高一必修4平面向量的概念及线性运算
4.1平面向量的概念及其线性运算
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算2019考纲考题考情1．向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则平行四边形法则(1)a(2)((三角形法则a(1)|λa|＝|λ||a|；向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa。
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)。
2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1。
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。
要特别注意零向量的特殊性。
一、走进教材1．(必修4P 86例4改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________。
(用a ，b 表示)解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b 。
答案 b －a －a －b2．(必修4P 118A 组T 2(3)改编)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD→|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________。
解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|。
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形。
答案 矩形二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →解析 如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A 。
高中数学全套讲义 必修4 平面向量的线性运算 基础学生版
目录向量的线性运算 (2)模块一：向量基本概念 (2)考点1：向量概念辨析 (2)模块二：向量的加减运算 (3)考点2：向量的加减法 (4)模块三：三角形的三心 (6)考点3：三角形的三心 (6)课后作业： (7)向量的线性运算模块一：向量基本概念一、向量的概念与表示1．向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量．2．向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB，注意起点在前，终点在后；也可以用a，b来表示．AB．③线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作||3．零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0；零向量的方向是任意的．单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．4．相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．5．向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量．向量a平行于向量b，记作a∥b．任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任意向量平行．考点1：向量概念辨析例1.（1）（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：；③向量AB与BA相等，则所有正确命题的序号是()②若a，b都是单位向量，则a bA．①B．③C．①③D．①②（2）（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若//a b ，//b c ，则//a c ． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个模块二：向量的加减运算二、向量的运算 1．向量的加法：⑴ 三角形法则：AB a =，BC b =，a 和b 的和（或和向量）a b AB BC AC +=+=．⑵ 平行四边形法则：AB a =，AD b =，a b ，不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则a b AC +=．⑶ 多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．BC⑷ 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a +=+；向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++． 关于0：00a a a +=+=． 2．向量的减法：⑴ 相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作a -．00-=． ⑵ 差向量：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．AB OB OA =-．3．数乘向量a λ：0λ>时，与a 方向相同；0λ<时，与a 方向相反；0λ=时，0a λ=；且a a λλ=；4．向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． ⑵ 单位向量：a 的单位向量记作0a ，是指与a 方向相同，长度为1的向量，0a a a=．考点2：向量的加减法例2.（1）（2019•栖霞市模拟）在ABC ∆中，D 为线段BC 上一点，且2BD CD =，则(AD =)A ．3144AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+（2）（2019•泰安模拟）在ABC ∆中，M 为AC 中点，BC CD =，MD xAB y AC =+，则(x y += )dA ．1B ．12 C ．13D ．32（3）（2017春•安吉县校级月考）如图所示，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是( )A ．AE AD FA =+B ．0DE AF +=C ．0AB BC CA ++≠D ．DE DF AD -=（4）（2017•临汾二模）设D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、CA 、AB 的中点，则23(DA EB FC ++= ) A ．12ADB ．32ADC ．12ACD ．32AC（5）（2016秋•宜昌期末）已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与BCP ∆的面积之比为( ) A ．1:1 B ．1:2C ．1:3D ．1:4模块三：三角形的三心已知ABC △，角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，⑴ 三角形的外心O ：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足OA OB OC ==；⑵ 三角形的内心I ：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足0aIA bIB cIC ++=；考点3：三角形的三心例3.（1）（2017秋•重庆期末）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则( ) A ．P 、A 、C 三点共线 B ．