第2讲 函数概念与基本初等函数

第2讲 函数概念与基本初等函数【命题趋势】纵观近几年新课标各省市的高考试卷，函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程的重要思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一，在选择题、填空题、解答题中都有函数试题和其他知识尤其是导数、数列、不等式、几何等知识交汇的热点试题． 具有以下特点：1．以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，2．把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合，重点考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力；3．突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待定系数法、配方法、构造法等数学思想方法．【知识梳理】2.1函数2.1.1函数的基本概念1）函数定义：y ＝f(x)表示f ：A →B 的函数，{f(x)|x ∈A}叫做函数f(x)的值域，{f(x)|x ∈A}⊆B 。

函数是特殊的映射． 2）函数三要素：定义域、对应法则、值域. 3）函数的表示法：列表法、解析式法、图像法.4）常用函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、常数函数（y=c,c 为常数）.例1．例：设M ={x |－2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f（x ）的图象可以是（ ）(A) (B(C)(D)例2 (1) 函数y ＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1](2)若函数f (x )的定义域为(a ，b )，且b >－a >0，求函数g (x )＝f (x )－f (－x )的定义域．[解答] (1) C [解析] 由⎩⎨⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0 ⇒⎩⎨⎧x >－1，－4<x <1 ⇒－1<x <1.故选C.(2)由⎩⎨⎧ a <x <b ，a <－x <b (b >－a >0)得，⎩⎨⎧a <x <b－b <x <－a (b >－a >0)，即a <x <－a ，所以定义域为()a ，－a .【变式训练】1 求函数f (x )＝x 2－5x ＋6＋x －1 0x ＋||x 的定义域；【变式训练】2 f (x －1)的定义域为[]1，2，求函数g (x )＝f (x 2)的定义域．[解答] 1、由函数解析式有意义，得⎩⎨⎧x 2－5x ＋6≥0，x －1≠0，x ＋||x >0⇒⎩⎨⎧x ≥3或x ≤2，x ≠1，x >0⇒0<x <1或1<x ≤2或x ≥3，故函数的定义域是()0，1∪(]1，2∪[)3，＋∞. 2、令t ＝x －1，因为f (x －1)的定义域为[]1，2， 所以0≤t ≤1，故0≤x 2≤1. ∴|x |≤1，得－1≤x ≤1. 所求定义域为[－1,1]． 例3 求下列函数的值域：(1)y ＝4－3＋2x －x 2； (2)y ＝3x ＋1x －2. [解答] (1)y ＝4－－x －1 2＋4. ∵0≤－(x －1)2＋4≤4， ∴0≤－x －1 2＋4≤2， ∴2≤4－－x －1 2＋4≤4，∴所给函数的值域为[2,4]； (2)解法一：反函数法．y ＝3x ＋1x －2的反函数为y ＝2x ＋1x －3，其定义域为{x ∈R|x ≠3}，∴原函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y ∈R|y ≠3}． 解法二：分离变量法．y ＝3x ＋1x －2＝3 x －2 ＋7x －2＝3＋7x －2，∵7x －2≠0，∴3＋7x －2≠3， ∴函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y ∈R|y ≠3}． 【变式训练】1 求函数y ＝x 2－2x ＋5在①x ∈[－1,0]，②[－2,2]上的值域；【变式训练】2 求函数y ＝1－x 21＋x 2的值域．[解答]1、y ＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，所以二次函数的图像开口向上，对称轴为直线x ＝1.①当x ∈[－1,0]时，函数在[－1,0]上单调递减，故所求值域为[5,8]；②当x ∈[－2,2]时，函数在x ＝1时取得最小值4，在x ＝－2时，取得最大值13，故所求值域为[4,13]．2、y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2.∵1＋x 2≥1， ∴0<21＋x 2≤2，∴－1<y ≤1，值域为(－1,1]．例4 (1)已知f (x )是一次函数，并且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求函数f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，求函数f (x )的解析式；(3)已知f (x )＋2f (－x )＝3x －2，求f (x )的解析式． [解答] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 又3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，比较系数得⎩⎨⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得a ＝2，b ＝7，所以所求函数的解析式为f (x )＝2x ＋7.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，用x 代换x －1x 得f (x )＝x 2＋2，即为所求的函数f (x )的解析式．(3)以－x 代x 后所得等式与原等式组成方程组⎩⎨⎧f x ＋2f －x ＝3x －2，f －x ＋2f x ＝－3x －2，解得f (x )＝－3x －23.【变式训练】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －3 x ≥0 ，x 2＋1 x ＜0 ，则f (f (1))＝__________.2 [解析] 由已知得到f (f (1))＝f (2×1－3)＝f (－1)＝(－1)2＋1＝2.2.1.2函数的基本性质1）单调函数及单调区间 ① 增函数 ②减函数2）函数单调性的证明方法 ①定义法 ②求导数法 ③图象法注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；求函数的单调区间，讨论函数的单调性时必须在定义域内进行，即函数的单调区间是定义域的子集；②必须是对于区间A 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)(f(x 1)＞f(x 2))． 2.1.3判断函数单调性的一般方法1）定义法.判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间A上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2∈A，且x 1<x 2； ②作差f(x 1)－f(x 2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④判断符号(即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间A上的单调性)．2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数.3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.4）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任意子区间上也是增（减）函数.5)如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相同，那么y=f[g(x)]是增函数；如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反，那么y=f[g(x)]是减函数.2.1.4判断函数奇偶性的一般方法1）首先确定函数的定义域，看是否是关于原点对称的.