →12gt 2.即在时间区间[0，t ]内物体下落的距离为12gt 2.12．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与二次函数曲线f (x )＝x 2＋2x ＋1所围成的曲边梯形的面积． 解 (1)分割将[0,2]n 等分，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －1n ，2i n (i ＝1,2，…，n )的区间长度Δx ＝2n ，原曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，如图所示． (2)以直代曲 用f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －1n 作为第i 个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相应小曲边梯形面积． (3)作和n 个小矩形面积之和S ＝∑i ＝1nf ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －1n Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤4i －12n 2＋4i －1n ＋12n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n2[12＋22＋…＋n －12]2n＋[1＋2＋…＋(n －1)]8n 2＋n ·2n＝8n 3·16n (n －1)(2n －1)＋8n 2·12n (n －1)＋ 2 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2(4)逼近当n →＋∞时，1n →0，所以S →263.所以，由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与二次函数曲线f (x )＝x 2＋2x ＋1所围成的曲边梯形的面积为263.三、探究与拓展13.某物体做变速运动，设该物体在时间t 的速度为v (t )＝6t2，求物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n 个小区间[1＋i －1n ，1＋in](i ＝1,2，…，n )，区间长度为Δt ＝1n，每个时间段内行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则s n ≈∑i ＝1nΔs i .(2)以直代曲：ξi ＝1＋i －1n(i ＝1,2，…，n )， Δs i ≈v (1＋i －1n )·Δt ＝6·(n n ＋i －1)2·1n＝6nn ＋i －12(i ＝1,2，…，n )．(3)作和：s n ＝∑i ＝1n6n n ＋i －12≈∑i ＝1n6nn ＋i n ＋i －1＝6n (1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n )＝6n (1n －12n )＝3.(4)逼近：当n →＋∞时，s →3.所以物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程为3.。
1.5.1 + 1.5.2 曲边梯形及汽车行驶的路程
An b x
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形
的面积。
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
y x
2
k n
O
1 n
2 n
n
3
(1 2 ( n 1) )
2 2 2
.
1 ( n 1) n (2 n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n
k n
O
1 n
2 n
n
n
x
问题五：用过剩近似值代替近似值如何？Ｐ４２探究
求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: a , x1 , x1 , x 2 , x i 1 , x i , , x n 1 , b , 每个小区间宽度△x
ba n
(2)取近似求和:任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为x的小矩形面积
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
定积分的概念(1.5.1-1.5.3)
思维导航
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细， 各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大， 这就是一个求极限的过程。
y
f ( i ) ( i )2 nn
f (i 1) (i 1)2
n
n
O
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
i 1 i nn
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
i
n
1
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
2
温馨提示： 12 +22 +32 + +n 2
=
1 n3
12
O 1 2 i 1 i n 11 x
n n nn n
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
曲边梯形的面积汽车行驶的路程演示文稿
探究点1 曲边梯形的面积
直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边 梯形）面积S是多少？
为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形， 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
y=x2
方案1 方案2 方案3
O
1
x
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
（3）求和
n
S S1 S 2 S n Si , i1
n f( i-1) 1 n ( i-1) 2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 (n 1)n (2n 1)
n3
6
1 (1 1 )(1 1 ) 3 n 2n
（4）取极限
1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思 想.（重点）
2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号. （难点）
曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称
为曲边梯形．
y y=f(x)
f(b)
如何求曲边梯 形的面积？
f(a)
Oa
bx
当分割无限变细，即Δx→0(亦即n→+∞)时，
S=ln→ i∞ m131-1n1-21n=31 即所求曲边梯形的面积为1.
3
演示
我们还可以从数值上看出这一变化趋势
探究点2 汽车行驶的路程
思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的 运动速度？
例如 s(t)=3t2+2. 则 v(t)= s´(t)=6t+0. 思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么
151_曲边梯形的面积_152_汽车行驶的路程
总结提升：
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积
的方法 （1）分割 （2）近似代替 （3）求和
（4）取极限 x 0(或n )
1.当n很大时，函数f
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2 趋向于
S
，
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
v
i
1 n
lim
n
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
5 3
.
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车 行驶的路程 s 与由直线 t=0，t=1，v=0 和曲线 v= －t2+2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思 想.（重点）
2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号.（ 难点）
曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称
为曲边梯形．
y
如何求曲边梯
f(b)
y=f(x)
形的面积？
f(a)
Oa
bx
探究点1 曲边梯形的面积
i
n
1
,
i n
上，可以认为函数 vt t2 2 的值变化很
小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端
点
i
1 n
处的函数值
v
高中数学——定积分的概念常考试题解析讲解
3
(−36.计算
1 3
2 3
2 2
1
15
7
1 ＝ ，1 ＝ ，0 ＝ ，7.已知
4
4
3
4 2
56
2 ＝ 3 ，求：
2
这就是定积分
的几何意义.
直线＝把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，
因此大曲边梯形的面积是两个小曲边梯形的面积1，
2之和，即＝2)
=
( )( 为常数)
1 () ± 2 () =
形”的所有边都是直线段.
思考3:能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边
图形”的面积问题？
求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求
和，④取极限.
1、求由直线＝0，＝1，＝0和曲线＝(－1)
围成的图形面积.
2、求由抛物线＝2与直线＝4所围成的曲边梯形
的面积.
求变速直线运动的(位移)路程
高中数学—定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积常考试题解析
1.5.2 汽车行驶的路程常考试题解析
思考1：如何计算下列两图形的面积？
思考2：如图，为求由抛物线＝2与
直线＝1，＝0所围成的平面图形
的面积，图形与我们熟悉的“直边
图形”有什么区别？
曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图
＝( < )，＝0及曲线＝()所围成的曲边梯形的面积.
