高等数学下试题及参考答案华南农业大学优选

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．微分方程'ln xy y y =的通解 。

2. 设有向量(4,3,0)a =r ，(1,2,2)b =-r ，则数量积a b ?=r r

。 3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。 4．设2sin()z xy =，则

z

y

?=? 。 5．交换积分次序22

20

(,)y y

dy f x y dx ?? 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形

边界，取正向，则322

()()L

x xy dx x y dy +++?

?等于 （ ）

A ．1-

B ．1

C ．

12 D ．1

4

2．已知a i j k =+

+r r r r

，则垂直于a r 且垂直于x 轴的单位向量是

（ ）

A ．()i k ±-r r

B ．()2j k ±-r r

C ．)2j k ±+r r

D ．()2

i j k ±-+r r r

3．设ln z xy =（），则11

x y dz

===

（ ）

A ．dy dx -

B ．dx dy +

C ．dx dy -

D ．0

4．对于级数1(1)n

p n n

∞

=-∑，有 （ ）

A ．当1p >时条件收敛

B ．当1p >时绝对收敛

C ．当01p <≤时绝对收敛

D ．当01p <≤时发散 5．设1

0(1,2,)n u n n

≤<

=L ，则下列级数中必定收敛的是 （ ）

A ．1n n u ∞

=∑ B ．1

(1)n

n n u ∞

=-∑ C

．1

n ∞

=D ．2

1

(1)n n n u ∞

=-∑

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctan

D

y

d x

σ??，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。

2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求

,u u

x y

????。 3．设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。

4.判定级数12!

n

n n n n ∞

=∑的敛散性。

5.使用间接法将函数2

4

()4f x x

=-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。

6．求微分方程'cos y

y x x x

-=

满足初始条件2

2

x y ππ

=

=-

的特解。

7

．计算二重积分D

σ??，其中D

是由曲线y =2y x =所围成的闭区

域。

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为

何值时，曲线积分2322(6)(2)L

xy y dx a xy x y dy -+-?与积分路径无关，并计算此

时的积分值。

2．要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。

3．设()f x 在||1x <上有定义，在0x =某邻域有一阶连续的导数且

0()lim 0x f x a x →=>，求证：（1）11()n f n ∞=∑发散；（2）-1

1

1()n n f n ∞

=∑（-1）收敛。 华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．Cx y e = 2．(6,-8,-11) 3．11321

x y z

+-==

- 4．22cos()xy xy 5

．1

2

(,)x dx f x y dy ??

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．C 2．B 3．B 4．B 5．D

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1．计算二重积分arctan

D

y

d x

σ??，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。 解：在极坐标中D 为{(,)001}4

r r π

θθ≤≤

≤≤，………………3分

arctan

D

D

y

d rd dr x σθθ=????………………5分 140

d rdr π

θθ=??………………6分

2

64

π=………………7分

2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求,u u x y

????。 解：

'''12((,)(,))()(1)(,)()z

f x xy yf x xy

g x xy y f x xy g x xy x

?=+++++?…4分

''2(,)()(,)()u

xf x xy g x xy xf x xy g x xy y

?=+++?………………7分 3.设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。 解：设(,,)z F x y z xyz e =-………………1分

,,z x y z F yz F xz F xy e ===-………………4分

,y x z z

z z F F z yz z xz

x F e xy y F e xy

??=-==-=?-?-………………6分 ()z

z

dz ydx xdy e xy

=

+-………………7分 4.判定级数12!

n

n n n n ∞

=∑的敛散性。

解：111

12!

lim lim 2(1)!n n n n n n n n

u n n u n n ρ+++→∞→∞+==+()………………4分 11lim (1)122

n n e

n →∞=+=<………………………………6分 所以级数14!

n

n n n n ∞

=∑发散………………………………7分

5.使用间接法将函数2

4

()4f x x =-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。

解:21

1(11)1x x x x =+++-<<-Q

L 211(11)1x x x x

=-++-<<+L ………………1分

24111

()()421122

f x x x

x ==+--+………………3分

242214162

n

n x x x =+++++L L ………………5分

展开式成立的区间为(2,2)-………………7分 6.求微分方程'cos y

y x x x

-=

满足初始条件2

2

x y ππ

=

=-

的特解。

解：原方程化为'cos y

y x x x

-

= 1

1

()()(())(cos )dx dx

p x dx

p x dx

x x y e Q x e dx C e x x e C --???

?

=+=?+??………………2分

(sin )x x C =+………………5分 由2

2

x y

ππ

=

=-

，得2C =-，特解为(sin 2)y x x =-………………7分

7.计算二重积分D

σ??，其中D 是由曲线y 2y x =所围成的闭区

域。

解：2{(,)|01,D x y x x y =≤≤≤≤………………2分

210

x

D

dx σ=???………………4分

7

1

4402()3

x x dx =-?………………5分 6

55

=

………………7分

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）

4．1.L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何值时，曲线积分2322(6)(2)L

xy y dx a xy x y dy -+-?与积分路径无关，并计算此时的积分

值。

解：令23226,(2)P xy y Q a xy x y =-=-，则

22(4),123Q P

a y xy xy y x y

??=-=-??………………2分 令

Q P

x y

??=??，得3a =-，曲线积分与路径无关………………3分 选择路径1212:0(11),:1(02)L L L L y x L x y =+=-≤≤=≤≤，

，………………5分 2

2

322

20

(6)(2)3(2)4L

xy

y dx a xy x y dy y y dy -+-=--=??………………7分

2.要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能

使它的表面积最小。

解：设水池的长、宽、高分别为,,x y z ，水池的表面积为A ，则

22,A xy xz yz xyz k =++=………………2分

令22()F xy xz yz xyz k λ=+++-………………4分

2020220x y

z F y z yz F x z xz F x y xy xyz k λλλ=++=??=++=??

=++=??=?

………………5分

解得2

x y z ===

………………7分 3.设()f x 在||1x <上有定义，在0x =某领域有一阶连续的导数且

0()lim 0x f x a x →=>，求证：（1）11()n f n ∞=∑发散；（2）-1

1

1()n n f n ∞

=∑（-1）收敛。 解：因为0

()lim

0x f x a x →=>，所以当n 充分大后1

()0f n

>………………1分 又因为改变级数前面有限项不影响级数敛散性，所以可认为1

1

()n f n ∞

=∑是正项级

数………………2分

（1）因为01

()

()lim lim 01x n f f x n a x

n

→→+∞==>………………3分 11

n n ∞

=∑发散，所以11()n f n ∞

=∑发散………………4分 （2）因为0

()

lim

0x f x a x

→=>，所以0lim ()0x f x →=

又0

lim ()(0)x f x f →=（连续），所以(0)0f =………………5分

所以0

0()(0)()'(0)lim

lim 0x x f x f f x f a x x

→→-===> 又'()f x 在0x =连续，得0

lim ()(0)0x f x f a →''==>

由极限性质得，当n 充分大时，1

()f n

单调递减………………5分

又由0lim ()(0)x f x f →=得1

lim ()0n f n

→+∞=

由莱布尼兹判别法得-11

1()n n f n ∞

=∑

（-1）收敛。………………7分