高等数学讲义---无穷级数(数学一和数学三)

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无穷级数

定理2 定理2 如果
a n +1 lim = ρ, n→∞ a n
n n +1 其中 an , an+1 是幂级数 ∑ an x n中 x , x 项的系数且一切项的系数,且一切
∞
an ≠ 0, 则
n =1
,
(1)当0 < ρ < +∞ 时, 该幂级数的收敛半径为 R = 当
1
(2)当 (2)当 ρ = 0 时, 该幂级数的收敛半径为 R = +∞; (3)当 (3)当 ρ = +∞ 时, 该幂级数的收敛半径为 R = 0.
∞
n
= C ∑ un
n =1 n
∞
(2)设级数 (2)设级数
∑ u ,∑v
n =1 n n =1
分别收敛到 s , σ ,则 ∑ ( un ± vn )
n =1
∞
收敛到 s ± σ . 在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. (3) 在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. (4) 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
发散. 发散
2. 比较审敛法的极限形式设
∑u
n =1
∞
n
与 ∑ vn 都是正项级数,如果都是正项级数,
n =1
∞
则
∑ u ,∑v
n =1 n n =1
∞
un lim = l (0 < l < +∞ ), n→∞ v n
∞ n
的敛散性相同. 的敛散性相同
比值审敛法(达朗贝尔审敛法) 3. 比值审敛法(达朗贝尔审敛法)

高等数学八章无穷级数及其应用-精选文档

n
1
第一节数项级数的概念
但它是发散的。现用反证法证明如下：假设
n 1
1 n
Sn ( ), 请思考：收敛,部分和为 S n ,且 S
n
2 n
Sn ( ) , 显然,该级数的部分和S 2 n 也有 S
u n 0 ，级若 lim n
S S 0 ( n ) 2 n n S 于是 S ，但

n 1

n 1
n
n 1
n
n 1
vn
收敛,由
n 1
n
第二节数项级数的审敛法
比较审敛法，比较的是两个级数一般项的大小；得出的结论是一般项大的级数如果收敛，则小的也收敛。而要判断发散只需要写出上述命题的逆否形式即可，就是“一般项小的级数如果发散，则大的也发散。”
+ u + n
其中第 n 项 u n 叫做级数

u
n1
n
的一般项。
第一节数项级数的概念
无穷级数是无穷多个数累加的结果。前面关于计算圆面积的方法告诉我们，可以先求有限项的和，然后应用极限的方法来解决这个无穷多项的累加问题。既然用到了极限，就必然要探讨敛散性的问题：什么是一个级数收敛（或发散)？如何判定一个级数是收敛的（或发散的）？一个收敛请思考：的级数具有什么性质？

例证明级数1 2 3 n 是发散的。
n ( n 1 )，显证明：此级数的部分和为S 123 n n
Sn ，因此所给的级数是发散的。然 lim n
2
二、数项级数的性质
性质1

无穷级数的概念与性质

无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。

本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。

一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。

一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。

无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。

二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。

它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。

等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。

等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。

3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。

例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。

三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。

如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。

第七章-无穷级数

11
(1 ) ( ) L ( )
2 23
n n1
1
lim
n
Sn
lim(1
n
n
) 1
1
1 1 n1
故级数收敛,其和为1. (例2解法称为连锁相销法）
例3 讨论几何级数(等比级数)
aqn1 a aq aq2 L aqn1 L
n1
的敛散性.若收敛,则求出其和.u(n 参 aq见n1书P272例1）
其中的一种各项正负相间的特殊情形 ——交错级数,
它是一种常见而有实用价值的特殊级数.
(二) 交错级数的莱布尼兹判别法
设un>0，(n=1,2,…)，则称
(1)n1 un u1 u2 u3 u4 L
n1
为交错级数。例如
(1)n1 1
n1
n
等等。
（7.7)
对于交错级数，判定其敛散性，有如下使用方便的莱
a n n
a0 1
.
由上面的性质5，级数
un
发散。
n1
例2 若级数 un 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ） 1
A. 2un 1
B. (un 2) 1
C. 2 un
1
D. un nk
分析与解：注意到已知
un
收敛，由性质2知
1
2un
是收敛的；
1
由性质3 知，C、D 所示级数也是收敛的；
n1
aun收敛到aS ;若级数 un 发散，则 aun
n1
n1
n1
也发散。
性质3. 将级数 un 的前面加上(或去掉)有限项， n1
级数的敛散性不变。（当然，收敛时，和一般要变）
性质4. 收敛级数加括号后得到的级数仍收敛，且和不变。

