08届莆田四中高三第四次月考4

08届莆田四中高三第四次月考 08.01数学试卷 （文科） 命题：蔡元新 黄雄林 审核：肖宗福一． 选择题（每小题5分共60分）1．设全集U=R ，A={x | |x |>2}，B={x | x 2-4x +3<0}，则A ∩(C U B ）是 （ ）A ．{x | x <-2} B. {x | x <-2或x ≥3}C . {x | x ≥3} D. {x | -2≤ x <3}2.在等差数列{a n }中，若a 2+a 6+a 10+a 14=20, 则a 8=（ ）A. 10B. 5C. 2．5D. 1．253．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门， 则不同的选修方案共有 （ ） A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．192种 4. cos105°cos15°等于 ( ) A.41 B. －41 C. 43 D. －43 5．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒其中正确的两个命题的序号是 （ ） A 、①与②B 、③与④C 、②与④D 、①与③6．将函数y =in s (6x π+)(x ∈R)的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为（ ）A.sin y =(125x 2π+)(∈x R) B.sin y =(1252x π+)(∈x R) C.sin y =(122x π-)(∈x R) D.sin y =(2452x π+)(∈x R)7. ．数列n a n ++++++ 211,,3211,211,1:}{的前n 项和为 （ ） A ．122+n n B ．12+n n C ．12++n n D ．12+n n8．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+,则)6(f 的值为 ( )A ．1-B ．0C ．1D ．29.函数xy 2log 22=的图像大致是（ ）A B C D10．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AD 中点，O 为侧面AA 1B 1B 的中心，P 为侧棱CC 1上任意一点，那么异面直线OP 与BM 所成的角是 （ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°11．如图，设P 为△ABC 内一点，且AC AB AP 5152+=，则 △ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 ( ) A 、15 B 、25 C 、14 D 、1312．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）Ａ．(0)(2)2(1)f f f +< B . (0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≤D ．(0)(2)2(1)f f f +≥二．填空题(每题4分共16分) 13．(x － 1x)8的 展开式中x 2的系数为 .14. .设0m <,角α的终边经过点P (-3m ,4m ),那么sin 2cos αα+的值等于15．给定两个向量)2(),1,(),2,1(b a x b a +==若与)2(b a -平行，则x 的值等于 .16．下列几个命题：① 不等式113+<-x x 的解集为}2,2|{>-<x x x 或； ② 已知b a ,均为正数，且141=+ba ，则b a +的最小值为9；③ 已知9,42222=+=+y x n m ，则ny mx +的最大值为213；④ 已知y x ,均为正数，且023=-+y x ，则1273++yx的最小值为7； 其中正确的有 ．（以序号作答）ABC PPDB ACE三．解答题（共74分）17、（12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c 且72cos 2)2(sin82=-+A C B ，（1）求角A 的大小；（2）若3,3=+=c b a 求△ABC 的面积。

18、（12分）记函数()f x A , ()g x =lg [(1)x a -- (2)a x -](1a <) 的定义域为B .（1）求A ；（2）若B A ⊆, 求实数a 的取值范围.19、（12分）已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球，现在从两个袋中各取2个球，试求： （1）取得的4个球均是白球的概率；（2）取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率。

20（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，P 点在平面ABCD内的射影为A ，且2==AB PA ，E 为PD 中点． （1）证明：PB //平面AEC ； （2）证明：平面⊥PCD 平面PAD ； （3）求二面角D AC E --的正切值．21.（12分）已知函数32()(,)f x x ax b a b R =-++∈. （1） 若0>a ,求函数)(x f 的单调区间；（2） 若1a =，函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方？说明理由； （3）若函数()f x 在[0,2]上是增函数，2x =是方程()0f x =的一个根，求证：(1)2f ≤-.22．（14分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，且*(0)2,()f n n N '=∈ （1）求()f x 的解析式； （2）若数列{}n a 满足111()n nf a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于（2）中的数列{}n a ，设n b =*()n N ∈，n T 且是数列{}n b 的前n 项和，求证：423n T ≤<．EADP数学试卷 （文科）参考解答1~12 BBCBD BDBCA AB 13．70 14。