P 、A 、B 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线 D ．以上均不正确（2）（2019•江岸区校级模拟）过ABC ∆内一点M 任作一条直线l ，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的()A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心（3）（2019春•金水区校级期中）已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12(S S = ) A ．16B ．13C ．23D ．34（4）（2019•滨州二模）在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，且满足3MC AM =，则( )A ．11312GM AB AC =+B ．11312GM AB AC =--C ．17312GM AB AC =-+D ．17312GM AB AC =-课后作业：1.（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若//a b ，//b c ，则//a c ． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2.（2019•泰安模拟）在ABC ∆中，M 为AC 中点，BC CD =，MD xAB y AC =+，则(x y +=) A ．1 B ．12 C ．13D ．323.（2016秋•宜昌期末）已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与BCP ∆的面积之比为( ) A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3 D ．1:44.（2019春•沙坪坝区校级期中）向量,,a b c 正方形网格中的位置如图所示．若向量c a b λ=+，则实数(λ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．25.（2019•滨州二模）在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，且满足3MC AM =，则( )A ．11312GM AB AC =+B ．11312GM AB AC =--C ．17312GM AB AC =-+D ．17312GM AB AC =-。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
第一节 平面向量的概念及线性运算
第一节平面向量的概念及线性运算考试要求1．了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．[知识排查·微点淘金]知识点1平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位长度的向量单位向量记作a0，a0＝±a|a|平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．知识点2平面向量的线性运算向量 运算定义 法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫作a 与b 的差三角形法则 (3)a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(4)|λa |＝|λ||a |. (5)当λ＞0时，λa 与a的方向相同； 当λ＜0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0(6)结合律：λ(μ a )＝(λμ)_a ＝μ(λa )；(7)第一分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ；(8)第二分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb[微提醒] 向量线性运算的3点提醒 (1)两个向量的和仍然是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． [微拓展]对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.常用结论向量线性运算的常用结论(1)在△ABC 中，若D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)；(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(3)四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →. 知识点3 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa ． [微思考]共线向量定理中为什么限定a ≠0?提示：共线向量定理中限定a ≠0，这是因为如果a ＝0，则λa ＝0， 当b ≠0时，定理中的λ不存在； 当b ＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． [微拓展]1．a ∥b ⇔存在不全为零的x ，y ∈R ，使x a ＋y b ＝0.2．A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外任意一点，则OA →＝λOB →＋μOC →且 λ＋μ＝1.[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．(×) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(√)(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(×) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(√)2．(共线向量定理掌握不准确)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A3．(向量加减法则用错)点D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →答案：A4．(链接教材必修4 P 86例4)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b5．(链接教材必修4 P 108B 组T 5)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．解析：如图所示，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．答案：矩形一、基础探究点——向量的有关概念(题组练透)1．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥b D ．若|a |＝0，则a ＝0解析：选C 对于A ，当|a |＝|b |，即向量a ，b 的模相等时，方向不一定相同，则a ＝b 不一定成立，故A 不正确；对于B ，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B 不正确；C 显然正确；对于D ，若|a |＝0，则a ＝0，故D 不正确，故选C.2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时a 与b 可以是任意向量，故错误的命题有3个，故选D.3．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；②若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |，且a ∥b .其中真命题的序号是________．