否则既不是奇函数又不是偶函数.2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：①定义判断：f(-x)=-f(x)→f(x)为奇函数；f(-x)=f(x)→f(x)为偶函数. ②等价形式判断：f(-x)+f(x)=0→f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0→f(x)为偶函数.2.1.5函数中常用结论1）函数奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇；偶±偶=偶； 奇×奇=奇；偶×偶=偶；奇×偶=奇.2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性.3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称. 例1 求证：函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(a ，＋∞)上是增函数． [解答] 设x 1>x 2>a ，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2＝(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－a x 1x 2， 当x 1>x 2>a 时，x 1－x 2>0，x 1x 2>0，x 1x 2>a ，所以f (x 1)－f (x 2)>0.所以函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在()a ，＋∞上是增函数． 例2 已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)对于任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )；(2)当x >0时，f (x )<0且f (1)＝－2.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解答] (1)证明：任取x 1<x 2，由条件(1)得f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)，∵x 2－x 1>0，由条件(2)得f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在R 上单调递减．(2)在(1)中，令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0，再令y ＝－x 得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )，因此f (x )为奇函数，∴f (x )max ＝f (－3)＝－f (3)＝－f (1＋2)＝－f (1)－f (2)＝－f (1)－f (1)－f (1)＝－3f (1)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－f (－3)＝－6.例3 求函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调区间．[解答] 函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－3x ＋2，y ＝log 0.7t ，显然y ＝log 0.7t 在(0，＋∞)上是单调递减的，而t ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分别是单调递减和单调递增的，根据复合函数的单调性的规则可知：函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为()－∞，1，单调递减区间为()2，＋∞.【变式训练】函数f (x )(x ∈R)的图象如图5－1所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[a ，1] D ．[a ，a ＋1]图5－1C [解析] 函数y ＝log a x (0<a <1)在定义域内为减函数，而函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12为增函数，在（－∞，0）和（21，+∞）是减函数，g(x)在（0，21）上为减函数，由0<log a x <12，得a <x <1，因此函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)在[a ，1]上为减函数．例4 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a 、b ∈R)．(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求实数a 、b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．[解答] (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，即b ＝a ＋1.又对任意实数x 均有f (x )≥0成立，∴Δ＝b 2－4a ≤0恒成立，即(a －1)2≤0恒成立，∴ a ＝1，b ＝2.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1， ∴g (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵ g (x )在x ∈[－2,2]时是单调函数，∴[－2,2] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，k －22或[－2,2] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫k －22，＋∞. ∴2≤k －22或k －22≤－2，即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．例5 已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，用a 表示f (12)．[解答] (1)证明：显然f (x )的定义域是R ，它关于原点对称． 在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中，令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0，∴f (x )＋f (－x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由f (－3)＝a ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )及f (x )是奇函数，得f (12)＝2f (6)＝4f (3)＝－4f (－3)＝－4a .例4 (1)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1，求f (x )的解析式；(2)设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数，求实数a 的值．[解答] (1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1，又函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1； 当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，∴f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1()x >0，0()x ＝0，－x 2－x ＋1()x <0.