《高等数学》泰勒 ( Taylor )公式
高等数学上泰勒公式
高等数学上泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，用于将一个函数在其中一点附近展开成无限级数的形式。
通过泰勒公式，我们可以用多项式逼近函数的行为。
设f(x)在其中一点x=a附近具有n+1阶导数，那么根据泰勒公式，我们可以将f(x)在a点附近展开成以下形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rₙ其中，Rₙ为泰勒公式的余项，它表示了多项式逼近与原函数之间的误差。
根据余项的具体形式，泰勒公式又可以分为拉格朗日余项形式和皮亚诺余项形式。
拉格朗日余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为拉格朗日中值点。
皮亚诺余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)ⁿ/n!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为皮亚诺中值点。
泰勒公式的推导可以通过数学归纳法来进行。
首先，我们定义一个新函数g(t)，使得g(t)=f(t)-(f(a)+f'(a)(t-a)+f''(a)(t-a)²/2!+...+fⁿ(a)(t-a)ⁿ/n!)。
显然，g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0。
接下来，我们将g(t)在a点展开成一个幂级数。
g(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!+g⁽ⁿ⁺²⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...由于g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0，所以g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)在a点附近连续。
我们记r(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/(n+1)!，则有：g(t)=r(t)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾+r²(t)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...注意到，r(t)在a点附近连续，所以泰勒公式便可表述为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中，r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是r(t)在a和x之间的一些值。
泰勒公式
3
sin x x
x
5
( 1) m 1
x
2 m 1
3!
5!
m sin() mx 2 1)π) ( 1 cos( 2 x
(2m 1) !
R2 m ( x)
其中 R2 m ( x)
麦克劳林公式
( 2m 1) !
f (0) 2! x
df
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三节 泰勒公式
在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (0) f (0) x
f (0) 2! x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 由此得近似公式
f (0) n 2 (0) x f (x) f (0) f ) x fx( x0 2! n2 f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )! 若在公式成立的区间上 f ( n1) n1) 2 ! , 则有误差估计式 (x) M (n) ( f ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) ( x x0 ) M n 1 n ! Rn ( x ) ( n x ) ! 1 ( 在 x0 与 x 之间) ( n 1) !
Rn
( n 1)
1 之间)
(n) Rn ( x0 )
( n 1) 2( n x0 ) 0
( )
( n 1) !
( 在 x0 与 n 之间) x
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
高等数学 泰勒公式
高等数学泰勒公式1 泰勒公式介绍泰勒公式是一种重要的数学计算方法，它可以用来求解函数的数值解。
泰勒公式不像常用的无穷级数展开，而是用数值解的方式给出函数的近似值，从而使其在计算中更接近真实解。
泰勒公式最初是以JohnathanTaylor的名字命名的，但实际上，它可以追溯到叙利亚数学家艾哈迈德·泰勒，他是在1800年代末定义函数的隐函数形式的先驱者。
2 泰勒公式的定义泰勒公式可以被定义为：当f(x)是在点x0内可从某处n次可连续微分的函数时，令微分次数增加到n+1，则有：f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(x_0)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} 3 泰勒公式的应用由于泰勒公式的本质是利用函数的多项式区间进行逼近，因此它可以用来求解根问题、最小值、积分以及其他的数学问题。
比如，用泰勒公式求根问题：假设存在一个函数f(x)，当x_0处f(x)可导数且f(x_0)=0时，f(x) = 0可以用泰勒公式写作：f(x) =f'(x_0) (x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots = 0。
这样，x_0就是f(x) = 0的一个根，而当f''(x) > 0时，x_0是其唯一解。
泰勒公式也可以用来求函数的最大值或最小值，最大值或最小值的函数在泰勒公式处可导数并且函数值为零。
由于泰勒公式可以对函数值的近似表达作出估算，因此也可以用来做积分，将函数分段展开，然后用此泰勒展开式加以求和便可以求出积分值了。
4 泰勒公式的缺点虽然泰勒公式在多个应用中都表现出了优良的数值结果，但泰勒公式也有一定的缺点，比如函数值的计算方式比较复杂、计算量也太大，也有的函数集合不能只靠泰勒公式求解，甚至得到的数值可能不是最精确的值，所以使用时必须谨慎。
同济大学高等数学7.泰勒公式
注意到 f (n1) ( ) e 代入公式,得
ex 1 x x2 xn e xn1
2!
n! (n 1)!