解析：①正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →. 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →与DC →的方向相同，且|AB →|＝|DC →|，因此AB →＝DC →；②不正确．相等向量的起点和终点可以都不同；③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b . 综上所述，真命题的序号是①. 答案：①向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．二、综合探究点——平面向量的线性运算(多向思维)[典例剖析]思维点1 向量的线性运算[例1] (1)如图所示，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝( )A.AC →－AD →B ．2AC →－2AD → C.AD →－AC →D ．2AD →－2AC →解析：连接CD (图略)，因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2(AD →－AC →)＝2AD →－2AC →，故选D.答案：D(2)[一题多解]已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA →－12OB →－3OC →＝0，则( ) A.OA →＝12AB →＋3AC → B.OA →＝12AB →－3AC → C.OA →＝－12AB →＋3AC → D.OA →＝－12AB →－3AC →解析：解法一：对于A ，OA →＝12AB →＋3AC →＝12(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →)＝12OB →＋3OC →－15OA →，整理，可得16OA →－12OB →－3OC →＝0，这与题干中条件相符合，故选A.解法二：已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA →－12OB →－3OC →＝0，所以OA →＋12(OA →－OB →)＋3(OA →－OC →)＝0，即OA →＋12BA →＋3CA →＝0，所以OA →＝12AB →＋3AC →，故选A.答案：A向量线性运算的解题策略常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．思维点2 根据向量线性运算求参数[例2] 如图所示，在平行四边形ABCD 中E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________．解析：由题图可设CG →＝x CE →(0<x <1)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝⎛⎭⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.答案：12与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[学会用活]1．(2021·福建高三质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PTAT ＝5－12.下列关系中正确的是( )A ．BP →－TS →＝5＋12RS →B ．CQ →＋TP →＝5＋12TS →C ．ES →－AP →＝5－12BQ →D ．AT →＋BQ →＝5－12CR →解析：选A 由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－12＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ→＋TP →＝P A →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，所以C错误；AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →＝0，不合题意，所以D 错误．故选A ．2．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ满足OC →＋λOA →＋μOB →＝0，则实数λ，μ的关系为( )A ．λ2＋μ2＝1B ．1λ＋1μ＝1C ．λμ＝1D ．λ＋μ＝1解析：选A 解法一：取特殊点，取C 为优弧AB 的中点，此时由平面向量基本定理易得λ＝μ＝22，只有选项A 符合．故选A ． 解法二：依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB →，两边同时平方，得1＝λ2＋μ2.故选A ．三、应用探究点——共线向量定理及应用(思维拓展)[典例剖析][例3] 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解：(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，又他们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)B ．又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [拓展变式]1．[变条件]若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m ＝________时，A ，B ，D 三点共线．解析：BD →＝BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →.即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，∴4a ＋(m －3)b ＝λa ＋λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7. 故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线． 答案：72．[变结论]若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 的值为________． 解析：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线． 答案：－1利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．[学会用活]3．(2021·河北六校第一次联考)已知点O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋mOC →＝0，S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4解析：选D 由OA →＋2OB →＝－mOC →得，13OA →＋23OB →＝－m 3OC →，如图所示，设－m 3OC →＝OD →，则13OA →＋23OB →＝OD →，∴A ，B ，D 三点共线，∴OC →与OD →反向共线，m >0， ∴|OD →||OC →|＝m 3，∴|OD →||CD →|＝m3m 3＋1＝m m ＋3，∴S △AOB S △ABC ＝|OD →||CD →| ＝m m ＋3＝47，解得m ＝4.故选D ． 限时规范训练 基础夯实练1．(2021·山东烟台期中)若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB →＝3AM →，则CB →＝( ) A ．3CM →－2CA →B ．3CA →－2CM →C ．3CM →＋2CA →D ．3CA →＋2CM →解析：选A 根据题意作出图形，如图，所以CM →＝CB →＋BM →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)＝13CB →＋23CA →，所以CB →＝3CM →－2CA →.