研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用
线性规划及其在企业管理中的应用
线性规划及其在企业管理中的应用引言线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型来解决实际问题。
它在企业管理中有着广泛的应用，可以帮助企业优化资源配置、提高效率和利润。
本文将探讨线性规划的基本原理以及在企业管理中的具体应用。
一、线性规划的基本原理线性规划是一种优化问题，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量值。
线性规划的基本原理可以通过以下步骤进行描述：1.确定决策变量：决策变量是问题中需要求解的变量，可以是产品的生产数量、资源的分配比例等。
2.建立目标函数：目标函数是需要优化的指标，可以是利润最大化、成本最小化等。
3.确定约束条件：约束条件是问题中的限制条件，可以是资源的有限性、市场需求等。
4.构建数学模型：将决策变量、目标函数和约束条件转化为数学表达式，建立线性规划模型。
5.求解最优解：使用线性规划算法，如单纯形法、内点法等，求解模型得到最优解。
二、线性规划在企业管理中的应用1.生产计划优化企业的生产计划涉及到资源的合理配置和产量的最大化。
线性规划可以帮助企业确定最佳的生产数量和资源分配比例，以实现生产效率的提高和成本的降低。
通过建立生产计划的线性规划模型，考虑到资源的有限性和市场需求，可以找到最优的生产方案。
2.库存管理库存管理是企业运营中的重要环节，合理的库存管理可以降低成本和提高服务水平。
线性规划可以帮助企业确定最佳的库存水平和订货量，以实现库存成本的最小化和客户满意度的最大化。
通过建立库存管理的线性规划模型，考虑到需求的不确定性和供应的限制，可以制定出最优的库存策略。
3.人力资源调配人力资源是企业的核心资产，合理的人力资源调配可以提高工作效率和员工满意度。
线性规划可以帮助企业确定最佳的人力资源分配方案，以实现工作量的均衡和生产效率的提高。
通过建立人力资源调配的线性规划模型，考虑到员工的技能和工作需求，可以找到最优的人力资源配置方案。
4.营销策略制定营销策略是企业发展的关键，合理的营销策略可以提高市场份额和利润。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划应用举例
线性规划研究的主要问题
一类是已有一定数量的资源（人力、物质、 时间等），研究如何充分合理地使用它们，才能 使完成的任务量为最大。
另一类是当一项任务确定以后，研究如何统 筹安排，才能使完成任务所耗费的资源量为最少。
—— 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同 的方面，都是求问题的最优解（ max 或 min ）。
例2 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线 的货运量、货运成本如下表所示：问：应如何编队，才能既完 成合同任务，又使总货运成本为最小？
航线 船队 号 类型
1 1
2 3 2 4
编队形式
拖轮
A型 驳船
B型 驳船
1
2
—
1
—
4
2
2
4
1
—
4
货运成本 （千元／队）
36 36 72 27
货运量 （千吨）
25 20 40 20
船只种类 拖轮 A型驳船 B型驳船
船只数 30 34 52
航线号 1 2
合同货运量 200 400
解：设 xj 为第 j 号类型船队的队数( j = 1,2,3,4 ), z 为总货运 成本, 则：
min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
x1 + x2 + 2x3 + x4≤ 30
2 1 1 1 00 00 0 2 1 0 32 10 1 0 1 3 02 34
7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6.0 0.1 0.3 0.9 0.0 1.1 0.2 0.8 1.4
方案 长度m
2.9 2.1 1.5 合计 料头
ⅠⅡ Ⅲ ⅣⅤ Ⅵ ⅦⅧ
应用线性代数解决实际问题
应用线性代数解决实际问题线性代数作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、经济学等。
它不仅是数学家们研究的重要工具，更是解决实际问题的有效途径。
本文将通过具体案例，介绍线性代数在实际问题中的应用，从而展示其强大的解决能力。
案例一：网络流量优化现代社会离不开互联网，而网络流量的优化是提高互联网服务质量的重要问题之一。
假设我们有一组服务器，每个服务器的带宽和消耗成本有所不同，现在需要将用户的请求合理地分配到这些服务器上，以最大化带宽利用率并最小化消耗成本。
这就可以转化为一个线性代数中的线性规划问题。
首先，我们可以用一个向量表示服务器的带宽，用另一个向量表示服务器的消耗成本。
设请求到达的向量为x，那么我们的目标就是最大化带宽利用率和最小化消耗成本，可以构建如下优化模型：maximize cᵀx subject to Ax ≤ b其中，c是服务器的消耗成本向量，x是请求到达的向量，A是服务器带宽的矩阵，b是服务器的带宽上限。
通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最佳的请求分配方案，从而实现网络流量的优化。
案例二：图像处理线性代数在图像处理中有着广泛的应用。
以黑白图片为例，可以将其表示为一个矩阵，其中的元素代表每个像素点的灰度值。
通过矩阵的加减、乘除运算，以及线性变换等操作，可以实现图像的平移、旋转、缩放等处理效果。
