反比例函数的意义教案
初中数学《反比例函数》教案
初中数学《反比例函数》教案
初中数学《反比例函数》教案
反比例函数
教学目标：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
教学程序：
一、导入：
1、从现实情况和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加强对函数概念的理解，导入反比例函数。
2 、U=IR，当U=220V时，
（1）你能用含 R的代数式表示I吗？
（2）利用写出的关系式完成下表：
R（） 20 40 60 80 100
I（A）
当R越来越大时，I怎样变化？
当R越来越小呢？
（ 3）变量I是R的函数吗？为什么？
答：① I = UR
② 当R越来越大时，I越来越小，当R越来越小时，I越来越大。
③变量I是R的函数。
当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数。
二、新授：。
《反比例函数》初三数学教案
《反比例函数》初三数学教案《反比例函数》初三数学教案作为一名辛苦耕耘的教育工作者，就难以避免地要准备教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
那要怎么写好教案呢？下面是店铺收集整理的《反比例函数》初三数学教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
《反比例函数》初三数学教案篇1一、创设情境引入课题活动1问题:你们还记得一次函数图象与性质吗?设计意图通过创设问题情境，引导学生复习一次函数图象的知识，激发学生参与课堂学习的热情，为学习反比例函数的图象奠定基础。
师生形为：教师提出问题。
学生思考、交流，回答问题。
教师根据学生活动情况进行补充和完善。
二、类比联想探究交流活动2问题：例2 画出反比例函数y= 与y=- 的图象。
(教师先引导学生思考，示范画出反比例函数y= 的图象，再让学生尝试画出反比例函数y=- 的图象。
)设计意图：通过画反比例函数的图象使学生进一步了解用描点的方法画函数图象的基本步骤，其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力。
师生形为：学生可以先自己动手画图，相互观摩。
在此活动中，教师应重点关注：1学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换：2是否熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象;3在动手作图的过程中，能否勤于动手，乐于探索。
比较y= 、y=- 的图象有什么共同特征?它们之间有什么关系?(由学生观察思考，回答问题，并使学生了解反比例函数的图象是一种双曲线。
)设计意图：学生通过观察比较，总结两个反比例函数图象的共同特征(都是双曲线)，以及在平面直角坐标系中的位置。
在活动中，让学生自己去观察、类比发现，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的。
师生形为：学生分组针对问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的共同点，为后面性质的探索打下基础。
教师参与到学生的讨论中去，积极引导。
(三)探索比较发现规律活动3问题：观察反比例函数y= 与y=- 的图象。
(初三数学教案)人教版初中九年级数学下册第26章反比例函数26.1.1 反比例函数教学设计
26.1 反比例函数26.1.1反比例函数一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握反比例函数的概念和意义；2.会判断一个给定的函数是否为反比例函数，并能根据实际问题和已知条件用待定系数法求出反比例函数的解析式.【过程与方法】通过对反比例函数的研究，感悟反比例函数的概念，体会函数思想的应用。
【情感态度与价值观】从现实情境和已有知识经验出发，研究两个变量之间的相互关系，进一步理解常量和变量之间的辩证关系，体验数学来源于生活，激发学生学习数学的热情和兴趣．二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】理解反比例函数的概念，会求反比例函数关系式.【教学难点】反比例函数解析式的确定.五、课前准备教师：课件.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）教师问：什么是函数？学生答：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y ，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.教师问：什么是一次函数？什么是正比例函数？学生答：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫作比例系数.当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？（二）探索新知知识点1：反比例函数的定义下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. （出示课件4-5）(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；(2)某住宅小区要种植一块面积为1000m 2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化；(3)已知北京市的总面积为1.68×104km 2，人均占有面积S(单位：km 2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.小组合作交流,再进行全班性的问答. ⑴1463v t =；⑵1000y x =；⑶. S = 1.68×104n 教师问：这三个函数解析式有什么共同点？你能否根据这一类函数的共同特点，类比正比例函数写出这种函数的一般形式？（出示课件6） 学生答：都是y k x=的形式，其中k 是非零常数.教师问：这种函数叫反比例函数，那么什么是反比例函数？ 归纳：一般地,形如y k x =(k 为常数，k ≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数．教师问：自变量x 的取值范围是什么？