52 15。

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②④ 三．解答题（共74分）17. 解（1）∵72cos 2)2(sin82=-+A C B 且A+B+C=π，∴28(cos )2cos 272AA -= ∴24(cos 1)2(2cos 1)7A A +--=，∴1cos 2A =，∴3π=A -----6分（2）∵3,3=+=c b a ，且22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，∴2bc =，1sin 2ABC bc A ∴∆=的面积=23-------- 12分 18. 解 (1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x<－1或x≥1, 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞]. ……………5分（2）由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0. ……6分∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). ……………8分 ∵B ⊆A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥21或a≤－2, 而a<1, ∴21≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2)∪[21,1]. ……12分 19．解：（1）设从甲袋中取得2个白球的事件为A ，从乙袋中取得2个白球的事件为B ，则：P(A)＝2723C C ＝71，P(B)＝2925CC ＝185，P(AB)＝P(A)P(B)＝1265；（2）从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为：2723C C ×291415CC C ⋅＝635；从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为：271413C C C ⋅×2925C C ＝6310；所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为：635＋6310＝6315＝215。

20．（1）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO//PB ． EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴ PB//平面AEC ．zyx ECAB DPLKCDALKECA BDPPDB A CE（2）证明： P 点在平面ABCD 内的射影为A ， ∴PA ⊥平面ABCD ． ⊂CD 平面ABCD ， ∴CD PA ⊥． 在正方形ABCD 中AD CD ⊥ 且A AD PA =⋂， ∴CD ⊥平面PAD ．又 ⊂CD 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面PAD ． （3）解法1：取AD 中点L ，过L 作LK ⊥AC 于K ，连接EK 、EL, L 为AD 中点，∴ EL//PA ，∴ EL ⊥平面ABCD ，∴ LK 为EK 在平面ABCD 内的射影． 又 LK ⊥AC, ∴ EK ⊥AC, ∴EKL ∠为二面角E —AC —D 的平面角． 在Rt ∆ADC 中，LK ⊥AC ，∴AKL ∆∽ADC ∆,∴AC AL DC KL =,即2212KL =，∴ 22KL = ， 在Rt ELK ∆中，2221KL EL EKL tan ===∠，∴二面角E —AC —D 的正切值为2． 解法2：如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．PA ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量，AP =（0, 0, 2）． 设平面AEC 的法向量为),,(z y x n =, AE (0,1,1),=,AC (2,2,0)=则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0AE n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y∴ ⎩⎨⎧-=-=.,y x y z ∴令1-=y ,则)1,1,1(-=.∴31322||||,cos =⨯=⋅>=<n AP n AP ,∴2,tan >=<．∴二面角E —AC —D 的正切值为221．.解：（1） 2()32f x x ax '=-+. ∴320ax <<时0)(>'x f ， 当320ax x ><或时0)(<'x f ∴的)(x f 单调递增区间是 )320(a ，，单调递减区间是)0,(-∞和（+∞,3２a）（2） 1a =时，2()32f x x x '=-+，令2()320f x x x '=-+=得：0,x =2,3x =由于(0)f b =，24()327f b b =+>，所以函数()f x 的图象不能总在直线y b =的下方. （3）因函数()f x 在[0,2]上是增函数，2()320f x x ax '∴=-+≥在区间[0,2]上恒成立，即32a x ≥在区间[0,2]上恒成立，3a ∴≥，又由(2)0f =得84b a =-，而(1)173792f a b a =-++=-≤-=-， 即(1)2f ≤-22解．（1）由()2f x ax b '=+，∴221640b n n a nb =⎧⎨-=⎩解之得1,22a b n ==，即2*1()2()2f x x nx n N =+∈； （2）由1112n n n a a +=+，∴1112n n n a a +-= 由累加得2114n n n a -=-∴*24()(21)n a n N n =∈-；（31111111()()2222k k k k ==--+-+，n T=1111111213351112222222nk n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以：423n T ≤<。