举个例子，假设我们想要将一张黑白图片的亮度增加一倍。
我们可以将这张图片表示为一个矩阵A，然后构造一个倍增矩阵B，即每个元素都是2。
通过这两个矩阵的乘法运算，即可实现亮度的增加。
这个过程可以用下面的表达式表示：A' = BA其中，A'表示亮度增加后的图像矩阵。
通过线性代数的运算，我们可以方便地实现图像处理中的各种效果。
总结线性代数作为数学的重要分支，具有广泛的应用领域。
本文通过网络流量优化和图像处理两个具体案例，展示了线性代数在实际问题中的应用。
线性代数的强大解决能力不仅能帮助我们解决现实生活中的问题，同时也为我们提供了一种思维方式和方法论。
运用线性规划对运输问题进行研究运输问题在企业管理方面的应用
运用线性规划对运输问题进行研究运输问题在企业管理方面的应用一、本文概述随着全球化的推进和市场竞争的日益激烈，运输问题在企业管理中扮演着越来越重要的角色。
如何有效地进行物资运输、降低成本、提高效率，成为了企业运营中必须面对和解决的问题。
线性规划作为一种数学优化技术，为运输问题的研究和解决提供了有力的工具。
本文旨在探讨线性规划在运输问题中的应用，以及它在企业管理中的实际作用。
本文将首先介绍线性规划的基本概念、原理及其在运输问题中的应用原理。
接着，通过具体案例，分析线性规划在运输问题中的实际应用，包括如何建立运输问题的数学模型、如何运用线性规划求解最优运输方案等。
本文还将探讨线性规划在企业管理中的其他应用，如资源分配、生产计划等。
本文将总结线性规划在运输问题和企业管理中的应用效果，并展望未来的发展趋势。
通过本文的研究，我们期望能够帮助企业更好地理解和应用线性规划，优化运输方案，提高运营效率，从而在激烈的市场竞争中获得优势。
也希望本文能为相关领域的研究人员提供参考，推动线性规划在运输问题和企业管理领域的研究和发展。
二、线性规划理论基础线性规划是一种数学方法，用于解决具有线性约束和线性目标函数的优化问题。
它广泛应用于各种领域，包括运输问题。
在企业管理中，线性规划尤其适用于资源分配、生产调度和物流优化等问题。
线性规划问题的基本形式可以描述为：在给定的线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这些约束条件和目标函数都是由决策变量的线性组合构成的。
决策变量是在问题中需要优化的变量，例如运输量、生产量等。
在运输问题中，线性规划可以用于优化运输成本、运输时间和运输路线等。
例如，假设一个企业需要将其产品从多个工厂运输到多个销售点，每个工厂和销售点之间的运输成本可能不同。
通过线性规划，企业可以找出一种运输方案，使得总运输成本最低，同时满足各种约束条件，如每个工厂的生产能力、每个销售点的需求量等。
线性规划的理论基础包括线性代数、凸分析和优化理论等。
最优化方法及其在实际生活中的应用研究
最优化方法及其在实际生活中的应用研究最优化方法是指在一定的条件下，通过改变某些变量的值使某一目标函数达到最大或最小的一种数学方法。
最优化方法的应用非常广泛，涉及到经济、科学、工程等各个领域，如实现企业利润最大化、找到最佳的投资方案、最优化工程设计等。
在本文中，我们将介绍最优化方法的几种类型及其在实际生活中的应用研究。
一、线性规划线性规划是指以线性目标函数和线性约束条件为基础的最优化方法。
它通过线性代数和数学规划理论等方法来求解最优解。
线性规划在实际中的应用非常广泛，如在企业管理中用于决策分析，如生产计划、物流运输等，以及在金融领域中用于资产配置、投融资决策等。
二、整数规划整数规划是一种将线性规划中变量限制为整数的方法。
它可以模拟现实问题中的离散决策和数量限制，如在生产、物流配送等领域中用于解决仓库调度、货运路线优化等问题，也广泛应用于供应链管理、生产调度等领域。
非线性规划是指目标函数和约束条件中存在非线性关系的最优化方法。
它包括凸规划、非凸规划等不同类型。
在实际中，非线性规划被广泛应用于诸如化学反应、生产过程优化等领域。
四、启发式算法启发式算法是指用于求解复杂优化问题的近似算法。
他们无法保证优化结果的最优性，但它们能够在合理的时间内得到接近最优的结果。
在实际中，启发式算法被广泛应用于人工智能、图像识别、机器学习等领域。
五、模拟退火算法模拟退火算法是一种利用物理学中退火过程的思想来寻求最优解的算法。
它在实际中被广泛用于计算机科学、统计学、物理学、生物学、化学等领域。
综上所述，最优化方法在实际中被广泛应用于各个领域。
通过对现实问题的建模和求解，它们能够帮助我们做出更加明智、更加有效的决策，并最大程度地提高生产效率和经济效益。
线性规划教案
word 1 / 8 课题：线性规划在实际生活中的应用 教材：全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上） 授课教师：某某省某某市第四中学 聂清平
教学目标： 1．知识目标：会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题； 2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神．
教学重、难点： 教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答． 教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题； 2．寻找整点最优解的方法．
教 具：多媒体、实物投影仪、印好的习题纸和直尺（习题纸附后）
教学方法：讲练结合、分组讨论法