高考数学知识点解析无穷级数的收敛与发散

高考数学知识点解析无穷级数的收敛与发散高考数学知识点解析：无穷级数的收敛与发散在高考数学中，无穷级数的收敛与发散是一个较为重要的知识点，它不仅需要我们理解相关的概念和定理，还要求我们能够运用所学知识进行分析和计算。

下面，我们就来详细探讨一下这个知识点。

一、无穷级数的基本概念无穷级数是指将一个无穷数列的各项相加所得到的表达式。

例如，对于数列\（a_{n}＼），其无穷级数可以表示为\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty}a_{n}＝a_{1}＋a_{2}＋a_{3}＋＼cdots\）。

在研究无穷级数时，我们最关心的问题之一就是它是否收敛。

如果当\（n\）趋向于无穷大时，这个级数的部分和数列有极限，那么就称这个无穷级数收敛；反之，如果部分和数列没有极限，就称这个无穷级数发散。

二、常见的无穷级数类型1、正项级数正项级数是指级数的每一项都大于零的级数。

对于正项级数，我们有多种判别法来判断其收敛性，比如比较判别法、比值判别法和根值判别法。

比较判别法：如果存在一个已知收敛的正项级数\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty}b_{n}＼），且对于足够大的\（n\），有\（a_{n}＼leq b_{n}＼），那么级数\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty}a_{n}＼）收敛；如果存在一个已知发散的正项级数\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty}c_{n}＼），且对于足够大的\（n\），有\（a_{n}＼geq c_{n}＼），那么级数\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty}a_{n}＼）发散。

比值判别法：若\（＼lim\limits_{n\to\infty}＼frac{a_{n+1}｝｛a_{n}｝＝L\），当\（L<1\）时，级数\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty}a_{n}＼）收敛；当\（L>1\）或\（L=＼infty\）时，级数\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty}a_{n}＼）发散；当\（L=1\）时，判别法失效。

高等数学无穷级数

当 0p1时发散，当 p >1 时收敛.
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
（2）比较法的应用现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比级数和p级数，便可以利用这些级数作为比较对象，判断某些级数的敛散性了。
n1
v
n
收敛；
如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
（2）比较判别法的极限形式（定理9-3的推论9-2）
n1un 与
n1
vn
是正项级数，并设
n1
v
n从某一
项之后是严格正项的。设
lim un l n vn
（i） (0l) 两个级数有相同的敛散性。
（ii）(l 0)
如果
n1un 发散，则
n1
下面给出三个相对具体或可操作的判别法，除了判
别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。
3.积分判别法与p级数
n
1
1 np
（1）积分判别法（定理9-2）：
非负函数 f (x) 在
[1,)上单调递减，则
n1
f(n)
与反常积分 1f(x)dx有相同的敛散性。
【例9-5】证明p-级数 n 1n 1p121p n 1p
（2）改变（包括增加和减少）级数中有限项，不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的值（性质3）。（3）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性与级数和。可称之为单向结合律，因为：在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性；由此可知，发散级数加括号也可能改变敛散性。如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！
9.2.正项级数敛散性判别法

高等数学(10)无穷级数

在具体讨论之前，先将我们所要讲的内容做简略的分类。所要讨论的级数有两大类： 1.数项级数；2函数项级数。数项级数本身是有意义的，但是函数项级数才是更重要的。而了解数项级数，是探讨函数项级数的基础。正项级数； 1 数项级数：交错级数； 2 3 其它的一般项级数。
1 一般函数项级数的基本理论；函数项级数： 2 幂级数； 3 三角级数。
（2）函数列的一致收敛设函数列{ f n }nZ 与函数 f 都是在 D 上定义的函数，若满足如下条件：

0, N ( n N | f n ( x ) f ( x ) | )
则称函数列 { f n }nZ 在 D 上一致收敛于 f 。
的敛散性，并求n为何值时用部分和Sn代替级数和S时所得误差小于0.01.
【例9-15】判别级数 ( 1) tan
n n 1

3n
的敛散性.
注：对上述（例9-14）交错“调和级数”进一步讨论，可以发现，即便是收敛级数（条件收敛），无穷交换律也是不成立的。这是无穷运算与初等运算的一个重大差异，需好好理解。