（出示课件7）学生答：因为x 作为分母，不能等于零，因此自变量x 的取值范围是所有非零实数.教师问:在实际问题中自变量x 的取值范围是什么？学生思考后教师总结：要根据具体情况来确定.例如，在前面得到的第二个解析式1000y x =，x 的取值范围是x ＞0，且当x 取每一个确定的值时，y 都有唯一确定的值与其对应.教师问:形如1-=kx y （k ≠0)的式子是反比例函数吗？式子k xy =（k ≠0)呢？（出示课件8）学生独立思考后，全班交流.然后教师强调：反比例函数的三种表达方式：(注意k ≠0)xk y =；1-=kx y ；k xy =. 出示课件9-10，学生独立思考后口答，教师订正.考点1 利用反比例函数的定义求字母的值.例 已知函数y =(2m 2+m -1)x2m 2+3m -3是反比例函数，求m 的值.（出示课件11）学生独立思考后，教师板演：解：因为y =(2m 2+m -1)x2m 2+3m -3是反比例函数，所以222m +3 m-3=-1,2m + m-10,⎧⎪⎨≠⎪⎩ 解得m=－2.归纳总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中x 的次数为－1，且系数不等于0.出示课件12，学生独立解决，教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导.考点2 利用待定系数法求反比例函数的解析式.例 已知y 是x 的反比例函数，并且当x=2时，y=6.(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)当x=4时，求y 的值.（出示课件13）师生分析：因为y 是x 的反比例函数，所以设y k x =.把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k 的值.学生板演:解：(1)设y k x =.因为当 x=2时，y=6，所以有62k =，解得k=12. 因此12y .x= (2)把x=4代入12y x =，得12y 3.4== 归纳总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：（出示课件14）（1）设，即设所求的反比例函数解析式为y k x =(k ≠0)；（2）代，即将已知条件中对应的x 、y 值代入y k x =中得到关于k 的方程．（3）解，即解方程，求出k 的值．（4）定，即将k 值代入y k x=中，确定函数解析式．出示课件15，学生独立解决，一生板演.知识点2：建立反比例函数的模型解答问题人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km/h 时，视野为80度，如果视野f(度) 是车速v(km/h)的反比例函数，求f 关于v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.（出示课件16）学生理解题意，尝试解决，教师板演并强调书写步骤： 解：设k f v=.由题意知，当v=50时，f=80， 所以8050k =， 解得k=4000. 因此4000.f v= 当v=100时，f=40.所以当车速为100km/h 时，视野为40度.出示课件17，学生独立解决，教师加以订正.（三）课堂练习（出示课件18-25）练习课件第18-25页题目，约用时20分钟（四）课堂小结（出示课件26）本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：1.一般地,形如y k x=(k 是常数，k ≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.2.反比例函数的三种表达方式：(注意k ≠0)x k y =；1-=kx y ；k xy =. 3.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：（1）设，即设所求的反比例函数解析式为y kx=(k ≠0)；（2）代，即将已知条件中对应的x 、y 值代入y k x =中得到关于k 的方程．（3）解，即解方程，求出k 的值．（4）定，即将k 值代入y k x =中，确定函数解析式．（五）课前预习预习下节课（26.1.2第1课时）的相关内容.了解反比例函数的图象及性质.七、课后作业1、教材第3页练习第2,3题.2、七彩课堂第5～6页第1，2，6，8题.八、板书设计26.1.1反比例函数1．反比例函数的定义：一般地,形如y k x=(k 是常数，k ≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数．自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．2．反比例函数的形式：(1)y ＝k x (k ≠0)；(2)y ＝kx －1(k ≠0)；(3)xy ＝k (k ≠0)．3．确定反比例函数的解析式：待定系数法．九、教学反思让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.在处理课堂练习时，让学生选择自己喜欢的问题来回答，照顾了学生的个体差异，关注了学生的个性发展，真正成为学生学习的组织者、参与者、合作者、促进者.。
人教版九年级数学下册全册教案
26.1.1反比例函数的意义教学目标：1.理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.教学重点：反比例函数的概念教学难点：例1涉及较多的《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度。
教学方法：类比启发教学辅助：多媒体投影片教学过程：一、创设情景探究问题随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？情境1：当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s＝vt）当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?［备注］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。
这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。