故选A ．2．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn＝－2.3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1B ．12C ．13D ．23解析：选D 由题意易得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，则2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.所以λ＝12，μ＝16，故λ＋μ＝12＋16＝23.4．(2021·云南曲靖一中月考)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A ．13a ＋512bB ．13a －1312bC ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b解析：选C DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC →＝－13AB →－512AC →＝－13a －512B ．5．(2021·潍坊模拟)若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．2解析：选A 设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD 的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD＝BM 2MD ＝12.6．在△ABC 中，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．解析：由题意可得A ，D ，B 共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23综合提升练7．(2021·广西名校联考)在△ABC 中，D 是AB 边的中点，点E 在BC 边上，且BE ＝2EC ，则ED →＝( )A ．16AB →－23AC →B ．16AB →＋23AC →C ．－16AB →＋13AC →D ．－16AB →＋23AC →解析：选A ED →＝BD →－BE →＝－12AB →－23BC →＝－12AB →－23(AC →－AB →)＝16AB →－23AC →，故选A ．8．(2021·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( )A ．－2B ．－12C ．－ 2D ． 2解析：选A DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →，∴λ＝1，μ＝－12，∴λμ＝－2. 9．如图所示，在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，E ，F ，G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，若AB →＋AC →＝4AP →，则( )A ．点P 与图中的点D 重合B ．点P 与图中的点E 重合C ．点P 与图中的点F 重合D ．点P 与图中的点G 重合解析：选C ∵在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，E ，F ，G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，∴AB →＋AC →＝2AD →，AD →＝2AF →，∴AB →＋AC →＝4AF →，∴点P 与图中的点F 重合．故选C ．10．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )A ．－4B ．－14C ．14D ．4解析：选B 因为向量a ，b 是两个不共线的向量，向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，所以存在实数μ，使得4a ＋b ＝μ(a －λb )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝μ，1＝－λμ，解得λ＝－14，故选B ．11．在△ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点．若AB →＝xAC →＋yAD →，则( ) A ．x >1 B ．y >1 C ．x ＋y >1D ．xy >1解析：选B 设BD →＝λBC →(0<λ<1)，所以AD →－AB →＝λAC →－λAB →，所以(1－λ)AB →＝AD →－λAC →，所以AB →＝11－λAD →－λ1－λAC →，所以x ＝－λ1－λ<0，y ＝11－λ＝1－λ＋λ1－λ＝1＋λ1－λ>1，又x ＋y ＝1－λ1－λ＝1，xy ＝－λ（1－λ）2<0，故选B ． 12．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →. ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 创新应用练13．(2021·山东省师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由a ＝2b 可知，a ，b 方向相同，a |a |，b|b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a |a |＝b|b |成立；反之则不成立，故选B ． 14．在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心．若aMA →＋bMB →＋33cMC→＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________．解析：由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →)＝⎝⎛⎭⎫a －33c MA →＋⎝⎛⎭⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33C ．△ABC 中，由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.答案：π6 934。
高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)
平面向量的概念及线性运算
4.数乘向量
(1)数乘向量的定义
一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个 向量
记作λa,其中:
(ⅰ)当λ≠0且a≠0时,λa的模为
|λ||a|
①当λ>0时,与a的方向 相同
;
②当λ<0时,与a的方向 相反
用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向
量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
对点训练 2(1)在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且||=3||,当
=x+y 时,x-y= (
)
A.-2
B.-3
C.2
D.3
(2)如图所示,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,F 为 CE 的中点,则
时,A,B,D 三点共线?
解 = + =(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
若 A,B,D 三点共线,则存在实数 λ,使=λ,即 4a+(m-3)b=λ(a+b),
4 = ,
∴
解得 m=7.
-3 = ,
故当 m=7 时,A,B,D 三点共线.