(2)当函数() ≤ 0时,曲边梯形位于轴的下方,此时 等
1.5定积分的概念(1)
i 1 i n , n 处的函数值f（ξ ）作为小 i
小矩形的面积是 x f(xi) y = f(x)
y f(xi)
曲 边 梯 形 的 面 积
f(x2) f(x1)
O
a x1X１x2 X２
Xi－１xi
xi
Xn－１
b x
分割
近似代替
n
求和
n
取极限
面积近似为Ｓ f (x i )xi ． S lim f (x i )xi ． 则
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个 小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 近似代替
曲 边 梯 形 的 面 积
i 1 i [ , ] n n
记f（x）＝x２，当n很大时，即△x很小时，在区间
上，可认为函数f（x）＝x２的值变化很小， 近似的等于一个常数，不妨认为它近似地等于
曲 边 梯 形 的 面 积
1 面积为 2 3 面积为 8 19 面积为 54
y
y＝x２
O
1
x
特例:直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成 的图形（曲边三角形）面积S是多少？
曲 边 梯 形 的 面 积
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替 “曲边”（即在很小范围内以直代曲）.
y y＝x２
O
1
x
一般地，小矩形越多，小矩形面积 和越接近曲边梯形面积．
（1）分割
曲 边 梯 形 的 面 积
把区间[0，1]等分成n个小区间： 1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ],[ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n
曲边梯形的面积
(理)1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程【素养目标】1．理解连续函数的概念，了解定积分的实际背景及“以直代曲”“以不变代变”的思想方法，达成逻辑推理的核心素养。
2．会用分割、近似代替、求和、取极限的方法求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，培养学生的数学运算的核心素养。
【课前·预习案】[问题导学]知识点1.曲边梯形的面积观察图①和图②，其中阴影部分的面积可用梯形的面积公式来求，而图③中阴影部分有一边是曲线段．【思考1】如何求图③中阴影部分的面积呢？【提示】若把区间[a，b]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，近似地求出这些小曲边梯形的面积，分割的曲边梯形数目越多，所求得的面积越精确．〖梳理〗1、连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2、曲边梯形的面积1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．2．求曲边梯形面积的方法与步骤：(1)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形 (如图②)；(2)近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值 (如图②)；(3)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；(4)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，所有小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．知识点2.求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么它在时间t所在的区间[a，b]内的路程(或位移)也可以运用(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限的方法求得．[达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”：（1）在“近似代替”中，函数f(x)在区间[x i，x i ＋1]上的近似值只能是左端点的函数值f(x i)。
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他们的面积分别记作
S1 , S2 , , Si , , Sn .
探究思考
（2） 以直代曲（近似代替）
i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n
y （3）作和
y x2
S Si S1 S 2 S n
n
探究思考
（4）逼近（取极限）
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )( 2 ) 6 n n 3 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的面积为 。 3 3
2 2 2
探究思考
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
1 1 2 i 1 i n 1 n 0， ，n ， ， , n , n , , n , n n n i i 1 1 每个区间的长度为x n n n 过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，
v
2
v(t ) = - t 2 + 2
O
1
t
探究思考
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0，t=1，v=0 2 和曲线 v=－t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系？
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 S lim Sn 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
分割 以直代曲 作和 逼近
因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为:
S lim S n
y
n
y x2
1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 . 3
O
1 n
2 n
k n
演示
n n
x
探究思考
b x
x
O
a
P
放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以 看作直线（即在很小范围内以直代曲）．
1.5.1曲边梯形的面积
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边梯
形）面积S是多少？
为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” y 。
方案1
方案2
方案3
O
1
x
探究思考
y
y = f(x)
A1
方案1 方案2 方案3
O a
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1。
探究思考
y = f(x) y
A1 于是曲边梯形的面积A近
似为 A A1+ A2 + + An —— 以直代曲,无限逼近
探究思考
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在
小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可
以取小区间内任意一点xi对应的函数值f( xi)作为小矩 形一边的长，于是f(x i)△x来近似表示小曲边梯形的 面积
i 1
n
O
1 n
2 n
k n
n n
x
i -1 1 n i -1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 21 n -1 2 1 0· ( ) · ( )· n n n n n 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n
f ( x1 )x f ( x2 )x f ( xn )x
表示了曲边梯形面积的近似值
探究思考
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面 积。 详细过程
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边 三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积 加起来, 得到一个近似值: n n n i 1 i 1 2 1 ' Sn Si f ( )x ( ) n n n i 1 i 1 i 1
微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；
2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
y y
y
0
x
0
x
o
x
直线
几条线段连成的折线
曲线？
探究思考
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线
y=f( x)，直线x=a、x=b及x轴所 围成的图形叫做曲边梯形。
y y=f (x)
y
x=a
O
1
x=b
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2
探究思考
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
探究思考
y = f(x) y
A1 O
Ai
An
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的
y
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
1 1 1 2 1 n 1 1 0 n n n n n n n 1 3 (12 22 (n 1) 2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n
思考 1：已知物体运动路程与时间的关系怎 样求物体的运动速度？
例如 S(t)=3t +2. 则 v(t)= S´ (t)=6t+0.
思考 2：已知物体运动速度为 v(常量)及时间 t，怎么求路程？
S=vt 直接求出
2
探究思考
思考 3：如果汽车做 变速直线运动， 在时 刻 t 的速度为 v(t)= 2 － t +2 。 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 S 是多少 呢？