情境2：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：2（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？［备注］（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s＝vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.情境3：用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；（2）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.问题：（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？（2）它们有一些什么特征？（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？一般地，形如y＝kx(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.全册每单元每课时 3［备注］这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，进而发现特征为：(1)自变量x位于分母，且其次数是1.(2)常量k≠0.(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.(4)函数值y的取值范围是非零实数.并引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概念中的关键词，使学生对知识认知有系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为y＝kx－1(k为常数，k≠0)的形式，并结合旧知验证其正确性.二、例题教学练习：1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？(1)y＝x15；(2)y＝2x－1；(3)y＝－3x；通过这个例题使学生进一步认识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力.练习：2：在函数y＝2x－1，y＝2x+1，y＝x－1，y＝12x中，y是x的反比例函数的有个.全册每单元每课时 4［备注］这个练习也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别一些反比例函数的变式,如y＝kx－1的形式. 还有y＝2x－1通分为y＝2－xx，y、x都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y＋1＝2x可说成（y＋1）与x成反比例.练习3：若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数关系式为.［说明］这个练习引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数.例题：第5页例1三、拓展练习1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k的值.（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.全册每单元每课时 52、已知函数y＝（m＋1）x22 m是反比例函数，则m的值为.［备注］引导学生分析、讨论，列出函数关系式，并检验是否是反比例函数，指出比例系数.四、课堂小结这节课你学到了什么？还有那些困惑？五、布置作业：作业本（1）板书设计：概念：例1解：练习练习全册每单元每课时 6教学反思：本节课学生对有关概念都很好的落实，亮点在于练习设计有梯度，学生认识清楚。
人教版初二数学八年级下册教案导学案
第十七章反比例函数课题 17.1.1 反比例函数的意义课时：一课时【学习目标】1.理解并掌握反比例函数的概念。
2.会判断一个给定函数是否为反比例函数。
3.会根据已知条件用待定系数法求反比例函数的解析式。
【重点难点】重点：理解反比例函数的意义，确定反比例函数的表达式。
难点：反比例函数的意义。
【导学指导】复习旧知:1.什么是常量？什么是变量？函数是如何定义的？2.我们学过哪几种函数？每一种函数形式怎样？3.写出下列问题中的函数关系式并说明是什么函数.（1）梯形的上底长是2，下底长是4，一腰长是6，则梯形的周长y与另一腰长x之间的函数关系式。
（2）某种文具单价为3元，当购买m个这种文具时，共花了y元，则y与m的关系式。
学习新知：阅读教材P39-P40相关内容，思考，讨论，合作交流完成下列问题。
1.什么是反比例函数？反比例函数的自变量可以取一切实数吗？为什么？2.仔细观察反比例函数的解析式y=k/x,我们还可以把它写成什么形式？3.回忆我们学过的一次函数和正比例函数，我们是用什么方法求它们的解析式的？以此类推，我们也可以采用同样的方法来求反比例函数的解析式。
【课堂练习】1.下列等式中y是x的反比例函数的是（）①y=4x ②y/x=3 ③y=6x-1 ④xy=12 ⑤y=5/x+2 ⑥y=x/2 ⑦y=-√2/x⑧y=-3/2x2.已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=7,【要点归纳】通过今天的学习，你有哪些收获？与同伴交流一下。
【拓展训练】1.函数y=(m-4)x3-|m|是反比例函数，则m的值是多少？2.若反比例函数y=k/x与一次函数y=2x-4的图象都过点A（m,2）(1)求A点的坐标；（2）求反比例函数的解析式。
课题：17.1.2 反比例函数的图象和性质课时：二课时第一课时反比例函数的图象和性质的认识【学习目标】1.体会并了解反比例函数图象的意义。
2.能用描点的方法画出反比例函数的图象。
3.通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。
反比例函数k的几何意义 初中九年级初三数学教案教学设计教学反思 人教版
延长线段 BA，交 y 轴于点 E，
∵AB∥x 轴， ∴AE⊥y 轴， ∴四边形 AEOD 是矩形， ∵点 A 在双曲线上， ∴S 矩形 AEOD=4， 同理 S 矩形 OCBE=k， ∵S 矩形 ABCD=S 矩形 OCBE－S 矩形 AEOD=k－4=8， ∴k=12．
变式练习
（二）基本图形 2 及其应用： 图中面积相等的图形有哪些？