(在x与0之间).
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn (x)
e xn1 (n 1)!
ex xn1(0
(n 1)!
x).
取x 1, e 1 1 1 1
于是(i) Rn (x)与f (x)有相同的连续性,可导性;
(ii )
Rn (x0 )
Rn (x0) Rn(x0)
R(n) n
(
x0
)
0.
lim x x0
Rn (x) (x x0 )n
lim
x x0
Rn (x) n(x x0 )n1
lim
Rn( x)
xx0 n(n 1)( x x0 )n2
a2.
P2 (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)
2
P2(x)近似f (x)的误差:
f
(x) P2 (x) (x x0 )2
0
(x x0 )
f (x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 2
)
(
x
x0
)2
o(x x0 )2.
)
f
(x2 )
2
2
证：不妨设 x1
x2 ,记
x0
x1
x2 2
,有
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
3[1]3泰勒公式
![3[1]3泰勒公式](https://img.taocdn.com/s3/m/359145e250e2524de5187ec2.png)
证明: 由假设, Rn ( x)在(a,b)内具有直到(n 1)阶
导数,且
Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) Rn( x0 ) Rn(n) ( x0 ) 0
两函数 Rn ( x) 及( x x0 )n1 在以 x0 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , sin x x (matlab)
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
0
得
ak
1 k!
f (k)( x0 )
(k 0,1,2,, n)
代入Pn ( x)中得
Pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 )( x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x x0
(
Rn x
(x) x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ].
佩亚诺形式的余项
f
(x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 》 3.3 泰勒公式
Taylor 公式的数学思想---局部逼近.y=sinx
泰勒公式
f ( x) sin( x k ) 2 k 2m 0, (k ) (m 1, 2 ,) f (0) sin k 2 (1) m1 , k 2m 1
(k )
x3 x5 x 2 m1 sin x x (1) m1 R2m ( x) 3! 5! (2m 1) !
x x e e 1 x x n1 2! n! ( n 1)!
x
2
n
x
(0 1).
x2 xn x 由公式可知 e 1 x 2! n!
估计误差 (设 x 0)
ex ex Rn ( x ) x n 1 x n1 (0 1). ( n 1)! ( n 1)! 1 1 取x 1, e 1 1 2! n! 3 e 其误差 Rn . ( n 1)! ( n 1)!
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( n1) ( ) 其中 Rn ( x ) ( x x0 )n1，介于x与x0之间. ( n 1)!
2 f (1) f ( x ) f (1) f (1)( x 1) ( x 1) 2! (4)
f
(1)
4!
( x 1)
4
5 f ( 5 ) ( ) ( x 1) 5!
例3 将f ( x) 1 3x 5 x 2 x 化为含
2 3
f ( 1 ) f ( x ) f ( 1 ) f ( 1 )( x 1 ) ( x 1) 2 解 2! (4) ( 1 ) f f ( ) 3 ( x 1) ( x 1) 4 3! 4!
泰勒(Taylor)公式
O
π
x
p8 ( x ) 比 p2 ( x )在更大的范围 想法：对于精确度要求 内更接近余弦函数. 较高时候可以用高次多 项式来近似表达函数.
-1
p2 ( x )
问：要找的多项式应满足什么条件？ 从几何上看， y f ( x ), y Pn ( x ) 代表两条曲线，
很明显 要使它们在x0附近与很靠近，
使得 f ( x ) Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )n 且误差 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) 可估计。 Pn ( x0 ) f ( x0 ), 为了在性质上吻 ( x0 ) f ( x0 ), Pn 合的更好，我们 ( x0 ) f ( x0 ), Pn 要求: P ( x ) f ( x )
( n) pn ( x) n1 n a ( x x ) a1 2a2 ( x x0 ) n 0
2 ! a2
n( n 1)an ( x x0 )n 2
n 3
( x ) pn
3 !a3 n( n 1)( n 2)an ( x x0 )
1 ( n) 1 ( n) , an pn ( x0 ) f ( x0 ) n! n!
Pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n 1 a0 f ( x0 ) a1 f ( x0 ) a2 f ( x0 ) 2!
( n 1) 1 ( n) f ( ) f ( x0 )( x x0 )n ( x x0 ) n 1 n! ( n 1)!
f ( n1) ( ) (4) Rn ( x ) ( x x0 )n1叫Lagrange余项. ( n 1)! M n 1 ( n 1 ) 若f ( x ) M， 则 Rn ( x ) x x0 ( n 1)!