（4）比值（达朗贝尔）与根值（柯西）判别法
这两种判别法，本质上都是参考等比级数的敛散性得到的判别法。其思想与证明方法类似，下面仅证明比值判别法，两个定理一起陈述。
（1）比值与根值判别法（定理9-4,5）
则
n1 un 是正项级数，如果 un1 lim ( un 0), 或者 lim n un . n u n n
第九章无穷级数
1.常数项级数 2.正项级数敛散性判别法
3.任意项级数敛散性判别法
4.函数项级数及其收敛性（！！）
5.幂级数 6.傅里叶级数

无穷级数基本概念

无穷级数基本概念在数学中，无穷级数是一种由无限多个项组成的数列求和形式。

它是数学分析的重要概念之一，有着广泛的应用和研究。

本文将介绍无穷级数的基本概念和相关定义，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、无穷级数的定义与形式无穷级数的定义如下：设给定一个实数序列{a_n}，则称S_n=a_1+a_2+...+a_n为该序列的部分和，如果该部分和的极限存在，即lim(n→∞)S_n=S，那么S就是该无穷级数的和，记作∑(n=1→∞)a_n=S。

其中∑表示求和符号，n=1表示从n=1开始求和，∞表示求和到无穷大。

无穷级数的一般形式为∑(n=1→∞)a_n，其中a_n表示该序列的第n个项。

例如，∑(n=1→∞)2^n就是一个以2为公比的等比数列的无穷级数。

二、收敛和发散对于无穷级数，我们可以将其分为两类：收敛和发散。

如果一个无穷级数的部分和S_n在n趋于无穷大时存在有限极限S，即lim(n→∞)S_n=S，那么该无穷级数称为收敛的；反之，如果该无穷级数的部分和S_n在n趋于无穷大时不存在有限极限，那么该无穷级数称为发散的。

例如，无穷级数∑(n=1→∞)1/n是一个著名的调和级数。

经过数学推导可知，该级数是发散的，即部分和S_n在n趋于无穷大时趋于正无穷。

三、收敛性的判定对于给定的无穷级数，判断其收敛性是数学中的一个重要问题。

有许多判定条件可以用来判断无穷级数的收敛性，常见的有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

下面简要介绍两个常用的判定法。

1. 比较判别法比较判别法是判断无穷级数收敛性的常用方法之一。

设有两个数列{a_n}和{b_n}，满足当n趋于无穷大时，对于所有的n，有0 ≤ a_n ≤b_n。

若级数∑(n=1→∞)b_n收敛，则级数∑(n=1→∞)a_n也收敛；若级数∑(n=1→∞)a_n发散，则级数∑(n=1→∞)b_n也发散。

2. 比值判别法比值判别法也是常用的判断无穷级数收敛性的方法之一。

设给定一个无穷级数∑(n=1→∞)a_n，如果存在一个正数q，使得当n趋于无穷大时，有|(a_(n+1))/a_n| ≤ q，那么该级数收敛；如果对于所有的n，都有|(a_(n+1))/a_n| > 1，那么该级数发散。

4 高等数学方法选讲——无穷级数

注：当交错级数不满足莱布尼茨判别法时，若一般项趋于零，可以考虑将相邻的正负项加括号后证明其敛散性（相邻的正负项加括号后一般符号固定，成为不变号级数）.
n =1
∞
（ 3） Dirichlet 判别法：级数级数 ∑ un 中，un = an ⋅ bn ，如果 (a) Bn = ∑ bk
n =1 k =1
∞
n
有界， (b) 数列 {an } 单调递减， (c) lim an = 0 ，则级数 ∑ un 收敛 . n →∞
n=1
∞
注： Abel 和 Dirichlet 判别法用到如下的 Abel 变换（分布求和公式）设 {an } , {bn } 是两数列，记 Bk = ∑ bi , k = 1, 2, ，则
高等数学方法选讲——无穷级数正项级数审敛法
（ 7）根值判别法（ Cauchy 判别法）：设 ∑ an 为正项级数，且 ∃N > 0 ，
n =1 ∞
(a) 若当 n > N 时 n an ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛；
n =1
∞
(b) 若当 n > N 时 n an ≥ 1 成立，则级数 ∑ an 发散 .
n =1 n =1
（ 3）极限形式 . （ 4）分式形式
南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等
高等数学方法选讲——无穷级数正项级数审敛法
（ 5）比值判别法（D’Alember 判别法）：设 ∑ an (an ≠ 0) 为正项级数，
n=1 ∞
∃N > 0 ，
∞ an + 1 ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛； (a) 若当 n > N 时 an n=1