教学过程： （一）讲解新课 1．实例1讲解 引入：李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目． word 2 / 8 （播放视频：李咏首支个人单曲MV《你是我们的大明星》） 当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题： 例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？ 应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答．
分析：将已知数据列成下表 播放片甲 播放片乙 节目要求 片集时间（min） 1 ≤16 广告时间（min） 1 ≥
收视观众（万） 60 20
线性规划模型及应用场景
线性规划模型及应用场景线性规划是一种运筹学中的数学方法，用于在有限的资源下寻找达到最佳目标的方案。
线性规划模型是通过建立线性关系式和目标函数以确定决策变量的最优值，来求解问题。
应用线性规划模型可以在诸多领域中找到合理的应用场景。
一、生产调度与物流管理生产调度是指以资源约束为条件，在规定时间内安排、组织和运用生产资源的管理活动。
而物流管理则是通过有效的供应链管理来实现流程和原料的优化配置。
线性规划可以通过建立生产资源约束条件和目标函数，来确定合理的生产进度和物流配送计划，从而提高生产效率、降低物流成本。
举个例子，某工厂生产两种产品A和B，生产线的时间和效率是有限的，同时每个产品有不同的售价和成本。
这时可以使用线性规划模型来确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。
二、金融投资与资产配置金融投资是指将资金投入到各种金融市场和资产中，以期获得回报。
而资产配置则是指在不同风险水平下，按照一定的比例配置资金到各种资产上。
线性规划可以通过建立风险约束条件和目标函数，来确定最佳的资产配置组合，以实现风险和回报间的平衡。
举个例子，某投资者有一笔固定资金，可以投资于股票、债券和货币市场基金等多个金融工具。
他可以将自己的投资目标、预期收益和风险偏好建立为线性规划模型，以确定最佳的资产配置比例，从而达到理想的投资回报。
三、运输与配送运输与配送是指将物品从生产地或仓库运往销售点或用户手中的过程。
针对运输与配送的问题，线性规划可以通过建立运输路径、运输容量和运输成本等约束条件，来确定合理的物流方案，从而达到最佳的运输效益。
例如，某物流公司需要将商品从N个供应商处运输到M个销售点，每个供应商的供货量和每个销售点的需求量是已知的，同时每个运输路径的距离和费用也是已知的。
利用线性规划模型，可以确定每个运输路径上的货物运输量和运输方式，从而降低运输成本，提高物流效率。
四、人力资源管理人力资源管理是指通过合理的组织、激励和管理，利用有限的人力资源实现组织目标。
学生课题研究--校园中的线性规划问题
《数学教学论》研究报告——校园中的数学问题学生课题研究校园中的线性规划问题一、内容摘要针对校园中存在的部分规划问题，关于“对于如何在各种要素间分配资源，才能保证在既定的资源总量与技术条件约束下，使得系统的运行结果最优”这一问题运用线性规划(linear programming ,LP )方法解决。
本文运用几种常见的方法和软件来辅助求解线性规划问题：线性规划的图解法、线性规划问题的建模方法求解线性规划问题，同时在建立了模型的基础上利用MATLAB、LINGO、LINDO等软件求出线性规划模型的最优解。
二、关键词线性规划(LP)、线性规划模型前言1941~1942年冬，第二次世界大战进行得如火如荼。
当时德国的潜艇很活跃，而英国空军反潜作战的效果却很差。
于是，军方请运筹学工作者改进反潜作战效果的工作。
当搜集和分析了大量有关英国飞机攻击德国潜艇的资料后，发现，飞机攻击潜艇的最有利时机是潜艇还处于水面或刚刚下潜的时候，但当时深水炸弹的规定引爆深度为100英尺，而炸弹的毁伤半径约为20英尺，很难发挥作用。
于是科学家们建议军队把炸弹的引爆深度定在20~25英尺之间，而当时已生产的这种炸弹的最小引爆深度为35英尺，所以英国空军只好将深水炸弹标定在这个深度（35英尺）。
仅这样一改，就使效率提高了六倍。
这个故事集中体现了线性规划解决问题的优势和特点，数学来源于生活，生活中处处存在数学，在校园生活中线性规划也有很广泛的应用，如：问题1：在有限的时间和精力、一定的课程安排以及学习方式不变的情况限制下，如何有效地利用和分配学习时间，才能让学习的效率尽可能地达到更好的效果，拿到更好的学习成绩？还比如：问题2：在资金量、土地资源和绿化方式一定的情况下，如何安排绿化计划，才能使校园绿化效果更好、更美观？诸如此类问题：“只要想在推进事物发展的过程中获得最优的结果，就需要进行科学的统筹和规划”在校园中还有很多，这里就不一一列举了。
lingo求解线性规划实验报告
lingo求解线性规划实验报告一、实验目的线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
本次实验的目的在于通过使用 Lingo 软件求解线性规划问题，深入理解线性规划的基本概念、原理和方法，掌握 Lingo 软件的操作技巧，提高解决实际问题的能力。
二、实验原理线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
其数学模型一般形式为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{1n}x_n ＼leq b_1$＄a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{2n}x_n ＼leq b_2$＄＼cdots$＄a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m$＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq 0$其中，＄c_i$为目标函数系数，＄a_{ij}＄为约束条件系数，＄b_i$为约束条件右端项，＄x_i$为决策变量。