（2）如图，在坐标平面上有两点 A(2,3)和 B(6,1),求△AOB 的面积；
课堂练习 (三）基本图形 3 及其应用 （难点巩固） 图中面积相等的图形有哪些？
y 3x 例 3：如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，且与反比例函
的图像交于点 E、F，其中点 F 是 AB 的中点，若四边形 OEBF 的
教学环节
（一）基本图形 1 及其应用
教学过程
导入
知识讲解 （难点突破）
例 1：如图，点 A 在双曲线
上，点 B 在双曲线
（k≠0）上，AB∥x 轴，分别过点 A、B
向 x 轴作垂线，垂足分别为 D、C，若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为 ____。
解：∵双曲线
（k≠0）在第一象限，∴k＞0，
教师姓名 学科
课题名称 难点名称
武若飞 数学
单位名称 哈密市第四中学 年级/册 九年级下册
反比例函数 K 的几何意义
运用 k 的几何意义求面积
填写时间 教材版本
2020 年 8 月 24 日 人教版
难点分析
从知识角度分析为 什么难
k 的几何意义的变式比较多，数形结合思想的运用。
难点教学方法 通过演示和启发的方法
数 面积为 2，则 k＝______。
变式练习
反比例函数集备教案
城厢区砺成中学集体备课教案（九年级数学组）【针对训练】已知y与x + 1成反比例，并且当x = 3时，y = 4.(1) 写出y关于x的函数解析式；(2) 当x = 7时，求y的值．探究点3：建立简单的反比例函数模型例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为50 km/h 时，视野为80 度，如果视野 f (度) 是车速v (km/h) 的反比例函数，求f 关于v的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时,视野的度数.例4 如图，已知菱形ABCD的面积为180平方厘米，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x cm，y cm. 写出变量y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数.探究点1：反比例函数的图象和性质例1 画出反比例函数x y 6=与xy 12=的图象. 【提示】画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解：列表：x … -6-4-2-11246… x y 6= ……xy 12=……描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得x y 6=与xy 12=的图象．思考 观察这两个函数图象，回答问题： （1）每个函数图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内， 随着x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ （3）对于反比例函数xky =(k ＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？【要点归纳】反比例函数xky =(k ＞0) 的图象和性质： （1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交；（2）在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 【针对训练】 反比例函数xy 3=的图象大致是 ( )A. B.C. D.例2 反比例函数xy 8=的图象上有两点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A ，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x 1＞x 2，则 y 1与y 2的大小关系为 ( )A. y 1 > y 2B. y 1 = y 2C. y 1 < y 2D. 无法确定【提示】因为8＞0，且 A ，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x 1＞x 2，可知y 1，y 2的大小关系观察 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数xky =的图象，有哪些共同特征？思考 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数x k y =(k ＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数xk y =(k ＜0)的图象和性质吗？【要点归纳】反比例函数xky =(k ＜0) 的图象和性质： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，（1）求这个函数的解析式；（2）判断点 B (－1，6)，C (3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3） 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．探究点2：反比例函数图象和性质的综合 例2 如图，是反比例函数xm y 5-=图象的一支. 根据图象，回答下列问题：(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x 1，y 1) 和点B (x 2，y 2). 如果x 1＞x 2，那么 y 1 和 y 2 有怎样的大小关系？【针对训练】如图，是反比例函数xky -=1的图象，则 k 的值可以是 （ ）A ．－1B ．3C ．1D ．0探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 操作 1. 在反比例函数xy 4=的图象上分别取点P ，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S 1，S 2的矩形，填写下列表格：S 1的值 S 2的值 S 1与S 2的关系猜想 S 1，S 2 与 k 的关系P (2，2) Q (4，1)2. 