高等数学：第三节 泰勒公式
Rn( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
Lagrange型余项
11
（2）n 0时，Taylor公式变为Lagrange中值公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
（3）若对某固定的n，当x (a, b)时，| f ( (n1) x) | M ,则
第三节 泰勒（Taylor）公式
一、问题的提出 二、泰勒（Taylor）中值定理 三、常见函数的Taylor（Maclaurin)公式 四、简单的应用 五、小结 思考题 六、作业
1
一、问题的提出
复杂函数用简单函数逼近（近似表示） 多项式表示的函数很简单（只含有加、减、乘三种运 算，易于计算函数值，更易于在计算机上实现运算）
n k0
f
(k ) ( x0 k!
)
(x
x0 )k
.
6
当f ( x)在x0处有直到n阶的导数时，用f (k)( x0 )构造出
pn( x)的系数ak
f (k) ( x0 ) , 从而得 k!
n
pn ( x) ak ( x x0 )k ,
k0
这个多项式在x0点与f ( x)具有相同的函数值及相同 直至n阶的导数值，该多项式称为函数f ( x)在x0处的
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn( x)
f (n1) ( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1
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a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f (x0 ), , an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
作业 P143：4，5，6，7，9（1），10（2）
例如 目录 上页 下页 返回 结束
泰勒多项式逼近 sin x
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
1 7!
x
7
1 9!
x9
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(3) f (x) cos x
类似可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2 m 1 (
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
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(4) f (x) (1 x) (x 1)
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn( x) pn(n) (x) a0 pn (x0 ) f (x0 ) ,
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2
x0 )n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 1)2(n x0 )
) 0
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与n 之间)
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Rn (x) f (x) pn (x)
Rn (x) (x x0 )n1
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,)则(x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
第七节
第二章
泰勒 ( Taylor )公式
理论分析
用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
(0 1)
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f 误差
(x) f (0) f (0)x
Rn (x)
M (n 1) !
x
f
n1
(0) x2 2!
f
(n) (0) xn n!
M 为 f (n1) (x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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例1.
用近似公式cos
x
1
x2 2!
计算
cos
x
的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得
x 0.588
即当 x 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果
y f (x)
p1 ( x)
x 的一次多项式
特点: p1(x0 ) f (x0 )
p1(x0 ) f (x0 )
p1 ( x)
o x0 x
x
以直代曲
需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ?
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1. 求 n 次近似多项式pn (x), 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 )
能准确到 0.005 .
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2. 利用泰勒公式求极限
例2. 求 lim
x0
3x
4
x
2
4
3x
4
.
用洛必塔法则 不方便 !
解: 用泰勒公式将分子展到 x2 项, 由于
3x
4
2(114343xx)
1 2
2
1
1 2
( 43
x)
1 2!
1 2
(12
1)
( 43
x)2
Hale Waihona Puke o( x2 )(1) f (x) ex
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
Rn (x)
e x (n 1) !
x n 1
(0 1)
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(2) f (x) sin x
f
(k) (x)
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(5) f (x) ln(1 x) (x 1)
已知
f
(k) (x)
(1)
k
1
(k 1)! (1 x)k
(k 1, 2,)
类似可得
ln(1 x) x x2 2
x3 3
(1)n1 xn n
Rn (x)
其中
Rn (x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
f
(x)
f
(x0 ) f ( f (n) (x0 ) (
n!
x0 )(x x x0
x0 )n
) Rn (
f ( 2
x)
x0 !
)
(
x
x0 )2 ①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 f (x)的 n 阶泰勒公式 .
sin( x
k
2
)
f
(k ) (0)
sin
k
2
0, (1)m1
,
k 2m (m 1, 2,) k 2m 1
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)
m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) )
(2m 1) !
x 2 m 1
(0 1)
(1)n1 (2n1)!
x
2n1
o(x2n )
y
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
y x
x3 3!
4
2
yx
y
x
x3 3!
x5 5!
y sin x
6
4
2
0
2
4
6
2
4
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泰勒多项式逼近 sin x
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
1 7!
x7
1 9!
x9
(1)n1 (2n1)!
ex2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
原式
7
lim 12
x0
x4
o(x4 ) x4
7 12
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 泰勒公式
f
(x)
f
(x0 ) f ( f (n) (x0 ) (
n!
x0 )(x x x0
x0 )n
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)
n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理