Lingo 软件是一款专门用于求解线性规划、非线性规划等优化问题的工具。
它通过输入问题的数学模型，利用内部的优化算法求解，并输出最优解和最优值。
三、实验内容（一）问题描述考虑一个生产计划问题。
某工厂生产两种产品 A 和 B，生产单位产品 A 需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个单位的工时，生产单位产品 B需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个单位的工时。
工厂共有 100 个单位的原材料和 80 个单位的工时可用。
产品 A 的单位利润为 4 元，产品 B 的单位利润为5 元。
问如何安排生产计划，才能使工厂的总利润最大？（二）数学模型建立设生产产品 A 的数量为$x_1$，生产产品 B 的数量为$x_2$，则目标函数为：＄Z ＝ 4x_1 ＋ 5x_2$约束条件为：＄2x_1 ＋ 3x_2 ＼leq 100$＄3x_1 ＋ 2x_2 ＼leq 80$＄x_1, x_2 ＼geq 0$（三）Lingo 程序编写｀｀｀lingomodel:max ＝ 4x1 ＋ 5x2;2x1 ＋ 3x2 ＜＝ 100;3x1 ＋ 2x2 ＜＝ 80;end｀｀｀（四）求解结果分析运行 Lingo 程序，得到最优解为$x_1 ＝ 20$，＄x_2 ＝ 20$，最大利润为$180$元。
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---------------------------------精选公文范文-------------------------- ----------------精选公文范文---------------- 1 研究性课题与实习
作业：线性规划的实际应用 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 教学目标 （1）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念； （2）了解线性规化问题的图解法； （3）培养学生搜集、分析和整理信息的能力，在活动中学会沟通与合作，培养探索研究的能力和所学知识解决实际问题的能力； （4）引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德． 教学建议 一、重点难点分析 学以致用，培养学生“用数学”的意---------------------------------精选公文范文-------------------------- ----------------精选公文范文---------------- 2 识是本节的重要目的。学习线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决一些生产、生活中问题，因而本节的教学重点是：线性规划在实际生活中的应用。困难大多是如何把实际问题转化为数学问题（既数学建模），所以把一些生产、生活中的实际问题转化为线性规划问题，就是本节课的教学难点。突破这个难点的关键就在于尽快熟悉生活，了解实际情况，并与所学知识紧密结合起来。 二、教法建议 （l）建议可适当采用电脑多媒体和投影仪等先进手段来辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率． （2）课堂上可以设计几个实际让学生分组研讨解答，一方面是复习线性规划问题的一般解法，为总结线性规划问题的数学模型和常见类型作铺垫；另一方面，也为接下来到外面分组调研积累经验，让学生在讨论、探究过程当中初---------------------------------精选公文范文-------------------------- ----------------精选公文范文---------------- 3 步学会沟通与合作，共同完成活动任务． （3）确定研究课题，建议各小组以三个常见问题为主，或者根据本小组实际自拟课题． （4）活动安排，建议要求各小组分式明确，团结协作，听从指挥，注意安全．学生研究活动的成果，可以用研究报告或论文的形式体现．一切以学生自己的自主探究活动为主，教师不能越俎代庖． （5）对学生在课余时间开展的研究性课题，建议作做好成果展示、评估和交流．展示不仅可以让全体学生来分享成果，享受成功的喜悦，而且还可以锻炼学生的组织表达能力，增强学生的自信心．通过评估，可以使同学清楚地看到自己的优点与不足．通过交流研讨，分享成果，进行思维碰撞，使认识和情感得到提升． 教学设计方案 教学目标 （1）了解线性规划的意义以及线性---------------------------------精选公文范文-------------------------- ----------------精选公文范文---------------- 4 约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念； （2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； （3）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； （4）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新． 