(2)∵f ()x ＝e x a ＋a e x ，∴f ()－x ＝e －xa ＋a e －x ＝1a e x ＋a e x ，又∵函数为R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a e x ＋a e x ，即(a 2－1)(e 2x －1)＝0，∴a 2－1＝0，又a >0，∴a ＝1.例5 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，为增函数．若f (1)＝0，求不等式f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0的解集．[解答] ∵函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，是增函数， ∴当x ∈(－∞，0)时，y 也是增函数， 且f (－1)＝－f (1)＝0.∴不等式f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0可以转化为f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<f (1)或f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<f (－1)，即 0<x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<1①或x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<－1②，解①可得12<x <1＋174或1－174<x <0； 解②可得∅.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0.2.2二次函数2.2.1图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422， 2.2.2二次函数解析式的三种形式用待定系数法求二次函数解析式时，解析式的设法有三种形式： ①c bx ax x f ++=2)(（一般式） ②n m x a x f +-=2)()(（顶点式） ③))(()(21x x x x a x f --=（零点式） 2.2.3根分布问题一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分 布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ;(2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f(4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f 2.2.4最值问题二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性; (2)对称轴-b/(2a)在区间之内; (3)对称轴在区间右边.注意：系数a 的符号对抛物线开口的影响2.2.5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞例1已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R?[解答] (1)由x ∈(－3,2)时f (x )>0，x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0知，－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －aba，得a ＝－3，b ＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由a <0知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，∴c ≤－2512，∴当c ≤－2512时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R. 例2 试求二次函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在区间[1,2]上的最小值． [解答] f (x )＝x 2＋2ax ＋3＝(x ＋a )2＋3－a 2.当－a <1，即a >－1时，函数在区间[1,2]上为增函数，故此时最小值为f (1)＝2a ＋4；当1≤－a ≤2，即－2≤a ≤－1时，函数的最小值为f (－a )＝－a 2＋3；当－a >2，即a <－2时，函数在区间[1,2]上为减函数，此时最小值为f (2)＝4a ＋7.综上可知，当a <－2时，最小值为4a ＋7；当－2≤a ≤－1时，最小值为－a 2＋3；当a >－1时，最小值为2a ＋4.【变式训练】已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1上有最大值2，求a 的值．[解答] f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， ∵0≤x ≤1，∴①当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52舍去；②当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ＝2＞1成立； ③当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2， ∴a ＝－1＜0成立．综上可得a ＝－1或a ＝2. 例３ 知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．[解答] (1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⎩⎨⎧f 0＝2m ＋1<0，f －1 ＝2>0，f 1＝4m ＋2<0，f 2＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56，∴－56<m <－12.2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组⎩⎨⎧f 0 >0，f 1 >0，Δ≥0，0<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.∴－12<m ≤1－ 2.例4．已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式[标准解答]∵二次函数的对称轴为x =可设所求函数为2()(f x a x b =+，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x过点(2,0)和(2,0)，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩， 122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =+- 例5．已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值 [思路点拨] 令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题[标准解答] 令sin t x =，[1,1]t ∈-， ∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2a t =， （1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）（2）当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]- 单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a = （3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减，由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去） 综上可得：a 的值为2a =-或103a =。