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
向量
小 相等
的向量称为它的相反向量
零向量
2.向量的加法
(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量 a,b,在该平面内任取一点 A,作
=a, =b,作出向量 ,则向量 称为向量
a与b的和
为向量 a 与 b 的和向量).向量 a 与 b 的和向量记作
高一必修平面向量的概念及线性运算
平面向量的线性运算知识点：数乘向量1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．运算律设为实数结合律：；分配律：，3．共线向量基本定理非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.经典例题透析类型一：向量的基本概念1．判断下列各命题是否正确：(1)若，则；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；(3)若，则(4)两向量相等的充要条件是且.举一反三：【变式1】下列说法正确的个数是( )①向量，则直线直线②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量既是有向线段；④在平行四边形中，一定有.A.0个B.1个C.2个D.3个类型二：向量的线性运算2．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示举一反三：【变式1】如图，△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值.1．在矩形ABCD 中，3=，1=，则向量)(++的长等于（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）3 （D ）42．下面给出四个命题：① 对于实数m 和向量a 、b 恒有：mb ma b a m -=-)(② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有na ma a n m -=-)(③ 若)(R m mb ma ∈=，则有b a =④ 若)0,,(≠∈=a R n m na ma ，则n m =其中正确命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。
（用a b 、表示）4若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋DC ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ；③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD ＝ ( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BA C ．BC －12BA D. BC ＋12BA 6．如图，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC ，AB 的中点，已知＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，DN ＋CN .1答案: D 。
平面向量的概念及线性运算
K
G
图7−4
动脑思考
探索新知
图7−4中的平行向量 AB与 MN ，方向相同，模相等；平行 向量GH 与TK ，方向相反，模相等．
向量只有 大小与方向两 个要素．当向 量a与向量b的 模相等并且方 向相同时，称 向量a与向量b 相等，记作a =b．
下图中，哪些向量是共线向量？
N
B M TK A H L Z Q C D P F E
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上， 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量．
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量． 向量a与向量 b平行记作a//b． 规定：零向 量与任何一个向 量平行．
N
B M K A H L Z Q C D P F E
与非零向量 的模相等，且方 向相反的向量叫 做向量的负向量， 记作 －a．
规定：零向 量的负向量仍为 零向量．
K
G
图7−4
巩固知识
例2
典型例题
D O C
在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
1 DB； 2 AC．
创设情境
观察下图:
兴趣导入
CO 3a
-a -a -a
-a
a a
O
OC 3 a
a
A B
a
C
3a是一个向量，其方向与a的方向相同, 其模是a的模的3倍，即 |3a| = 3|a| ． -3a也是一个向量，其方向与a的方向 相反,其模是a的模的3倍，即 |-3a| = |-3||a| ．
a ∥ b a b．
（7．4）
动脑思考
平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.双基自测1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(2)若a∥b，b∥c，则a∥c( )(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件( )(4)若O是△ABC的重心，则OA→＋OB→＋OC→＝0( )【解析】(1)中，“向量”和“有向线段”不同，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．(1)不正确．(2)当b＝0，a与c 不一定平行，(2)错．(3)当a≠0，b＝0时，a∥bD⇒/a＝λb，但a＝λb⇒a∥b，∴a∥b是a＝λb(λ∈R)的必要不充分条件．(3)错误．(4)根据平行四边形法则，(4)正确．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2．判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.正确的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析只有④正确．答案 A3．(人教A版教材习题改编)化简OP→－QP→＋MS→＋QM→的结果为( )A.OM→B.SM→C.PS→D.OS→【解析】OP→－QP→＋MS→＋QM→＝(OP→＋PQ→)＋(QM→＋MS→)＝OQ→＋QS→＝OS→.【答案】 D4．(2014·广州质检)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|【解析】a|a|表示与a同向的单位向量，b|b|表示与b同向的单位向量，只要a与b 同向，就有a |a |＝b |b |，观察选择项易知C 满足题意．【答案】 C 5．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )．A ．－BC→＋12BA → B ．－BC→－12BA → C.BC→－12BA →D.BC→＋12BA → 解析 如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.答案 A 6、若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF→＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF→＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 解析 EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →.答案 B 7、►如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )． A.AD→＋BE →＋CF →＝0 B.BD→－CF →＋DF →＝0 C.AD→＋CE →－CF →＝0 D.BD→－BE →－FC →＝0 解析 ∵AB→＋BC →＋CA →＝0，∴2AD →＋2BE →＋2CF →＝0，即AD→＋BE →＋CF →＝0.答案 A8、 在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )．A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD→＝2AC →＋AB → ∴AD→＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .答案 A 9、（2013·广东高考)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c . 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 显然命题①，②是正确．对于③，给定向量b ，则λb 可以确定方向，不妨设如图所示，作AB →⊥λb ，B 为垂足．当正数μ<|AB |＝|a |sin 〈a ，b 〉时，不存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc ，因此③错．对于④，根据向量的三角形法则，必有|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |.若λ＝μ＝1，|a |＞2时，与|a |＝|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2矛盾，则④不正确．【答案】 B10、 (2011·兰州模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )． A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1解析 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得：AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.故选D.答案 D11、设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________. 解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案 －1212．如图4－1－1，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.图4－1－1【解析】 BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .【答案】 b －12a13、(2013·四川高考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.【解析】 由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →. 又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 【答案】 214、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[审题视点] (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量的概念及平面线性运算
一、目标认知
学习目标：
1．了解向量的实际背景.