重点难点 理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点。 如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点。 教学步骤 （一）引入新课 我们已研究过以二元一次不等式组为约束条件的二元线性目标函数的线性规划问题。那么是否有多个两个变量的---------------------------------精选公文范文-------------------------- ----------------精选公文范文---------------- 5 线性规划问题呢？又什么样的问题不用线性规划知识来解决呢？ （二）线性规划问题的教学模型 线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题，一般地，线性规划问题的数字模型是 已知 其中 都是常数， 是非负变量，求 的最大值或最小值，这里 是常量。 前面我们计论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解。比如线性不等式 不能用图形来表示它，那么对四元线性规划问题就不能用图形来求解了，对这样的线性规划问题怎样求解，同学们今后在大学学习中会得到解决。 线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它---------------------------------精选公文范文-------------------------- ----------------精选公文范文---------------- 6 们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见问题有： 1．物调运问题 例如，已知 两煤矿每年的产量，煤需经 两个车站运往外地， 两个车站的运输能力是有限的，且已知 两煤矿运往 两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小？ 2．产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，能使每月获得的总利润最大？ 3．下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 4．研究一个例子 ---------------------------------精选公文范文-------------------------- ----------------精选公文范文---------------- 7 下面的问题，能否用线性规划求解？如能，请同学们解出来。 某家具厂有方木料 ，五合板 ，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料 、五合板 ，生产每个书橱需要方木料 、五合板 ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？如何只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产时可使所得利润最大？ A．教师指导同学们逐步解答： （1）先将已知数据列成下表 （2）设生产书桌x张，生产书橱y张，获利润为z元。 分析：显然这是一个二元线性问题，可归结于线性规划问题，并可用图解法求解。 （3）目标函数 ①在第一个问题中，即只生产书桌，则 ，约束条件为 ---------------------------------精选公文范文-------------------------- ----------------精选公文范文---------------- 8 ∴ 最多生产300张书桌，获利润 元 这样安排生产，五合板先用光，方木料只用了 ，还有 没派上用场。 ②在第二个问题中，即只生产书橱，则 ，约束条件是
∴ 最多生产600张书橱，获利润 元 这样安排生产，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 没派上用场，获利润比只生产书桌多了48000元。 ③在第三个问题中，即怎样安排生产，可获利润最大？ ，约束条件为
对此，我们用图解法求解， 先作出可行域，如图阴影部分。
时得直线 与 平行的直线 过可行域内的点M（0，600）。因为与 平等的过可行域内的点的所有直线中， ---------------------------------精选公文范文-------------------------- ----------------精选公文范文---------------- 9 距原点最远，所以最优解为 ，即此时 因此，只生产书橱600张可获得最大利润，最大利润是72000元。 B．讨论 为什么会出现只生产书橱，可获最大利润的情形呢？第一，书橱比书桌价格高，因此应该尽可能多生产书橱；第二，生产一张书橱只需要五合板 ，生产一张书桌却需要五合板 ，按家具厂五合板的存有量 ，可生产书橱600张，若同时又生产书桌，则生产一张书桌就要减少两张书橱，显然这不合算；第三，生产书橱的另种材料，即方木料是足够供应的，家具厂方木料存有量为 ，而生产600张书橱只需要方木料 。 这是一个特殊的线性规划问题，再来研究它的解法。 C．改变这个例子的个别条件，再来研究它的解法。 将这个例子中方木料存有量改为 ，其他条件不变，则 作出可行域，如图阴影部分，且过可行域内点M（100，