若在反比例函数xy 4-=中也用同样的方法分别取 P ，Q 两点，填写表格：S 1的值 S 2的值 S 1与S 2的关系猜想 S 1，S 2 与 k 的关系P (－1，4) Q (－2，2)猜想 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P 是反比例函数xky =图象上的任意一点，过点 P 作 P A ⊥ x 轴，作 PB ⊥ y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S 矩形 AOBP =|k |. 证明 我们就 k < 0 的情况给出证明：【要点归纳】对于反比例函数xky =，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥ y 轴，作QB ⊥x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ = |k |.推理：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是S △QAO =S △QBO =2k.【针对训练】如图，在函数xy 1=(x ＞0)的图象上有三点A ，B ，C ，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为S A ，S B ，S C ，则（ ） A . S A >S B >S C B . S A <S B <S C C . S A =S B =S C D . S A <S C <S B【典例精析】例3 如图，点A 在反比例函数xky =的图象上，AC ⊥x 轴于点 C ，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式．【针对训练】1. 如图，过反比例函数xky =图象上的一点 P ，作P A ⊥x 轴于点A . 若△POA 的面积为 6，则 k = .2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M ，N ，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 例4 如图，P ，C 是函数xy 4=(x >0) 图象上的任意两点，P A ，CD 垂直于 x 轴. 设△POA 的面积为 S 1，则 S 1 = ；梯形CEAD 的面积为 S 2，则 S 1 与 S 2 的大小关系是 S 1 S 2；△POE 的面积 S 3 和 S 2 的大小关系是S 2 S 3. （填“＞”，“＜”或者“＝”）【针对训练】如图，直线与双曲线交于 A ，B 两点，P 是AB 上的点，△AOC 的面积 S 1、△BOD 的面积 S 2、 △POE 的面积 S 3 的大小关系为 .例5 如图，点 A 是反比例函数x y 2=(x ＞0)的图象上任意一点，AB //x 轴交反比例函数xy 3-=(x ＜0) 的图象于点 B ，以 AB 为边作平行四边形 ABCD ，其中点 C ，D 在 x 轴上，则 S ABCD =___.【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.【针对训练】如图，函数 y ＝－x 与函数xy 4-=的图象相交于 A ，B 两点，过点 A ，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则四边形ACBD 的面积为 （ ）A. 2B. 4C. 6D. 8探究点4：反比例函数与一次函数的综合思考 在同一坐标系中，函数xk y 1=和 y = k 2 x +b 的图象大致如下，则 k 1 、k 2、b 各应满足什么条件？例6 函数 y =kx －k 与xk y =（k ≠0）的图象大致是（ ）【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k ，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.【针对训练】在同一直角坐标系中，函数xa y -=与 y = ax +1 (a ≠0) 的图象可能是（ ）例7 如图是一次函数 y 1=kx +b 和反比例函数xm y =2的图象，观察图象，当 y 1﹥y 2 时，x 的取值范围为 .【针对训练】如图，一次函数 y 1= k 1x + b (k 1≠0) 的图象与反比例函数xk y 22=的图象交于 A ，B 两点，观察图象，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是 ．例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？【针对训练】反比例函数xy 12的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ．。
《反比例函数的图象和性质(第2课时)》教案 人教数学九年级下册
26.1 反比例函数26.1.2反比例函数的图象与性质（第2课时）一、教学目标【知识与技能】1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中；2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题．【过程与方法】深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法．【情感态度与价值观】在参与数学活动的过程中，体会探索创新的乐趣，养成乐于探索的习惯．二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】用反比例函数的图象和性质解决数学中的简单问题.【教学难点】数形结合思想在解题中的应用.五、课前准备教师：课件、直尺、三角板等.学生：直尺、三角板、铅笔.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）教师问：正比例函数和反比例函数的区别是什么？学生口答后教师整理：（二）探索新知知识点1 利用待定系数法确定反比例函数解析式已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?(2)点B(3，4)、C(142,452--）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？