无穷级数知识点总结公式

无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。

级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。

无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。

2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。

3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。

无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。

无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。

1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。

2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。

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. 精选第八章无穷级数（数学一和数学三）

引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：

1)1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(

第二种 1)11()11()11(1 第三种设Sn1

)1(1111

则S11111 ,1SS ,12S 2

1S

这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。

§ 8.1 常数项级数（甲）内容要点一、基本概念与性质 1. 基本概念

无穷多个数,,,,,321nuuuu依次相加所得到的表达式nnnuuuuu3211称为数项级数（简称级数）。 nkknuS1123nuuuuL （,3,2,1n）称为级数的前n项的部分和，

),3,2,1(nS

n称为部分和数列。 . 精选 SuS，，uS，Snnnnnn11)(lim记以且其和为是收敛的则称级数存在若

nnS

lim若不存在，则称级数1nnu是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下

可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2．基本性质（1）如果

11111)(,nnnnnnnnnnnvbua，bvau，b，avu且等于收敛则为常数皆收敛和

（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。

（4）级数1nnu收敛的必要条件是0limnnu

（注：引言中提到的级数11,)1(nn具有nlim不存在11n，因此收敛级数的必要条件不满足，1n11n发散。调和级数1nn1满足nlim但,01n1nn1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件nlim0nu

，而1nnu收敛性尚不能确定。）

3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）

0nnar



0a

当1r时，0nnarra1收敛当1r时，0nnar

发散 . 精选（2）p一级数 11npn

当p>1时，11npn收敛，当p1时11npn发散

（注：p>1时，11npn的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知1n6122n）

二、正项级数敛散性的判别法 ,3,2,10nun若则1nnu称为正项级数，这时nnnSnSS所以,3,2,11是单调

加数列，它是否收敛就只取决于nS是否有上界，因此1nnnSu收敛

有上界，这是正项级数

比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。 1. 比较判别法如果皆成立时当设，u，cvNncnn0,01nnv收敛，则1nnu收敛；如果1nnu发散，

则1nnv发散。

2. 比较判别法的极限形式设),3,2,1(,0,0nvunn 若nlimAvunn

1) 当02) 当A=0时，若1nnv收敛，则1nnu收敛。 3) 当A=+时，若1nnu收敛，则1nnv收敛。 . 精选 3．比值判别法（达朗倍尔）设nu

>0，而nlimnnuu1

1）当<1时，则1nnu收敛 2）当>1时(包括=+)，则1nnu发散 3）当=1时，此判别法无效（注：如果nlim

nnuu1不存在时，此判别法也无法用）

4．根值判别法（柯西）设nu

0，而nlimnnu

1）当<1时，则1nnu收敛 2）当>1时(包括=+)，则1nnu发散 3）当=1时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。

三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念

若nu

>0, 1nnnu1)1(称为交错级数。

2．莱布尼兹判别法设交错级数1nnnu1)1(满足：

1）1nunu ),3,2,1(n . 精选 2) nlim

=0 ，则1nnnu1)1(收敛，且0<1nnnu1)1(<1u

四、绝对收敛与条件收敛 1．定理

若1nnu收敛，则1nnu一定收敛；反之不然。

2．定义若1nnu收敛，则称1nnu为绝对收敛；

若1nnu收敛，而1nnu发散，则称1nnu为条件收敛。

3．有关性质 1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。

2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即1n21（nu+nu）或1n21（nu

—nu）一定是

发散的。 4．一类重要的级数

设1nn

n1)1(

1）当>1时，1nn

n1)1(

是绝对收敛的

2）当0<1时，1nn

n1)1(

是条件收敛的

3）当0时，1nn

n1)1(

是发散的

（乙）典型例题一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。 . 精选 1） 1n)1()1(1nnnn 2）1nnn212

1）解：1n)1()1(1nnnn的nS



nk1)1()1(1kkkk

nSnk1221)1()1(kkkkkk=nk1111)111(nkk

nlimnS

1n1)1()1(1

nnnn，收敛

2）解：nS

nn21225232132

 ①

21nS1432212232252321nnnn ②

①-②得21nS132212)212121(22

1nnn

=11123223212)211(21nnn

nlimnS3 1nnn212

=3，收敛

例2 设数列11)(nnnn，aan，na证明收敛级数收敛0nna收敛证：由题意可知nlim存在Anan

nlimnSnlimnkkkSaak11)(存在

而nS)()(3)(2)(1231201nnaanaaaaaa

=10nkknana