2．理解平面向量和向量相等的含义.
3．理解向量的几何表示.
4．掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义.
5．理解两个向量共线的含义.
6．了解向量的线性运算性质及其几何意义.
重点：
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
难点：
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
二、知识要点梳理
知识点一：向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2．向量的表示方法:
(1)字母表示法:如等.
(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.
(3)向量的有关概念
向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
零向量:长度为零的向量叫零向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).
规定:与任一向量共线.
要点诠释：
1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在
同一直线上的线段的位置关系.
知识点二：向量的加(减)法运算
1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则
2．运算律：①交换律：；②结合律：
要点诠释：
1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与
终点.
2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.
知识点三：数乘向量
1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
(1)；
(2)①当时，的方向与的方向相同；
②当时.的方向与的方向相反；
③当时，.
2．运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
3．共线向量基本定理
非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.
要点诠释：
是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
三、规律方法指导
1.向量的线性运算
(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能
利用向量运算完成简单的几何证明；
(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应
记住:连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.
2.共线向量与三点共线问题
向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.
经典例题透析
类型一：向量的基本概念
1．判断下列各命题是否正确：
(1)若，则；
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
(3)若，则
(4)两向量相等的充要条件是且.
举一反三：
【变式1】下列说法正确的个数是( )
①向量，则直线直线
②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③向量既是有向线段；
④在平行四边形中，一定有.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
类型二：向量的线性运算
2．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
举一反三：
【变式1】如图，△中，点是的中点，点在边
上，且，与相交于点，求的值.
类型三：共线向量与三点共线问题
3．设两非零向量和不共线，
(1)如果求证三点共线.
(2)试确定实数，使和共线.
举一反三：
【变式1】设和是两个不共线的非零向量，若向量
，试证明：A、C、D三点共线.
基础达标：
1.下面的几个命题：
①若；
②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；
③若满足且与同向，则；
④由于方向不定，故不能与任何向量平行；
⑤对于任意向量必有.
其中正确命题的序号是：( )
A.①②③
B.⑤
C.③⑤
D.①⑤
2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则
A. B. C. D.
3.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=( )
A. B. C. D.
4.若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，已知，用表示
=___________，___________.
6.设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要
条件是_______________.
7.如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.
能力提升：
1.已知向量，且
则一定共线的三点是
( )
A.A、B、D
B.A、B、C
C.B、C、D
D.A、C、D
2.已知则是A、B、C三点构成三角形的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件D既不充分也不必要条件
3.已知向量若与共线，则( )
A. B. C. D.或
4.若则(用表示)
5.已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，
求证：(1)；(2)；(3).
6.已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将分成2：1的一个内分点，DC与OA交于E，设
. (1)用
与表示；(2)若，求实数的值.
综合探究：
1.下列命题中，真命题的个数为( )
①方向相同②方向相反
③有相等的模④方向相同
A.0
B.1
C.2
D.3
2.在中，已知是边上一点，，则( )
A. B. C. D.
3.设是两个不共线的向量，则向量与向量共线的充要条件
是( )
A.k=0
B.k=1
C.k=2
D.k=
4.已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于()
A.0
B.3
C.
D.
5.两个非零向量相等是两个向量相等的___________条件.
6.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则
=________.
7.若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )
A.｜2｜＞｜-2｜
B.｜2｜＜｜-2｜
C.｜2｜＞｜2-｜
D.｜2｜＜｜2-｜。