（出示课件4、5）师生共同分析：反比例函数xk y 的图象位置及y 随x 的变化情况取决于常数k 的符号，因此要先求常数k ，而题中已知图象经过点A （2，6），即表明把A 点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k ，这样解析式也就确定了.解：（1）因为点A （2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小.⑵设这个反比例函数为y=k x，因为点A(2，6)在其图象上，所以有6=2k . 解得k=12.所以反比例函数的解析式为y=12x. 因为点B ，C 的坐标都满足该解析式，而点D 的坐标不满足，所以点B ，C 在这个函数的图象上，点D 不在这个函数的图象上.教师问：已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上?（出示课件6）学生讨论后，教师总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在.出示课件7～9，学生独立思考后自主解答，一生板演后，教师订正.知识点2 反比例函数的综合性题目 出示课件10、11：如图是反比例函数5m y x-=的图象一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A （a ，b ）和B （a ′，b ′），如果a>a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？学生自主思考后，教师板演：解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．∵函数的图象在第一、第三象限， ∴m －5＞0， 解得m ＞5．（２）∵m －5＞０，在这个函数图象的任一支上，y 随x 的增大而减小，∴当a ＞a ′时，b ＜b ′．教师问：根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?学生思考后，教师强调：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y 随x 的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k ＜0时，y 随x 的增大而增大，从而出现错误.出示课件12，学生独立思考后口答，教师订正. 知识点3 反比例函数中k 的几何意义出示课件13、14：在反比例函数4y x=的图象上分别取点P ，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S 1，S 2的矩形，填写表格：学生观察图象，计算并填表. 出示课件15：若在反比例函数4y x-=中也用同样的方法分别取P ，Q 两点，填写表格：教师总结：（出示课件16） 由前面的探究过程，可以猜想：若点P 是xk y 图象上的任意一点，作PA 垂直于x 轴，作PB 垂直于y 轴，矩形AOBP 的面积与k 的关系是S 矩形 AOBP =|k|.出示课件17：教师引导给出证明： 我们就k ＜0的情况给出证明：设点P 的坐标为(a ，b)，∵点P(a ，b)在函数xk y =的图象上， ∴ak =b ，即ab=k.若点P 在第二象限，则a ＜0，b ＞0， ∴S 矩形 AOBP =PB ·PA=－a ·b=－ab=－k ； 若点P 在第四象限，则a ＞0，b ＜0， ∴S 矩形 AOBP =PB ·PA=a ·(－b)=－ab=－k. 综上，S 矩形 AOBP =|k|.出示课件18：师生共同归纳： 对于反比例函数xk y =，点Q 是其图象上的任意一点，作QA 垂直于y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与k 的关系是S 矩形 AOBP =|k|.推理：△QAO 与△QBO 的面积和k 的关系是：2QAO QBO kS S ∆∆==.出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正. 考点1 通过图形面积确定k 的值（出示课件20）例 如图，点A 在反比例函数xky =的图象上，AC 垂直x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式．师生共同分析后教师板演： 解：设点A 的坐标为(x A ，y A )， ∵点A 在反比例函数xk y =的图象上， ∴x A ·y A ＝k ，122A O C S k ∆=•=，∴k ＝4，∴反比例函数的表达式为x y 4=.出示课件21，学生独立思考后口答，教师订正.考点2 利用k 的性质判断图形面积的关系（出示课件22） 例 如图，P ，C 是函数xy 4=(x ＞0)图象上的任意两点，PA ，CD 垂直于x 轴.设△POA 的面积为S 1，则S 1=________；梯形CEAD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1________S 2；△POE 的面积S 3和S 2的大小关系是S 2________ S 3.师生共同分析后解答.出示课件23，学生独立思考后口答，教师订正. 考点3 根据k 的几何意义求图形的面积（出示课件24） 例 如图，点A 是反比例函数2y x=(x ＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数3y x=-(x ＜0)的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中点C ，D 在x 轴上，则S 四边形ABCD =___.师生共同分析后解答.出示课件25，学生独立思考后口答，教师订正.知识点4 一次函数与反比例函数的组合图形（出示课件26～27） 教师问：在同一坐标系中，函数1y k x=和y=k 2x+b 的图象大致如下，则k 1、k 2、b 各应满足什么条件？学生小组讨论后，教师订正.考点1 根据k 的值识别函数的图形（出示课件28） 例 函数y=kx －k 与yk x=（k ≠0）的图象大致是( )师生共同分析后解答.出示课件29，学生独立思考后口答，教师订正.考点2通过函数图形确定字母的取值范围（出示课件30） 例 如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数2my x=的图象，观察图象，当y 1＞y 2时，x 的取值范围为_______.－3 y x师生共同分析：y 1＞y 2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察图形，可知－2＜x ＜0或x ＞3.教师强调：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了. 出示课件31，学生独立思考后口答，教师订正.考点3 利用函数的交点解答问题（出示课件32～33）例 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.师生共同分析后一生板演，教师订正.解：设y=k 1x 和2k y x=. 由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P 的坐标分别满足这两个解析式.所以()143k =⨯-，243k =-. 解得143k =-，212k =-. 则这两个函数的解析式分别为43y x =-和12y x =-， 它们的图象如图所示.教师问：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？学生小组讨论后口答.出示课件34，学生独立思考后一生板演，教师订正.（三）课堂练习（出示课件35-44）引导学生练习35-44页题目，约用时20分钟。
26.1.2反比例函数的图象与性质(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对于反比例函数的概念和图象性质的理解存在一些困难。在讲解反比例函数的定义时，虽然通过生活中的实例引入，但仍有部分学生难以理解k值不为零的条件。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加直观、生动地呈现这些抽象的概念。
在讲授反比例函数图象时，我采用了动态演示和实际操作相结合的方法，让学生们观察双曲线的形成过程。然而，从学生的反馈来看，对于双曲线形状的理解仍然不够深入。我考虑在下一节课中，增加一些实际生活中的双曲线实例，如卫星轨道、电磁场线等，让学生们更加直观地感受双曲线的特点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、图象与性质，以及它在生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0)的函数。它在生活中有着广泛的应用，如速度与时间的关系、浓度与体积的关系等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以速度与时间的关系为例，探讨反比例函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图象性质这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图象的双曲线形状，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
《反比例函数中比例系数k的几何意义》优课一等奖教案
?反比例函数中比例系数k 的几何意义?教学设计 本微课通过研究反比例函数()0≠=k xk y 中k 的几何意义，来解决反比例函数与面积类综合问题，能更好地考察学生灵活运用数学知识的能力及对数学思想方法掌握的情况，进一步让学生感悟数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进展“互译〞并 “转换〞成有效的解题信息链，培养学生建立合理适宜的数学模型去解决实际问题的能力和方法。
教学目标：1、理解和掌握反比例函数()0≠=k xk y 中k 的几何意义 2、能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题学情分析：学生已有对一次函数和反比例函数关系式和图象认识的根底，再通过研究反比例函数()0≠=k xk y 中k 的几何意义，可以进一步唤醒学生数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进展互译转换并形成有效的解题信息链，并通过建立合理适宜的数学模型，顺利解决问题的能力和方法。
教学重点、难点：1．重点：理解并掌握反比例函数 〔k ≠0〕中k 的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题2．难点：通过反比例函数与矩形面积的对应关系渗透数形结合思想，感受理解反比例函数的比例系数 k 、函数解析式和函数图形之间的内在联系，并通过建立反比例函数模型解决实际几何问题。
教学过程：一、反比例函数中k 的几何意义xk y =y x B A P (m ,n )O 反比例函数()0≠=k xk y ，点),(n m P 是图像上的任意一点. (1)过点P 分别做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A ，B,那么 k n m nm OB OA S OAPB =⋅=⋅=⋅=矩形结论：任意一点横纵坐标的乘积是一个定值.〔2〕过点P 分别做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A ，B,连接OP,那么k n m n m AP OA S OAP 21212121=⋅=⋅=⋅=∆结论：k S S OBP OAP 21==∆∆通过构造学生熟悉的特殊多边形，并把k 值构造成特殊多边形的面积，从而可以发现过反比例函数()0≠=k xk y 的图象上任一点P 〔m,n 〕向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积k n m S OAPB =⋅=矩形，△OAP 和△OBP 面积k S S OBP OAP 21==∆∆让学生通过此题让学生感悟k 值与反比例函数图象的一一对应关系，核心感悟：k 值确定，图象确定，进而图形上从任意一点向坐标轴构造的特殊图象面积确定；图象确定或者图形上从任意一点向坐标轴构造的特殊图象面积确定， 那么k 值也随之确定。
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17·1·1反比例函数的意义
三维目标
一、知识与技能
1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。
2经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
二、过程与方法
1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。
三、情感态度与价值观
1．经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣。
2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。
教学重点
：理解和领会反比例函数的概念。
教学难点：
领悟反比例的概念。
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动1
问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？
（1） 京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的
变化而变化；
（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；
（3）已知北京市的总面积为1.68×10
4
平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市
人口n（单位:人）的变化而变化.
师生行为:先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说
明两个变量间的关系为什么可以看着函数,了解所讨论的函数的表达形式.
教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.
在此活动中老师应重点关注学生:
① 能否积极主动地合作交流。
② 能否用语言说明两个变量间的关系。
③ 能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。
分析及解答：（1）vt1463
（2）xy1000
（3）ns41068.1
其中v是自变量，t是v的函数；
x是自变量，y是x的函数；
n是自变量，s是n的函数；
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上面的函数关系式，都具有xky的形式，其中k是常数。
二、联系生活，丰富联想
活动2
下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？
（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；
（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；
（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。]
师生行为
学生先独立思考，在进行全班交流。
教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生：
（1） 能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；
（2） 能否积极主动地参与小组活动；
（3） 能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念。
分析及解答：（1）vt2000
（2）sh1000
（3）sp100
概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成xky的形式，那么y是x的反比例函数，反
比例函数的自变量x不能为零。
活动3
做一做：
一个矩形的面积为20cm2, 相邻的两条边长为x cm和y cm。那么变量y是变量x的函数吗？是
反比例函数吗？为什么？
师生行为：学生先进行独立思考，再进行全班交流。教师提出问题，关注学生思考。此活动中教师应
重点关注：
① 学生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
② 学生能否顺利抽象反比例函数的模型；
③ 学生能否积极主动地合作、交流；
活动4
问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
xy4， 3xy， 16xy， 123xy
问题2：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6
（1） 写出y与x的函数关系式：
（2） 求当x=4时，y的值。
师生行为：学生独立思考，然后小组合作交流。教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导。
在此活动中教师应重点关注：
①学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
②学生能否积极主动地参与小组活动。
分析及解答：
1、只有xy=123是反比例函数。
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2、分析：因为y是x的反比例函数，所以xky，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值。
解：（1）设xky，因为x=2时，y=6,
所以有26k
解得k=12
因此xy12
（2）把x=4代入xy12，得
3412y
三、巩固提高
活动5
1、已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。
（1）写出y与x之间的函数关系式。
（2）求y=2时x的值。
2、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x -2 -1 21 21 1 3
y 32 2 -1
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表。
学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”。
四、课时小结
反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相
依关系及变化规律，逐步加深理解。在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆
脱其原型成为数学对象。反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，
审视某些实际现象。